摘 要：核心素養(yǎng)指學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中也倡導(dǎo)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展[1]。學(xué)校和教師依據(jù)國(guó)家頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)才能更好地進(jìn)行教學(xué)，在這個(gè)背景下，本文以集合的概念為例，給出了核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，希望給廣大教師一些參考。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng) 高中數(shù)學(xué) 教學(xué)設(shè)計(jì) 案例

集合是刻畫(huà)一類事物的語(yǔ)言和工具，學(xué)生步入高中后接觸到的第一個(gè)知識(shí)就是集合，集合的重要性不言而喻，學(xué)習(xí)集合的概念，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)具有重要意義。因此，在課堂教學(xué)中，如何落實(shí)核心素養(yǎng)就成了我們需要思考的問(wèn)題。教師可以從“教什么”和“怎么教”兩方面來(lái)落實(shí)核心素養(yǎng)[2]。

1 教材分析

集合的概念是數(shù)學(xué)教材必修第一冊(cè)中第一章第一節(jié)的內(nèi)容。課標(biāo)中也對(duì)本節(jié)內(nèi)容作了相應(yīng)的要求：通過(guò)具體的例子了解集合的含義;體會(huì)集合中的元素與集合的“屬于”關(guān)系;能夠針對(duì)不同的具體問(wèn)題選擇合適的集合的表示方法。集合是簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的基本語(yǔ)言，是整個(gè)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

本節(jié)的內(nèi)容比較基礎(chǔ)，在考試中經(jīng)常作為題目的一部分與其他知識(shí)一起考察，其中元素與集合的關(guān)系、用列舉法和描述法表示集合等內(nèi)容是考察的熱點(diǎn)。

本節(jié)內(nèi)容所涉及的主要核心素養(yǎng)有：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等。

2 學(xué)情分析

學(xué)生在小學(xué)、初中階段的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過(guò)一些集合，只是沒(méi)有系統(tǒng)有效地使用集合語(yǔ)言，有了這些基礎(chǔ)，再加上學(xué)生在生活中發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)會(huì)比較得心應(yīng)手。

在學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生可能存在以下認(rèn)知障礙：一是對(duì)集合中元素的特征把握不準(zhǔn)確，主要原因是這一塊內(nèi)容的考察方式很靈活，需要學(xué)生具備一定的邏輯推理素養(yǎng);二是在使用描述法時(shí)易混淆代表元素的意義，主要原因是思考問(wèn)題中的慣性以及審題不仔細(xì)。

3 教學(xué)目標(biāo)

（1）通過(guò)具體的例子，使學(xué)生了解集合與集合中元素的含義，體會(huì)從具體例子中抽象出集合共同特征的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生思維和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)。（2）體會(huì)元素與集合之間的屬于關(guān)系。（3）了解集合中元素的確定性、互異性、無(wú)序性。（4）能選擇合適的集合語(yǔ)言描述相關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象，并能夠做到表述方法的轉(zhuǎn)換。（5）調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。

4 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：集合的含義與集合的表示方法.難點(diǎn)：合理選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒ā?/p>

5 教學(xué)方法

講授法、問(wèn)答法。

6 教學(xué)過(guò)程

6.1 復(fù)習(xí)引入

（1）在初中的代數(shù)部分，我們接觸過(guò)哪些集合呢，你可以給出一些集合的例子嗎？（2）在初中的幾何部分，你是否也能給出一些集合的例子呢？

【師生互動(dòng)】

師：引導(dǎo)學(xué)生回憶，讓學(xué)生之間進(jìn)行討論交流，教師根據(jù)學(xué)生的交流情況給予相應(yīng)的反饋和評(píng)價(jià)。

生：老師，我記得在不等式的解集中有過(guò)集合的提法。

師：很好，還有其他同學(xué)補(bǔ)充嗎？

生：老師，我知道在定義圓的概念時(shí)也提到過(guò)集合。

【設(shè)計(jì)意圖】

回憶之前學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，引出集合的概念。

6.2 概念形成

出示一組實(shí)例：

（1）1～10之間的所有偶數(shù);（2）立德中學(xué)今年入學(xué)的全體高一學(xué)生;（3）所有的正方形;（4）到直線l的距離等于d的所有點(diǎn);（5）方程x2-3x+2=0的所有實(shí)數(shù)根;（6）地球上的四大洋。

問(wèn)題：你能概括出以上這6個(gè)例子的共同特征嗎？得到元素與集合的概念。

【師生互動(dòng)】

師：上面的6個(gè)例子中有什么共同的特點(diǎn)呢？同學(xué)們分組交流討論一下。

生：學(xué)生進(jìn)行思考、討論。

師：我們從每個(gè)小組中選擇一位代表，給大家分享一下各個(gè)小組的討論成果。

生：討論交流后，發(fā)表觀點(diǎn)。

師：補(bǔ)充學(xué)生觀點(diǎn)，為了解集合的含義做鋪墊.大家對(duì)集合是怎樣理解的呢？

生：學(xué)生思考，最后在教師的幫助下，學(xué)生總結(jié)出元素與集合的含義。

師：你能分別說(shuō)出以上各個(gè)例子中集合的元素是什么嗎？

生：學(xué)生給出回答。

【設(shè)計(jì)意圖】

集合是一個(gè)原始的、不定義的概念，我們只能給出關(guān)于集合的描述性說(shuō)明，通過(guò)具體的例子，讓學(xué)生體會(huì)集合概念生成的過(guò)程，通過(guò)學(xué)生的思考，得出集合的概念，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng)。

6.3 概念深化

（1）繼續(xù)觀察上述實(shí)例，思考：集合中的元素有什么特點(diǎn)？（2）通過(guò)給出常見(jiàn)例子，引導(dǎo)學(xué)生，歸納出集合中元素的三個(gè)基本性質(zhì)。（3）明確相等集合的概念。（4）讓學(xué)生明白元素與集合的從屬關(guān)系以及相應(yīng)符號(hào)的寫(xiě)法及應(yīng)用。（5）給出常用數(shù)集的記法。

【師生互動(dòng)】

師：“我們班里數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好的同學(xué)”、“我們班里跑得快的同學(xué)”能分別組成一個(gè)集合嗎？

生：思考交流。

師：請(qǐng)“我們班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好的同學(xué)”站起來(lái)。

生：有的同學(xué)站起來(lái)，有的同學(xué)沒(méi)有站起來(lái)，還有一些同學(xué)在徘徊，不知道自己該不該站起來(lái)。

師：為什么咱班同學(xué)不確定自己是否應(yīng)該站起來(lái)呢？

生：因?yàn)椴恢涝鯓硬潘銛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)好？

師：很好。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好沒(méi)有一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，我們不能確定自己是不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好。因此，在研究集合時(shí)，這個(gè)集合里面的元素必須是確定的。

生：老師，我明白了，“我們班里跑得快的同學(xué)”不能組成集合，因?yàn)椴荒苊鞔_知道跑得多快才算跑得快，它不滿足集合中元素的確定性。

師：非常好。這就是集合中元素的第一個(gè)性質(zhì)——確定性.如果我們班的所有學(xué)生組成一個(gè)集合，同學(xué)們思考一下集合中的元素還有什么性質(zhì)呢？

生：我們班里每一個(gè)學(xué)生都有自己的特點(diǎn)，都是互不相同的。

師：對(duì)，我們班里的每一個(gè)同學(xué)都是不一樣的，這就是集合中元素的第二個(gè)性質(zhì)——互異性。

師：描述我們班的所有學(xué)生組成的集合時(shí)，先說(shuō)哪一位同學(xué)，對(duì)我們最后的集合有影響嗎？

生：沒(méi)有，即使順序不一樣，描述的也都是同一個(gè)集合。

師：很好，無(wú)論順序如何，組成這個(gè)集合的元素時(shí)不變的。這就是集合中元素的第三個(gè)性質(zhì)——無(wú)序性。

師：同學(xué)們要牢記集合中元素的三個(gè)性質(zhì)，明白它們的含義。

師：你能說(shuō)出上述6個(gè)例子中的元素分別是什么嗎？討論一下元素與集合之間有什么關(guān)系？

生：學(xué)生思考討論后回答。

師：引出元素與集合的從屬關(guān)系，讓學(xué)生理解并牢記相關(guān)符號(hào)。

師：帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)常用數(shù)集的記法。

【設(shè)計(jì)意圖】

給出身邊的常見(jiàn)例子，通過(guò)例子抽象出集合中元素的三個(gè)性質(zhì)，讓學(xué)生對(duì)集合有更加深入的理解;通過(guò)集合中元素的無(wú)序性，引出相等集合的概念;通過(guò)上面的6個(gè)例子，讓學(xué)生更加深刻地理解元素與集合的從屬關(guān)系。

各種常用數(shù)集符號(hào)在后續(xù)學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常碰到，一定要牢記。

6.4 應(yīng)用舉例

除了用自然語(yǔ)言描述集合，還能用其他的方法表示集合嗎？

（1）引出集合的另一中表示方法——列舉法，通過(guò)例1題目鞏固列舉法。（2）給出一個(gè)用列舉法無(wú)法表示集合的例子讓學(xué)生思考，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，為引出描述法作鋪墊。（3）給出描述法的定義，鞏固，并注重兩種表示方法之間的轉(zhuǎn)換。

例1用列舉法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然數(shù)組成的集合。

（2）方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合。

思考：可以用列舉法來(lái)x-7<3表示不等式的解集嗎？

例2用列舉法和描述法兩種方法表示下列集合：

（1）方程x2-2=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合A。

（2）由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合B。

【師生互動(dòng)】

教師直接給出列舉法的定義，讓學(xué)生理解記憶，并給出對(duì)應(yīng)例題：

例1解（1）設(shè)小于10的所有自然數(shù)用集合A來(lái)表示，由于集合中元素的無(wú)序性，集合A也可以用不同的列舉方法表示例如：

A={0，1，3，4，5，6，7，8，9}或A={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}。

（2）設(shè)方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為B，那么B={0，1}。

教師讓學(xué)生解決“思考”中的問(wèn)題學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能用列舉法表示，引出描述法。

教師指出用描述法表示集合應(yīng)注意的問(wèn)題：

（1）有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線，寫(xiě)成{x∈A：P（x）}或{x∈A;P（x）};

（2）在花括號(hào)內(nèi)，豎線兩側(cè)分別表示的意義;

（3）我們約定，如果從上下文的關(guān)系看，x∈R，x∈Z是確定的，那么x∈R，x∈Z可省略，只寫(xiě)其元素。

例2解（1）設(shè)x∈A，則x是一個(gè)實(shí)數(shù)，且x2-2=0.因此，用描述法表示為A={x∈R|x2-2=0}

方程x2-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此用列舉法表示為。

設(shè)x∈B，則x是一個(gè)整數(shù)，即x∈Z且10<x<20.因此，用描述法表示為。用列舉法表示為B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}。

【設(shè)計(jì)意圖】

拋出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題，通過(guò)例題1加深學(xué)生對(duì)列舉法的理解。

通過(guò)思考題中的問(wèn)題讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：有些集合用列舉法表示很不方便，引發(fā)認(rèn)知沖突，引出描述法。

通過(guò)例題2的具體題目讓學(xué)生明白各個(gè)表示方法的特點(diǎn)和適用范圍。

6.5 當(dāng)堂檢測(cè)

舉例說(shuō)明用自然語(yǔ)言、列舉法和描述法表示集合時(shí)各自的特點(diǎn)，完成練習(xí)：

6.5.1 判斷下列元素的全體是否組成集合，并說(shuō)明理由

（1）所有的直角三角形;（2）寫(xiě)字寫(xiě)的好的高中生。

6.5.2 用符號(hào)“”或“”填空

0N;-3N;0.5Z;Z;Q;πR。

6.5.3 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?/p>

（1）由方程x2-9=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合;（2）不等式4x-5<3的解集。

【師生互動(dòng)】

師生對(duì)本節(jié)課所涉及的實(shí)例進(jìn)行分析，討論總結(jié)出各自的優(yōu)點(diǎn)及適用范圍。

練習(xí)題部分，先讓學(xué)生獨(dú)立思考，逐個(gè)回答，再請(qǐng)其他學(xué)生評(píng)價(jià)，最后教師講解、點(diǎn)評(píng)。

【設(shè)計(jì)意圖】

練習(xí)題1考察學(xué)生對(duì)集合的概念的理解，練習(xí)題2考察元素與集合的關(guān)系，練習(xí)題3考察學(xué)生對(duì)集合的表示方法的理解，鞏固所學(xué)知識(shí)。

6.6 課堂小結(jié)

（1）集合中元素的基本性質(zhì)。（2）元素與集合的關(guān)系有多少種。（3）集合的表示方法及各自的適用范圍。

【師生互動(dòng)】

師：引導(dǎo)學(xué)生思考，概括。

生：思考后進(jìn)行整理，表述概括的結(jié)果，其他同學(xué)補(bǔ)充。

【設(shè)計(jì)意圖】

歸納整理本節(jié)課所學(xué)知識(shí).關(guān)注與培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象這方面的素養(yǎng)。

6.7 布置作業(yè)

課后完成以下作業(yè)：

6.7.1 用符號(hào)“”或“”填空

（1）設(shè)A為所有亞洲國(guó)家組成的集合，則中國(guó)A，美國(guó)A，印度A;

（2）若，則-1A;

（3）若，則3B。

6.7.2 把下列集合用另一種方法表示出來(lái)

（1）{2，4，6，8，10};

（2）;

（3）中國(guó)古代四大發(fā)明。

【師生互動(dòng)】

學(xué)生課后獨(dú)立完成。

【設(shè)計(jì)意圖】

練習(xí)題1考察元素與集合的關(guān)系，練習(xí)題2考察學(xué)生對(duì)集合的表示方法的理解，鞏固新知。

7 板書(shū)設(shè)計(jì)

8 教學(xué)反思

教材中也只是給出了集合概念的一個(gè)描述性說(shuō)明教師要借助具體的例子引導(dǎo)學(xué)生概括出元素和集合的含義，注重概念的生成過(guò)程，有意識(shí)地關(guān)注、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，并在具體運(yùn)用中逐漸熟悉元素、集合的字母表示以及它們之間的關(guān)系在教學(xué)過(guò)程中，要注意“”和“”的開(kāi)口都是朝著集合的方向，一定要讓學(xué)生書(shū)寫(xiě)規(guī)范，用列舉法和描述法表示集合的時(shí)候要注意區(qū)分寫(xiě)法的不同，不能混淆。

在核心素養(yǎng)下的教學(xué)設(shè)計(jì)中有以下幾點(diǎn)思考：

（1）教什么：在教學(xué)設(shè)計(jì)中，首先我們要明確我們的教學(xué)目標(biāo)是什么，有了目標(biāo)也就有了方向，我們要依據(jù)課標(biāo)合理選擇所要教學(xué)的內(nèi)容，在教的過(guò)程中，不僅僅有看得見(jiàn)的顯性目標(biāo)，也要注重隱性目標(biāo)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不能停留在內(nèi)隱層面，不能只是空洞的概念，隱性的目標(biāo)可以借助顯性的數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)體現(xiàn)[3]。

（2）怎么教：學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中要以自身的認(rèn)知發(fā)展水平為基礎(chǔ)，高中數(shù)學(xué)知識(shí)具有較強(qiáng)的抽象性，教師在教的過(guò)程中可以多結(jié)合一些實(shí)例，輔助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí).教師還可以借助一些教學(xué)工具，例如多媒體，幾何畫(huà)板軟件等等，輔助教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，教師要精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，在問(wèn)題中注重思維的養(yǎng)成。

（3）學(xué)什么：學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界[4]。

（4）怎么學(xué)：要注重概念的辨析，多進(jìn)行比較，在掌握知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上同化新的概念[5]可以借助思維導(dǎo)圖進(jìn)行學(xué)習(xí)，理清知識(shí)之間的關(guān)系，構(gòu)建知識(shí)框架，還要多實(shí)踐，實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，將學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活中，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 胡云飛.“教什么”和“怎么教”是課堂教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵維度——以“直線與圓的位置關(guān)系”為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（11）：33-37.

[3] 徐解清.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：從內(nèi)隱走向外顯——《直線和平面平行的判定》的教學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（07）：24-27.

[4] 史寧中.學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學(xué)——以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為例[J].中小學(xué)管理，2017（01）：35-37.

[5] 李俊玲，謝紅梅.從概念教學(xué)中落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展[J].兵團(tuán)教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2021，31（02）：65-70.

作者簡(jiǎn)介：

李兆慶：（1998.10—），男，漢族，山東濟(jì)寧人，教育碩士。