曹寧　歐念森　薛宇峰

［摘 要］數(shù)學(xué)物理方法課程是數(shù)學(xué)和物理的橋梁，在理工類本科教育中極為重要。長期以來，數(shù)學(xué)物理方法都背負(fù)著“難教、難學(xué)”的評價，亟須通過教學(xué)改革改變現(xiàn)狀。課程組結(jié)合多年來針對大氣科學(xué)本科生的教學(xué)實(shí)踐，以解決問題為導(dǎo)向，提出了“串聯(lián)式”教學(xué)方法，在教學(xué)實(shí)踐中顯著提升了數(shù)學(xué)物理方法課程的教學(xué)質(zhì)量和效果。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)物理方法;串聯(lián)式;問題導(dǎo)向;教學(xué)改革

［中圖分類號］ G642 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 2095-3437（2022）09-0125-04

數(shù)學(xué)物理方法是高等院校理工科專業(yè)學(xué)生的一門重要基礎(chǔ)課，是在高等數(shù)學(xué)、大學(xué)物理等課程基礎(chǔ)上開設(shè)的一門重要的應(yīng)用數(shù)學(xué)類課程，為專業(yè)課程的深入學(xué)習(xí)提供所需的數(shù)學(xué)方法和工具。數(shù)學(xué)物理方法所涉及的范圍非常廣泛、內(nèi)容極為豐富，其物理背景直接來源于自然現(xiàn)象和工程技術(shù)中的實(shí)際問題[1]。這些物理學(xué)、力學(xué)、工程學(xué)、大氣科學(xué)等學(xué)科中的實(shí)際問題，經(jīng)常會提出大量的偏微分方程，反映了描述系統(tǒng)的未知函數(shù)關(guān)于時空變量的導(dǎo)數(shù)及其之間的制約關(guān)系，同時刻畫了物理現(xiàn)象和過程的基本規(guī)律。

該課程是以物理、工程技術(shù)和其他科學(xué)中出現(xiàn)的偏微分方程為主要研究對象，主要介紹求線性偏微分方程精確解方法的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程[1]，在大學(xué)基礎(chǔ)課和專業(yè)課程中起到承前啟后的橋梁銜接作用。通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)知道如何將各種物理問題翻譯成數(shù)學(xué)的定解問題，并了解、掌握求解定解問題的若干方法，如行波法、分離變量法、傅里葉變換法、拉普拉斯變換法、數(shù)值差分法等，為學(xué)習(xí)以后的專業(yè)課，以及從事專業(yè)相關(guān)的科研和業(yè)務(wù)工作奠定基礎(chǔ)。

新時代對高等教育人才培養(yǎng)提出了新的要求，數(shù)學(xué)物理方法課程的教學(xué)也要適應(yīng)時代變化，體現(xiàn)新時代的特色。對此，已有許多教師探索了適應(yīng)新時代人才培養(yǎng)需求的教學(xué)改革，譬如引入實(shí)際專業(yè)問題、開展專業(yè)創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)、改革考試機(jī)制等，在有限學(xué)時內(nèi)實(shí)現(xiàn)理工各專業(yè)教學(xué)目的，形成了培養(yǎng)新工科人才和應(yīng)用型人才的新模式[2]，結(jié)合新工科教育理念，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、考核模式等方面提出了改革措施[3]，合理利用多媒體技術(shù)等新的教學(xué)手段[4]，側(cè)重計算機(jī)仿真的數(shù)學(xué)物理方程教學(xué)探索[5]。這些改革舉措為我們開展新時代數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)提供了有益的借鑒。

一、存在的問題

筆者在廣東海洋大學(xué)（以下簡稱“我校”）承擔(dān)數(shù)學(xué)物理方法課程的教學(xué)任務(wù)已4年，教授的學(xué)生包括大氣科學(xué)、數(shù)學(xué)等專業(yè)學(xué)生400余人。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)該課程的教學(xué)存在以下兩個較為典型的問題。

（一）基礎(chǔ)不牢，難學(xué)難教

高等院校教育教學(xué)改革過程中，因?qū)I(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整以及寬口徑人才培養(yǎng)的需要，本科專業(yè)人才培養(yǎng)方案不斷調(diào)整和優(yōu)化，理論課程被壓縮學(xué)時已成為較為普遍的現(xiàn)象[6]，于是在新的時期就出現(xiàn)了較多教學(xué)內(nèi)容和較少課內(nèi)學(xué)時的矛盾。而數(shù)學(xué)物理方法的課程特點(diǎn)就意味著，若學(xué)生沒有較為深厚的物理知識背景和較為豐富的數(shù)學(xué)知識積累，則很難在較短的課時內(nèi)掌握該課程的核心內(nèi)容，這也導(dǎo)致本課程被大家公認(rèn)為大學(xué)本科階段教和學(xué)難度最高的課程之一[7]，“難教、難學(xué)”的評價在學(xué)生中廣泛流傳。這就導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中入門難度較大，學(xué)習(xí)勁頭不足。我校數(shù)學(xué)物理方法課程僅有56個學(xué)時，亦凸顯了此問題。

（二）內(nèi)容碎片，各自孤立

我校數(shù)學(xué)物理方法課程的教學(xué)內(nèi)容雖然不是太多，且盡量不涉及復(fù)變函數(shù)等知識，只是在基礎(chǔ)物理和高等數(shù)學(xué)范疇內(nèi)介紹三類基本方程及其經(jīng)典解法。三類基本方程各自描述了一類物理現(xiàn)象或過程，而且經(jīng)典的數(shù)學(xué)物理方法（如行波法、分離變量法、積分變換法、數(shù)值差分法等）又是針對不同的定解問題，有一定的獨(dú)立性。因此，在授課過程中，就有不少學(xué)生反映課程內(nèi)容呈現(xiàn)碎片化，似乎各成一個體系，孤立地存在。這對于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)物理方法的整體理論體系并有針對性地將其應(yīng)用到實(shí)際案例中是極為不利的。即便是在較為注重基礎(chǔ)的期末考核中，也會出現(xiàn)學(xué)生張冠李戴，把不適用的求解方法套用到某個具體的定解問題中的現(xiàn)象，導(dǎo)致一步錯步步錯、結(jié)果與正確答案南轅北轍。究其原因就是學(xué)生沒有把各類方法有效地貫通起來，而僅僅是孤立地去學(xué)習(xí)或記憶單個方法，忽略了它們之間的連接。

二、教學(xué)改革嘗試

針對以上存在的問題，為了改善目前的教、學(xué)現(xiàn)狀，適應(yīng)新時代的人才培養(yǎng)要求，在有限的學(xué)時內(nèi)，既保持原有的教學(xué)內(nèi)容框架，又能體現(xiàn)“以本為本、體系教學(xué)”的特點(diǎn)，筆者在課程教學(xué)過程中進(jìn)行了一些教學(xué)改革的探索，以期提升數(shù)學(xué)物理方法課程的教學(xué)質(zhì)量和效果。

（一）精心設(shè)計“入門第一課”

承擔(dān)過本科教學(xué)的教師都知道，作為“入門第一課”，緒論教學(xué)在整個課程教學(xué)中極為重要，是必不可少的教學(xué)環(huán)節(jié)。從教師的角度來說，緒論課對教師的要求很高，包括專業(yè)能力、教學(xué)水平、個人儀表和風(fēng)范等方面的要求[8]；而從學(xué)生角度來說，緒論課也是學(xué)生最先接觸的部分，應(yīng)使學(xué)生在較短時間內(nèi)對課程有個整體的認(rèn)識，了解課程背景、課程內(nèi)容、重點(diǎn)難點(diǎn)、考核要求等。因此，緒論課是真正的“入門第一課”。數(shù)學(xué)物理方法素有“難教、難學(xué)”的評價，我校開設(shè)的數(shù)理基礎(chǔ)課程也無法保證學(xué)生具備足夠扎實(shí)的數(shù)理基礎(chǔ)，因此能否上好這至關(guān)重要的“入門第一課”，直接決定了學(xué)生是否有信心完成本課程的學(xué)習(xí)。筆者在緒論課的教學(xué)實(shí)踐中采取了一些舉措，來提升緒論課的上課效果。

1.增加學(xué)時，打牢基礎(chǔ)

在課程教學(xué)大綱中，緒論部分一般為2個學(xué)時。本次課改，為了加強(qiáng)緒論課的地位、提升學(xué)生學(xué)習(xí)本課程的信心和興趣，筆者將緒論部分學(xué)時增加了1倍，達(dá)到4個學(xué)時。除了對傳統(tǒng)的課程架構(gòu)、內(nèi)容、要點(diǎn)、考核等進(jìn)行介紹，還花更多時間用于復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一些背景知識，對微分、積分、級數(shù)、常微分方程求解等進(jìn)行了系統(tǒng)性的回顧。雖然只是對這些知識進(jìn)行概覽性的介紹，但足以在學(xué)生心目中搭建起高等數(shù)學(xué)的理論架構(gòu)體系，使學(xué)生了解自己學(xué)習(xí)基礎(chǔ)中不太扎實(shí)的地方，也知道該如何進(jìn)行針對性的復(fù)習(xí)。通過這樣的方法，打牢學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，使學(xué)生有信心完成課程。

2.明確地位，提升信心

本課程在數(shù)學(xué)和物理中的橋梁作用、在基礎(chǔ)課和專業(yè)課之間的橋梁地位是毋庸置疑的，這需要教師在緒論課上加以強(qiáng)調(diào)。而更值得一提的，或許也是更為有用的一點(diǎn)是這門課程還是國內(nèi)許多高校和科研院所的考研專業(yè)課之一，涉及專業(yè)如海洋科學(xué)、大氣科學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等。我校學(xué)生大多有考研的志向，考研工作是歷年來學(xué)校工作的重中之重。因此，筆者在課堂上對國內(nèi)相關(guān)高校和科研院所將數(shù)學(xué)物理方法定為考研專業(yè)課的情況進(jìn)行了綜述，并挑選了一些院校考研大綱，概括性地為學(xué)生做了介紹。很顯然，這是一個很多學(xué)生都比較關(guān)注的話題，在課后依然有許多學(xué)生咨詢相關(guān)信息。通過這種方法，增強(qiáng)了學(xué)生對這門課程的重視程度，學(xué)生了解了考研所涉及的考試要點(diǎn)，做到心中有數(shù)，顯著提升了學(xué)習(xí)這門課的決心。

3.問題導(dǎo)向，提高興趣

本課程之所以被認(rèn)為“難教、難學(xué)”，很大一部分原因就在于數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)太多了，這是事實(shí)。然而，數(shù)學(xué)物理方程畢竟不是純粹的數(shù)學(xué)問題，它是有明確的物理背景的，因此在緒論課中就要明確本課程學(xué)習(xí)過程中應(yīng)當(dāng)以實(shí)際問題為導(dǎo)向，把解決問題作為最終的目的，而數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)只是達(dá)成此目的的手段，再結(jié)合接下來要介紹的“串聯(lián)式”教學(xué)手段搭建起整體的課程內(nèi)容框架，將學(xué)生對本課程的認(rèn)識提升到更高層次。站在課程整體架構(gòu)之上來看，學(xué)生目光就不再僅僅盯著數(shù)學(xué)公式了，而是明白了“解決問題”才是這門課的終極奧義。學(xué)生此時再去看那些公式，就不會有那么強(qiáng)烈的排斥心理了，知道這只是解決問題的過程而已，學(xué)習(xí)的興趣也就得到了提高。

（二）串聯(lián)教學(xué)法的探索與實(shí)踐

在實(shí)際的教學(xué)過程中，筆者經(jīng)常給學(xué)生畫如圖1所示的以求解問題為導(dǎo)向的流程示意圖。通常情況下，我們所面對的是“原問題”，想要求解之，得到“原解”，此直接求解過程我們稱之為“Solution A”。如果“Solution A”比較難，或者沒有頭緒，或者無法求解，那么我們就要換個思路，采用間接求解的方法，這就是由“原問題→Flow1→像問題→Solution B→像解→Flow2→原解”所描述的迂回的求解思路。圖1可以用來描繪本課程中許多的內(nèi)容，教師可根據(jù)不同的內(nèi)容進(jìn)行不同的解讀。以下就按照解決問題的順序、思路展開討論。

1.問題導(dǎo)向，串聯(lián)實(shí)際（原問題）

實(shí)際的工程、技術(shù)、科學(xué)等問題，通常需要轉(zhuǎn)換為物理問題，然后利用物理原理翻譯為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)一步求解該數(shù)學(xué)問題，再將得到的數(shù)學(xué)結(jié)果翻譯成物理問題，即討論所得結(jié)果的物理意義。如圖1所示，“原問題”指的是實(shí)際的工程、技術(shù)、科學(xué)問題，經(jīng)過理想化假設(shè)、物理歸納、數(shù)學(xué)翻譯（Flow1），得到數(shù)學(xué)語言描述的定解問題（“像問題”），求解定解問題（Solution B）得到數(shù)學(xué)解（“像解”），再結(jié)合物理背景對數(shù)學(xué)解進(jìn)行物理上的解釋和說明（Flow2），從而給出原問題的解（“原解”）。這個流程就明確了“問題導(dǎo)向”，將求解定解問題Solution B作為解決問題的途徑而非目的。學(xué)生通過對此流程圖的解析，也可以將“問題導(dǎo)向”作為學(xué)習(xí)本課程的根本遵循，不再孤立地看待數(shù)學(xué)物理方法，而是將其與實(shí)際問題串聯(lián)起來，這樣就使學(xué)習(xí)的意義更加清楚了。

2.物理描述，數(shù)學(xué)翻譯（Flow1）

得益于前人如牛頓等的貢獻(xiàn)，我們得以在經(jīng)典世界內(nèi)探討和分析許多實(shí)際問題。在教授物理描述時，教師通過與學(xué)生的課堂互動，綜合回顧、概覽教授了經(jīng)典物理中的物理現(xiàn)象、物理規(guī)律、物理模型等，如牛頓第二定律、能量守恒定律、熱傳導(dǎo)定律、胡克定律等，列舉和介紹提出這些定律的大師，將經(jīng)典物理中與本課程有關(guān)的碎片化內(nèi)容“串聯(lián)起來”，順便帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行了科學(xué)史的了解和學(xué)習(xí)。而教學(xué)數(shù)學(xué)翻譯也因?qū)W生掌握了物理規(guī)律，顯得簡單多了。因?yàn)閿?shù)學(xué)物理方程就是物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)，它反映的是此點(diǎn)此時刻的物理量與其臨近點(diǎn)和臨近時刻物理量之間的聯(lián)系，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上就是常微分或偏微分方程，這些方程能夠描述一大類廣泛物理現(xiàn)象的共性。

3.泛定方程，初邊條件（像問題）

很多學(xué)生在掌握了物理規(guī)律的數(shù)學(xué)翻譯之后，可以很輕松地給出某一特定物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)方程，如波動方程、熱傳導(dǎo)方程、泊松方程。而基于“問題導(dǎo)向”，在實(shí)際的問題中，系統(tǒng)內(nèi)部的物理規(guī)律可以用這些方程來描述（稱為泛定方程），但這些微分方程一般有無窮多個解，在求解具體問題時還需要一些定解條件，這些定解條件就是對系統(tǒng)時間和空間的約束。比如，系統(tǒng)的初始狀態(tài)，需要初始條件給出；系統(tǒng)在邊界上的情況，則需要由邊界條件給出。因此，泛定方程和初邊值條件一起時，才能給出對一個具體問題的完整的數(shù)學(xué)描述。了解了它們之間的關(guān)系，學(xué)生才不會把泛定方程、定解條件視為零散的知識點(diǎn)，而是把定解問題作為一個整體，串聯(lián)著泛定方程、定解條件，以及與之相對應(yīng)的具體問題。

4.對癥下藥，方法為王（Solution B）

數(shù)學(xué)語言描述的定解問題的準(zhǔn)確給出無疑是非常重要的，它是我們使用數(shù)學(xué)物理方法進(jìn)行求解的基礎(chǔ)。有了定解問題，我們就可以根據(jù)具體的情況選擇合適的方法對其進(jìn)行求解，此過程可稱之為“對癥下藥”。這里僅舉三例，使用圖1分別闡釋之。

行波法，亦稱為特征變換法，其思路也可以用圖1來描繪。對于雙曲型方程，進(jìn)行自變量變換（特征變換，F(xiàn)low1），將方程化簡，對簡化的方程求通解（Solution B），然后對通解進(jìn)行自變量的逆變換（Flow2），得到原方程的通解，再結(jié)合定解條件給出精確解。對于無限長弦振動的初值問題，通過此方法得到達(dá)朗貝爾公式，描述了初始擾動在空間無限傳播形成的“行波”。

分離變量法，又稱為傅里葉級數(shù)法，是解數(shù)學(xué)物理方程定解問題最常用和最基本的方法之一。它能夠求解相當(dāng)多的定解問題，特別是對一些常見區(qū)域（有限區(qū)間、矩形域、圓域、長方體、球面、圓柱體等）上的混合問題和邊值問題。其基本思路也可以用圖1來描述，原問題是待求定解問題，通過變量分離（Flow1），變?yōu)槌Ｎ⒎址匠潭ń鈫栴}（本征值問題，“像問題”），求解本征值問題及其他常微分方程（Solution B），得到“像解”，然后進(jìn)行變量分離的逆過程，合并起來、線性疊加（Flow2）、確定系數(shù)得到原問題的傅里葉級數(shù)解。對于有限長弦振動的初邊值問題，通過此方法得到駐波解，描述了無窮多列駐波的疊加效果，與行波法遙相呼應(yīng)。

積分變換法，包括傅里葉變換、拉普拉斯變換。用圖1的流程來描述積分變換法的步驟再恰當(dāng)不過了?！霸瓎栴}”經(jīng)積分變換（Flow1）變?yōu)椤跋駟栴}”，對其進(jìn)行求解（Solution B）得到“像解”，再經(jīng)積分變換的逆變換（Flow2）得到“原解”。其中傅里葉變換可以視為是將有限區(qū)間上的分離變量擴(kuò)展到無限區(qū)間上，在滿足傅里葉積分定理的條件下，將級數(shù)解變?yōu)榉e分形式。而拉普拉斯變換則主要針對時域上的信號進(jìn)行變換。

5.回眸一觀，豁然而解（Flow2）

通過選擇合適的數(shù)學(xué)物理方法，我們得到了定解問題的解（數(shù)學(xué)上的解析解或形式解）。基于“問題導(dǎo)向”，我們的目的是解決實(shí)際問題，因此最后一步就是結(jié)合物理背景對這個數(shù)學(xué)語言的解進(jìn)行物理上的解析，也就是需要我們“回眸一觀”，用物理語言將數(shù)學(xué)解描述出來，此時才算是達(dá)成我們的初衷：解決實(shí)際問題。

綜上，在教學(xué)過程中，筆者基于一張流程示意圖（圖1）串聯(lián)起了本課程的整體內(nèi)容框架，明確了“解決實(shí)際問題”的課程導(dǎo)向，堅持“串聯(lián)法”教學(xué)，使方程、定解條件、求解方法等不再是孤立存在的，而是密切聯(lián)系起來，彼此互為補(bǔ)充的。同時，這種教學(xué)方法在學(xué)生心目中形成了一個很重要的認(rèn)知，那就是實(shí)現(xiàn)了“物理”與“數(shù)學(xué)”的串聯(lián)，這是基于“問題導(dǎo)向”而實(shí)現(xiàn)的非常重要的一點(diǎn)。

三、效果及展望

筆者在大氣科學(xué)和數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)物理方法課程中實(shí)施了本文所提到的“串聯(lián)式”教學(xué)方法。一個學(xué)期下來，根據(jù)反饋，學(xué)生對課程內(nèi)容框架和系統(tǒng)架構(gòu)方面的理解確實(shí)有所改善，尤其是求解方法（如行波法、分離變量法、積分變換法）不再是孤立的，而是彼此之間緊密聯(lián)系的，“碎片化”知識被成功地“串聯(lián)”起來。各種求解方法也不再僅僅是數(shù)學(xué)方法，而是結(jié)合“物理問題”，以問題為導(dǎo)向的針對性的解法。在課程考核中，筆者也有意地淡化了對求解方法的強(qiáng)調(diào)，而是更直觀地給出物理描述，考查學(xué)生是否能夠基于“串聯(lián)”起來的課程內(nèi)容框架，把物理問題翻譯歸納成數(shù)學(xué)語言描述的定解問題，然后根據(jù)初邊值條件，判斷使用哪種合適的求解方法進(jìn)行求解，最后再對解進(jìn)行物理上的解釋?？己私Y(jié)果證明，這種考核思路是可行的。

除此之外，本課程教研小組其他教師還針對課程考核的其他方面進(jìn)行了改革，具體舉措包括：加強(qiáng)平時考核、半自動化考核系統(tǒng)開發(fā)、題庫建設(shè)等。

雖然“串聯(lián)式”教學(xué)改革有一定的成效，但其在教學(xué)過程中依然存在一些問題：

一是課程教學(xué)以板書為主，沒有有效發(fā)揮多媒體教學(xué)的優(yōu)勢。板書雖然促使大部分學(xué)生認(rèn)真聽講并適當(dāng)做筆記，但也有極少部分學(xué)生完全放棄，上課不聽或者干脆缺課。針對此問題，在未來的授課中，可適當(dāng)使用多媒體技術(shù)，將一些方程和解進(jìn)行可視化，結(jié)合物理背景，提升課程的趣味性和形象性。

二是課程內(nèi)容與其他專業(yè)課程的結(jié)合不夠。本課程的本質(zhì)是提供一種使用數(shù)學(xué)方法求解物理問題的視角和思路，因此筆者在后續(xù)同時承擔(dān)數(shù)學(xué)物理方法課程和流體力學(xué)課程的教學(xué)的時候，會將這兩門課的內(nèi)容進(jìn)行一定程度的結(jié)合，從而加強(qiáng)物理背景、物理意義的探討。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1］ 陳才生. 數(shù)學(xué)物理方程[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

[2］ 許超，丁勇.與專業(yè)教育融合的數(shù)學(xué)物理方法課程建設(shè)[J].物理通報，2020（1）：17-20.

[3］ 牟海寧.新工科背景下“數(shù)學(xué)物理方程”課程教學(xué)改革探索[J].科教文匯，2020（29）：65-66，72.

[4］ 喻遠(yuǎn)琴，陳壽萬.新形勢下數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)模式改革探索[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），2013（5）：129-132.

[5］ 李永利，孫志濱.側(cè)重計算機(jī)仿真的數(shù)學(xué)物理方程教學(xué)探索[J].科技風(fēng)，2020（25）：18-19.

[6］ 梁建坤，于凈，翟菲，等.在學(xué)時壓縮的情況下保證基礎(chǔ)課教學(xué)質(zhì)量的策略研究[J].課程教育研究，2014（13）：16.

[7］ 余招賢.數(shù)學(xué)物理方法與理論物理專業(yè)課程的融合銜接性研究[J].教育教學(xué)論壇，2020（46）：290-292.

[8］ 楊卓娟，楊曉東.關(guān)于高校課程緒論教學(xué)的思考[J].中國大學(xué)教學(xué)，2011（12）：39-41.

［責(zé)任編輯：鐘 嵐］