劉光輝

[摘? 要] 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是一個(gè)“厚積薄發(fā)”的過程，只有經(jīng)歷了前期基礎(chǔ)知識(shí)的積累，后期才能從容自如地靈活運(yùn)用. 然高三復(fù)習(xí)階段部分師生只重視“解題”，忽視了基本知識(shí)、基本方法的提煉、加工、總結(jié)和整理，這樣不利于學(xué)生知識(shí)體系的建構(gòu)，勢必會(huì)影響知識(shí)遷移效果. 為此，在教學(xué)中應(yīng)重視基礎(chǔ)、重視方法、重視規(guī)律，以此推動(dòng)解題效率提升.

[關(guān)鍵詞] 厚積薄發(fā);知識(shí)體系;解題效率

為了在高考中取得好成績，高三數(shù)學(xué)課堂重點(diǎn)圍繞著運(yùn)算能力和解題能力這兩大主題展開. 為了提升學(xué)生的運(yùn)算能力和解題能力，部分教師依然重復(fù)著“題海戰(zhàn)術(shù)”，學(xué)生被大量的例習(xí)題包圍著，課堂上充斥了消極、煩躁的情緒，課堂沉悶、壓抑，課堂效率低. 究其原因，就是教學(xué)的重心放置于重復(fù)的機(jī)械練習(xí)，忽視了對(duì)題目的思考、總結(jié)和提煉，僅僅就題論題的講解，對(duì)知識(shí)的把握缺乏整體性和系統(tǒng)性，致使課堂看起來內(nèi)容豐富，然因?qū)W生缺少深層的理解，所以收獲甚微. 數(shù)學(xué)課堂往往給人淺嘗輒止的感覺，只有簡單評(píng)價(jià)，而沒有更深層的引導(dǎo)，也沒有對(duì)知識(shí)的拓展和延伸，使數(shù)學(xué)課堂過于碎片化，影響了知識(shí)遷移能力的提升，故解題能力也難以提升. 為此，高三階段必須重視系統(tǒng)化和專題化的訓(xùn)練，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)形成基本的認(rèn)識(shí)，通過幾根主線將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行串聯(lián)，使知識(shí)脈絡(luò)更加清晰化、系統(tǒng)化. 同時(shí)，注意挖掘知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，這樣將線編織成網(wǎng)，使知識(shí)體系更加全面化、系統(tǒng)化、簡潔化，為解題能力的提升做好充分的知識(shí)儲(chǔ)備.

筆者就如何提高復(fù)習(xí)質(zhì)量、提升復(fù)習(xí)效率，有幾點(diǎn)自己的粗淺認(rèn)識(shí)，供參考.

[?] 掌握基礎(chǔ)知識(shí)

眾所周知，好的基礎(chǔ)決定上層建筑，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)亦是如此，然部分師生往往認(rèn)為“刷題”更高效. 不可否認(rèn)，短期內(nèi)這種方法是有效的. 熟悉的題型、熟悉的知識(shí)點(diǎn)更容易提升學(xué)生的自信心，然高考主要考查學(xué)生的綜合知識(shí)應(yīng)用能力，題目往往靈活多變，各知識(shí)點(diǎn)更是緊密相連. 若單純地“刷題”而不重視基礎(chǔ)的積累，那么當(dāng)學(xué)生遇到陌生題時(shí)就會(huì)感覺束手無策. 為此，若想提高解題效率，學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)必須有一個(gè)整體的、全面的認(rèn)識(shí)，知曉每個(gè)章節(jié)的大綱，當(dāng)涉及該板塊內(nèi)容時(shí)可迅速調(diào)用相關(guān)的概念、公式、通法形成解題思路，進(jìn)而順利解決問題.

例1 若已知點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足

x-y<0，

x-y+2<0，

y≥0，則的取值范圍為________.

解析：本題的難點(diǎn)是對(duì)中分子幾何意義的解讀，考慮到點(diǎn)P（x，y）到直線x+y=0的距離h=，即

x+y=2h;又設(shè)點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)的距離d=，所以=

（x+y≥0），

-

（x+y<0），這樣問題就能順利求解了.

顯然本題是一道線性規(guī)劃問題，數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的一個(gè)通法，尋找的幾何意義是解決本題的重點(diǎn). 在解題時(shí)不是急于求解，而是先觀察題目的特點(diǎn)，根據(jù)知識(shí)的“落腳點(diǎn)”尋找恰當(dāng)?shù)摹扒腥朦c(diǎn)”，進(jìn)而調(diào)用已有經(jīng)驗(yàn)尋找解題的突破口. 例如，本題的“落腳點(diǎn)”即為的幾何意義. 又如，在研究三角函數(shù)問題時(shí)，無論是研究周期問題還是單調(diào)區(qū)間問題，抑或是對(duì)稱中心坐標(biāo)、對(duì)稱軸方程等問題，首先必須將已知函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為形如y=Asin（ωx+φ）+B或y=Acos（ωx+φ）+B的形式，那么此類問題的“落腳點(diǎn)”即為一般形式的轉(zhuǎn)化. 又如，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性時(shí)往往是f′（x）與“0”相比較，那么“0”就是解決此類問題的“落腳點(diǎn)”. 只有對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)有著清晰的認(rèn)識(shí)，解題時(shí)才能結(jié)合已知條件將未知向熟悉的模式轉(zhuǎn)化，進(jìn)而提高解題效率.

[?] 掌握基本方法

有了基礎(chǔ)知識(shí)的儲(chǔ)備后也要重視基本方法的積累，若僅重視知識(shí)的積累而不掌握解題方法，那么學(xué)生很難找到解題方向，也就無從求解. 例如，解析幾何是高考的重要考點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，解決此類問題往往涉及交點(diǎn)問題，交點(diǎn)在坐標(biāo)系中又以“坐標(biāo)”表示，自然“坐標(biāo)”在解題時(shí)就顯得尤為重要了，“坐標(biāo)法”就是解決此類問題的一個(gè)基本方法.

例2 已知實(shí)數(shù)p>0，直線3x-4y+2p=0與拋物線x2=2py和圓x2+

y-

2=有四個(gè)交點(diǎn)，從左到右依次為A，B，C，D，則的值為________.

解析：解決此題的關(guān)鍵是如何把用A，B，C，D的坐標(biāo)表示出來. 設(shè)A（x，y），B（x，y），C（x，y），D（x，y），則有如下幾個(gè)解題方法：

解法1：分別求出A，B，C，D的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的值. 顯然，分別求出四個(gè)坐標(biāo)，運(yùn)算太復(fù)雜，難以求解.

解法2：根據(jù)弦長公式，設(shè)直線的斜率為k，則AB=

x

-x·，CD=

x

-x·，則===. 雖然解法2的解題思路比解法1更加清晰，然若想最終求解依然需要求出四點(diǎn)的橫坐標(biāo)，運(yùn)算量依然很大.

解法3：通過前面兩個(gè)解題思路可以發(fā)現(xiàn)，若直接采用“坐標(biāo)法”顯然求解困難，因此需要重新審題，挖掘已知中的“隱含條件”. 結(jié)合已知及圖1可知，圓x2+

y-

=的圓心為

0，

，拋物線x2=2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

0，

，直線3x-4y+2p=0與y軸的交點(diǎn)為

0，

，可見三點(diǎn)為同一點(diǎn)，即點(diǎn)F. 過點(diǎn)A，D分別作拋物線準(zhǔn)線y=-的垂線AM，DN，由拋物線的定義得AF=AM，DF=DN，所以=====，這樣接下來求解就水到渠成了.

本題的求解過程圍繞“坐標(biāo)法”展開，先用通法進(jìn)行分析，找到合適的出發(fā)點(diǎn)，通過一步步分析找到最優(yōu)解決方案. 考試時(shí)若遇到計(jì)算過程較復(fù)雜的題目，可以嘗試換個(gè)思路，重新審視已知，如本題中的解法3就是因解法1和解法2運(yùn)算復(fù)雜而換取的思路. 要知道，高考題量大，若計(jì)算消耗太多的時(shí)間勢必會(huì)影響整體成績. 因此，在解題時(shí)一定要認(rèn)真審題，充分挖掘已知進(jìn)而順利求解.

[?] 掌握基本規(guī)律

數(shù)學(xué)是一門規(guī)律性較強(qiáng)的學(xué)科，這也是數(shù)學(xué)的魅力所在，掌握數(shù)學(xué)的基本規(guī)律不僅能給解題帶來便利，而且有利于提升學(xué)習(xí)興趣. 例如，對(duì)二次函數(shù)圖像的開口方向、對(duì)稱軸、最值等基本規(guī)律學(xué)生了如指掌，那么在三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）中又能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？解題時(shí)往往需要從這些一般化的規(guī)律入手，逐漸推廣，進(jìn)而借助于“雙基”逐層推進(jìn)，最終成功解決問題.

例3 已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f′（x）g′（x）≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間I上單調(diào)性一致.

（1）設(shè)a>0，若函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[-1，+∞）上單調(diào)性一致，求實(shí)數(shù)b的取值范圍;

（2）設(shè)a<0，且a≠b，若以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間在函數(shù)f（x）和g（x）上單調(diào)性一致，求a-b的最大值.

本題是一道立意新穎的新定義題目，學(xué)生需要自學(xué)掌握定義的內(nèi)涵和外延，通過挖掘隱含的規(guī)律而找到解題的突破口. 解決此類問題需要學(xué)生較強(qiáng)的分析能力，要學(xué)會(huì)抓住問題的本質(zhì)特征，進(jìn)而利用已有經(jīng)驗(yàn)解決問題.

第（1）問較簡單，其主要根據(jù)新定義研究動(dòng)態(tài)函數(shù)單調(diào)性的問題，求解得b≥2，這里就不再詳細(xì)闡述了. 第（2）問中因含a，b兩個(gè)參數(shù)，其參數(shù)的大小關(guān)系未指定，因此在求解時(shí)需要分類進(jìn)行討論，本題較難.

第（2）問求解時(shí)一般有以下兩種解題思路：

思路1：應(yīng)用含參不等式的思路進(jìn)行求解，將條件轉(zhuǎn)化為以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間不等式f′（x）g′（x）≥0恒成立.

思路2：將條件轉(zhuǎn)化為以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間不等式組f′（x）≥0，

g′（x）≥0或f′（x）≤0，

g′（x）≤0恒成立.

因?yàn)閍，b的大小不定，因此無論應(yīng)用上面哪種解題思路都需要對(duì)參數(shù)大小進(jìn)行分類討論，即分成a>b和b>a. 不僅如此，若繼續(xù)思考會(huì)發(fā)現(xiàn)接下來依然需要進(jìn)行分類討論，如對(duì)于思路1，光討論b>a還不夠，還要繼續(xù)分類，即分成b>0和b≤0進(jìn)行討論;當(dāng)b≤0時(shí)，還要分成0≤-≤和->進(jìn)行討論;當(dāng)b<a時(shí)，要成分0≤-≤和 ->進(jìn)行討論. 雖然問題越來越清晰，但分層較多，大大增加了出錯(cuò)的概率，那么思路2是否可以有效避免較多的分類呢？

由已知可得f′（x）g′（x）=（3x2+a）·（2x+b）=6x3+3bx2+2ax+ab是關(guān)于x的三次函數(shù). 記h（x）=f′（x）g′（x），則h′（x）=18x2+6bx+2a. 因?yàn)閍<0，則h′（x）=0有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根x，x，不妨設(shè)x<0，x>0，得0∈（a，b）.

又f′（0）g′（0）=ab<0，所以函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間（a，b）上不是單調(diào)性一致的，因此b≤0. 所以，以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間應(yīng)該在x的左側(cè).

因?yàn)橐詀，b為端點(diǎn)的開區(qū)間在x的左側(cè)，所以在這個(gè)開區(qū)間內(nèi)，以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上h（x）圖像的開口方向是向下的，這樣h（a）≥0且h（b）≥0就等價(jià)于h（x）≥0在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上恒成立. 由h（a）≥0且h（b）≥0結(jié)合a<0，b≤0，解得-≤a<0，-≤b≤0，所以a-b≤. 當(dāng)a=，b=0時(shí)，f′（x）g′（x）=6x

x2-

，從而當(dāng)x∈

-，0

時(shí)，f′（x）·g′（x）>0，故函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間

-，0

上單調(diào)性一致，因此a-b的最大值為.

本題求解時(shí)就是從三次函數(shù)f（x）的三次項(xiàng)系數(shù)入手，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)的圖像是先增后減再增的，而a<0時(shí)正好相反，利用開口方向來研究閉區(qū)間的最值成了解題的關(guān)鍵. 三次函數(shù)就是在二次函數(shù)的基礎(chǔ)上再推廣的，因此，在學(xué)習(xí)時(shí)要善于在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步延伸和拓展，注意基本規(guī)律的挖掘和拓展，進(jìn)而發(fā)散思維廣度，拓寬視野.

總之，要學(xué)好數(shù)學(xué)就要對(duì)數(shù)學(xué)各章節(jié)、各分支形成清晰的知識(shí)脈絡(luò)，對(duì)學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行反復(fù)推敲、提煉、消化，進(jìn)而理清問題的來龍去脈，使各知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通.