丁建兵

［摘? 要］ 在數(shù)學教學中，要發(fā)展學生的數(shù)學運用能力、提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，就要打破傳統(tǒng)的“灌輸”教學模式的束縛，充分發(fā)揮學生的主體地位，借助變式和錯誤引導學生抓住問題的本質，從而在教學中達到減負增效、融會貫通的效果，促進學生學習能力全面提升.

［關鍵詞］ 教學設計；減負增效；數(shù)學素養(yǎng)

在數(shù)學教學中，部分教師過分強調解題教學的重要性而忽視了數(shù)學的應用價值，限制了學生的數(shù)學運用能力的發(fā)展，影響了學生數(shù)學素養(yǎng)的提升，使得教學內容空洞、枯燥，嚴重影響了課堂效率. 為了改變這一現(xiàn)象，筆者在教學過程中做了一些嘗試，提出了一些建議，供參考！

[?]營造自由氛圍，激發(fā)學習興趣

數(shù)學是一門非常重要的基礎學科，它與其他學科緊密相連，與我們的生活息息相關，具有重要的應用價值. 其實，數(shù)學并沒有我們想象中那么抽象，但為什么大多數(shù)師生都常以抽象和復雜來評價數(shù)學呢？究其原因，主要是在功利教學長期的影響下，學生的主要精力都在解題上，很少關注數(shù)學的應用性，脫離了實際應用的數(shù)學學習自然顯得抽象. 因此，在數(shù)學教學中可以適當?shù)貏?chuàng)設一些情境，引入一些數(shù)學故事，淡化數(shù)學的抽象感，調動學生學習的積極性.

案例1 自然數(shù)平方和公式12+22+32+…+n2=的證明.

自然數(shù)平方和公式學生都能熟練掌握，但是對于公式的證明過程很多學生都感覺很陌生，遇到類似問題的證明時也常感覺束手無策，出現(xiàn)這一現(xiàn)象主要與教師的教學方式有關，大多數(shù)教師為了掌控教學進度，在教學過程中更加關注結論的應用，“刷題”成了知識強化的主要手段，學生的學習熱情難以被激發(fā)，課堂效率低下. 為了改變這一現(xiàn)象，教師要放手讓學生利用已有經驗去嘗試證明，給學生營造一個更為廣闊的空間，這樣更容易點燃學生的學習熱情，更能活化學生的思維，學生的思維一旦打開了，學習效率自然就提高了，這樣不僅不會浪費學習時間，而且有利于學習能力提升.

在案例1的證明過程中，教師放手讓學生嘗試自主探究，因此涌現(xiàn)出了不同的證明思路. 經過學生思考、交流和總結，教師及時做好補充和點評，使數(shù)學知識得以內化. 為了豐富學生的認知，拓寬學生的視野，教師在教學中可以多讓學生了解一些數(shù)學文化，進而提升學生的數(shù)學素養(yǎng). 例如，本案例教學中，教師列舉了一些數(shù)學家對該公式的證明，如法國數(shù)學家帕斯卡的“恒等式法”，美國數(shù)學家波利亞的“觀察、猜想、數(shù)學歸納法”，我國北宋時期數(shù)學家的“堆垛法”，等等，讓學生在借鑒和吸收中不斷豐富認知，促進數(shù)學學習能力提升.

[?]以生為主，培養(yǎng)數(shù)學思維品質

在數(shù)學教學中，教師切忌用自己的思路去限制學生，若學生的思路被教師牽著走，則很難培養(yǎng)出個性張揚、具有創(chuàng)新精神的人才. 在數(shù)學教學中，應采用更加多樣化的教學手段來培養(yǎng)和激發(fā)學生的探究熱情，多從學生的角度去思考問題、設計問題，從而體現(xiàn)學生的主體地位. 在數(shù)學教學中，當學生給出的解題思路較為煩瑣時，教師不要急于打斷，應允許學生有不同的見解；當學生思路出現(xiàn)錯誤時，教師需要耐心聆聽，找到出錯的根源，并利用好錯誤資源避免同樣的錯誤再次發(fā)生；當學生思維受阻時，可以順著學生的思路適時地進行引導，幫助學生找到解題的突破口. 只有處處體現(xiàn)出學生的主體地位，學生學習的積極性才能真正地被調動起來，從而挖掘出內在的潛能. 當然，在數(shù)學教學中，要注意數(shù)學思想方法的滲透，引導學生從本質上去思考并解決問題，從而提高數(shù)學教學有效性.

案例2 如圖1所示，在直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，3），l的直線方程為y=2x-4. 設圓C的半徑為1，圓心C在l上.

（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線方程；

（2）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

分析：對于問題（1），聯(lián)立兩直線方程可以求得圓心C（3，2），接下來利用點斜式求切線方程，求解過程中需要對斜率k分情況進行討論，分類討論思想蘊含其中. 對于問題（2），首先根據(jù)已知求出點M的運動軌跡是以（0，-1）為圓心，半徑為2的圓. 又點M在圓C上，這樣就將原問題轉化為兩圓的位置關系問題，轉化后的解題思路更加清晰明了，轉化思想在解題中起到了積極的作用. 可見，數(shù)學思想方法在解題中無處不在，教學中要重視滲透和提煉，從而在數(shù)學思想方法的指引下形成良好的數(shù)學思維品質，促進學習能力提升.

[?]借助變式訓練，實現(xiàn)減負增效

變式訓練是數(shù)學教學的常用手段之一，若在概念教學中應用變式，可有效幫助學生挖掘出概念的內涵及外延；若在公式、定理教學中應用變式，不僅有利于學生深化理解，而且可以幫助學生靈活運用；若在解題教學中應用變式，可以讓學生在區(qū)別和聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)問題的本質，找到解題的捷徑. 因此，教學中教師可以精心設計一些變式訓練，這樣不僅可以達到深化理解的效果，而且有助于避免“題海戰(zhàn)術”給學生帶來的枯燥感，有助于提升學習信心.

案例3 探究等差數(shù)列的通項a和S.

數(shù)列教學中往往會涉及很多概念和公式，為了讓學生在深化理解的同時可以靈活應用，教學中常采用變式訓練來鞏固應用，強化理解.

原題：等差數(shù)列｛a｝，｛b｝的前n項和分別為S，T，且=，若∈N*，則n的值為________.

分析：由等差數(shù)列的性質=，求得==7+，再結合∈N*，問題輕松獲解. 本題難度不大，直接應用等差數(shù)列的性質即可求解，但并不是所有出現(xiàn)形如的情況都可以應用該性質求解. 為了避免學生形成思維定式，教師在教學中需要通過變式訓練來拓寬學生的視野，豐富學生的解題思路.

變式：等差數(shù)列｛a｝，｛b｝的前n項和分別為S，T，且=，是整數(shù)，則n的值為________.

分析：本題設計的目的是讓學生鞏固等差數(shù)列求和公式，擺脫思維定式的困擾，靈活運用相關的定理性質高效解決問題. 在變式題目求解過程中，可設S=kn（7n+45），T=kn（n+3），則a=S-S（n≥2），b=T-T，這樣代入后運用分離常數(shù)法可以求得n. 通過變式訓練讓學生知道，有時候看似相同的問題其求解思路可能截然不同，因此數(shù)學學習中切勿死記硬背、機械套用，要靈活把握，深入理解，這樣才能避免走彎路、走錯路.

[?]尋找錯因，提高學習效率

出現(xiàn)錯誤在學習過程中是不可避免的，錯誤是學習過程的必然產物，因此教學中要善于發(fā)現(xiàn)錯誤、正視錯誤、善待錯誤. 在教學過程中，常常會遇到這樣的煩惱：有些錯誤明明重點講解過，也進行了強化練習，然學生還是屢屢犯錯. 出現(xiàn)這一現(xiàn)象的主要原因是教師不夠了解學生，在錯誤講解時沒有從學生的學情出發(fā)進行深入透徹的剖析，每次只是強調如何訂正錯誤，而沒有發(fā)現(xiàn)真正的錯因，學生對錯誤的認識缺乏深刻性，致使沒有真正地學懂吃透，從而出現(xiàn)了“一錯再錯”的現(xiàn)象. 因此教學中必須對學情做到精準定位，充分展現(xiàn)錯誤產生的過程，找到真正的錯因，從而制定有效的策略進行引導，帶領學生走出誤區(qū)，避免再次犯錯，有效提高學習效率.

案例4 已知x2+（1+2i）x-（3m-1）i=0有實根，求純虛數(shù)m的值.

錯解1：因為方程有實根，所以Δ≥0，所以（1+2i）2+4（3m-1）≥0，解得m≥ -+.

分析：出現(xiàn)這樣錯解的主因就是學生在學習中形成了思維定式，看到方程有實根就直接應用Δ≥0來判斷，未從實際情況出發(fā)，沒有抓住問題的本質特征. 要知道本題中x的系數(shù)含有虛數(shù)，用Δ≥0的思路進行求解就相當于比較虛數(shù)的大小，學生單純地考慮實數(shù)根卻忽略了虛數(shù)的性質，由于基礎知識掌握不牢而造成了錯誤.

錯解2：將原式x2+（1+2i）x-（3m-1）i=0轉化為復數(shù)形式，則有x2+x+（2x-3m+1）i=0，然后令x2+x和2x-3m+1都為0.

分析：本題中x2+x是實數(shù)，然2x-3m+1為虛數(shù)，因此應用兩個復數(shù)相等的思路進行求解是錯誤的.

這樣，找到錯因后，學生解題就可以設純虛數(shù)m=ai，其中a≠0且a∈R，則有x2+x+3a+（2x+1）i=0，求得m=i.

在數(shù)學學習過程中出現(xiàn)錯誤并不可怕，可怕的是學生不找錯因，只是盲目地訂正，這樣的學習方式是機械的，很難學懂吃透，容易再錯. 因此，教學中必須合理地應用好錯誤，引導學生分析出自己的認知漏洞，從而有效地進行查缺補漏，強化理解.

總之，解題雖然是高中階段應用數(shù)學的直接表現(xiàn)形式，但并不是數(shù)學學習的全部，教師要發(fā)揮好學生的主體地位，通過有效的拓展和延伸，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生的數(shù)學素養(yǎng)潛移默化地得到提升.