張昆，王穎超

摘要：以一道有一定難度的數(shù)列不等式高考題為例，說明：在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)通過適當(dāng)?shù)匿亯|，啟發(fā)學(xué)生把握問題的本質(zhì)特征，萌生具有一般性（概括性）的解題思路（基本想法），引領(lǐng)具體的解題操作。從解題疑難的角度看，就是要以一般的解題思路引領(lǐng)具體的解題操作為主導(dǎo)，辯證處理“思路性疑難”與“操作性疑難”的關(guān)系，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)突破。

關(guān)鍵詞：解題教學(xué);問題本質(zhì);解題思路;數(shù)列不等式問題

眾所周知，解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要板塊，然而有效的數(shù)學(xué)解題教學(xué)并不是一件可以輕松做到的事情。尤其是對一些有一定難度的題目，教師常常也需要經(jīng)過一番思考與探索（甚至借助靈感頓悟），才能獲得正確乃至“優(yōu)美”的解題思路。更重要的是，教師還要考慮如何在相對有限的教學(xué)時(shí)間內(nèi)，引導(dǎo)學(xué)生自己領(lǐng)悟解題思路，而不是直接告知（否則，學(xué)生就會出現(xiàn)“懂而不會”的現(xiàn)象）。對此，我們認(rèn)為，教師應(yīng)通過適當(dāng)?shù)匿亯|，啟發(fā)學(xué)生把握問題的本質(zhì)特征，萌生具有一般性（概括性）的解題思路（基本想法），引領(lǐng)具體的解題操作。下面，從一道有一定難度的數(shù)列不等式高考題的解題教學(xué)出發(fā)，談?wù)勎覀兊恼J(rèn)識。

一、一道數(shù)列不等式高考題的解題教學(xué)

（一）試題解法的思考與探索

2019年高考數(shù)學(xué)浙江卷第20題如下：

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3=4，a4=S3。數(shù)列{bn}滿足：對每個(gè)n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比數(shù)列。

（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;

（2）記cn=an2bn，n∈N*，證明：c1+c2+…+cn-1+cn<2n，n∈N*。

本題第（1）問比較簡單，用基本量法可以求出an=2（n-1），結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，用方程方法可以求出bn=n（n+1）。

第（2）問屬于高考常見（常作為壓軸題或倒數(shù)第二題的最后一問）的數(shù)列不等式問題。對于該問，在第（1）問的基礎(chǔ)上，求出cn=2（n-1）2n（n+1）=n-1n（n+1）很容易，但是證明c1+c2+…+cn-1+cn<2n（記為不等式①）有一定的難度。

在思考與探索的過程中，基于“由數(shù)列通項(xiàng)求前n項(xiàng)和的累加法（Sn=a1+a2+…+an）和由數(shù)列前n項(xiàng)和求通項(xiàng)的逐差法（an=Sn-Sn-1）是互逆的過程，因而，求數(shù)列前n項(xiàng)和的根本方法是裂項(xiàng)相消[Sn=S1+（S2-S1）+…+（Sn-Sn-1）]，即由逐差的結(jié)果倒推逐差的過程”（更本質(zhì)地看，數(shù)列是特殊的函數(shù)，累加就是積分求原函數(shù)，逐差就是微分求導(dǎo)函數(shù)）的認(rèn)識，我們得到了讓不等號兩邊對等（符合對稱美的觀念），即把左邊合起來變成一項(xiàng)或把右邊拆開來變成n項(xiàng)的證明思路。進(jìn)而，采用逐差法把右邊拆開來變成n項(xiàng)，完成證明。

這是一種基于對數(shù)列求和本質(zhì)的認(rèn)識的解題思路，可以用來引領(lǐng)很多同類問題的解決。比如2014年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ理科卷第21題：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1。

（1）證明數(shù)列an+12是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

（2）證明1a1+1a2+1a3+…+1an<32。

該題第（2）問也可通過讓兩邊對等的思路，把右邊的常數(shù)32拆成等比數(shù)列13n-1的前n項(xiàng)和來解決——其實(shí)，32等于該數(shù)列前n項(xiàng)和的極限，不過，這里證明的是不等式，所以可以適當(dāng)放縮。

（二）解題教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施

很多學(xué)生的數(shù)學(xué)理解不夠深入，解題經(jīng)驗(yàn)不夠豐富（反思提煉自然不足），因此，探索此類問題的解決時(shí)，可能很難萌生讓兩邊對等這樣的思路。特別是，不等式①相對復(fù)雜，學(xué)生在探索其證明時(shí)，會受到較多因素的影響，產(chǎn)生思維的“浩蕩洪流”，而看不到問題的本質(zhì)（抓不住主要矛盾），也就萌生不了上述解題思路。

因此，在教學(xué)中，教師讓學(xué)生先證明一個(gè)相對簡單的不等式（作為鋪墊）：122+132+142+…+1（n-1）2+1n2

因此，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，從數(shù)列求和的本質(zhì)上思考，萌生合適的解題思路，尋找構(gòu)造裂項(xiàng)式子的認(rèn)識來源。對此，兩位學(xué)生先后表達(dá)的想法如下：

生根據(jù)所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，我發(fā)現(xiàn)，不等號的左邊是某一數(shù)列的前n-1項(xiàng)和，而右邊只有唯一的一項(xiàng)。我覺得，不等號兩邊的代數(shù)式應(yīng)該具有對等的形式。因此，如果能夠?qū)⒉坏忍栕筮呥@個(gè)數(shù)列的前n-1項(xiàng)和計(jì)算出來，并將計(jì)算結(jié)果與不等號右邊的n-1n進(jìn)行大小比較，就能解決問題了。但十分可惜的是，我想不到怎樣將不等號左邊這個(gè)數(shù)列的前n-1項(xiàng)和計(jì)算出來。

生我也覺得，不等號兩邊的代數(shù)式應(yīng)該具有對等的形式。我進(jìn)一步的想法是：既然不等號左邊這個(gè)數(shù)列的前n-1項(xiàng)和無法經(jīng)由具體運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡單的式子，那么可否將不等號右邊這個(gè)簡單的式子轉(zhuǎn)化為某個(gè)數(shù)列前n-1項(xiàng)和的形式？經(jīng)過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，這是可以辦到的。所給不等式左邊為∑nk=21k2，n≥2，則右邊可設(shè)為∑nk=2ak，n≥2。由∑nk=2ak=n-1n，n≥2，可得an=∑nk=2ak-∑n-1k=2ak =n-1n-n-2n-1=1（n-1）n，n≥3。而a2=∑2k=2ak=2-12=12，故an=1（n-1）n，n≥2。因此，∑nk=2ak=∑nk=21（k-1）k，n≥2。因此，只需要證∑nk=21k2<∑nk=21（k-1）k，n≥2。脫去不等號兩邊的連加號，只需要證1k2<1（k-1）k，k≥2。而該不等式顯然成立。

生（恍然大悟）原來左邊各項(xiàng)為了裂項(xiàng)而放縮得到的式子1（n-1）n，就是右邊轉(zhuǎn)化為某個(gè)數(shù)列各項(xiàng)和的形式而得到的通項(xiàng)。

這里，因?yàn)橐C的不等式較簡單，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生基于對稱美的觀念，萌生了使兩邊對等的解題思路。由此，經(jīng)過一番受挫（受“求簡”思維定式的消極影響）調(diào)整，明確了將不等式右邊的一項(xiàng)轉(zhuǎn)化為某個(gè)數(shù)列前n-1項(xiàng)和的形式的解題思路，引發(fā)了一系列合理的解題操作，最終解決了問題。

證明了這個(gè)相對簡單的不等式，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中就有了“合適的根據(jù)地”。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)所給不等式結(jié)構(gòu)特征的相似性，從而自然地將使兩邊對等的解題思路遷移到不等式①的證明中，促進(jìn)解題思路的定型。對此，兩位學(xué)生先后表達(dá)的想法如下：

生受到前一個(gè)不等式證明思路的啟發(fā)，我想將不等式①中不等號右邊的2n轉(zhuǎn)化為某個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和的形式。設(shè)∑nk=1ak=2n，可得an=2（n-n-1）=2n+n-1，n≥2。而a1=∑1k=1ak=21=2，故an=2n+n-1，即∑nk=1ak=∑nk=12k+k-1。因此，只需要證∑nk=1k-1k（k+1）<∑nk=12k+k-1。脫去不等號兩邊的連加號，只需要證k-1k（k+1）<2k+k-1。可惜，我沒有證出來。

生兩邊平方，只需要證k-1k（k+1）<42k-1+2k（k-1）。去分母并化簡，只需要證2k2-3k+1+2kk（k-1）-2k（k-1）<4k（k+1）。又因?yàn)?kk（k-1）<2k2，-2k（k-1）<-2（k-1），所以2k2-3k+1+2k·k（k-1）-2k（k-1）<2k2-3k+1+ 2k2-2k+2=4k2-5k+3，所以只需要證4k2-5k+3<4k（k+1）?；?，只需要證3<9k。而這顯然成立。

二、從解題疑難的角度反思數(shù)學(xué)解題教學(xué)

從解題疑難的角度反思，上述數(shù)學(xué)解題教學(xué)案例能給我們這樣的啟示：解決稍微復(fù)雜一些的數(shù)學(xué)問題時(shí)，存在兩種不同性質(zhì)的疑難。其一，把握問題的本質(zhì)特征，萌生合適的解題思路的疑難，可以稱為“思路性疑難”或“觀念性疑難”;其二，在合適的解題思路的引領(lǐng)下，形成利用具體的數(shù)學(xué)知識、方法進(jìn)行的解題操作，有時(shí)盡管解題思路是合適的，但在具體的解題操作過程中還是會產(chǎn)生困難，可以稱為“操作性疑難”或“技術(shù)性疑難”。必須突破這兩種不同性質(zhì)的疑難，才能解決問題。

在“思路性疑難”與“操作性疑難”的關(guān)系中，“思路性疑難”處于矛盾的主要方面，決定了“操作性疑難”突破的可行性與難易程度;與此同時(shí)，“操作性疑難”反作用于“思路性疑難”，因?yàn)椤安僮餍砸呻y”能否突破可以用來判斷“思路性疑難”是否真正突破了。如果能突破，那么問題已經(jīng)得到解決;如果不能突破，那么需要檢視問題所給的信息特征，重新萌生更為合適的解題思路。因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要以一般的解題思路引領(lǐng)具體的解題操作為主導(dǎo)，辯證處理“思路性疑難”與“操作性疑難”的關(guān)系，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)突破。

一方面，要特別注意幫助學(xué)生突破“思路性疑難”，因?yàn)椤八悸沸砸呻y”是學(xué)生創(chuàng)造性地解決數(shù)學(xué)問題的起始處。數(shù)學(xué)創(chuàng)新的緊要之處就是一般思路的創(chuàng)新。有了新的一般思路所形成的操作指令，才能在具體操作活動中產(chǎn)生可以促使學(xué)生萌發(fā)新的操作行為的方法。而具有個(gè)性化特點(diǎn)的操作方法定型后，可以外化為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)共同體都可以使用的方法。這是“思路性疑難”決定“操作性疑難”的具體體現(xiàn)之一。教師一定不能直接提供解題思路，讓學(xué)生嚴(yán)格執(zhí)行。這會抑制學(xué)生的創(chuàng)造力，使其今后的解題之路走不長遠(yuǎn)。

另一方面，“操作性疑難”可以通過所謂的“記問之學(xué)”（《幼學(xué)瓊林·文事》）加以突破。換言之，學(xué)生可以通過反復(fù)訓(xùn)練來獲得相應(yīng)的操作技能與技巧，從而應(yīng)對具體的“操作性疑難”。例如，在證明不等式①的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生獲得解題思路，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)后，可以再經(jīng)由4—5個(gè)具有相似不等式結(jié)構(gòu)的例子，對學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練。