諸士金

摘? 要：“綜合與實(shí)踐”的題目可以考查學(xué)生所積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)是評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要和有效載體. 文章從關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的綜合、數(shù)學(xué)文化與知識(shí)的結(jié)合、數(shù)學(xué)思維與實(shí)驗(yàn)的融合、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系和數(shù)學(xué)與社會(huì)生活的聯(lián)系五個(gè)方面梳理了2021年各地“綜合與實(shí)踐”的典型中考試題，嘗試解讀了試題的命制意圖，并對(duì)2022年“綜合與實(shí)踐”中考復(fù)習(xí)提出適當(dāng)建議.

關(guān)鍵詞：綜合與實(shí)踐;命題分析;核心素養(yǎng)

一、內(nèi)容分析

2021年全國(guó)各地中考試題中“綜合與實(shí)踐”的考查內(nèi)容和題型在延續(xù)往年試題風(fēng)格的同時(shí)，稍有創(chuàng)新. 這里的創(chuàng)新源于近年來(lái)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的理念滲透，也源于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）即將修訂的各種解讀. 從評(píng)價(jià)的角度來(lái)看，信度與效度較好的“綜合與實(shí)踐”的題目可以考查學(xué)生所積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)是評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要和有效載體. 有利于引導(dǎo)一線教學(xué)導(dǎo)向不唯題做題，而要實(shí)實(shí)在在地開(kāi)展以理解教學(xué)為基礎(chǔ)、以理解學(xué)生為主體、以理解數(shù)學(xué)為本質(zhì)的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng). 讓學(xué)生親歷實(shí)踐、探究、體驗(yàn)、反思、合作、交流等學(xué)習(xí)過(guò)程，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科和跨學(xué)科的知識(shí)與方法解決現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

2021年各地“綜合與實(shí)踐”的中考試題突出關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的綜合、數(shù)學(xué)文化與知識(shí)的結(jié)合、數(shù)學(xué)思維與實(shí)驗(yàn)的融合、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)與社會(huì)生活的聯(lián)系. 綜合考查了學(xué)生的直觀想象與數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析這六個(gè)方面的核心素養(yǎng). 下面結(jié)合部分試題從考查內(nèi)容的角度進(jìn)行分類，對(duì)“綜合與實(shí)踐”與核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)的立意進(jìn)行分析.

二、命題思路分析

1. 關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)與方法綜合的考查

從概念到判定，從判定到性質(zhì)，從性質(zhì)到應(yīng)用，數(shù)學(xué)知識(shí)之間有著知識(shí)結(jié)構(gòu)前后一致、思想方法邏輯連貫的特征. 因此，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是一種學(xué)生在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上主動(dòng)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，并重新建構(gòu)形成新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程. 因此，對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法上的學(xué)習(xí)效果和建構(gòu)的認(rèn)知程度的評(píng)價(jià)需要設(shè)置結(jié)構(gòu)優(yōu)良、信度與效度較好的綜合試題. 2021年的中考試題中這樣的試題秉承了以往的特色，或以代數(shù)為主綜合考查數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)運(yùn)算和建模能力;或以幾何為主綜合考查幾何直觀、空間觀念和推理能力. 在數(shù)學(xué)內(nèi)部從“式”結(jié)構(gòu)到“形”結(jié)構(gòu)，從歸納到推理，從特殊到一般，突出考查分類與模型、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想與創(chuàng)新意識(shí).

（1）以代數(shù)知識(shí)為主考查數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

例1 （江蘇·南通卷）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”. 例如，點(diǎn)（1，1）是函數(shù)[y=12x+12]的圖象的“等值點(diǎn)”.

（1）分別判斷函數(shù)y = x + 2，y = x2 - x的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo);如果不存在，說(shuō)明理由.

（2）設(shè)函數(shù)[y=3x]（x > 0），y = -x + b的圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥Ox，垂足為點(diǎn)C. 當(dāng)△ABC的面積為3時(shí)，求b的值.

（3）若函數(shù)y = x2 - 2（x ≥ m）的圖象記為W1，將其沿直線x = m翻折后的圖象記為W2. 當(dāng)W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，直接寫(xiě)出m的取值范圍.

【評(píng)析】命題者從所熟悉的一次函數(shù)出發(fā)，關(guān)注到函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)“等值點(diǎn)”，并由具體的一次函數(shù)[y=12x+12]上的等值點(diǎn)聯(lián)想到其他函數(shù)是否存在這樣的等值點(diǎn). 因此，所設(shè)計(jì)的問(wèn)題涵蓋了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù). 概念的理解是為了明確研究對(duì)象，在明確研究對(duì)象的基礎(chǔ)上，命題者從概念出發(fā)設(shè)置問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)等值點(diǎn)的深度理解. 在第（2）小題中探究反比例函數(shù)和一次函數(shù)的等值點(diǎn)的關(guān)系. 在第（3）小題中研究二次函數(shù)的等值點(diǎn)的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象變化之間的關(guān)系，皆是對(duì)這一概念外延的相關(guān)知識(shí)的考查. 該題立意開(kāi)闊，呈現(xiàn)簡(jiǎn)潔，以一聯(lián)三，從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合，自然而然.

（2）以幾何知識(shí)為主考查幾何直觀、空間觀念.

例2 （江蘇·南京卷）如圖1，正方形紙板的一條對(duì)角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作一個(gè)點(diǎn)）與這條對(duì)角線所確定的平面垂直于紙板. 在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是

（? ? ）.

【評(píng)析】此題綜合考查了特殊四邊形的性質(zhì)、中心投影的相關(guān)知識(shí)，關(guān)注幾何直觀和空間觀念. 試題從“投影”中取材，結(jié)合四邊形的相關(guān)性質(zhì)成題，背景熟悉而公平，豐富而簡(jiǎn)潔. 試題四個(gè)選項(xiàng)的設(shè)計(jì)各有特色：A是基于原題中燈光照射對(duì)象本身的形狀而呈現(xiàn);B是基于所給平面視角下的正方形紙板的形狀而呈現(xiàn);C是基于正方形與菱形的關(guān)系，在“可能”處選擇菱形而呈現(xiàn).

例3 （江蘇·南京卷）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？

（1）如圖2（1），圓錐的母線長(zhǎng)為12 cm，B為母線OC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在底面圓周上，[AC]的長(zhǎng)為4π cm. 在如圖2（2）所示的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中畫(huà)出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑，并標(biāo)出它的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）.

（2）圖3（1）中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成. O是圓錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)A在圓柱的底面圓周上. 設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，圓柱的高為h.

① 螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長(zhǎng)為

（用含l，h的代數(shù)式表示）.

② 設(shè)[AD]的長(zhǎng)為a，點(diǎn)B在母線OC上，OB = b. 圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖3（2）所示，在圖中畫(huà)出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑的示意圖，并寫(xiě)出求最短路徑的長(zhǎng)的思路.

【評(píng)析】此題綜合考查了圓柱和圓錐的展開(kāi)與折疊、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)和方程思想等相關(guān)知識(shí). 關(guān)注直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)，需要學(xué)生先通過(guò)想象大致感知最短的狀態(tài). 其中，寫(xiě)思路來(lái)描述思維過(guò)程的呈現(xiàn)方式獨(dú)具一格，目的是跳出機(jī)械的運(yùn)算，重點(diǎn)關(guān)注思維的方向和路徑. 題目的三道小題之間有一定的層次性. 第（1）小題是圓錐上的最短路徑，第（2）小題是特殊化點(diǎn)B的位置. 這兩道小題都是第（3）小題的特殊情況. 而學(xué)生解答第（3）小題時(shí)有困難，但解題思路一脈相承，將立體圖形的“最短”轉(zhuǎn)化為平面圖形的“最短”，通過(guò)讓學(xué)生畫(huà)圖、寫(xiě)思路，更好地保證試卷的信度和效度.

（3）綜合代數(shù)幾何考查分類討論、數(shù)形結(jié)合.

例4 （江蘇·蘇州卷）如圖4，線段AB = 10，點(diǎn)C，D在AB上，AC = BD = 1. 已知點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著AB向點(diǎn)D移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D后停止移動(dòng). 在點(diǎn)P的移動(dòng)過(guò)程中，做如下操作：先以點(diǎn)P為圓心，PA，PB的長(zhǎng)為半徑分別作兩個(gè)圓心角均為60°的扇形，再將兩個(gè)扇形分別圍成兩個(gè)圓錐的側(cè)面，設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒），兩個(gè)圓錐的底面面積之和為S，則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致是（ ? ）.

【評(píng)析】此題是動(dòng)點(diǎn)圖象問(wèn)題，綜合考查扇形、圓錐及函數(shù)的相關(guān)知識(shí). 題目呈現(xiàn)輕巧，由點(diǎn)動(dòng)到線動(dòng)，由線動(dòng)到形變，關(guān)注數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)模型思想. 在這一變化中，可研究的變量眾多，命題者則是選擇了圓錐的底面積之和與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的關(guān)系進(jìn)行研究. 一方面，是考查知識(shí)的覆蓋面所需;另一方面，也是由變量之間關(guān)系式的可表達(dá)而定.

例5 （江蘇·常州卷）【閱讀】

通過(guò)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對(duì)線段長(zhǎng)度、圖形面積大小等進(jìn)行比較，直觀地得到一些不等關(guān)系或最值，這是數(shù)形結(jié)合思想的典型應(yīng)用.

【理解】

（1）如圖5（1），AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分別為點(diǎn)C，D，E是AB的中點(diǎn)，連接CE. 已知AD = a，BD = b（0 < a < b）.

① 分別求線段CE，CD的長(zhǎng)（用含a，b的代數(shù)式表示）;

②比較大?。篊E? ? CD（填“<”“=”或“>”），并用含a，b的代數(shù)式表示該大小關(guān)系.

【應(yīng)用】

（2）如圖5（2），在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M，N在反比例函數(shù)[y=1x]（x > 0）的圖象上，橫坐標(biāo)分別為m，n. 設(shè)p = m + n，[q=1m+1n]，記l =[14]pq.

① 當(dāng)m = 1，n = 2時(shí)，l = ? ? ;當(dāng)m = 3，n = 3時(shí)，l = ? ? .

② 通過(guò)歸納猜想，可得l的最小值是 ? ? . 試?yán)脠D5（2）構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，并說(shuō)明你的猜想成立.

【評(píng)析】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，綜合考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí). 命題者從“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”進(jìn)行立意，以閱讀理解的形式呈現(xiàn)問(wèn)題，直指“數(shù)形結(jié)合”，從簡(jiǎn)入繁，從三角形中特殊線段長(zhǎng)度的研究到反比例函數(shù)k的幾何意義的理解，從歸納猜想到驗(yàn)證說(shuō)理，將以數(shù)定形、以形助數(shù)的價(jià)值凸顯出來(lái)，關(guān)注到直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查.

2. 關(guān)注數(shù)學(xué)文化與知識(shí)結(jié)合的考查

在近年來(lái)的各地中考試題中，出現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)文化融入評(píng)價(jià)中的導(dǎo)向，這一嘗試促使數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更具開(kāi)闊的視野，凸顯了數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值. 在具體的試題命制中呈現(xiàn)的特色主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：與數(shù)學(xué)趣味素材相結(jié)合、與數(shù)學(xué)史相結(jié)合. 這些試題對(duì)命題的要求極高，命題者既要關(guān)注到素材的公平性，保障試題的信度，又要關(guān)注到素材的取舍和處理，體現(xiàn)較好的效度. 因此，多數(shù)試題的嘗試還有待進(jìn)一步研究和創(chuàng)新.

例6 （貴州·安順卷）（1）閱讀理解.

我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中. 漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖6（1）所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”.

根據(jù)“趙爽弦圖”寫(xiě)出勾股定理和推理過(guò)程.

（2）問(wèn)題解決.

勾股定理的證明方法有很多，圖6（2）是古代的一種證明方法：過(guò)正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，將它分成4份，所分成的四部分和以BC為邊的正方形恰好能拼成以AB為邊的正方形. 若AC = 12，BC = 5，求EF的值.

（3）拓展探究.

如圖6（3），以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程就可以得到“勾股樹(shù)”的部分圖形. 設(shè)大正方形N的邊長(zhǎng)為定值n，小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d.

已知∠1 = ∠2 = ∠3 = α，當(dāng)角α（0° < α < 90°）變化時(shí)，探究b與c的關(guān)系式，并寫(xiě)出該關(guān)系式及解答過(guò)程（b與c的關(guān)系式用含n的式子表示）.

【評(píng)析】此題從“趙爽弦圖”出發(fā)，綜合考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理的證明、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí). 需要學(xué)生先明白根據(jù)“趙爽弦圖”推理勾股定理的方法，再以此為基礎(chǔ)進(jìn)行拓展探究. 這里的拓展探究體現(xiàn)命題者對(duì)“勾股樹(shù)”特征研究的獨(dú)特見(jiàn)解，將相似三角形的知識(shí)藏于其中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)c + b = n這樣的規(guī)律，彰顯了數(shù)學(xué)文化的影響力. 此題關(guān)注了對(duì)學(xué)生幾何直觀、空間觀念和邏輯推理能力的考查.

3. 關(guān)注數(shù)學(xué)思維與實(shí)驗(yàn)融合的考查

基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行評(píng)價(jià)一直是“綜合與實(shí)踐”考查的主要方式. 試題呈現(xiàn)往往需要學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、探索、驗(yàn)證、反思來(lái)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的過(guò)程. 既注重外顯的操作表達(dá)，更注重頭腦中的內(nèi)隱認(rèn)知、思想領(lǐng)悟和意義建構(gòu). 這些試題的特征大體以幾何素材為背景，需要學(xué)生運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等認(rèn)識(shí)圖形，并探索圖形的性質(zhì)，確定圖形的形狀、大小和位置關(guān)系. 常常以剪拼、折疊及旋轉(zhuǎn)等變化方式呈現(xiàn).

例7 （山東·威海卷）如圖7，先將矩形紙片ABCD沿EF折疊（邊AB與DE在CF的異側(cè)），AE交CF于點(diǎn)G;再將紙片折疊，使CG與AE在同一條直線上，折痕為GH. 若∠AEF = α，紙片寬AB = 2 cm，則HE = ? ? ? ? .

【評(píng)析】此題是常見(jiàn)的折紙問(wèn)題，綜合考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，需要學(xué)生在感知圖形變化中確定研究對(duì)象. 命題者將折疊的紙片從一次折疊突破到二次折疊，是折紙問(wèn)題的延伸. 兩次折疊后的要求是“使CG與AE在同一條直線上”，這里給予了問(wèn)題建構(gòu)的空間. 命題者在這一特定要求下賦予角度和線段長(zhǎng)度，引出關(guān)于HE長(zhǎng)度與∠AEF角度關(guān)系的思考. 這里采用α表示，并沒(méi)有給出具體度數(shù)，避免特殊角度影響試題的效度，更體現(xiàn)了這個(gè)角度與HE長(zhǎng)度的一般關(guān)系. 此題關(guān)注了幾何直觀、空間觀念和邏輯推理能力的考查.

例8 （黑龍江·齊齊哈爾卷）數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式，通過(guò)活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手、動(dòng)腦能力，拓展思維空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)，讓我們一起動(dòng)手來(lái)折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂(lè)趣.

折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，AD都落在對(duì)角線AC上，展開(kāi)得折痕AE，AF，連接EF，如圖8所示.

（1）∠EAF = ? ? ? ，寫(xiě)出圖中兩個(gè)等腰三角形 ? ? （不需要添加字母）.

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖8中的∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC，CD于點(diǎn)P，Q，連接PQ，如圖9所示.

（2）線段BP，PQ，DQ之間的數(shù)量關(guān)系為? ? .

（3）連接正方形對(duì)角線BD，若圖9中的∠PAQ的邊AP，AQ分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M，N，如圖10所示，則[CQBM]= ? ? .

剪一剪：將圖10中的正方形紙片沿對(duì)角線BD剪開(kāi)，如圖11所示.

（4）求證：BM2 + DN2 = MN2.

【評(píng)析】此題從“折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪”的角度綜合考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，需要學(xué)生在各種實(shí)驗(yàn)操作的基礎(chǔ)上經(jīng)歷觀察、想象、操作與思考. 此題從折紙開(kāi)始，關(guān)注到對(duì)折到正方形紙片對(duì)角線處所形成的角和圖形的形狀的特殊性. 這一步引入是學(xué)生比較熟悉而且容易理解的操作，學(xué)生可以借助手中的素材直接操作驗(yàn)證得到. 在“折一折”之后，命題者從運(yùn)動(dòng)的角度切入，以折得的角為研究對(duì)象，進(jìn)行“轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)”，引發(fā)線段之間關(guān)系的探究. 兩道小題，一道小題考查全等三角形，一道小題考查相似三角形，相得益彰.“剪一剪”跳出了正方形框架，以獨(dú)特的視角看圖形變化. 一方面，是常見(jiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作的必然呈現(xiàn)，從折、轉(zhuǎn)到剪，豐富了實(shí)驗(yàn)操作的內(nèi)容;另一方面，是圖形生長(zhǎng)的自然趨勢(shì)，從圖8到圖9是由特殊到一般，由定到變;從圖9到圖10是基于圖形元素之間的關(guān)聯(lián)，逐步“枝繁葉茂”;從圖10到圖11則是分解重組，推陳出新，構(gòu)建新的圖形結(jié)構(gòu). 此題的整體立意巧妙，內(nèi)部關(guān)聯(lián)緊密，關(guān)注了對(duì)學(xué)生幾何直觀、空間觀念、邏輯推理等能力的考查，滲透數(shù)形結(jié)合、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)“做中學(xué)”這一綜合與實(shí)踐開(kāi)展的價(jià)值.

4. 關(guān)注數(shù)學(xué)與其他學(xué)科聯(lián)系的考查

跨學(xué)科主題是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、合作精神、實(shí)踐能力和社會(huì)責(zé)任感的一種綜合性探究學(xué)習(xí)方式. 近年來(lái)，從《標(biāo)準(zhǔn)》修訂到教材修改，從教學(xué)到評(píng)價(jià)，都在關(guān)注數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系. 評(píng)價(jià)什么、如何評(píng)價(jià)及學(xué)科聯(lián)系之間的程度如何確定等問(wèn)題成為了評(píng)價(jià)嘗試的重點(diǎn)和創(chuàng)新點(diǎn). 因此，需要命題者從學(xué)科整合的情境出發(fā)設(shè)計(jì)合理的問(wèn)題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科和跨學(xué)科的知識(shí)與方法來(lái)解決問(wèn)題的能力. 當(dāng)前跨學(xué)科的評(píng)價(jià)試題還不夠多，內(nèi)容涉及其他學(xué)科還不夠豐富，常與物理、化學(xué)、生物、體育、信息等學(xué)科進(jìn)行聯(lián)系，與其他學(xué)科乃至多個(gè)學(xué)科關(guān)聯(lián)的綜合型問(wèn)題有待開(kāi)發(fā).

例9 （浙江·臺(tái)州卷）如圖12所示的電子體重秤讀數(shù)直觀又便于攜帶，為人們帶來(lái)了方便. 某綜合實(shí)踐活動(dòng)小組設(shè)計(jì)了簡(jiǎn)易電子體重秤：制作一個(gè)裝有踏板（踏板質(zhì)量忽略不計(jì)）的可變電阻R1，R1與踏板上人的質(zhì)量m之間的函數(shù)關(guān)系式為R1 = km + b（其中k，b為常數(shù)，0 ≤ m ≤ 120），其圖象如圖13所示;圖14的電路中，電源電壓恒為8伏，定值電阻R0的阻值為30歐，接通開(kāi)關(guān)，人站上踏板，電壓表顯示的讀數(shù)為U0，該讀數(shù)可以換算為人的質(zhì)量m.

溫馨提示：① 導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R，通過(guò)導(dǎo)體的電流I，滿足關(guān)系式I =[UR];

② 串聯(lián)電路中電流處處相等，各電阻兩端的電壓之和等于總電壓.

（1）求k，b的值;

（2）求R1關(guān)于U0的函數(shù)解析式;

（3）用含U0的代數(shù)式表示m;

（4）若電壓表量程為0 ～ 6伏，為保護(hù)電壓表，試確定該電子體重秤可稱的最大質(zhì)量.

【評(píng)析】此題以物理中的電路問(wèn)題為背景，綜合考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，關(guān)注到數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模能力的考查. 試題需要學(xué)生在理解物理知識(shí)的基礎(chǔ)上，確定函數(shù)關(guān)系式. 第（4）小題可以應(yīng)用反比例函數(shù)的增、減性，也可以將m與U0的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式，再代入0 ≤ U0 ≤ 6中，求出電子體重秤可稱的最大質(zhì)量m. 此題與物理學(xué)科知識(shí)緊密聯(lián)系，其中“溫馨提示”具有人文性，也避免了學(xué)生對(duì)個(gè)別物理知識(shí)的理解不同對(duì)數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用考查的效度影響.

5. 關(guān)注數(shù)學(xué)與社會(huì)生活聯(lián)系的考查

數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界是緊密聯(lián)系的，在現(xiàn)實(shí)世界中用數(shù)學(xué)眼光觀察問(wèn)題，用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題和解決問(wèn)題是數(shù)學(xué)學(xué)科的素養(yǎng)體現(xiàn)，是認(rèn)識(shí)、理解、表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的工具、方法和語(yǔ)言. 因此，結(jié)合數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和問(wèn)題解決的真實(shí)需要，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)木C合主題和探究任務(wù)進(jìn)行評(píng)價(jià)，考查學(xué)生親歷實(shí)踐、探究、體驗(yàn)、反思、合作、交流等學(xué)習(xí)過(guò)程所獲取的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是各地中考長(zhǎng)久以來(lái)的評(píng)價(jià)重點(diǎn). 多年來(lái)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境體現(xiàn)應(yīng)用意識(shí)的試題層出不窮，涵蓋了我們生活的方方面面，但設(shè)計(jì)的評(píng)價(jià)試題如何能考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法解決現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)問(wèn)題一直是所有人追求的方向.

例10 （臺(tái)灣卷）凱特平時(shí)常用底面為矩形的模具制作蛋糕，并以平行于模具任一邊的方式進(jìn)行橫切或縱切，橫切都是從模具的左邊切割到模具的右邊，縱切都是從模具的上邊切割到模具的下邊. 用這種方式，可以切出數(shù)個(gè)大小完全相同的小塊蛋糕. 在切割后，他發(fā)現(xiàn)小塊蛋糕接觸模具的地方外皮比較焦脆.? 以圖15為例，橫切2刀，縱切3刀，共計(jì)5刀，切出（2 + 1） × （3 + 1） = 12個(gè)小塊蛋糕，其中側(cè)面有焦脆的小塊蛋糕共有10個(gè)，所有側(cè)面都不焦脆的小塊蛋糕共有2個(gè).

試根據(jù)上述切割方式，回答下列問(wèn)題，并詳細(xì)解釋或完整寫(xiě)出你的解題過(guò)程.

（1）若對(duì)一塊蛋糕切了4刀，則可切出幾個(gè)小塊蛋糕？試寫(xiě)出任意一種可能的蛋糕塊數(shù)即可.

（2）今凱特根據(jù)一場(chǎng)聚餐的需求，打算制作出恰好60個(gè)所有側(cè)面都不焦脆的小塊蛋糕，為了避免勞累并加快出餐速度，在不超過(guò)20刀的情況下，試問(wèn)凱特需要切幾刀，才可以達(dá)到需求？寫(xiě)出所有可能的情形.

【評(píng)析】此題以“制作蛋糕”的實(shí)際生活背景為素材，綜合考查規(guī)律探究、方案設(shè)計(jì)等知識(shí)，需要學(xué)生積累生活經(jīng)驗(yàn)，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，滲透了對(duì)幾何直觀、數(shù)形結(jié)合和分類討論思想的綜合考查. 試題素材貼近學(xué)生，問(wèn)題的呈現(xiàn)由易到難，凸顯真實(shí)性.

例11 （江蘇·鹽城卷）為了防控新冠肺炎疫情，某地區(qū)積極推廣疫苗接種工作，衛(wèi)生防疫部門對(duì)該地區(qū)八周以來(lái)的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集整理，繪制得到對(duì)應(yīng)圖表如圖16、表1所示.

根據(jù)統(tǒng)計(jì)表1中的數(shù)據(jù)，建立以周次為橫坐標(biāo)，接種人數(shù)為縱坐標(biāo)的平面直角坐標(biāo)系，并根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)從第3周開(kāi)始這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，現(xiàn)過(guò)其中兩點(diǎn)（3，12），（8，42）作一條直線（如圖17，該直線的函數(shù)表達(dá)式為y = 6x - 6），那么這條直線可近似反映該地區(qū)接種人數(shù)的變化趨勢(shì).

試根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

（1）這八周中每周接種人數(shù)的平均數(shù)為 ? ? ? ;該地區(qū)的總?cè)丝诩s為 ? ? ? .

（2）若從第9周開(kāi)始，每周的接種人數(shù)仍符合上述變化趨勢(shì).

① 估計(jì)第9周的接種人數(shù)約為 ? ? ? ;

② 專家表示：疫苗接種率至少達(dá)60%才能實(shí)現(xiàn)全民免疫. 那么，從推廣疫苗接種工作開(kāi)始，最早到第幾周，該地區(qū)可達(dá)到實(shí)現(xiàn)全民免疫的標(biāo)準(zhǔn)？

（3）實(shí)際上，受疫苗供應(yīng)等客觀因素影響，從第9周開(kāi)始接種人數(shù)將會(huì)逐周減少a（a > 0）萬(wàn)人，為了盡快提高接種率，一旦周接種人數(shù)低于20萬(wàn)人時(shí)，衛(wèi)生防疫部門將會(huì)采取措施，使得之后每周的接種能力一直維持在20萬(wàn)人. 如果a = 1.8，那么該地區(qū)的建議接種人群最早將于第幾周全部完成接種？

【評(píng)析】此題關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，以防控新冠肺炎疫情推廣疫苗接種為背景取材，立意積極向上，數(shù)據(jù)科學(xué)真實(shí). 綜合考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、平均數(shù)、不等式等相關(guān)知識(shí). 對(duì)平均數(shù)的考查需要學(xué)生理解并提取表格信息，關(guān)注學(xué)生信息提取能力的考查;第（2）小題的設(shè)計(jì)則是基于已有的表格信息，結(jié)合擬合的一次函數(shù)考查一次函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)以數(shù)據(jù)說(shuō)話進(jìn)行“估計(jì)”的價(jià)值;第（3）小題則是進(jìn)一步在一次函數(shù)理解的基礎(chǔ)上融入不等式，考查不等式模型的建立. 命題者將這些素材的數(shù)學(xué)立意圍繞“疫苗接種”進(jìn)行設(shè)計(jì)，既有梯度，又有效度，考查了學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了對(duì)“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià).

三、復(fù)習(xí)建議

綜合與實(shí)踐是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要和有效載體. 多年來(lái)，一直是全國(guó)中考試題關(guān)注的重點(diǎn)，更是落實(shí)立德樹(shù)人、進(jìn)行學(xué)科育人評(píng)價(jià)的難點(diǎn). 各區(qū)域的命題在不斷改革和創(chuàng)新，呈現(xiàn)出更具綜合性、真實(shí)性、科學(xué)性和時(shí)代性的特征. 綜合與實(shí)踐的試題主要評(píng)價(jià)學(xué)生在理解數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，重新建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知的完善程度、方法路徑以及經(jīng)驗(yàn)獲取的轉(zhuǎn)化、遷移能力;考查學(xué)生通過(guò)運(yùn)算、推理進(jìn)行歸納、演繹得到新的結(jié)論，解決與其他學(xué)科、與生活緊密聯(lián)系的問(wèn)題;引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)和評(píng)價(jià)中體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值，以及與其他學(xué)科知識(shí)的關(guān)聯(lián). 基于此，針對(duì)2022年中考，關(guān)于綜合與實(shí)踐的復(fù)習(xí)提出以下幾點(diǎn)建議.

1. 整體把握課程目標(biāo)，系統(tǒng)復(fù)習(xí)綜合實(shí)踐

為了使每名學(xué)生都受到良好的數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)技能，而且要把“知識(shí)技能”“數(shù)學(xué)思考”“問(wèn)題解決”“情感態(tài)度”四個(gè)方面有機(jī)結(jié)合，整體實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo). 因此，綜合與實(shí)踐能力的提升不在于做多少試題，而在于解決問(wèn)題的能力，需要細(xì)化分解，有針對(duì)性地進(jìn)行專題復(fù)習(xí)，夯實(shí)基礎(chǔ)運(yùn)算、基本技能. 例如，針對(duì)函數(shù)綜合試題，可以選擇一個(gè)有效的載體串起多類型函數(shù)知識(shí)，將函數(shù)圖象與性質(zhì)進(jìn)行關(guān)聯(lián);在綜合復(fù)習(xí)中可以嘗試以“模塊化”進(jìn)行設(shè)計(jì). 例如，圍繞“垂直”串起初中所有與這一特殊位置關(guān)系有關(guān)聯(lián)的知識(shí);在綜合與實(shí)踐中常見(jiàn)的分類思想、模型思想和數(shù)形結(jié)合思想可以選擇方案設(shè)計(jì)、圖形變化、問(wèn)題解決等類型試題進(jìn)行鞏固……所以，教師要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，了解數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與來(lái)源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價(jià)值與意義，并以此進(jìn)行中考復(fù)習(xí). 因此，中考復(fù)習(xí)需要系統(tǒng)設(shè)計(jì)，從整體課程目標(biāo)出發(fā)，合理安排時(shí)間，科學(xué)選擇專題.

2. 深挖數(shù)學(xué)文本資源，拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)視野

理解數(shù)學(xué)從理解《標(biāo)準(zhǔn)》、深讀教材文本開(kāi)始. 一線數(shù)學(xué)教師有必要深度理解數(shù)學(xué)教材的編寫(xiě)意圖，關(guān)注數(shù)學(xué)文本中豐富的資源. 在教材中，綜合與實(shí)踐的內(nèi)容多數(shù)是融入課時(shí)學(xué)習(xí)中進(jìn)行的，也有一部分是以課題學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室等形式突出體現(xiàn). 在平時(shí)教學(xué)和中考復(fù)習(xí)中要將這些綜合與實(shí)踐的素材理解到位，分析各地區(qū)綜合與實(shí)踐的試題與文本資源的關(guān)聯(lián)程度，選擇有效的同類型載體，進(jìn)一步挖掘文本資源可拓展的空間. 例如，探尋勾股數(shù)組中所體現(xiàn)出來(lái)的代數(shù)推理的價(jià)值，折紙活動(dòng)中所體現(xiàn)出來(lái)的幾何直觀和邏輯推理能力，等等. 在深挖文本資源的同時(shí)，建議適當(dāng)拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，選擇貼近學(xué)生生活的素材培養(yǎng)其數(shù)學(xué)的眼光，有利于他們經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)與方法. 所選擇的素材要關(guān)注到生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和其他學(xué)科現(xiàn)實(shí). 這些素材應(yīng)考慮到學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，應(yīng)揭示學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的整體性;應(yīng)盡量選擇來(lái)源于生活、社會(huì)中的現(xiàn)象和問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用性;應(yīng)巧妙地與其他學(xué)科之間建立聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性. 具體呈現(xiàn)方式則在符合學(xué)生認(rèn)知需求的同時(shí)，更有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生深入思考，以使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的趣味、價(jià)值和意義.

3. 創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)方式，重視學(xué)生主體地位

數(shù)學(xué)知識(shí)的形成及逐漸完善的過(guò)程中往往蘊(yùn)含著一定的數(shù)學(xué)思想. 好的教學(xué)方式有利于促進(jìn)學(xué)生自主探索，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī). 在綜合與實(shí)踐的復(fù)習(xí)教學(xué)中，不宜文本化教學(xué)，不宜題海式解題、講題. 需要引發(fā)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生在問(wèn)題解決中體驗(yàn)成功的快樂(lè). 例如，組織可操作的折紙實(shí)驗(yàn)、測(cè)量活動(dòng)、閱讀欣賞等形式促進(jìn)學(xué)生共同進(jìn)行設(shè)疑、質(zhì)疑、釋疑的數(shù)學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

多年來(lái)，綜合與實(shí)踐的評(píng)價(jià)如何更好地落實(shí)立德樹(shù)人、學(xué)科育人的任務(wù)是所有命題者的不懈追求. 正確看待評(píng)價(jià)的測(cè)量功能，認(rèn)識(shí)到評(píng)價(jià)的價(jià)值導(dǎo)向才能更有利于一線教學(xué)關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)理性精神的培育，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

四、模擬題欣賞

1. 小寧計(jì)劃在某外賣網(wǎng)站下單購(gòu)買如表2所示的菜品. 已知每份訂單的配送費(fèi)為3元，商家為了促銷，對(duì)每份訂單的總價(jià)（不含配送費(fèi)）提供滿減優(yōu)惠：滿30元減15元，滿60元減35元，滿80元減40元，滿100元減45元. 如果小寧在購(gòu)買表2中的任意三項(xiàng)菜品時(shí)，采取適當(dāng)?shù)南掠唵畏绞?，那么他點(diǎn)餐的總費(fèi)用優(yōu)惠幅度最大可為? ? ? ? ?.

答案：44元.

2.【學(xué)習(xí)理解】

定義：平面上與已知線段兩個(gè)端點(diǎn)連接而形成直角三角形的點(diǎn)我們稱為已知線段的“勾股點(diǎn)”. 若一個(gè)點(diǎn)是兩條已知線段的“勾股點(diǎn)”，則該點(diǎn)為這兩條線段的“公共勾股點(diǎn)”.

【概念鞏固】

（1）如圖18，已知在Rt△ABC中，AC = 3，BC = 4，∠C = 90°. 試借助尺規(guī)在邊BC所在直線上確定點(diǎn)P，使得點(diǎn)P為AB的“勾股點(diǎn)”，并求PC的長(zhǎng).

（2）若點(diǎn)P為（1）中Rt△ABC兩邊AB，BC的公共“勾股點(diǎn)”，則PC的最大值為 ? ? ?.

【深入研究】

（3）如圖19，已知△ABC，P為AB和BC的公共“勾股點(diǎn)”. 連接PB交AC于點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q恰好是AB和BC的另一個(gè)公共“勾股點(diǎn)”. 求證：△ABC為等腰三角形.

【直觀猜想】

（4）是否存在一個(gè)點(diǎn)P和△ABC，使得P為△ABC三邊的公共“勾股點(diǎn)”. 如果存在，畫(huà)出示意圖;如果不存在，說(shuō)明理由.

答案：（1）如圖20所示;PC =[94].

（2） 5.

（3）證明略.

（4）存在，如直角三角形（如圖21）.

3. 定義：一般地，對(duì)兩個(gè)封閉圖形甲、乙，若甲的頂點(diǎn)都在乙的邊界上，則稱甲是乙的內(nèi)接圖形，乙是甲的外接圖形（圖形甲的邊可以和圖形乙的邊重合）.

已知，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 2，BC = 3. 如圖22，矩形DEFG是△ABC的外接矩形，正方形BCHI是△ABC的外接正方形，等邊三角形JKL是△ABC的外接等邊三角形.

顯然，一個(gè)圖形的外接多邊形不唯一，我們可以探索△ABC的最小外接多邊形.

（1）試在圖23中分別畫(huà)出△ABC的最小外接矩形、最小外接正方形、最小外接等邊三角形的示意圖，并直接寫(xiě)出它們的邊長(zhǎng).

（2）類似地，用一張等邊三角形紙片剪一個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為1 cm和3 cm的直角三角形紙片，等邊三角形紙片的邊長(zhǎng)最小是多少？畫(huà)出示意圖，并寫(xiě)出這個(gè)最小值.

答案：（1）① 如圖24（1），矩形ACBE是△ABC的最小外接矩形，AC = 2，BC = 3;

② 如圖24（2），正方形MNBQ是△ABC的最小外接正方形，邊長(zhǎng)為[91010];

③ 如圖24（3），等邊三角形ABP是△ABC的最小外接等邊三角形，邊長(zhǎng)為[13].

（2）如圖25，等邊三角形AMN即為所求，邊長(zhǎng)為[3010+91010]cm.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì). 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.