陳建興

［摘? 要］ 問題驅(qū)動(dòng)下的數(shù)學(xué)課堂改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂的機(jī)械和沉悶，使教師“教”得更有效，學(xué)生“學(xué)”得更積極. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生實(shí)際設(shè)計(jì)一些真實(shí)的、遞進(jìn)式的多元問題激發(fā)學(xué)生的探究欲，充分發(fā)揮問題在“教”與“學(xué)”中的價(jià)值，從而讓學(xué)生的思維活躍起來，課堂動(dòng)起來，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能力得到穩(wěn)固的、全面的提升.

［關(guān)鍵詞］ 問題驅(qū)動(dòng)；探究欲；學(xué)習(xí)能力

問題是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的動(dòng)力源，是促進(jìn)思維發(fā)展的加速器，是開展探究性學(xué)習(xí)的動(dòng)因，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神的起點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn). 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有必要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一些問題，開展一些探究活動(dòng)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高教學(xué)效率. 但在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，部分教師對(duì)探究性學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)不夠充分，片面認(rèn)為探究在一定程度上會(huì)影響課堂教學(xué)進(jìn)度和教學(xué)秩序，不利于教學(xué)活動(dòng)的開展，因此在日常教學(xué)中，尤其在新知教學(xué)中，部分教師還是習(xí)慣使用“照本宣科”的講授法，依舊是課堂中的主體，學(xué)生難以提出有價(jià)值的問題，學(xué)生的思維能力和學(xué)習(xí)能力難以在問題的驅(qū)動(dòng)下得到較大提升. 為了改變這一現(xiàn)象，在日常教學(xué)中，教師有必要設(shè)置一些探究性問題，讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下自主發(fā)現(xiàn)、自主探究，從而獲得屬于自己的知識(shí)，將思維引入更深處，提高學(xué)生解決問題的能力［1］.

[?]借助實(shí)際問題，開展數(shù)學(xué)探究

實(shí)際問題更具生活味，更易于引發(fā)學(xué)生共鳴，更易于激發(fā)學(xué)生探究熱情，因此開展探究性學(xué)習(xí)時(shí)，教師要善于借助實(shí)際問題為學(xué)生提供主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)條件［2］.

1. 借助生活味，激發(fā)學(xué)生的探究欲

在日常教學(xué)中，教師應(yīng)站在學(xué)生的角度，巧妙地將教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合和重組，為學(xué)生提供真實(shí)的、有思考價(jià)值的問題，如生活素材、熱點(diǎn)話題等，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維去看待和解決實(shí)際問題，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生思維活力.

案例1 三角函數(shù)的應(yīng)用.

真實(shí)情境：某電力公司需要一臺(tái)62 m的混凝土泵車對(duì)相關(guān)機(jī)組進(jìn)行“泵車注水”冷卻作業(yè). 已知該機(jī)組高46 m，而泵車只能在距離該機(jī)組9.6 m以外的區(qū)域進(jìn)行作業(yè)，那么該泵車是否能夠滿足作業(yè)要求呢？

問題：假設(shè)泵車高AB=3.2 m，三段臂長BC=30 m，CD=25 m，DM=7 m. 機(jī)組為底邊長48 m，高46 m的正四棱柱，注水方案要求如圖1所示. AB⊥AF，DM∥AF，出水口M需至少伸入機(jī)組寬度的，問該泵車是否滿足作業(yè)要求？

解析：如圖2所示，設(shè)∠DCT=θ，出水口M伸入機(jī)組的寬度為y，由題意可以求出NG，CG，GT的值. 因?yàn)閥=GT+DM，GT可求，已知DM，故可得y.

由GT=25cosθ->0，可得sinθ∈

，1

. 因?yàn)閥=GT+DM=25cosθ-+7，所以y′=-25sinθ+，令y′=0，解得sinθ=. 當(dāng)sinθ∈

，

時(shí)，y單調(diào)遞增；當(dāng)sinθ∈

，1

時(shí)，y單調(diào)遞減. 故當(dāng)sinθ=時(shí)，y取最大值12.4，又機(jī)組寬度的為16 m，所以y=12.4<16，所以該泵車不符合要求，需至少再接3.6 m.

設(shè)計(jì)意圖：該設(shè)計(jì)從實(shí)際問題出發(fā)，讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的重要應(yīng)用價(jià)值，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí). 在教學(xué)中，通過真實(shí)情境與數(shù)學(xué)問題相對(duì)比，使“生活”與“數(shù)學(xué)”完美地融合于一體，進(jìn)而使生活問題更具體，使數(shù)學(xué)問題更具親和力.

2. 設(shè)置遞進(jìn)式探究問題，激發(fā)學(xué)生的潛能

數(shù)學(xué)知識(shí)是抽象的，因此學(xué)習(xí)時(shí)學(xué)生難免會(huì)產(chǎn)生畏難情緒，然設(shè)置一些遞進(jìn)式、緩坡度的問題有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)，讓學(xué)生感覺數(shù)學(xué)知識(shí)并不是遙不可及的，完全可以通過自己探索、分析、歸納、總結(jié)而獲得，從而幫助學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)情感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和潛能［3］. 另外，通過自主探究獲得的知識(shí)一定更易于學(xué)生記憶和理解，更易于學(xué)生建立屬于自己的獨(dú)特的認(rèn)知體系，更易于提高學(xué)生解決問題的能力.

案例2 幾何概型.

問題1：若A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，從A中任取一個(gè)數(shù)，試求這個(gè)數(shù)不大于3的概率.

問題2：若A=［0，9］，從A中任取一個(gè)數(shù)，試求這個(gè)數(shù)不大于3的概率.

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于問題1，大多數(shù)學(xué)生都能夠利用古典概型輕松求解，這樣幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)舊知鞏固，為新知探究做好鋪墊；問題2是問題1的變式，通過設(shè)置懸念讓學(xué)生思考A=［0，9］中有多少數(shù)是不大于3的. 在問題1的鋪墊下，理解問題2會(huì)更加自然、舒暢，有助于提升學(xué)生的探究信心.

問題3：取一根長9米的細(xì)線，任意選擇一個(gè)位置將細(xì)線剪成兩段，你能算出這兩段的長度都不小于3米的概率嗎？

設(shè)計(jì)意圖：與問題1和問題2形成對(duì)比，讓學(xué)生理解和區(qū)分“有限性”和“無限性”，為得出幾何概型定義和后面靈活應(yīng)用奠基.

問題4：在面積為20平方分米的圓盤內(nèi)印有一個(gè)面積為0.3平方分米的圓形花紋圖案，若在圓盤上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓形花紋圖案內(nèi)的概率是多少？

問題5：現(xiàn)有一杯1 L的水，水中有1個(gè)雜質(zhì)，若從中任意倒出0.1 L的水，求倒出的水中含有雜質(zhì)的概率.

設(shè)計(jì)意圖：面對(duì)此類與長度、面積、體積等有關(guān)的概率問題時(shí)，已經(jīng)難以用古典概型進(jìn)行解決，學(xué)生迫切需要尋找新的模型，因此幾何概型的引出既必要又自然. 通過以上問題的設(shè)置，引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，使得學(xué)生對(duì)新知形成了深刻印象，同時(shí)也讓學(xué)生進(jìn)一步理解了兩種概型（古典概型和幾何概型）的區(qū)別和聯(lián)系，為以后靈活運(yùn)用奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

在教學(xué)中，教師應(yīng)合理創(chuàng)設(shè)一些符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、順應(yīng)思維發(fā)展的問題來激發(fā)學(xué)生的探究欲，這樣既有利于幫助學(xué)生更好地理解新知，又能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展. 在本案例中，無論是新知引入還是新知建構(gòu)，問題的設(shè)計(jì)都是合理的，尤其在新知建構(gòu)時(shí)，先從一維的長度出發(fā)，與前面古典概型問題形成對(duì)比，為新知的探究埋下伏筆，接下來從二維的面積和三維的體積進(jìn)行合理建構(gòu)，讓學(xué)生的認(rèn)知和思維在遞進(jìn)式問題的驅(qū)動(dòng)下盤旋上升.

[?]借助生成性問題，開展數(shù)學(xué)探究

有些問題是教師為了達(dá)到某種效果提前預(yù)設(shè)的，而有些問題則是學(xué)生在探究的過程中自然生成的，這些自然的生成性問題往往更能激發(fā)學(xué)生的潛能，更能培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)精神. 但在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，為了保證教學(xué)進(jìn)度，部分教師并沒有合理看待和應(yīng)用這些寶貴的生成性問題，這使得學(xué)生因提出的問題未能得到正面回應(yīng)而喪失了探究問題的積極性，這顯然不利于問題解決，也不利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的提升. 要知道，學(xué)生是探究的主體，只有讓學(xué)生參與進(jìn)來，并提出問題，才能使探究更有價(jià)值. 因此，教學(xué)中教師要為學(xué)生提供一個(gè)主動(dòng)探究的平臺(tái)，讓學(xué)生在探究中學(xué)會(huì)提問、學(xué)會(huì)分析、學(xué)會(huì)合作、學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)，構(gòu)造一個(gè)精彩的、生動(dòng)的課堂.

1. 建構(gòu)探究平臺(tái)，為探究性問題的生成創(chuàng)造條件

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，是探究的主體，是課堂的參與者和建構(gòu)者，每個(gè)學(xué)生都是鮮活的個(gè)體，都具有無限發(fā)展的潛能. 學(xué)生對(duì)問題有著自己獨(dú)特的見解和感悟，教學(xué)中若能合理激發(fā)、有效共享，一定可以使課堂豐富起來、生動(dòng)起來.

案例3 探究“阿波羅尼斯圓”.

片段1：創(chuàng)設(shè)問題情境.

師：之前我們學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線，我們知道橢圓研究的是在平面內(nèi)“到兩定點(diǎn)的距離之和的點(diǎn)的軌跡”問題，雙曲線研究的是“到兩定點(diǎn)的距離之差的點(diǎn)的軌跡”問題，如果讓你繼續(xù)研究，那么你想研究什么問題呢？

生：“到兩定點(diǎn)距離之商或之積的點(diǎn)的軌跡”問題.

設(shè)計(jì)意圖：從舊知出發(fā)，通過類比方法引導(dǎo)學(xué)生自主提出問題，這不僅可以有效激發(fā)學(xué)生的探究欲，而且為學(xué)生指明了研究的方向.

在課后調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，在教師提出這個(gè)問題前，沒有學(xué)生思考或研究過此問題，可見學(xué)生主動(dòng)思考、主動(dòng)探究的意識(shí)不強(qiáng)，學(xué)習(xí)缺乏探究深度和廣度. 那么是什么原因造成這一情況的發(fā)生呢？其實(shí)這與教師的教學(xué)習(xí)慣息息相關(guān). 在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，教師往往講得過多，而安排學(xué)生思考的時(shí)間又過少，沒有培養(yǎng)學(xué)生良好的思考和提問的習(xí)慣，當(dāng)學(xué)生面對(duì)有規(guī)律的問題時(shí)，往往視而不見，學(xué)生學(xué)習(xí)是被動(dòng)的. 因此，教學(xué)中教師需要多設(shè)計(jì)一些探究性問題，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)思考、主動(dòng)提問、主動(dòng)創(chuàng)新等良好的思維品質(zhì).

2. 體驗(yàn)知識(shí)生成過程，讓學(xué)生成為真正的探究者

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就是“舊知—新知—舊知”交替變化的過程，在日常教學(xué)中應(yīng)多帶領(lǐng)學(xué)生去體驗(yàn)這一變化過程，從而讓學(xué)生在掌握“雙基”的基礎(chǔ)上，還能獲得更多的情感體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生正確的學(xué)習(xí)觀.

片段2：學(xué)生活動(dòng).

問題1：在同一平面上有兩定點(diǎn)A，B，其坐標(biāo)分別為A（-2，0），B（4，0），若動(dòng)點(diǎn)P滿足=，則點(diǎn)P的軌跡方程是________，其軌跡是________.

問題給出后，教師沒有讓學(xué)生急于求解，而是先帶領(lǐng)學(xué)生回顧求軌跡方程的一般步驟，為后面變式探究活動(dòng)的開展做好鋪墊. 從教學(xué)反饋來看，學(xué)生對(duì)求軌跡方程有著清晰的認(rèn)識(shí)，因此解決問題1顯得得心應(yīng)手. 在求解問題1時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x，y）后，結(jié)合題設(shè)信息，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式建立已知與未知的聯(lián)系，化簡后得到軌跡方程（x+4）2+y2=6，其軌跡是圓. 全班學(xué)生都能順利完成該題，為了繼續(xù)探究，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，教師又給出了如下探究問題：

變式1：若將題目中的“=”改為“=1”，點(diǎn)P的軌跡方程是什么呢？

結(jié)合問題1的探究經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生輕松地求得軌跡方程為x=1，是一條直線，且該直線為線段AB的中垂線.

變式2：若將題目中的“=”改為“=λ（λ>0且λ≠1）”，點(diǎn)P的軌跡方程是什么呢？

對(duì)于不確定值問題的探究，容易造成學(xué)生畏難情緒，因此教學(xué)中教師需借助幾何畫板進(jìn)行展示，讓學(xué)生結(jié)合直觀體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)隱含其中的規(guī)律.

設(shè)計(jì)意圖：在該定理的教學(xué)中，教師并沒有直接給出定理，而是通過恰當(dāng)?shù)膯栴}情境為新知探究做好鋪墊，接下來運(yùn)用變式和信息技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生親歷“阿波羅尼斯軌跡定理”的形成過程，讓學(xué)生在解決問題的過程中不僅獲得了知識(shí)，而且提升了解決實(shí)際問題的能力.

3. 借助多元問題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)

剛剛的定理不是教師直接給出的，而是學(xué)生自己探究發(fā)現(xiàn)的，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情被迅速激發(fā)了出來，接下來教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去探究，使該定理與基本知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的內(nèi)容同化或異化，從而得到更有探究價(jià)值的問題，以此讓學(xué)生體會(huì)探究活動(dòng)既是自然的，又是有著明確方向和目標(biāo)的，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力.

片段3：知識(shí)建構(gòu).

師：想一想該定理的題設(shè)是什么？結(jié)論是什么？（為了便于觀察，教師用PPT展示定理）

生：題設(shè)為：①給定了相異的兩點(diǎn)A與B；②同一平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿足=λ（λ>0且λ≠1）；結(jié)論是：點(diǎn)P的軌跡為圓.

師：說得很好，如果將題設(shè)和結(jié)論重新組合，你能夠提出哪些新問題？

師：若將題設(shè)中的“給定了相異的兩點(diǎn)A與B”與結(jié)論“點(diǎn)P的軌跡為圓”互換呢？（教師發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生并沒有理解上述問題，及時(shí)給予引導(dǎo)）

問題2：已知點(diǎn)A（-2，0），P是圓C：（x+4）2+y2=16上任意一點(diǎn)，平面上是否存在這樣的定點(diǎn)B，使得=？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生將有限的資源進(jìn)行改編，從而形成新問題、新探究，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí). 同時(shí)，為了讓學(xué)生明晰探究方向，教師將問題1進(jìn)行了改編，從熟悉的問題出發(fā)，更易于探究活動(dòng)開展和知識(shí)生成.

變式：已知P是圓C：（x+4）2+y2=16上任意一點(diǎn)，x軸上是否存在這樣的兩定A，B，使=？

設(shè)計(jì)意圖：通過問題2和變式的探究，引導(dǎo)學(xué)生得出新猜想：若點(diǎn)P為某圓一動(dòng)點(diǎn)，則平面一定存在兩定點(diǎn)A，B，使得為常數(shù)λ（λ>0且λ≠1）.

接下來教師又引導(dǎo)學(xué)生將題設(shè)中的“同一平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿足=λ（λ>0且λ≠1）”與結(jié)論“點(diǎn)P的軌跡為圓”進(jìn)行互換，學(xué)生通過對(duì)變式題目的驗(yàn)證、猜想、總結(jié)，形成了新認(rèn)識(shí)，由于對(duì)有限資源的整合，使教學(xué)內(nèi)容更加豐富了，有效拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

在本案例的探究過程中，通過由淺入深的問題引導(dǎo)，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的數(shù)學(xué)探究過程，獲得了良好的數(shù)學(xué)體驗(yàn). 教學(xué)中教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生多一些思考，多一些嘗試，多一些聯(lián)想，多一些變換，讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)技能的同時(shí)，經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生、形成和發(fā)展的過程，更好地獲得積極的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，以此提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

總之，教學(xué)中教師要充分發(fā)揮好領(lǐng)導(dǎo)者的作用，根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況創(chuàng)設(shè)一些真實(shí)的、多元的探究性問題，在問題的驅(qū)動(dòng)下讓學(xué)生主動(dòng)去嘗試、去聯(lián)想、去發(fā)現(xiàn)、去探究，從而讓學(xué)生成為課堂的探究者、開拓者，讓數(shù)學(xué)課堂充滿無限生機(jī)和活力.

參考文獻(xiàn)：

［1］? 許清文. 關(guān)于引導(dǎo)學(xué)生有效參與課堂討論的策略［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（35）：29-30.

［2］? 王進(jìn)忠. 探究式教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用實(shí)踐［J］. 時(shí)代教育，2015（12）：192.

［3］? 張青峰. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性的策略［J］. 數(shù)學(xué)大世界（教師適用），2010（04）：25.