摘要：數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個重要方面，也是貫穿整個數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的一個非常重要環(huán)節(jié).要想學(xué)好數(shù)學(xué)就要學(xué)會數(shù)學(xué)運算，而且要算（數(shù)學(xué)運算）得好、算得巧、算得快.正確認識數(shù)學(xué)運算，樹立正確的運算觀，掌握常見的運算策略，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運算；核心素養(yǎng)；策略；反思；模型

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0098-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：紀政（1981.5-），男，安徽省利辛人，本科，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》對數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的定義，其是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)運算的表現(xiàn)形式主要包括數(shù)字的計算、估值和近似計算，式子的組合變形與分解變形，以及幾何圖形各幾何量的計算求解等.

本文結(jié)合實例加以剖析，闡述數(shù)學(xué)運算的養(yǎng)成與技巧策略，拋磚引玉.

1 樹立正確的運算觀，學(xué)會勤于運算

很多同學(xué)錯誤地把“運算”看成“死算”，以為不需要動腦筋，是純粹的“體力活”.平時數(shù)學(xué)解題時“眼高手低”，做題時只注重研究解題思路，而不動手去操作運算，忽視了數(shù)學(xué)的運算技巧，而只寫數(shù)學(xué)解題過程不計算；片面專注于只做“技術(shù)人員”，專門進行“計算器”的功能.還有部分同學(xué)有時做課外作業(yè)或練習(xí)時存在一些抄襲現(xiàn)象，這些不正確的運算觀，都直接影響著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果，從而導(dǎo)致考試時“一算就錯”，經(jīng)常“會而不對”“對而不全”.其實，要讓學(xué)生從內(nèi)心認識到數(shù)學(xué)運算的重要性，學(xué)會樹立正確的運算觀，勤于運算，不但是為了數(shù)學(xué)考試，更重要的是自身能力的提升.

2 加強自我監(jiān)控評價，學(xué)會反思運算

在數(shù)學(xué)運算過程中，要學(xué)會從運算對象是否理解，運算法則是否掌握，運算思路是否恰當(dāng)，運算程序是否合理，運算過程是否簡潔，運算結(jié)果是否正確，書寫表達是否規(guī)范，運算速度是否快捷等不同層面加以分析、梳理、反思與探究，對存在的問題進行合理地歸納整理.在具體數(shù)學(xué)解題過程中，學(xué)會反思運算，從中挖掘出錯誤的點，進而從細節(jié)入手，自我深化，合理進行模仿中鞏固，訓(xùn)練中摸索，比較中辨析，變式中優(yōu)化，綜合中創(chuàng)新等.

例1己知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在y軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的兩個焦點，C的短軸長為4，且C上存在一點P，使得|PF1|=6|PF2|，試寫出橢圓C的一個標準方程.

解析設(shè)橢圓C的標準方程為

y2a2+x24=1（a>2），c=a2-4.

根據(jù)橢圓的定義，可得|PF1|+|PF2|=2a.

由|PF1|=6|PF2|，得|PF1|=127a，|PF2|=27a.

由幾何不等式，有|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c.

可得127a-27a≤2c.

整理有ca≥57.

所以c2a2≥2549.

即a2-4a2≥2549，解得a2≥496.

故答案：y29+x24=1（答案不唯一，只要滿足a2≥496即可）.

點評通過以上問題的分析與解答，結(jié)合數(shù)學(xué)運算實質(zhì)，要學(xué)會多層面、多層次的反思：問題的來源其實就是確定橢圓離心率的取值范圍；問題的解決還可以通過橢圓基本性質(zhì)、焦半徑公式以及橢圓第二定義等；問題還可以進一步加以系數(shù)的一般化處理，轉(zhuǎn)化為多項選擇題形式出現(xiàn).

3 掌握常見運算策略，學(xué)會善于運算

3.1 模型化策略

解題時，分析所研究問題的本質(zhì)屬性，經(jīng)過去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的工作，將問題的基本特征構(gòu)建為數(shù)學(xué)模型，通過模型化方法探求數(shù)學(xué)運算思路.常見的模型有：平面向量中的極化恒等式，導(dǎo)數(shù)中的極值點偏移，立體幾何中的鱉臑陽馬，平面解析幾何中的阿波羅尼斯圓以及阿基米德三角形等.

例2已知AB是過拋物線y2=4x焦點F的弦，P為該拋物線準線上的動點，則PA·PB的最小值為.

解析設(shè)點C是弦AB的中點，過點C作拋物線準線的垂線，垂足為點D，根據(jù)拋物線的定義可知以AB為直徑的圓與準線相切于點D.

利用極化恒等式，可得

PA·PB=14[（PA+PB）2-（PA-PB）2]

=14（4PC2-BA2）

=PC2-BC2

=PC2-DC2≥0，

當(dāng)且僅當(dāng)點P與點D重合時等號成立.

所以PA·PB的最小值為0.

點評合理巧妙地利用向量的極化恒等式可以快速對平面向量的數(shù)量積進行化歸與轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了平面向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點等相關(guān)特征的平面向量問題.

3.2 熟悉化策略

數(shù)學(xué)解題就是一個問題轉(zhuǎn)化與變形的過程.具體操作時，把問題轉(zhuǎn)化為一個等價的問題，或把原問題化歸為一個已經(jīng)解決的問題，從而化難為易，化生為熟，化繁為簡，化未知為已知，實現(xiàn)問題的熟悉化.

例3如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，一個質(zhì)點從A（a1，a2）出發(fā)沿圖中路線依次經(jīng)過B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8），…，按此規(guī)律一直運動下去，則a2021+a2022+a2023+a2024等于.

解析由平面直角坐標系可知，A（1，1），B（-1，2），C（2，3），D（-2，4），E（3，5），F(xiàn)（-3，6）.

即a1=1，a2=1，a3=-1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=-2，a8=4，….

由此可知，數(shù)列中偶數(shù)項是從1開始逐漸遞增的，且都等于其項數(shù)除以2；每四個數(shù)中有一個負數(shù)，且為每組的第三個數(shù)，每組的第一個數(shù)為其組數(shù)，每組的第一個數(shù)和第三個數(shù)互為相反數(shù).

因為2024÷4=506，所以a2021=506，a2022=1011，a2023=-506，a2024=1012.

則有a2017+a2018+a2019+a2020=2023.

點評將平面直角坐標系中按一定規(guī)律運動的動點所對應(yīng)的坐標進行熟悉化處理，構(gòu)建與之對應(yīng)的數(shù)列，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，利用數(shù)列的性質(zhì)特征化生為熟，化繁為簡，從而得以巧妙轉(zhuǎn)化，合理應(yīng)用，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化與求解.

3.3 直觀化策略

數(shù)形結(jié)合思維可以很好體現(xiàn)數(shù)學(xué)的直觀化，一圖勝百算.特別在解決實數(shù)問題時，以數(shù)軸加以直觀；在解決向量或復(fù)數(shù)問題時，以坐標加以直觀；在解決函數(shù)問題時，以圖象加以直觀；在解決方程問題時，以曲線加以直觀等.同時掌握一些常見的模型加以合理直觀化處理，能很好地解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.

例4在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A=π3，a=2，則BC邊上的中線AM長的取值范圍是.

解析設(shè)△ABC的外接圓O的半徑為R，由A=π3，a=2，利用正弦定理可得2R=asinA=433，則有R=233.

根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，如圖2所示，此時點A的軌跡是以點O為圓心的圓的優(yōu)弧BC（不包括端點B，C）.

由于A=π3，可得∠BOC=2π3.

結(jié)合R=233，可得OM=33.

數(shù)形結(jié)合可知AM≤OM+R=3，當(dāng)且僅當(dāng)AM⊥BC，即點A與圓的優(yōu)弧BC的中點D重合時等號成立.

又AM>|MC-AC|>MC=1，此時點A無限接近于端點C（或另一邊的端點B）時，但不能重合，否則構(gòu)不成三角形.

綜上分析，可得AM∈（1，3].

點評涉及解三角形問題中的線段長度的最值問題，經(jīng)常借助平面幾何圖形的直觀化策略來處理，結(jié)合動點的軌跡變化情況，數(shù)形結(jié)合，直觀分析，合理化“動”為“靜”，“動”中取“靜”，“動”“靜”結(jié)合，確定極端最值問題.

3.4 特殊化策略

合理的特殊化思維，就是數(shù)學(xué)運算中的一個重要策略，經(jīng)常取特殊數(shù)值，找特殊位置，選特殊函數(shù)（或數(shù)列），用特殊圖形，找極端位置等，以特殊化情境下所滿足的情況來分析，進行合理的一般化處理.

例5著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理.已知△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點，且AB=4，AC=2，則下列各式正確的有（ ）.

A.AG·BC=4B.AO·BC=-6

C.OH=OA+OB+OCD.AB+AC=4OM+2HM

解析取特殊△ABC，此時A=π2，如圖3所示，分別以AB，AC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系xAy.

則點A與點H重合，點M與點O重合.

可得A（0，0），B（4，0），C（0，2），M（2，1），G（43，23）.

所以AG·BC=（43，23）·（-4，2）=-4，選項A錯誤；

AO·BC=（2，1）·（-4，2）=-6，選項B正確；

OA+OB+OC=OA=OH，選項C正確；

由于AB+AC=（4，2），4OM+2HM=4（0，0）+2（2，1）=（4，2），則選項D正確.

故選BCD.

點評根據(jù)題目條件，特殊化處理，利用特殊的直角三角形構(gòu)建平面直角坐標系，利用坐標運算與數(shù)量積公式等來分析與判斷.

數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的一個展示平臺與綜合應(yīng)用，更是數(shù)學(xué)思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識等的基石.數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升一定要堅持不懈，并樹立正確的運算觀，養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣.

參考文獻：

［1］賈東承.高中數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)路徑探析[J].新課程導(dǎo)學(xué)，2019（35）：19.