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        淺談以“問題探究”為主基調(diào)的高效數(shù)學(xué)課堂的建構(gòu)

        2022-05-30 08:41:03胡紅
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思考問題探究綜合素養(yǎng)

        胡紅

        [摘? 要] 問題探究式教學(xué)模式是一種重要的數(shù)學(xué)教學(xué)模式,其將教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)設(shè)計等內(nèi)容逐漸問題化,以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、誘發(fā)數(shù)學(xué)思考. 在日常教學(xué)中,教師應(yīng)為學(xué)生營造一個自由的、寬松的問題探究環(huán)境,讓學(xué)生在解決問題的過程中去思考、去合作、去交流,以此提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).

        [關(guān)鍵詞] 問題探究;數(shù)學(xué)思考;綜合素養(yǎng)

        教學(xué)中教師會結(jié)合具體學(xué)情提出問題,從而以問題為導(dǎo)向啟發(fā)學(xué)生進行數(shù)學(xué)探究,以此啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)生的課堂參與度. 教學(xué)中教師可以依據(jù)教學(xué)內(nèi)容從不同層面進行設(shè)計,如可以從知識與技能、過程與方法層面進行設(shè)計,也可以從情感和價值觀目標(biāo)層面進行設(shè)計. 不過,無論從何種層面設(shè)計都應(yīng)從學(xué)生的實際學(xué)情出發(fā),要以發(fā)展學(xué)生為目標(biāo),這樣才能發(fā)揮問題探究教學(xué)模式的優(yōu)勢,讓學(xué)生在探究、交流、合作中有所發(fā)展、有所成長.

        筆者教學(xué)“兩條直線的平行與垂直”第一課時,以問題探究為主基調(diào)進行了教學(xué)設(shè)計,旨在探究中讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究方法,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

        [?]教學(xué)設(shè)計

        1. 問題引領(lǐng)探究

        師:如何用符號語言來表示兩直線l,l平行和垂直?

        生1:l平行于l:l∥l;l垂直于l:l⊥l.

        師:如圖1所示,l∥l?α=α. 若BC∥EF,則△ABC與△DEF有什么關(guān)系?

        生2:△ABC∽△DEF.

        師:已知兩點P(x,y),Q(x,y),當(dāng)x≠x時,直線PQ的斜率k是多少?它有什么幾何意義呢?

        生3:PQ的斜率k=,它表示直線的傾斜程度.

        師:如圖2所示,直線PQ的斜率k還可以如何表示呢?

        生4:k=.

        師:圖3中的k呢?

        生5:k=-.

        師:很好,我們知道斜率刻畫了直線的傾斜程度,那么是否可以用斜率來研究兩條直線平行呢?(生不語)

        師:設(shè)直線l,l的斜率都存在,直線l:y=kx+b,直線l:y=kx+b. 若l∥l,猜一猜k和k是否存在什么關(guān)系.

        生6:我猜想,若l∥l,則k=k.

        師:它的逆命題是——

        生6:若k=k,則l∥l.

        師:很好,以上兩個猜想是否成立呢?

        教師預(yù)留充足的時間讓學(xué)生合作交流,從而在交流中不斷地完善自己,優(yōu)化認知. 幾分鐘后,各小組已經(jīng)有了探究結(jié)果,教師鼓勵學(xué)生交流展示.

        生7:我們小組是這樣推理的:如圖4所示,已知l∥l,任意作直線m∥x軸,分別交直線l,l于點A,D,在直線l,l分別有點B,E,過點B作BC⊥m于C,過點E作EF⊥m于F. 因為l∥l,所以∠BAC=∠EDF,從而△BAC∽△EDF,故=,即k=k. 反之,若k=k,即=,則△BAC∽△EDF,所以∠BAC=∠EDF,從而l∥l.

        師:很好,對于圖5,結(jié)論如何?若k=k=0,結(jié)論又如何呢?

        設(shè)計意圖:從學(xué)生熟悉的舊知出發(fā),將平面幾何和解析幾何建立聯(lián)系. 教學(xué)中教師鼓勵學(xué)生進行合作探究,引導(dǎo)學(xué)生從已有經(jīng)驗出發(fā)——從傾斜角為銳角的情況出發(fā),通過構(gòu)造相似三角形證明結(jié)論. 為了誘發(fā)學(xué)生深度思考,學(xué)生給出證明過程后,教師繼續(xù)追問,讓學(xué)生思考當(dāng)傾斜角為鈍角時結(jié)論又如何,以此通過分類討論,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹性.

        師:根據(jù)以上分析,你能夠得到什么?(引導(dǎo)學(xué)生進行總結(jié)歸納)

        生8:兩直線l,l不重合且斜率存在,若它們互相平行,則它們的斜率相等;反之,若兩條直線的斜率相等,則它們互相平行. (定理1)

        師:說得很好,如何用符號語言表達呢?

        生9:若兩直線l,l不重合且斜率存在,則l∥l?k=k.

        師:總結(jié)得很好,對于定理1成立的條件有兩個,一是兩直線不重合,二是兩直線的斜率存在. 若只滿足其中一個條件,你能得到什么呢?

        生10:若l,l的斜率都不存在?l∥l.

        設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生對以上探究過程進行總結(jié)歸納,從而抽象出定理,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力. 為了讓學(xué)生進一步理解定理,并能夠應(yīng)用定理解決問題,教師引導(dǎo)學(xué)生對定理的成立條件進行深度探究,以此深化理解,優(yōu)化認知結(jié)構(gòu).

        2. 聯(lián)想拓展引申

        師:以上我們用斜率研究了兩條直線的平行關(guān)系,猜想一下,是否可以用斜率繼續(xù)研究兩條直線的垂直關(guān)系呢?

        生齊聲答:可以.

        師:很好,現(xiàn)在繼續(xù)我們的探究之旅. 如圖6所示,在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD是BC邊上的高,則Rt△ABD與Rt△CAD有什么關(guān)系?

        生11:Rt△ABD∽Rt△CAD,且AD2=BD·DC.

        設(shè)計意圖:從學(xué)生的已有認知出發(fā),為新知的探究鋪設(shè)思維臺階,提升學(xué)生的課堂參與度.

        師:思考一下,若兩直線l,l的斜率都存在,且分別為k,k,則l⊥l?_____.

        為了便于學(xué)生進行溝通交流,教師將以上問題進行了轉(zhuǎn)化,給出了如下問題:如圖7所示,l⊥l于P,作直線m分別交l,l于點R,S,再作PQ⊥m于Q,由此你能得到什么?

        生12:根據(jù)上面分析,可得PQ2=RQ·QS.

        師:很好,根據(jù)斜率的幾何意義,你還能得到什么呢?

        生13:k=,k=-.

        師:很好,根據(jù)以上結(jié)果,你能得到什么呢?(學(xué)生積極思考)

        生14:我知道了,k·k=·

        -= -1.

        師:很好,很棒的發(fā)現(xiàn). 那么,若k·k=-1,是否可以得到l⊥l呢?

        這樣在問題的引導(dǎo)下,學(xué)生通過積極思考,得到了定理2:兩直線l,l的斜率都存在,若兩直線互相垂直,則兩直線的斜率之積等于-1;反之,若它們的斜率之積等于-1,那么兩直線垂直. 用符號語言表示為l⊥l?k·k=-1(直線l,l的斜率都存在).

        得到定理2后,教師又引導(dǎo)學(xué)生對定理成立的條件進行了深度剖析,以此讓學(xué)生明晰定理的內(nèi)涵及外延. 通過對定理2的拓展容易發(fā)現(xiàn):若兩直線中的一條直線的斜率不存在,那么與之垂直的直線的斜率為0. 這樣通過對定理成立條件的適度剖析及拓展,培養(yǎng)了思維的全面性、深刻性,為接下來的靈活應(yīng)用奠定了堅實的基礎(chǔ).

        3. 應(yīng)用鞏固提升

        經(jīng)歷以上自主探究的過程,學(xué)生總結(jié)歸納出了兩個定理,為了讓學(xué)生感悟定理的應(yīng)用價值,教師精心設(shè)計了如下練習(xí):

        練習(xí)1:證明順次連接A(-1,2),B(3,4),C(4,2),D(2,1)四點所得的四邊形是直角梯形.

        練習(xí)2:過點A(1,2)且與直線l:2x+y-5=0平行的直線是______.

        練習(xí)3:過原點作直線l的垂線,垂足為(1,2),則直線l的方程為______.

        練習(xí)4:已知直線l:ax-y+2a=0與l:(2a-1)x+ay+a=0互相垂直,則a=______.

        設(shè)計意圖:借助具體練習(xí)及時檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)效果,以便教師更好地了解學(xué)生,并根據(jù)學(xué)生的反饋調(diào)整教學(xué)方案,從而讓學(xué)生將新知學(xué)懂學(xué)會,并建立完整的認知體系. 對于練習(xí)1,其來自課本例習(xí)題的改編,既應(yīng)用了兩直線平行的等價命題,又應(yīng)用了兩直線垂直的等價命題,同時又滲透了利用解析法證明平面幾何問題的方法,可謂是一舉多得. 對于其他3個練習(xí),主要考查學(xué)生對定理的掌握情況,應(yīng)用時需要關(guān)注定理的應(yīng)用條件及其特例. 練習(xí)中充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用,讓學(xué)生通過具體操作更好地了解自己,體驗成功的喜悅,激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心.

        4. 總結(jié)歸納提升

        師:說一說,這節(jié)課都有什么收獲?(教師預(yù)留時間讓學(xué)生回顧、反思、總結(jié))

        生15:我們學(xué)習(xí)了兩個定理. 定理1:l∥l?k=k(l,l不重合,且k,k都存在);定理2:l⊥l?k·k=-1(k,k都存在).

        生16:注意兩個特例:①若l,l不重合,且k,k斜率都不存在,則l∥l;②已知兩直線l,l互相垂直,若其中一條直線的斜率不存在,那么另外一條直線的斜率為0.

        ……

        師:大家總結(jié)得都非常好,應(yīng)用時不能忽略應(yīng)用條件,當(dāng)心特例,同時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的靈活運用.

        設(shè)計意圖:通過小結(jié),引導(dǎo)學(xué)生對課堂內(nèi)容進行反思回顧,總結(jié)歸納出本節(jié)課的重難點,并提煉出蘊含其中的數(shù)學(xué)思想方法,從而讓學(xué)生可以更加系統(tǒng)地、全面地掌握本節(jié)課的內(nèi)容,建立起新的認知結(jié)構(gòu),進一步提高學(xué)生的認知水平,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

        [?]教學(xué)反思

        本節(jié)課以“問題”為內(nèi)驅(qū)力,充分地調(diào)動了學(xué)生參與的積極性,這樣學(xué)生在問題的啟發(fā)和引導(dǎo)下,不僅掌握了新知,而且掌握了數(shù)學(xué)的研究方法,感悟了數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用價值,提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì). 問題探索式教學(xué)模式雖然表面上多消耗了一些時間,但是其達到的效果是“灌輸”課堂無法比擬的,其有助于學(xué)生提高自主學(xué)習(xí)能力,有助于學(xué)生優(yōu)化認知結(jié)構(gòu),有助于學(xué)生長遠發(fā)展. 因此,教師應(yīng)從教學(xué)實際出發(fā),為學(xué)生量身定制探究問題,以此讓學(xué)生的思維在問題的引領(lǐng)下能夠得到質(zhì)的提升.

        本節(jié)課教學(xué)中,教師關(guān)注學(xué)生的發(fā)展,重視數(shù)學(xué)課堂文化的建構(gòu),為學(xué)生營造了一個平等、和諧的學(xué)習(xí)氛圍,引導(dǎo)學(xué)生通過獨立思考、互動探究、對話交流等學(xué)習(xí)活動更好地理解了數(shù)學(xué),提升了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣. 教師從學(xué)生熟悉的直線垂直和平行出發(fā),在問題的啟發(fā)和引導(dǎo)下,充分暴露了學(xué)生的思維過程,讓學(xué)生感悟到由形到數(shù)的發(fā)展過程,揭示了數(shù)形結(jié)合的本質(zhì),提高了數(shù)學(xué)教學(xué)的品質(zhì).

        總之,為了更好地教學(xué),提高教學(xué)品質(zhì),教師應(yīng)精心設(shè)計適合學(xué)生發(fā)展的問題情境,以此讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)在問題的引領(lǐng)下得到全面提升.

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