【摘要】數(shù)學(xué)教育研究方法是開(kāi)展數(shù)學(xué)教育研究所采用的途徑和手段，是達(dá)到數(shù)學(xué)教育研究目的的重要保障。研究者通過(guò)圖說(shuō)數(shù)學(xué)教育研究的邏輯起點(diǎn)、理論模型、方法分類(lèi)、“五股化”實(shí)證研究、“四析法”思辨研究、“三維坐標(biāo)系”寫(xiě)作規(guī)律等問(wèn)題，幫助中小學(xué)數(shù)學(xué)教師形象、直觀地理解數(shù)學(xué)教育研究方法，提高數(shù)學(xué)教育研究水平。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教育;研究方法;實(shí)證研究;思辨研究

《數(shù)學(xué)寫(xiě)真集（第1季）——無(wú)需語(yǔ)言的證明》一書(shū)由許多“無(wú)需語(yǔ)言的證明”的圖片組成，書(shū)中許多“證明”——圖形令人拍案叫絕，充分顯示了：有什么比用插圖來(lái)展現(xiàn)一個(gè)個(gè)重要的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)更好的主意呢？[1]筆者受到啟發(fā)后，想到圖說(shuō)數(shù)學(xué)教育原理，希望可以借助圖形幫助讀者直觀理解許多復(fù)雜、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)教育原理。本文專(zhuān)門(mén)圖說(shuō)數(shù)學(xué)教育原理中的數(shù)學(xué)教育研究方法。數(shù)學(xué)研究有數(shù)學(xué)方法論，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治先生在國(guó)內(nèi)較早提倡數(shù)學(xué)方法論，其代表作是《數(shù)學(xué)方法論選講》[2]。相應(yīng)地，數(shù)學(xué)教育研究也有方法論，其已經(jīng)成為高校數(shù)學(xué)教育專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要課程，即數(shù)學(xué)教育研究方法（論），甚至有的高校還用“教育研究方法”課程取代傳統(tǒng)的“教育學(xué)原理”課程[3]。所謂數(shù)學(xué)教育研究方法，是指開(kāi)展數(shù)學(xué)教育研究所采用的途徑和手段，它是達(dá)到數(shù)學(xué)教育研究目的的重要保障，通常會(huì)在研究過(guò)程與成果中體現(xiàn)出來(lái)[4]。當(dāng)前，數(shù)學(xué)教育研究方法受到普遍重視，已成為中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)術(shù)基礎(chǔ)之一[5]。文章從數(shù)學(xué)教育研究的邏輯起點(diǎn)、理論模型、方法分類(lèi)、“五股化”實(shí)證研究、“四析法”思辨研究、“三維坐標(biāo)系”寫(xiě)作規(guī)律等方面展開(kāi)論述。

一、數(shù)學(xué)教育研究的邏輯起點(diǎn)

數(shù)學(xué)教育研究的邏輯起點(diǎn)預(yù)示著數(shù)學(xué)教育研究的目標(biāo)和方向，制約著數(shù)學(xué)教育學(xué)理論框架的建構(gòu)和學(xué)科體系的定位，也是選擇數(shù)學(xué)教育研究方法的邏輯基礎(chǔ)。

南京師范大學(xué)喻平教授在與其博士生導(dǎo)師單墫教授合作的文章中指出，數(shù)學(xué)教育學(xué)有兩個(gè)邏輯起點(diǎn)：一個(gè)是教育學(xué)，另一個(gè)是數(shù)學(xué)教學(xué)。數(shù)學(xué)教育學(xué)既是對(duì)教育學(xué)理論演繹的結(jié)果，也是對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐歸納的結(jié)果（如圖1）。將兩者有機(jī)結(jié)合，就會(huì)形成有理論張力的數(shù)學(xué)教育學(xué)體系[6]。

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)科學(xué)家張景中院士則獨(dú)辟蹊徑建構(gòu)了數(shù)學(xué)教育研究的邏輯起點(diǎn)：教育數(shù)學(xué)。所謂教育數(shù)學(xué)，就是對(duì)數(shù)學(xué)成果進(jìn)行再創(chuàng)造，使之成為符合教育基本規(guī)律的數(shù)學(xué)經(jīng)典教程。數(shù)學(xué)教育工作者再對(duì)經(jīng)典教程進(jìn)行教學(xué)法加工，使之成為課堂上的數(shù)學(xué)教材（如圖2）。教育數(shù)學(xué)具有數(shù)學(xué)與教育的雙重屬性，它不是原始形態(tài)的數(shù)學(xué)成果，而是服務(wù)教育的數(shù)學(xué)。目前，教育數(shù)學(xué)已發(fā)展成為一個(gè)專(zhuān)門(mén)的學(xué)科[7]。

以上兩種觀點(diǎn)都與南京大學(xué)鄭毓信教授關(guān)于“數(shù)學(xué)教育的基本矛盾”的論述相吻合：數(shù)學(xué)教育的“數(shù)學(xué)方面”和“教育方面”的辯證統(tǒng)一是數(shù)學(xué)教育的基本矛盾[8]。也就是說(shuō)，開(kāi)展數(shù)學(xué)教育研究，要緊扣數(shù)學(xué)與教育兩個(gè)維度，不可偏廢。

二、數(shù)學(xué)教育研究的理論模型

數(shù)學(xué)教育研究的結(jié)果往往追求數(shù)學(xué)教育理論的建構(gòu)，具體包括理論的概念界定、模型建立、指標(biāo)體系等內(nèi)容。其中，模型是理論最直觀的刻畫(huà)、最凝練的表達(dá)。

華東師范大學(xué)鮑建生教授將模型建立的常用方法分為水平模型、過(guò)程模型、分類(lèi)模型、因素模型等（如圖3）。揚(yáng)州大學(xué)李新老師以核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)模型為例，介紹了教育理論模型的四種類(lèi)型：層級(jí)并列型、整體交互型、系統(tǒng)立體型、同心輻射型[9]。這些研究都值得大家借鑒。

筆者對(duì)30多個(gè)常用數(shù)學(xué)教育理論模型進(jìn)行分析，將理論模型建立的常用方法細(xì)分為樹(shù)形圖、韋恩圖、流程圖、雷達(dá)圖、幾何體、坐標(biāo)系、對(duì)稱(chēng)圖等，并給出了相應(yīng)的案例描述[10]。研究者應(yīng)根據(jù)具體的邏輯關(guān)系選擇合適的模型來(lái)建構(gòu)理論，以增強(qiáng)理論的傳播力與應(yīng)用性。

三、數(shù)學(xué)教育研究的方法分類(lèi)

數(shù)學(xué)教育研究方法的發(fā)展水平是數(shù)學(xué)教育學(xué)科發(fā)展水平的重要標(biāo)志，制約中國(guó)數(shù)學(xué)教育科學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要因素就是其研究方法不“銳利”。

華東師范大學(xué)牛偉強(qiáng)博士等研究者梳理了數(shù)學(xué)教育的研究方法及其分類(lèi)[11]，筆者將其用圖4表示?？偟膩?lái)看，數(shù)學(xué)教育研究方法分為兩大類(lèi)：思辨研究與實(shí)證研究。思辨研究主要解決“應(yīng)然”問(wèn)題，注重概念、理論與觀點(diǎn)等內(nèi)容的構(gòu)建，通過(guò)邏輯推理來(lái)回答概念性、規(guī)范性的問(wèn)題;而實(shí)證研究主要關(guān)注“實(shí)然”問(wèn)題，基于收集與分析數(shù)據(jù)信息得出研究結(jié)果[12]。以上兩類(lèi)方法又可細(xì)分為若干方法：思辨研究包括理論思辨、文獻(xiàn)研究、歷史研究、經(jīng)驗(yàn)總結(jié)等;實(shí)證研究包括統(tǒng)計(jì)調(diào)查、內(nèi)容分析、實(shí)驗(yàn)研究、敘事研究、個(gè)案研究、行動(dòng)研究、田野調(diào)查等。其中，統(tǒng)計(jì)調(diào)查、內(nèi)容分析、實(shí)驗(yàn)研究也叫量化研究;敘事研究、個(gè)案研究、行動(dòng)研究、田野調(diào)查也叫質(zhì)性研究。

這些方法對(duì)中小學(xué)教師而言確實(shí)有點(diǎn)多，有的方法還需用到一定的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)與數(shù)據(jù)分析軟件，不易掌握。鮑建生教授對(duì)此給出的建議是：這些方法并不需要高深的理論知識(shí)，用幾次就熟悉了[13]，即在用中學(xué)。而且各個(gè)研究方法本身沒(méi)有優(yōu)劣之分，只有適合與否，正如北京師范大學(xué)曹一鳴教授所言，要從問(wèn)題出發(fā)，選擇最合適的研究方法進(jìn)行研究方法的總體設(shè)計(jì)，即“問(wèn)題為先、方法從之”[14]。

長(zhǎng)期以來(lái)，在傳統(tǒng)的思辨研究范式主導(dǎo)下，理論研究常常具有較大的爭(zhēng)議性、不確定性。近年來(lái)，隨著對(duì)科學(xué)化、規(guī)范化研究方法的不斷探索，數(shù)學(xué)教育研究逐漸擺脫思辨研究的束縛，開(kāi)展了實(shí)證研究新范式?？偟膩?lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)教育研究方法的發(fā)展趨勢(shì)是由定性研究、思辨研究向量的研究、質(zhì)的研究發(fā)展，以及由單一的、孤立的研究方法向多種研究方法相結(jié)合的發(fā)展[15]。

數(shù)學(xué)教育研究方法是與時(shí)俱進(jìn)、逐步拓展的，比如鮑建生教授提倡數(shù)學(xué)教育設(shè)計(jì)研究。國(guó)際上的設(shè)計(jì)研究興起于20世紀(jì)90年代，21世紀(jì)初國(guó)內(nèi)教育技術(shù)研究者開(kāi)始關(guān)注設(shè)計(jì)研究，后來(lái)逐步引入教育研究領(lǐng)域。數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的設(shè)計(jì)研究包括設(shè)計(jì)、實(shí)施、反思三個(gè)循環(huán)迭代的階段（如圖5）。不難看出，設(shè)計(jì)研究注重過(guò)程中的方案反思與修正，而常規(guī)的研究方法總是采用固定的程序完成既定的研究。而且常規(guī)的研究方法是要通過(guò)系統(tǒng)地改變學(xué)習(xí)狀況來(lái)檢驗(yàn)事先提出的假設(shè)，設(shè)計(jì)研究的目標(biāo)則是考查在什么狀況下導(dǎo)致了不同的效果[16]。

四、“五股化”實(shí)證研究

實(shí)證研究一般包括以下五個(gè)步驟：（1）選取有價(jià)值且尚未解決的問(wèn)題開(kāi)展研究;（2）開(kāi)展較為完備的文獻(xiàn)綜述;（3）設(shè)計(jì)研究方法并論證可行性;（4）充分收集實(shí)證數(shù)據(jù)、材料并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析;（5）依據(jù)有關(guān)理論表述研究結(jié)果。[17]我國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生用“五股化”形容這種模式固化的實(shí)證研究，這非常貼切，我們用圖6直觀表示“五股化”實(shí)證研究。

張奠宙先生指出，數(shù)學(xué)教育博士論文必須下功夫做“五股化”的實(shí)證研究，與國(guó)際研究規(guī)范接軌。當(dāng)然數(shù)學(xué)教育研究還面臨著許多規(guī)律尚不明晰卻又不得不進(jìn)行研究的問(wèn)題，這時(shí)只好借助經(jīng)驗(yàn)和思辨加以解決。實(shí)證研究好比西醫(yī)，思辨研究好比中醫(yī)，兩者都需要，兩者可以互補(bǔ)[17]。也就是說(shuō)，教育研究方法不能搞非此即彼的二元對(duì)立，避免只懂方法不懂方法論。鑒于實(shí)證研究的技術(shù)性要求較高，建議有條件的教師可以專(zhuān)門(mén)閱讀實(shí)證研究的書(shū)籍或參加系統(tǒng)培訓(xùn)。

五、“四析法”思辨研究

根據(jù)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師做研究的客觀需求與教學(xué)任務(wù)繁重的實(shí)際情況，筆者給出一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)用的數(shù)學(xué)教育研究方法——“四析法”思辨研究，具體包括以下四個(gè)步驟：（1）縱向視角的歷史尋析;（2）橫向視角的路徑探析;（3）內(nèi)向視角的意蘊(yùn)解析;（4）整體視角的辯證分析。[18]

縱向視角的歷史尋析，是對(duì)問(wèn)題已有的研究按時(shí)間順序進(jìn)行梳理分析，即考察問(wèn)題的古往今來(lái);橫向視角的路徑探析，是對(duì)問(wèn)題已有的研究路徑進(jìn)行橫向比較分析，做好中外互鑒;內(nèi)向視角的意蘊(yùn)解析，是對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)、特征、方法、意義等內(nèi)生因素進(jìn)行有邏輯的思考解析，提出內(nèi)容深刻、形式美觀的理論或主張，做到內(nèi)外兼修;整體視角的辯證分析，是對(duì)問(wèn)題已有的研究（包括自己的研究）進(jìn)行整體客觀評(píng)價(jià)，做好正反兩方面的分析，并提出展望。

“四析法”思辨研究融合了思辨研究與實(shí)證研究的優(yōu)點(diǎn)，且便于操作，適合中小學(xué)數(shù)學(xué)教師開(kāi)展數(shù)學(xué)教育研究?！八奈龇ā彼急嫜芯靠捎萌鐖D7所示的魚(yú)骨模型來(lái)表示。

六、“三維坐標(biāo)系”寫(xiě)作規(guī)律

數(shù)學(xué)教育論文是數(shù)學(xué)教育研究（過(guò)程和結(jié)果）的常見(jiàn)表現(xiàn)形式，為此筆者談?wù)剶?shù)學(xué)教育論文的寫(xiě)作規(guī)律。“興趣驅(qū)動(dòng)、能力支撐、方法引領(lǐng)”構(gòu)成中小學(xué)數(shù)學(xué)教育論文的“三維坐標(biāo)系”寫(xiě)作規(guī)律（如圖8）。具體來(lái)說(shuō)，開(kāi)展中小學(xué)數(shù)學(xué)教育論文的寫(xiě)作，最核心的動(dòng)力是興趣驅(qū)動(dòng)，最基本的能力是普遍聯(lián)系與辯證分析，最根本的方法是分類(lèi)整合[19]。

開(kāi)展數(shù)學(xué)教育論文寫(xiě)作的動(dòng)力來(lái)自許多方面，有可能是指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐的需要，也有可能是發(fā)展教育理論的需要，抑或是人事考核的要求，但最核心、最持久的動(dòng)力一定是研究者自身的興趣，即對(duì)數(shù)學(xué)教育研究的摯愛(ài)與奉獻(xiàn)精神。

除了興趣驅(qū)動(dòng)，支撐數(shù)學(xué)教育論文的寫(xiě)作還需要兩種基本的能力：一是普遍聯(lián)系的能力，二是辯證分析的能力。普遍聯(lián)系是唯物辯證法的基本觀點(diǎn)。任何事物都不是孤立存在的，它總是和外界事物有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。事物的聯(lián)系具有普遍性和多樣性。分析一個(gè)問(wèn)題時(shí)，要注意其與其他相關(guān)問(wèn)題的聯(lián)系。比如，2016年，我國(guó)教育領(lǐng)域興起核心素養(yǎng)的研究，筆者隨即將“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”與之前的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”“數(shù)學(xué)核心詞”聯(lián)系起來(lái)，開(kāi)展文獻(xiàn)研究，梳理“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”發(fā)展脈絡(luò)，寫(xiě)成文章《我國(guó)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)研究進(jìn)展——從數(shù)學(xué)素養(yǎng)到數(shù)學(xué)核心詞再到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)》[20]，目前該文已被其他文章引用130多次（來(lái)自中國(guó)知網(wǎng)的2022年1月6日的數(shù)據(jù)）。再比如，看似毫不相關(guān)的兩個(gè)問(wèn)題，即如圖9的面積魔術(shù)（曾出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材[21]及《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[22]當(dāng)中）與對(duì)數(shù)比較大?。簂og53，log85，log138（2020年高考全國(guó)Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)試題），竟然都是關(guān)乎斐波那契數(shù)列性質(zhì)的問(wèn)題。

辯證分析強(qiáng)調(diào)用全面、聯(lián)系、發(fā)展的觀點(diǎn)看問(wèn)題，反對(duì)用片面、孤立、靜止地觀點(diǎn)看問(wèn)題。因此，較強(qiáng)的辯證分析能力，將有助于我們深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教育問(wèn)題，高質(zhì)量地開(kāi)展數(shù)學(xué)教育論文寫(xiě)作。但具體到數(shù)學(xué)教育論文的寫(xiě)作環(huán)節(jié)，還需要寫(xiě)作方法的引領(lǐng)，即分類(lèi)整合。分類(lèi)就是先找到不同研究觀點(diǎn)的“同類(lèi)項(xiàng)”;整合就是將“同類(lèi)項(xiàng)”進(jìn)行合并，提煉共性、挖掘規(guī)律。正所謂分類(lèi)見(jiàn)重點(diǎn)、整合見(jiàn)規(guī)律[19]。

綜上所述，本文介紹的數(shù)學(xué)教育研究方法，其實(shí)每位數(shù)學(xué)教育研究者都在有意或無(wú)意、或多或少地使用，但研究質(zhì)量卻因研究方法的不同而千差萬(wàn)別。北宋詩(shī)人蘇轍曾說(shuō)“無(wú)以待之，則十百而亂;有以待之，則千萬(wàn)若一”，講的正是研究方法的重要性。系統(tǒng)了解和理解數(shù)學(xué)教育研究方法的分類(lèi)、適用對(duì)象、基本步驟，不僅能幫助我們解決數(shù)學(xué)教育研究中的“怎么辦”問(wèn)題，還能提升我們駕馭數(shù)學(xué)教育研究任務(wù)、工具、路徑的能力。期待中小學(xué)數(shù)學(xué)教師能夠靈活選用數(shù)學(xué)教育研究方法，提高自己的數(shù)學(xué)教育研究水平，形成自己的數(shù)學(xué)教育研究方法論。

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