摘要：小學(xué)數(shù)學(xué)中，從小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)到小數(shù)的再認(rèn)識(shí)，是從顯性知識(shí)到本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)，是一個(gè)由表及里的過(guò)程;從分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)，是從“分割者”（量）到“比較者”（率）的認(rèn)識(shí)，是一個(gè)由一至二的過(guò)程;從平均數(shù)的初步認(rèn)識(shí)到平均數(shù)的再認(rèn)識(shí)，是從長(zhǎng)處到短處的認(rèn)識(shí)，是一個(gè)由正到反的過(guò)程。討論這三個(gè)“再認(rèn)識(shí)”，除了幫助一線(xiàn)教師在教學(xué)實(shí)踐中精準(zhǔn)把握課時(shí)教學(xué)目標(biāo)之外，對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)深刻性、完整性、全面性的提升也是十分有意義的。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);小數(shù);分?jǐn)?shù);平均數(shù)

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，有三個(gè)“再認(rèn)識(shí)”：“小數(shù)的再認(rèn)識(shí)”“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”“平均數(shù)的再認(rèn)識(shí)”。所謂“再認(rèn)識(shí)”，是相對(duì)于“初步認(rèn)識(shí)”而言的。對(duì)“初步認(rèn)識(shí)”與“再認(rèn)識(shí)”的區(qū)別與界限，教師普遍覺(jué)得較難把握，教材也交代得不夠明確，已有的教學(xué)實(shí)踐及研究又各有言說(shuō)，這導(dǎo)致了一些困惑。對(duì)此，筆者想提一些自己的想法，求教于方家。

一、小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)與再認(rèn)識(shí)：由表及里

（一）小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)：顯性知識(shí)

小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)，主要是認(rèn)識(shí)小數(shù)的讀法、寫(xiě)法、各部分名稱(chēng)、大小比較。這些認(rèn)識(shí)都放在“元、角、分”或“米、分米、厘米”的語(yǔ)境里進(jìn)行，并在這個(gè)語(yǔ)境里體會(huì)人類(lèi)在度量中采用的兩種策略：（1）數(shù)不變，通過(guò)對(duì)單位的規(guī)定完成度量。如，不足1米，規(guī)定分米，得1分米;不足1分米，規(guī)定厘米，得1厘米……依此策略，用整數(shù)便可以完成對(duì)所有對(duì)象的度量。（2）單位不變，通過(guò)對(duì)數(shù)的規(guī)定完成度量。如，不足1米，規(guī)定一個(gè)比1小的數(shù)，得0.1米;不足0.1米，規(guī)定一個(gè)比0.1小的數(shù)，得0.01米……第一種策略給數(shù)學(xué)帶來(lái)了復(fù)名數(shù)，如1米5分米;第二種策略給數(shù)學(xué)帶來(lái)了單名數(shù)，如1.5米。這樣就有了復(fù)名數(shù)與單名數(shù)之間的互化。這種互化，實(shí)質(zhì)是兩種問(wèn)題解決策略之間的“穿越”。這些都是顯性的知識(shí)。

（二）小數(shù)的再認(rèn)識(shí)：本質(zhì)屬性

小數(shù)的再認(rèn)識(shí)，主要是認(rèn)識(shí)小數(shù)的本質(zhì)屬性。小數(shù)本質(zhì)上不是一類(lèi)數(shù)，而只是分母為整十、整百、整千等的分?jǐn)?shù)。所以，教材中會(huì)強(qiáng)調(diào)十分之幾是一位小數(shù)，百分之幾是兩位小數(shù)……因此，教學(xué)的關(guān)鍵是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，小數(shù)是分?jǐn)?shù)的一種方便形式，當(dāng)分?jǐn)?shù)寫(xiě)成小數(shù)后，便以十進(jìn)制為基礎(chǔ)，與整數(shù)一起形成了一個(gè)左右均可無(wú)限延伸的數(shù)位順序表。

那么，如何讓學(xué)生自然地體會(huì)到小數(shù)其實(shí)就是分?jǐn)?shù)呢？

在教學(xué)實(shí)踐中，教師經(jīng)常會(huì)通過(guò)這樣一個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)幫助學(xué)生完成小數(shù)是分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)：以“0.1”為材料，出示任務(wù)“用不同的分?jǐn)?shù)表示0.1”。由此，學(xué)生會(huì)畫(huà)出各種圖案，包括圖1，來(lái)說(shuō)明一位小數(shù)是十分之幾的分?jǐn)?shù)。

事實(shí)上，學(xué)生只有知道一位小數(shù)是十分之幾的分?jǐn)?shù)，才能畫(huà)出圖1。換句話(huà)說(shuō)，如果他們不知道一位小數(shù)是十分之幾的分?jǐn)?shù)，是畫(huà)不出圖1的。因此，利用圖1來(lái)讓學(xué)生明白一位小數(shù)是十分之幾的分?jǐn)?shù)，這個(gè)過(guò)程仔細(xì)思考是不合邏輯的。

那么，應(yīng)該怎么做呢？筆者是這樣設(shè)計(jì)的：

以圖2為材料，先闡述基本事實(shí)：“我們知道，世界上的物可分為完整的和不完整的。完整的物的數(shù)量屬性可用整數(shù)來(lái)表示，不完整的（碎的）物的數(shù)量屬性可用分?jǐn)?shù)來(lái)表示?！比缓螅寣W(xué)生思考討論問(wèn)題1：小數(shù)是用來(lái)表示完整的物的，還是不完整的物的？得到結(jié)論：小數(shù)也是用來(lái)表示不完整的物的。接著，讓學(xué)生思考討論問(wèn)題2：如果小數(shù)也是用來(lái)表示不完整的物的，那么，小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間存在怎樣的關(guān)系呢？得到結(jié)論：十分之幾為一位小數(shù)，百分之幾為兩位小數(shù)……由此，學(xué)生自然地認(rèn)識(shí)到小數(shù)作為分?jǐn)?shù)特殊形式的分?jǐn)?shù)屬性。

綜上，從小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)到小數(shù)的再認(rèn)識(shí)，是從顯性知識(shí)到本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)，是一個(gè)由表及里（由淺入深）的過(guò)程。

二、分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)與再認(rèn)識(shí)：由一至二

分?jǐn)?shù)有兩層意思：“量”的意思是一個(gè)對(duì)象數(shù)量的多少，“率”的意思是兩個(gè)（或多個(gè)）對(duì)象數(shù)量之間的關(guān)系。對(duì)于用數(shù)來(lái)表示一個(gè)量的多少與兩個(gè)量之間的關(guān)系，學(xué)生在整數(shù)的認(rèn)識(shí)中其實(shí)已經(jīng)有所體會(huì)，比如，2可以表示2個(gè)，也可以表示2倍。這種體會(huì)可以作為學(xué)生在分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)中體會(huì)“量”與“率”的基礎(chǔ)。

（一）分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)：分?jǐn)?shù)表示“量”

整數(shù)對(duì)應(yīng)著完整的物的數(shù)量屬性，分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)著不完整的物的數(shù)量屬性，而不完整的物都是由一個(gè)完整的物分解而來(lái)的。因此，分?jǐn)?shù)除了表示所對(duì)應(yīng)的不完整的物的多少外，還表示這個(gè)不完整的物是怎么得到的。也就是說(shuō)，分?jǐn)?shù)具有兩個(gè)表示意義：獲得的過(guò)程與獲得的結(jié)果。從一個(gè)完整的物中獲得不完整的物的過(guò)程，都是在一個(gè)對(duì)象的情況下完成的。因此，分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)涉及的內(nèi)容主要包括：分?jǐn)?shù)的讀法、寫(xiě)法、各部分名稱(chēng)、大小比較;用分?jǐn)?shù)表示不完整的物的多少（結(jié)果）;用分?jǐn)?shù)記錄不完整的物是如何獲得的（過(guò)程）。

為了引導(dǎo)學(xué)生完成以上學(xué)習(xí)任務(wù)，可以設(shè)計(jì)幾個(gè)基本的教學(xué)環(huán)節(jié)：（1）分?jǐn)?shù)的必要性。以表1為材料，提出問(wèn)題：對(duì)于不完整的物，整數(shù)沒(méi)有辦法表示了，怎么辦？讓學(xué)生討論。（2）分?jǐn)?shù)表示過(guò)程。以表1中的半圓（半個(gè)餅）為材料，提出問(wèn)題：半個(gè)餅是怎么得到的？讓學(xué)生通過(guò)討論，得到如圖3所示的結(jié)論。（3）分?jǐn)?shù)表示結(jié)果。以表2為材料，提出問(wèn)題：如何確定分母？如何確定分子？分?jǐn)?shù)的大小由什么決定？讓學(xué)生通過(guò)討論，得到結(jié)論：物越小，分母越大，分?jǐn)?shù)越小。

類(lèi)別物生活語(yǔ)言數(shù)字表示完整一個(gè)1不完整半個(gè)？小半個(gè)？

物生活語(yǔ)言數(shù)字表示半個(gè)12小半個(gè)131416在形成對(duì)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)之后，學(xué)生可以在“量”的支撐中理解與掌握分?jǐn)?shù)大小比較與簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)加減法。

（二）分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)：分?jǐn)?shù)表示“率”

“率”的理解，一般要從兩個(gè)獨(dú)立量之間的關(guān)系入手，再到部分量與總量之間的關(guān)系。這樣立序的原因有兩個(gè)：（1）倍的認(rèn)識(shí)是從兩個(gè)獨(dú)立量之間的關(guān)系開(kāi)始的，率的認(rèn)識(shí)對(duì)接倍的認(rèn)識(shí)是十分順暢的。（2）在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)中，量的建立是從整體分割開(kāi)始的，如果率的理解直接從部分量與總量之間的關(guān)系開(kāi)始，兩者容易糾纏不清。此外，兩個(gè)獨(dú)立量的比較，形成的是以誰(shuí)為標(biāo)準(zhǔn)且將標(biāo)準(zhǔn)視為“一個(gè)整體”的認(rèn)識(shí);部分量與總量的比較，只有在建立“一個(gè)整體”的觀念，實(shí)現(xiàn)從“一個(gè)餅”到“一個(gè)整體”的認(rèn)知跨越之后，才能更好地理解總量，完成比較。

確定這個(gè)順序之后，分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)的教學(xué)可以按照如下兩個(gè)環(huán)節(jié)展開(kāi)：

第一個(gè)環(huán)節(jié)：從兩個(gè)獨(dú)立量之間的關(guān)系認(rèn)識(shí)12。以下頁(yè)圖4為材料，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)倍的認(rèn)識(shí)，得到：把李子的個(gè)數(shù)看成一個(gè)單位（作為標(biāo)準(zhǔn)），蘋(píng)果和李子比，有2個(gè)這樣的單位，我們就說(shuō)蘋(píng)果是李子的2倍。然后，提出問(wèn)題：現(xiàn)在把蘋(píng)果的個(gè)數(shù)看成一個(gè)單位（作為標(biāo)準(zhǔn)），李子和蘋(píng)果比，是蘋(píng)果的多少？如果學(xué)生說(shuō)出“一半”，則可以追問(wèn)：一半用數(shù)來(lái)表示是多少？通過(guò)對(duì)圖4的圈畫(huà)、分割操作，引導(dǎo)學(xué)生得到結(jié)論：把蘋(píng)果的個(gè)數(shù)看成一個(gè)單位，平均分成兩份，一份是李子，因此李子是蘋(píng)果的12。最后，以下頁(yè)圖5為材料，提出問(wèn)題：蘋(píng)果和李子之間的關(guān)系可以怎么描述？引導(dǎo)學(xué)生得到結(jié)論：蘋(píng)果是李子的3倍，李是蘋(píng)果的13。

第二個(gè)環(huán)節(jié)：從部分量與總量之間的關(guān)系認(rèn)識(shí)12。依次出示圖6—圖8，讓學(xué)生完成填空：蘋(píng)果有（）個(gè)，取走（）個(gè)，取走部分占全部的（）。根據(jù)學(xué)生反饋，整理得到表3。然后，提出問(wèn)題：取走12個(gè)與取走部分占全部的12，這兩個(gè)12有什么不同？引導(dǎo)學(xué)生得到結(jié)論：前一個(gè)12對(duì)應(yīng)著半個(gè)蘋(píng)果，表示一個(gè)量的大小;后一個(gè)12可能對(duì)應(yīng)著兩個(gè)、一個(gè)或半個(gè)蘋(píng)果，表示兩個(gè)量（獨(dú)立量或部分量與總量）之間的關(guān)系。

綜上，從分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)，是從“分割者”（量）到“比較者”（率）的認(rèn)識(shí)，是一個(gè)由一至二（一個(gè)一個(gè)，避免混淆）的過(guò)程。

平均數(shù)是代表一組數(shù)水平的統(tǒng)計(jì)量。在小學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展中，選擇一個(gè)數(shù)來(lái)代表水平是自然而然發(fā)生的。其過(guò)程可以描述為以下幾個(gè)階段：（1）面對(duì)事實(shí)“A為9，B為8”，作出“9大于8，A的水平比B高（數(shù)代表水平）”的判斷。（2）面對(duì)事實(shí)“A包括9、10、11，B包括7、12、10”，作出“9+10+11比7+12+10多，A的水平比B高（和代表水平）”的判斷。（3）面對(duì)事實(shí)“A包括9、10、11，B包括7、12、10、13”，作出“A的平均數(shù)為10，B的平均數(shù)為105，B的水平比A高（平均數(shù)代表水平）”的判斷……簡(jiǎn)而言之，當(dāng)“數(shù)”不能代表水平時(shí)，我們引用了“和”;當(dāng)“和”不能代表水平時(shí)，我們引用了“平均數(shù)”;當(dāng)“平均數(shù)”不能代表水平時(shí)，我們引用了“眾數(shù)”“中位數(shù)”……因此，平均數(shù)的認(rèn)識(shí)與再認(rèn)識(shí)，對(duì)應(yīng)著平均數(shù)代表水平這件事的“能”與“不能”。

首先，平均數(shù)的初步認(rèn)識(shí)涉及的內(nèi)容主要包括：平均數(shù)作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，是能代表一組數(shù)的水平的。具體教學(xué)過(guò)程在筆者所著的《種子課2.0——如何教對(duì)數(shù)學(xué)課》一書(shū)中已有詳細(xì)闡述，這里不再展開(kāi)。

其次，平均數(shù)的再認(rèn)識(shí)涉及的內(nèi)容主要包括：平均數(shù)代表一組數(shù)水平的局限性。為此，可以設(shè)計(jì)如下基本的教學(xué)環(huán)節(jié)：（1）復(fù)習(xí)平均數(shù)代表一組數(shù)的水平。出示材料“A包括6、7、8，B包括7、10、6、9”，提出問(wèn)題：A、B誰(shuí)的水平高？學(xué)生通過(guò)計(jì)算（6+7+8）÷3=7，（7+10+6+9）÷4=8，得出結(jié)論：8>7，B的水平高。（2）質(zhì)疑：平均數(shù)真的代表一組數(shù)的水平嗎？出示材料“A包括6、6、5，B包括2、2、4、16”，提出問(wèn)題：A、B誰(shuí)的水平高？學(xué)生通過(guò)計(jì)算（6+6+5）÷3≈5.67，（2+2+4+16）÷4=6，得到結(jié)論：6>5.67，B的水平高。教師啟發(fā)學(xué)生生疑：B中的數(shù)普遍比A中的小，之所以平均數(shù)大，是因?yàn)橛幸粋€(gè)比其他數(shù)大得多的“異?！被蛘哒f(shuō)“極端”的數(shù)16，那么，由平均數(shù)真的能夠得到B的水平比A高的結(jié)論嗎？進(jìn)而展開(kāi)討論。（3）對(duì)平均數(shù)做修正。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“去掉極端數(shù)”和“引進(jìn)新的統(tǒng)計(jì)量（如眾數(shù)、中位數(shù)）”兩種策略，修正平均數(shù)的局限性。

總之，統(tǒng)計(jì)量的創(chuàng)設(shè)是為了解決問(wèn)題，每一個(gè)統(tǒng)計(jì)量在用于解決問(wèn)題的過(guò)程中，有其所長(zhǎng)，也有其所短。因?yàn)橛兴L(zhǎng)，所以要?jiǎng)?chuàng)設(shè)它;因?yàn)橛兴?，所以要改善它（包括引進(jìn)新的統(tǒng)計(jì)量）。這是十分重要的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程。由此可見(jiàn)，從平均數(shù)的初步認(rèn)識(shí)到平均數(shù)的再認(rèn)識(shí)，是從長(zhǎng)處到短處的認(rèn)識(shí)，是一個(gè)由正到反的過(guò)程。

四、反思三個(gè)“再認(rèn)識(shí)”：關(guān)注育人價(jià)值

為什么要有“再認(rèn)識(shí)”？“再認(rèn)識(shí)”一定是基于“初步認(rèn)識(shí)”沒(méi)有達(dá)成的目標(biāo)而設(shè)置的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。

為什么小學(xué)數(shù)學(xué)中的“再認(rèn)識(shí)”只有小數(shù)、分?jǐn)?shù)和平均數(shù)？因?yàn)橛械母拍钜淮伪阏J(rèn)識(shí)到位了，而小數(shù)、分?jǐn)?shù)、平均數(shù)的內(nèi)涵比較豐厚，對(duì)其的認(rèn)識(shí)一節(jié)課無(wú)法完成，便安排了“再認(rèn)識(shí)”。實(shí)際上，小學(xué)數(shù)學(xué)中認(rèn)識(shí)最久的應(yīng)該是整數(shù)，即整數(shù)可不只是“再認(rèn)識(shí)”而已。

討論上述三個(gè)“再認(rèn)識(shí)”的意義是什么？主要有兩個(gè)：（1）幫助一線(xiàn)教師在教學(xué)實(shí)踐中精準(zhǔn)把握課時(shí)教學(xué)目標(biāo)，避免將“初步認(rèn)識(shí)”與“再認(rèn)識(shí)”混成一鍋粥，什么都講了，什么都沒(méi)講好。（2）帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真完成這三個(gè)“再認(rèn)識(shí)”，對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)能力的提升是十分有意義的。這三個(gè)“再認(rèn)識(shí)”代表了人類(lèi)認(rèn)識(shí)世界的三種基本樣式：由表及里，有了認(rèn)識(shí)的深刻性;由一至二，有了認(rèn)識(shí)的完整性;由正到反，有了認(rèn)識(shí)的全面性。帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷這樣三個(gè)認(rèn)識(shí)過(guò)程，學(xué)生的心智成長(zhǎng)就會(huì)受到重要影響：因?yàn)樯羁蹋圆粫?huì)淺嘗輒止;因?yàn)橥暾?，所以不?huì)目光短淺;因?yàn)槿妫圆粫?huì)以偏概全。

因?yàn)橐陨纤伎迹l(fā)感覺(jué)到數(shù)學(xué)之美麗、數(shù)學(xué)教師之重要。學(xué)生的培養(yǎng)不是掛在嘴上的口號(hào)，而是上好一節(jié)一節(jié)課的功夫。

參考文獻(xiàn)：

[1] 俞正強(qiáng).種子課20——如何教對(duì)數(shù)學(xué)課[M].北京：教育科學(xué)出版社，2020.