吳濤

摘? 要：整體關(guān)聯(lián)性是單元教學(xué)設(shè)計(jì)的主要特征. 以“多邊形外角和”單元教學(xué)設(shè)計(jì)為例，從整體關(guān)聯(lián)視角出發(fā)整合教材內(nèi)容，以知識(shí)關(guān)聯(lián)為內(nèi)容，以方法關(guān)聯(lián)為紐帶，以邏輯關(guān)聯(lián)為支柱，引導(dǎo)學(xué)生形成由特殊到一般的探究幾何圖形的方法.

關(guān)鍵詞：整體關(guān)聯(lián);單元教學(xué)設(shè)計(jì);外角和

一、前言

數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)是在整體思維指導(dǎo)下，以提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目的，通過對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行一定的重組和優(yōu)化，以突出數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線及知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性. 整體關(guān)聯(lián)性是單元教學(xué)設(shè)計(jì)的主要特征，意圖通過尋找數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的整體關(guān)聯(lián)，設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，打破傳統(tǒng)課堂中課時(shí)與課時(shí)之間的隔閡，不再拘泥于教材中每節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，而是以一個(gè)更加廣闊的視角，循著教學(xué)思路，以知識(shí)關(guān)聯(lián)為基礎(chǔ)，以方法關(guān)聯(lián)為紐帶，以邏輯關(guān)聯(lián)為支柱，進(jìn)而形成一個(gè)“整體”. 引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)探索過程中暴露數(shù)學(xué)思維的生長過程，遷移數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的成果，從而厚植數(shù)學(xué)理性精神的文化.

二、單元教學(xué)設(shè)計(jì)的課堂教學(xué)實(shí)踐

1. 知識(shí)關(guān)聯(lián)是單元教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)

知識(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容，知識(shí)關(guān)聯(lián)是單元教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，知識(shí)關(guān)聯(lián)意在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)通過對(duì)照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）分析教材，尋找知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，從上位、下位、并列關(guān)系出發(fā)，將碎片化的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行模塊式整合，有助于從整體上把握教學(xué)內(nèi)容，確保知識(shí)結(jié)構(gòu)的完整性，明確單元內(nèi)容在《標(biāo)準(zhǔn)》以及整個(gè)學(xué)段中的定位與要求，以期形成一個(gè)整體. 相較于其他學(xué)科而言，數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部之間的關(guān)聯(lián)更加緊密，學(xué)習(xí)新知識(shí)的過程就是學(xué)習(xí)者積極主動(dòng)地從自己已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取與新知識(shí)最有聯(lián)系的舊知識(shí)，并且加以“固定”或者“歸屬”的一種動(dòng)態(tài)過程，過程的結(jié)果導(dǎo)致原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷地分化和整合，從而使得學(xué)習(xí)者能夠獲得新知識(shí)或者清晰穩(wěn)定的意識(shí)經(jīng)驗(yàn).

以本節(jié)課為例，從大框架而言是學(xué)生對(duì)圖象性質(zhì)的探索，再逐步具體到三角形與多邊形的角的性質(zhì)，如圖1所示.

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前已經(jīng)對(duì)三角形的內(nèi)角和、多邊形的內(nèi)角和進(jìn)行探索，感受到三角形與多邊形之間的聯(lián)系，所以本節(jié)課在設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容時(shí)，打破原有的課時(shí)安排，整合三角形的外角和與多邊形的外角和的內(nèi)容. 整體思路設(shè)計(jì)為先對(duì)三角形的外角和進(jìn)行研究，再一般化對(duì)多邊形的外角和進(jìn)行研究，形成從特殊到一般、從簡單圖形到復(fù)雜圖形的基本研究“套路”.

環(huán)節(jié)1：

問題1：多邊形有內(nèi)角，是否也有外角呢？你認(rèn)為什么是多邊形的外角？

追問1：能否到黑板前畫出圖2的一個(gè)外角？

追問2：對(duì)于多邊形的外角可以進(jìn)行哪些方面的研究？

多邊形外角和的概念：在每個(gè)頂點(diǎn)處分別取多邊形的一個(gè)外角，這些外角的和叫做這個(gè)多邊形的外角和.

追問3：類比多邊形的內(nèi)角和的研究，你打算如何研究多邊形的外角和？

【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，由多邊形的內(nèi)角的概念引出多邊形的外角、外角和的概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體現(xiàn)研究的必要性. 同時(shí)，在本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，筆者意在從教學(xué)的初始階段建立數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部間的聯(lián)系，一改傳統(tǒng)的直接拋出三角形，改為研究一個(gè)更加一般的n邊形，增強(qiáng)問題的統(tǒng)攝性，引導(dǎo)學(xué)生建立由特殊到一般、由簡單圖形到復(fù)雜圖形的研究路徑，形成學(xué)生研究圖形的基本“套路”.

2. 方法關(guān)聯(lián)是單元教學(xué)設(shè)計(jì)的紐帶

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的本質(zhì)所在. 方法關(guān)聯(lián)是單元教學(xué)設(shè)計(jì)的紐帶，意在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)凝練思想方法，尋找關(guān)聯(lián)教學(xué)內(nèi)容之間的方法，進(jìn)而在關(guān)聯(lián)教學(xué)內(nèi)容中不斷滲透思想方法. 一方面，由于關(guān)聯(lián)教學(xué)內(nèi)容在知識(shí)的關(guān)聯(lián)性方面決定了其思想方法也存在著一致性;另一方面，由于數(shù)學(xué)思想方法的抽象性特征相較于知識(shí)更加復(fù)雜，學(xué)生難以通過一節(jié)課形成思想方法，所以筆者試圖在關(guān)聯(lián)教學(xué)內(nèi)容上不斷滲透思想方法，進(jìn)行“強(qiáng)化”，以期提升學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

以本節(jié)課為例，學(xué)生在探索三角形、多邊形的內(nèi)角和時(shí)，從操作層面上看，從條件出發(fā)，需要將不共頂點(diǎn)的角“轉(zhuǎn)移”到“共頂點(diǎn)”的角，即構(gòu)造平行線，從而實(shí)現(xiàn)角的“相加”，從結(jié)論出發(fā)，學(xué)生需要對(duì)180°進(jìn)行聯(lián)想，由180°你能想到什么，即平角、同旁內(nèi)角等. 從思想層面上看，在研究多邊形的內(nèi)角和時(shí)，可以從直接和間接兩個(gè)思路出發(fā)：直接路徑，即類比研究，“轉(zhuǎn)移”角，是對(duì)三角形內(nèi)角和的探索過程的鞏固;間接路徑，即轉(zhuǎn)化研究，將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，是對(duì)三角形內(nèi)角和的結(jié)論的鞏固. 可以看出，這一思想方法與即將研究的三角形、多邊形的外角和是一致的，所以有必要利用好這一教育資源進(jìn)行整合，滲透思想方法.

環(huán)節(jié)2：

問題2：從研究三角形開始，如圖3，通過實(shí)驗(yàn)操作，度量三角形的外角和，你有什么發(fā)現(xiàn)？證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

學(xué)生獨(dú)立探索，教師巡視，讓有一定探索成果的學(xué)生陸續(xù)上黑板演示，將不同方法的簡要過程寫到黑板上，并要求學(xué)生再思考是否還有其他的方法.

追問1：類比三角形內(nèi)角和的證明，你打算如何證明三角形的外角和？

追問2：從條件出發(fā)，如何將不共頂點(diǎn)的角轉(zhuǎn)化成共頂點(diǎn)的角？

追問3：從結(jié)論出發(fā)，根據(jù)360°，你能想到什么？你還能想到什么？

學(xué)生生成如下.

（1） 如圖3，因?yàn)椤? + ∠BAC = 180°，

∠2 + ∠ACB = 180°，

∠3 + ∠ABC = 180°，

又因?yàn)椤螧AC + ∠ACB + ∠ABC = 180°，

所以∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° × 3 - 180° = 360°.

（2） 如圖4，過點(diǎn)A作AD∥BC，

則 ∠3 =? ∠DAE，∠2 =? ∠DAC.

所以∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠1 + ∠DAE + ∠DAC = 360°.

（3）如圖5，取點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC，分別交BC，AC，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn).

∠2 = ∠HDB = ∠DPF，

∠3 = ∠JFA = ∠FPE.

所以∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠EPD + ∠DPF + ∠FPE = 360°.

（4）如圖6，連接DE，EF，DF.

因?yàn)椤? + ∠ADE + ∠DEA = 180°，

∠2 + ∠CEF + ∠EFC = 180°，

∠3 + ∠BFD + ∠FDB = 180°，

而∠ADE + ∠DEA + ∠CEF + ∠EFC + ∠BFD + ∠FDB = 180°，

所以∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° × 3 - 180° = 360°.

【設(shè)計(jì)意圖】筆者在環(huán)節(jié)2中通過類比三角形的內(nèi)角和的探索過程，引導(dǎo)學(xué)生探索三角形的外角和. 通過問題2的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷操作、猜想，證明完整的探索過程. 同時(shí)，在教學(xué)策略上，筆者采用“讓學(xué)生陸續(xù)上黑板演示”，即學(xué)生獨(dú)立探索證明方法，教師巡視，并讓一部分學(xué)生上黑板寫出簡要過程. 這樣的好處在于：一方面，沒有思路的學(xué)生觀察其他學(xué)生的操作啟發(fā)思考;另一方面，倒逼已經(jīng)完成的學(xué)生再繼續(xù)思考還有沒有其他方法. 這里的追問1、追問2、追問3是在學(xué)生獨(dú)立探索的過程中觀察學(xué)生的情況做的一些提示，留給學(xué)生充足的探索時(shí)間，以激發(fā)所有學(xué)生的思考. 待學(xué)生的想法都得以呈現(xiàn)后，教師進(jìn)行總結(jié)、歸納，即“根據(jù)360°，你能想到什么？”可以聯(lián)想到周角或180° × 2，由180°可以聯(lián)想到平角、同旁內(nèi)角、三角形內(nèi)角和等，在總結(jié)、歸納中，再次勾連三角形內(nèi)角和的證明方法. 本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的問題是“一般觀念”下的一般問題，以期形成學(xué)生在解決問題時(shí)的元認(rèn)知能力.

3. 邏輯關(guān)聯(lián)是單元教學(xué)設(shè)計(jì)的支柱

邏輯是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ). 邏輯關(guān)聯(lián)是單元教學(xué)設(shè)計(jì)的支柱，為單元教學(xué)設(shè)計(jì)提供了可行性的條件. 筆者認(rèn)為，缺少了邏輯關(guān)聯(lián)的單元教學(xué)設(shè)計(jì)就會(huì)演變成數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的堆砌，立足于邏輯關(guān)聯(lián)的單元教學(xué)設(shè)計(jì)可以實(shí)現(xiàn)“1 + 1 > 2”的效果. 誠然，教材在編寫過程中本身遵循了一定的邏輯，但因?yàn)槭艿浇滩木帉懙榷喾矫娴囊?，教師在教學(xué)過程中不能被教材所左右，而應(yīng)該在遵循邏輯關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地使用教材. 以本節(jié)課為例，蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）七年級(jí)下冊第七章第五節(jié)在第1課時(shí)中探究了三角形的外角和，在第2課時(shí)中探究了多邊形的外角和. 在實(shí)際授課時(shí)，筆者將三角形的外角和與多邊形的外角和內(nèi)容進(jìn)行整合，凸顯由特殊到一般的基本邏輯，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的探索過程，意在打破原有的知識(shí)點(diǎn)逐個(gè)地了解、識(shí)記、理解，轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注學(xué)生運(yùn)用知識(shí)做事、持續(xù)地做事、正確地做事，強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)從理解到應(yīng)用，重視知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)結(jié)及其運(yùn)用.

環(huán)節(jié)3：

問題3：類比三角形外角和的探索，能否探索n邊形的外角和？

追問1：能否猜想n邊形的外角和的度數(shù)？操作驗(yàn)證你的猜想.

追問2：能否證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論？

問題4：如圖7，五邊形紙片ABCDE剪去一個(gè)角，得到幾邊形？此時(shí)，多邊形的外角和有什么變化？

追問：能否用所學(xué)知識(shí)說明多邊形的外角和與多邊形的邊數(shù)無關(guān)？

【設(shè)計(jì)意圖】在環(huán)節(jié)3中，問題3是遵循由特殊到一般的邏輯，筆者引導(dǎo)學(xué)生類比三角形的外角和的探索過程，探索多邊形的外角和，環(huán)環(huán)相扣，遷移活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的成果，以期形成學(xué)生探索問題的一般思路. 設(shè)計(jì)問題4，需要學(xué)生分情況進(jìn)行討論，同時(shí)設(shè)置追問，引導(dǎo)學(xué)生在問題4的啟發(fā)下從數(shù)和形兩個(gè)角度出發(fā)，發(fā)現(xiàn)“多邊形的外角和與多邊形的邊數(shù)無關(guān)”. 從數(shù)的角度來看，可以利用公式計(jì)算，即180° × n - （n - 2） × 180° = 360°，n在計(jì)算過程中被消去，所以與邊數(shù)無關(guān);從形的角度來看，以五邊形為例，五邊形剪去一個(gè)角可能形成六邊形、五邊形、四邊形，出現(xiàn)如圖8所示的三種情況.

（1）如圖8（1），當(dāng)五邊形剪去一個(gè)角形成六邊形時(shí)，從外角出發(fā)，減少∠1，增加∠2，∠3，因?yàn)椤? = ∠FGB，∠1 = ∠2 + ∠FGB，所以∠1 = ∠2 + ∠3. 所以多邊形外角和不變.

（2）如圖8（2），當(dāng)五邊形剪去一個(gè)角形成五邊形時(shí)，此時(shí)仍為五邊形，從外角出發(fā)，減少∠1，∠BCG變成∠FCG，增加了∠2，∠3，同理可證∠1 = ∠2 + ∠3. 所以多邊形外角和不變.

（3）如圖8（3），當(dāng)五邊形剪去一個(gè)角形成四邊形時(shí)，從外角出發(fā)，減少∠1，∠BCF變成∠ACF，增加了∠2，∠EAH變成了∠EAG，增加了∠3，同理可證∠1 = ∠2 + ∠3. 所以多邊形外角和不變.

問題4的設(shè)計(jì)，意圖從數(shù)、形兩個(gè)角度出發(fā)利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)說明多邊形的外角和不隨邊數(shù)的變化而變化.

三、單元教學(xué)設(shè)計(jì)的反思與啟示

1. 活用教材建整體

初中數(shù)學(xué)教學(xué)不能只以知識(shí)傳授為目的，更應(yīng)該著力于提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科能力，課程改革要求教師樹立“用教材教”而不是“教教材”的教育理念. 教材受編寫要求的限制，往往以知識(shí)點(diǎn)為序列進(jìn)行編寫，但教師應(yīng)正確厘清教師與教材之間的關(guān)系，深入挖掘教材內(nèi)容的本質(zhì)，理解、貫徹教材的內(nèi)在精神. 例如，教材七年級(jí)下冊第七章第五節(jié)編寫的“多邊形的外角和與內(nèi)角和”分為4課時(shí)內(nèi)容，第1課時(shí)探究三角形的內(nèi)角和，第2課時(shí)探究多邊形的內(nèi)角和，第3課時(shí)探究三角形的外角和，第4課時(shí)探究多邊形的外角和. 這樣的安排符合教材編寫的基本邏輯，以逐個(gè)知識(shí)點(diǎn)為序列進(jìn)行編寫. 但在實(shí)際教學(xué)過程中，如果只以“了解”“識(shí)記”“理解”為目標(biāo)，難以建構(gòu)知識(shí)之間的聯(lián)系形成整體. 在實(shí)際授課時(shí)，筆者整合教材內(nèi)容，突出從特殊到一般的研究思路，將探究內(nèi)容整合在兩課時(shí)中，分別為探究多邊形的內(nèi)角和、探究多邊形的外角和，每節(jié)課遵循由三角形到多邊形的探究思路，這樣的探究方法將一以貫之地出現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，形成具有統(tǒng)攝性的“一般觀念”.

2. 學(xué)思結(jié)合尋關(guān)聯(lián)

以知識(shí)關(guān)聯(lián)為內(nèi)容，以方法關(guān)聯(lián)為紐帶，以邏輯關(guān)聯(lián)為支柱，以期突出教學(xué)內(nèi)容的主線. 筆者認(rèn)為單元教學(xué)設(shè)計(jì)不是將關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)整合在一起，這樣的整合只有其“表”，不但加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，也對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)難有實(shí)質(zhì)性的幫助. 理想的單元教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)從“知識(shí)”“方法”“邏輯”三個(gè)維度出發(fā)，在整體思維指導(dǎo)下，從提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，對(duì)相關(guān)教材內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)籌重組和優(yōu)化. 以“多邊形的外角和”為例，從知識(shí)上來看，多邊形是三角形的上位概念，多邊形的外角和是三角形的外角和的一般化結(jié)論;從方法上來看，探究三角形的外角和可以從三角形的內(nèi)角和出發(fā)，也可以通過構(gòu)造平行線將不共頂點(diǎn)的角轉(zhuǎn)移到一起，轉(zhuǎn)化為周角，多邊形的外角和可以沿用相同的思路進(jìn)行探究，同時(shí)從“數(shù)”“形”角度說明多邊形的外角和不隨邊數(shù)的變化而變化，又沿用了上一課時(shí)探究的結(jié)論，體現(xiàn)了課時(shí)與課時(shí)之間的聯(lián)系;從邏輯上來看，遵循研究某個(gè)幾何圖形往往從最簡單的圖形研究的一般邏輯，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

3. 以人為本促成長

從“以知識(shí)為本”到“以人為本”，“以人為本”是應(yīng)樹立的教學(xué)觀念. 米山國藏在其名著《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》中指出：學(xué)生在初中、高中等階段接受的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)進(jìn)入社會(huì)后幾乎沒有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，所以通常是出校門后不到兩年，很快就忘掉了. 然后，不管他們從事什么行業(yè)的工作，唯有深深地銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等卻隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使他們受益終身. 單元整體設(shè)計(jì)正是秉持著這一觀念. 以本節(jié)課為例，從整體上來看，環(huán)節(jié)1從一個(gè)大問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)設(shè)計(jì)探究路徑，樹立了研究平面幾何圖形的“一般觀念”;從局部來看，環(huán)節(jié)2類比三角形的內(nèi)角和的探索過程探索三角形的外角和，突出類比的數(shù)學(xué)思想，創(chuàng)設(shè)學(xué)生充分討論交流的時(shí)間和空間，引導(dǎo)學(xué)生多方法、多角度、多層次的理性思考的發(fā)生. 環(huán)節(jié)3回歸到本節(jié)課的主旨問題上來，從“數(shù)”“形”兩個(gè)角度出發(fā)說明結(jié)論的正確性. 可以看出，每個(gè)環(huán)節(jié)之間環(huán)環(huán)相扣，都試圖促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

綜上，單元教學(xué)設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，順應(yīng)時(shí)代的發(fā)展需求. 但不可否認(rèn)，還有很多問題亟待解決，這將是筆者繼續(xù)努力的方向.

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