摘 要:核心素養(yǎng)指學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力?!镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中也倡導(dǎo)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展[1]。學(xué)校和教師依據(jù)國(guó)家頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)才能更好地進(jìn)行教學(xué),在這個(gè)背景下,本文以集合的概念為例,給出了核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì),希望給廣大教師一些參考。
關(guān)鍵詞:核心素養(yǎng) 高中數(shù)學(xué) 教學(xué)設(shè)計(jì) 案例
集合是刻畫(huà)一類事物的語(yǔ)言和工具,學(xué)生步入高中后接觸到的第一個(gè)知識(shí)就是集合,集合的重要性不言而喻,學(xué)習(xí)集合的概念,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)具有重要意義。因此,在課堂教學(xué)中,如何落實(shí)核心素養(yǎng)就成了我們需要思考的問(wèn)題。教師可以從“教什么”和“怎么教”兩方面來(lái)落實(shí)核心素養(yǎng)[2]。
1 教材分析
集合的概念是數(shù)學(xué)教材必修第一冊(cè)中第一章第一節(jié)的內(nèi)容。課標(biāo)中也對(duì)本節(jié)內(nèi)容作了相應(yīng)的要求:通過(guò)具體的例子了解集合的含義;體會(huì)集合中的元素與集合的“屬于”關(guān)系;能夠針對(duì)不同的具體問(wèn)題選擇合適的集合的表示方法。集合是簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的基本語(yǔ)言,是整個(gè)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。
本節(jié)的內(nèi)容比較基礎(chǔ),在考試中經(jīng)常作為題目的一部分與其他知識(shí)一起考察,其中元素與集合的關(guān)系、用列舉法和描述法表示集合等內(nèi)容是考察的熱點(diǎn)。
本節(jié)內(nèi)容所涉及的主要核心素養(yǎng)有:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等。
2 學(xué)情分析
學(xué)生在小學(xué)、初中階段的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過(guò)一些集合,只是沒(méi)有系統(tǒng)有效地使用集合語(yǔ)言,有了這些基礎(chǔ),再加上學(xué)生在生活中發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng),在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)會(huì)比較得心應(yīng)手。
在學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中,學(xué)生可能存在以下認(rèn)知障礙:一是對(duì)集合中元素的特征把握不準(zhǔn)確,主要原因是這一塊內(nèi)容的考察方式很靈活,需要學(xué)生具備一定的邏輯推理素養(yǎng);二是在使用描述法時(shí)易混淆代表元素的意義,主要原因是思考問(wèn)題中的慣性以及審題不仔細(xì)。
3 教學(xué)目標(biāo)
(1)通過(guò)具體的例子,使學(xué)生了解集合與集合中元素的含義,體會(huì)從具體例子中抽象出集合共同特征的過(guò)程,發(fā)展學(xué)生思維和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)。(2)體會(huì)元素與集合之間的屬于關(guān)系。(3)了解集合中元素的確定性、互異性、無(wú)序性。(4)能選擇合適的集合語(yǔ)言描述相關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象,并能夠做到表述方法的轉(zhuǎn)換。(5)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。
4 教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn):集合的含義與集合的表示方法.難點(diǎn):合理選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒ā?/p>
5 教學(xué)方法
講授法、問(wèn)答法。
6 教學(xué)過(guò)程
6.1 復(fù)習(xí)引入
(1)在初中的代數(shù)部分,我們接觸過(guò)哪些集合呢,你可以給出一些集合的例子嗎?(2)在初中的幾何部分,你是否也能給出一些集合的例子呢?
【師生互動(dòng)】
師:引導(dǎo)學(xué)生回憶,讓學(xué)生之間進(jìn)行討論交流,教師根據(jù)學(xué)生的交流情況給予相應(yīng)的反饋和評(píng)價(jià)。
生:老師,我記得在不等式的解集中有過(guò)集合的提法。
師:很好,還有其他同學(xué)補(bǔ)充嗎?
生:老師,我知道在定義圓的概念時(shí)也提到過(guò)集合。
【設(shè)計(jì)意圖】
回憶之前學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí),引出集合的概念。
6.2 概念形成
出示一組實(shí)例:
(1)1~10之間的所有偶數(shù);(2)立德中學(xué)今年入學(xué)的全體高一學(xué)生;(3)所有的正方形;(4)到直線l的距離等于d的所有點(diǎn);(5)方程x2-3x+2=0的所有實(shí)數(shù)根;(6)地球上的四大洋。
問(wèn)題:你能概括出以上這6個(gè)例子的共同特征嗎?得到元素與集合的概念。
【師生互動(dòng)】
師:上面的6個(gè)例子中有什么共同的特點(diǎn)呢?同學(xué)們分組交流討論一下。
生:學(xué)生進(jìn)行思考、討論。
師:我們從每個(gè)小組中選擇一位代表,給大家分享一下各個(gè)小組的討論成果。
生:討論交流后,發(fā)表觀點(diǎn)。
師:補(bǔ)充學(xué)生觀點(diǎn),為了解集合的含義做鋪墊.大家對(duì)集合是怎樣理解的呢?
生:學(xué)生思考,最后在教師的幫助下,學(xué)生總結(jié)出元素與集合的含義。
師:你能分別說(shuō)出以上各個(gè)例子中集合的元素是什么嗎?
生:學(xué)生給出回答。
【設(shè)計(jì)意圖】
集合是一個(gè)原始的、不定義的概念,我們只能給出關(guān)于集合的描述性說(shuō)明,通過(guò)具體的例子,讓學(xué)生體會(huì)集合概念生成的過(guò)程,通過(guò)學(xué)生的思考,得出集合的概念,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng)。
6.3 概念深化
(1)繼續(xù)觀察上述實(shí)例,思考:集合中的元素有什么特點(diǎn)?(2)通過(guò)給出常見(jiàn)例子,引導(dǎo)學(xué)生,歸納出集合中元素的三個(gè)基本性質(zhì)。(3)明確相等集合的概念。(4)讓學(xué)生明白元素與集合的從屬關(guān)系以及相應(yīng)符號(hào)的寫(xiě)法及應(yīng)用。(5)給出常用數(shù)集的記法。
【師生互動(dòng)】
師:“我們班里數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好的同學(xué)”、“我們班里跑得快的同學(xué)”能分別組成一個(gè)集合嗎?
生:思考交流。
師:請(qǐng)“我們班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好的同學(xué)”站起來(lái)。
生:有的同學(xué)站起來(lái),有的同學(xué)沒(méi)有站起來(lái),還有一些同學(xué)在徘徊,不知道自己該不該站起來(lái)。
師:為什么咱班同學(xué)不確定自己是否應(yīng)該站起來(lái)呢?
生:因?yàn)椴恢涝鯓硬潘銛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)好?
師:很好。也就是說(shuō),數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好沒(méi)有一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn),我們不能確定自己是不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好。因此,在研究集合時(shí),這個(gè)集合里面的元素必須是確定的。
生:老師,我明白了,“我們班里跑得快的同學(xué)”不能組成集合,因?yàn)椴荒苊鞔_知道跑得多快才算跑得快,它不滿足集合中元素的確定性。
師:非常好。這就是集合中元素的第一個(gè)性質(zhì)——確定性.如果我們班的所有學(xué)生組成一個(gè)集合,同學(xué)們思考一下集合中的元素還有什么性質(zhì)呢?
生:我們班里每一個(gè)學(xué)生都有自己的特點(diǎn),都是互不相同的。
師:對(duì),我們班里的每一個(gè)同學(xué)都是不一樣的,這就是集合中元素的第二個(gè)性質(zhì)——互異性。
師:描述我們班的所有學(xué)生組成的集合時(shí),先說(shuō)哪一位同學(xué),對(duì)我們最后的集合有影響嗎?
生:沒(méi)有,即使順序不一樣,描述的也都是同一個(gè)集合。
師:很好,無(wú)論順序如何,組成這個(gè)集合的元素時(shí)不變的。這就是集合中元素的第三個(gè)性質(zhì)——無(wú)序性。
師:同學(xué)們要牢記集合中元素的三個(gè)性質(zhì),明白它們的含義。
師:你能說(shuō)出上述6個(gè)例子中的元素分別是什么嗎?討論一下元素與集合之間有什么關(guān)系?
生:學(xué)生思考討論后回答。
師:引出元素與集合的從屬關(guān)系,讓學(xué)生理解并牢記相關(guān)符號(hào)。
師:帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)常用數(shù)集的記法。
【設(shè)計(jì)意圖】
給出身邊的常見(jiàn)例子,通過(guò)例子抽象出集合中元素的三個(gè)性質(zhì),讓學(xué)生對(duì)集合有更加深入的理解;通過(guò)集合中元素的無(wú)序性,引出相等集合的概念;通過(guò)上面的6個(gè)例子,讓學(xué)生更加深刻地理解元素與集合的從屬關(guān)系。
各種常用數(shù)集符號(hào)在后續(xù)學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常碰到,一定要牢記。
6.4 應(yīng)用舉例
除了用自然語(yǔ)言描述集合,還能用其他的方法表示集合嗎?
(1)引出集合的另一中表示方法——列舉法,通過(guò)例1題目鞏固列舉法。(2)給出一個(gè)用列舉法無(wú)法表示集合的例子讓學(xué)生思考,引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突,為引出描述法作鋪墊。(3)給出描述法的定義,鞏固,并注重兩種表示方法之間的轉(zhuǎn)換。
例1用列舉法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合。
(2)方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合。
思考:可以用列舉法來(lái)x-7<3表示不等式的解集嗎?
例2用列舉法和描述法兩種方法表示下列集合:
(1)方程x2-2=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合A。
(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合B。
【師生互動(dòng)】
教師直接給出列舉法的定義,讓學(xué)生理解記憶,并給出對(duì)應(yīng)例題:
例1解(1)設(shè)小于10的所有自然數(shù)用集合A來(lái)表示,由于集合中元素的無(wú)序性,集合A也可以用不同的列舉方法表示例如:
A={0,1,3,4,5,6,7,8,9}或A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}。
(2)設(shè)方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為B,那么B={0,1}。
教師讓學(xué)生解決“思考”中的問(wèn)題學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能用列舉法表示,引出描述法。
教師指出用描述法表示集合應(yīng)注意的問(wèn)題:
(1)有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線,寫(xiě)成{x∈A:P(x)}或{x∈A;P(x)};
(2)在花括號(hào)內(nèi),豎線兩側(cè)分別表示的意義;
(3)我們約定,如果從上下文的關(guān)系看,x∈R,x∈Z是確定的,那么x∈R,x∈Z可省略,只寫(xiě)其元素。
例2解(1)設(shè)x∈A,則x是一個(gè)實(shí)數(shù),且x2-2=0.因此,用描述法表示為A={x∈R|x2-2=0}
方程x2-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,因此用列舉法表示為。
設(shè)x∈B,則x是一個(gè)整數(shù),即x∈Z且10<x<20.因此,用描述法表示為。用列舉法表示為B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}。
【設(shè)計(jì)意圖】
拋出問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題,通過(guò)例題1加深學(xué)生對(duì)列舉法的理解。
通過(guò)思考題中的問(wèn)題讓學(xué)生發(fā)現(xiàn):有些集合用列舉法表示很不方便,引發(fā)認(rèn)知沖突,引出描述法。
通過(guò)例題2的具體題目讓學(xué)生明白各個(gè)表示方法的特點(diǎn)和適用范圍。
6.5 當(dāng)堂檢測(cè)
舉例說(shuō)明用自然語(yǔ)言、列舉法和描述法表示集合時(shí)各自的特點(diǎn),完成練習(xí):
6.5.1 判斷下列元素的全體是否組成集合,并說(shuō)明理由
(1)所有的直角三角形;(2)寫(xiě)字寫(xiě)的好的高中生。
6.5.2 用符號(hào)“”或“”填空
0N;-3N;0.5Z;Z;Q;πR。
6.5.3 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?/p>
(1)由方程x2-9=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合;(2)不等式4x-5<3的解集。
【師生互動(dòng)】
師生對(duì)本節(jié)課所涉及的實(shí)例進(jìn)行分析,討論總結(jié)出各自的優(yōu)點(diǎn)及適用范圍。
練習(xí)題部分,先讓學(xué)生獨(dú)立思考,逐個(gè)回答,再請(qǐng)其他學(xué)生評(píng)價(jià),最后教師講解、點(diǎn)評(píng)。
【設(shè)計(jì)意圖】
練習(xí)題1考察學(xué)生對(duì)集合的概念的理解,練習(xí)題2考察元素與集合的關(guān)系,練習(xí)題3考察學(xué)生對(duì)集合的表示方法的理解,鞏固所學(xué)知識(shí)。
6.6 課堂小結(jié)
(1)集合中元素的基本性質(zhì)。(2)元素與集合的關(guān)系有多少種。(3)集合的表示方法及各自的適用范圍。
【師生互動(dòng)】
師:引導(dǎo)學(xué)生思考,概括。
生:思考后進(jìn)行整理,表述概括的結(jié)果,其他同學(xué)補(bǔ)充。
【設(shè)計(jì)意圖】
歸納整理本節(jié)課所學(xué)知識(shí).關(guān)注與培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象這方面的素養(yǎng)。
6.7 布置作業(yè)
課后完成以下作業(yè):
6.7.1 用符號(hào)“”或“”填空
(1)設(shè)A為所有亞洲國(guó)家組成的集合,則中國(guó)A,美國(guó)A,印度A;
(2)若,則-1A;
(3)若,則3B。
6.7.2 把下列集合用另一種方法表示出來(lái)
(1){2,4,6,8,10};
(2);
(3)中國(guó)古代四大發(fā)明。
【師生互動(dòng)】
學(xué)生課后獨(dú)立完成。
【設(shè)計(jì)意圖】
練習(xí)題1考察元素與集合的關(guān)系,練習(xí)題2考察學(xué)生對(duì)集合的表示方法的理解,鞏固新知。
7 板書(shū)設(shè)計(jì)
8 教學(xué)反思
教材中也只是給出了集合概念的一個(gè)描述性說(shuō)明教師要借助具體的例子引導(dǎo)學(xué)生概括出元素和集合的含義,注重概念的生成過(guò)程,有意識(shí)地關(guān)注、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),并在具體運(yùn)用中逐漸熟悉元素、集合的字母表示以及它們之間的關(guān)系在教學(xué)過(guò)程中,要注意“”和“”的開(kāi)口都是朝著集合的方向,一定要讓學(xué)生書(shū)寫(xiě)規(guī)范,用列舉法和描述法表示集合的時(shí)候要注意區(qū)分寫(xiě)法的不同,不能混淆。
在核心素養(yǎng)下的教學(xué)設(shè)計(jì)中有以下幾點(diǎn)思考:
(1)教什么:在教學(xué)設(shè)計(jì)中,首先我們要明確我們的教學(xué)目標(biāo)是什么,有了目標(biāo)也就有了方向,我們要依據(jù)課標(biāo)合理選擇所要教學(xué)的內(nèi)容,在教的過(guò)程中,不僅僅有看得見(jiàn)的顯性目標(biāo),也要注重隱性目標(biāo),數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不能停留在內(nèi)隱層面,不能只是空洞的概念,隱性的目標(biāo)可以借助顯性的數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)體現(xiàn)[3]。
(2)怎么教:學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中要以自身的認(rèn)知發(fā)展水平為基礎(chǔ),高中數(shù)學(xué)知識(shí)具有較強(qiáng)的抽象性,教師在教的過(guò)程中可以多結(jié)合一些實(shí)例,輔助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí).教師還可以借助一些教學(xué)工具,例如多媒體,幾何畫(huà)板軟件等等,輔助教學(xué),發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),教師要精心設(shè)計(jì)問(wèn)題,在問(wèn)題中注重思維的養(yǎng)成。
(3)學(xué)什么:學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界[4]。
(4)怎么學(xué):要注重概念的辨析,多進(jìn)行比較,在掌握知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上同化新的概念[5]可以借助思維導(dǎo)圖進(jìn)行學(xué)習(xí),理清知識(shí)之間的關(guān)系,構(gòu)建知識(shí)框架,還要多實(shí)踐,實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn),將學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活中,數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。
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[5] 李俊玲,謝紅梅.從概念教學(xué)中落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展[J].兵團(tuán)教育學(xué)院學(xué)報(bào),2021,31(02):65-70.
作者簡(jiǎn)介:
李兆慶:(1998.10—),男,漢族,山東濟(jì)寧人,教育碩士。