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        解三角形的基本策略

        2022-03-27 21:59:30廖永福
        關(guān)鍵詞:正弦定理解三角形解題策略

        廖永福

        摘 要:解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考必考的知識(shí)點(diǎn).考題靈活多樣,多以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn).難度雖然不大,但由于部分同學(xué)思路不清、方向不明,導(dǎo)致得分率不高.本文對(duì)近幾年的高考真題進(jìn)行了梳理,歸納出一些基本的解題策略,供大家教學(xué)時(shí)參考.

        關(guān)鍵詞:高考;解三角形;解題策略;正弦定理;余弦定理

        中圖分類號(hào):G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A?? 文章編號(hào):1008-0333(2022)04-0040-06

        解三角形問題的主要題型有:求三角形的邊和角;判斷三角形的形狀;與周長、面積有關(guān)的問題等.重點(diǎn)考查正弦定理、余弦定理和面積公式,有時(shí)也涉及三角函數(shù)、三角恒等變換和不等式等知識(shí).基本的解題策略有:邊角互化、余弦優(yōu)先、射影定理、消角轉(zhuǎn)化、整體代換和數(shù)形結(jié)合等.

        1 邊角互化

        解三角形時(shí),若已知邊的齊次式或角的正弦的齊次式,應(yīng)優(yōu)先考慮利用正弦定理進(jìn)行邊角互化.

        例1 (2019年全國Ⅱ卷文15)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,則B=.

        分析 先根據(jù)正弦定理邊化角,再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解.

        解析 由正弦定理,得sinBsinA+sinAcosB=0.

        因?yàn)閟inA≠0,所以sinB+cosB=0.

        即tanB=-1.

        又因?yàn)锽∈(0,π),所以B=3π4.

        點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、特殊角的三角函數(shù)值,滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),解題關(guān)鍵是利用正弦定理邊化角,屬于基礎(chǔ)題.

        例2 (2021年全國Ⅰ卷19)記△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點(diǎn)D在邊AC上,BDsin∠ABC=asinC.

        (1)證明:BD=b;

        (2)若AD=2DC,求cos∠ABC.

        分析 (1)由已知條件,結(jié)合正弦定理易證;(2)由∠ADB+∠CDB=π,結(jié)合余弦定理求解.圖1

        解析 (1)如圖1,由BDsin∠ABC=asinC和b2=ac,

        結(jié)合正弦定理,得BD·b=ac=b2.

        所以BD=b.

        (2)由(1)知BD=b.

        因?yàn)锳D=2DC,所以AD=23b,CD=13b.

        因?yàn)椤螦DB+∠CDB=π,

        所以cos∠ADB+cos∠CDB=0.

        由余弦定理,得

        BD2+AD2-AB22BD·AD+BD2+CD2-BC22BD·CD=0.

        即b2+(23b)2-c22·b·23b+b2+(13b)2-a22·b·13b=0.

        化簡,得6a2-11b2+3c2=0.

        即6a2-11ac+3c2=0.

        解得c=3a或c=23a.

        由余弦定理,得

        cos∠ABC=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac.

        當(dāng)c=3a時(shí),cos∠ABC=76>1(舍去);

        當(dāng)c=23a時(shí),cos∠ABC=712.

        故cos∠ABC=712.

        點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和余弦定理,考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),第(1)小題的關(guān)鍵是應(yīng)用正弦定理角化邊;第(2)小題的關(guān)鍵是挖掘隱含條件∠ADB+∠CDB=π,應(yīng)用余弦定理角化邊,屬于中檔題.

        變式練習(xí)1 (2019年全國Ⅰ卷理17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)sin2A-sinBsinC=(sinB-sinC)2.

        (1)求A;

        (2)若2a+b=2c,求sinC.

        2 余弦優(yōu)先

        解三角形時(shí),若已知三邊的二次齊次式或某個(gè)角的余弦值,應(yīng)優(yōu)先考慮利用余弦定理進(jìn)行邊角互化.

        例3 (2021年全國乙卷理15)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為3,B=60°,a2+c2=3ac,則b=.

        分析 先根據(jù)三角形的面積公式求出ac,再利用余弦定理即可求得結(jié)果.

        解析 由題意,得S△ABC=12acsinB=34ac=3.

        所以ac=4.

        因?yàn)閍2+c2=3ac,所以a2+c2=12.

        所以b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×12=8.

        解得b=22(取正值).故答案為22.

        點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理和三角形的面積公式,考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件的特點(diǎn),選用三角形的面積公式和余弦定理求解,屬于中檔題.

        例4 (2019年全國Ⅰ卷文11)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-14,則bc=(? ).

        A.6? B.5? C.4? D.3

        分析 利用正弦定理和余弦定理角化邊,得到關(guān)于a,b,c的方程組,消去a即可.

        解析 由已知及正、余弦定理,得a2-b2=4c2,b2+c2-a22bc=-14.

        消去a,得c2-4c22bc=-14.

        所以bc=6.故選A.

        點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和余弦定理,考查推理能力和運(yùn)算能力,解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件的特點(diǎn),選用正弦定理和余弦定理求解,屬于中檔題.

        變式練習(xí)2 (2017年天津卷文15)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=5(a2-b2-c2).

        (1)求cosA的值;

        (2)求sin(2B-A)的值.

        3 射影定理

        射影定理 三角形的任意一邊等于其他兩邊在這邊上的射影之和.

        即在△ABC中,若角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.

        射影定理的證法很多,難度也不大,同學(xué)們不妨一試.

        例5 (2017年全國Ⅱ卷文16)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則B=.

        分析 由已知條件,結(jié)合射影定理求解.

        解析 因?yàn)?bcosB=acosC+ccosA=b,

        所以cosB=12.

        又0<B<π,所以B=π3.

        點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和三角恒等變換,這里運(yùn)用射影定理求解,簡便快捷,屬于基礎(chǔ)題.

        例6 (2011年山東卷理17)在△ABC 中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cosA-2cosCcosB=2c-ab.

        (1)求sinCsinA的值;

        (2)若cosB=14,b=2 ,求△ABC的面積.

        分析 (1)由正弦定理邊化角整理可得

        sinA+B=2sinB+C,化簡即得答案.(2)由(1)知ca=sinCsinA=2,結(jié)合題意由余弦定理可解得a=1 ,sinB=154,從而計(jì)算出面積.

        解析 (1)因?yàn)閏osA-2cosCcosB=2c-ab,

        所以b(cosA-2cosC)=(2c-a)cosB.

        所以bcosA+acosB=2ccosB+2bcosC.

        由射影定理,得c=2a.

        所以sinCsinA=ca=2.

        (2)由(1)知c=2a,由余弦定理,得

        b2=a2+c2-2accosB.

        即22=a2+4a2-2a×2a×14.

        解得a=1.所以c=2.

        因?yàn)閏osB=14,所以sinB=154.

        故△ABC的面積S=12acsinB=12×1×2×154=154.

        點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式,在解答第(1)小題時(shí),巧妙應(yīng)用射影定理,簡化了解題過程,屬于中檔題.

        變式練習(xí)3 (2013年全國Ⅱ卷理17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.

        (1)求B;

        (2)若b=2,求△ABC面積的最大值.

        4 消角轉(zhuǎn)化

        三角形中的三角恒等變換,一般都要用到三角形內(nèi)角和定理,利用它可以減少角的個(gè)數(shù),以達(dá)到化簡、求值及證明的目的.常用的結(jié)論有:A+B=π-C,A+B2=π2-C2,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,sinA+B2=cosC2,cosA+B2=sinC2等.

        例7 (2017年全國Ⅰ卷文11)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,則C=(? ).

        A.π12? B.π6? C.π4? D.π3

        分析 由正弦定理找出sinA與sinC的關(guān)系,將已知等式轉(zhuǎn)換為只含角A與C的等式,先求出A,再求C.

        解析 因?yàn)閍=2,c=2,

        所以由正弦定理,得sinA=2sinC.

        又因?yàn)锽=π-(A+C),

        所以sinB+sinA(sinC-cosC)

        =sin(A+C)+sinAsinC-sinAcosC

        =sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC

        =(sinA+cosA)sinC=0.

        又C為三角形的內(nèi)角,故sinC≠0.

        則sinA+cosA=0,即tanA=-1.

        又A∈(0,π),所以A=3π4.

        從而sinC=12sinA=12×22=12.

        由A=3π4知,C為銳角,故C=π6.故選B.

        點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和三角恒等變換,考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).解題關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和定理,將已知等式轉(zhuǎn)換為只含角A與C的等式,屬于中檔題.

        例8 (2020年浙江卷18)在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2bsinA-3a=0.

        (1)求角B的大小;

        (2)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

        分析 (1)利用正弦定理,將2bsinA-3a=0中的邊化為角,可求sinB的值,從而求出角B的大小;(2)利用三角形內(nèi)角和定理及已求出的角B的大小,將cosA+cosB+cosC轉(zhuǎn)化成其中一個(gè)角的形式,再利用三角變換求出取值范圍.

        解析 (1)由2bsinA=3a,結(jié)合正弦定理,得

        2sinBsinA=3sinA.

        所以sinB=32.

        由題意,得B=π3.

        (2)由(1)及A+B+C=π,得C=2π3-A.

        由△ABC是銳角三角形,得A∈(π6,π2).

        故cosA+cosB+cosC=cosA+12+cos2π3-A

        =cosA-12cosA+32sinA+12

        =32sinA+12cosA+12

        =sinA+π6+12∈3+12,32.

        故cosA+cosB+cosC的取值范圍是3+12,32.

        點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)等,考查運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力,解題關(guān)鍵是利用內(nèi)角和定理,將cosA+cosB+cosC轉(zhuǎn)化為角A的三角函數(shù)的形式,屬于中檔題.

        變式練習(xí)4 (2018年北京卷文14)若△ABC的面積為34(a2+c2-b2),且∠C為鈍角,則∠B=;ca的取值范圍是.

        5 整體代換

        整體代換就是根據(jù)所求式子的結(jié)構(gòu)特征,將含某些未知量的式子看作一個(gè)整體,建立已知與所求之間的關(guān)系,進(jìn)而解決問題.采用這種策略解題,往往能收到化繁為簡、化難為易的效果.

        例9 (2018年全國Ⅰ卷文16)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為.

        分析 由正弦定理結(jié)合條件bsinC+csinB=4asinBsinC,求得sinA,由余弦定理結(jié)合條件b2+c2-a2=8,可求得△ABC的面積.

        解析 因?yàn)閎sinC+csinB=4asinBsinC,

        所以由正弦定理,得

        sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC.

        又因?yàn)閟inBsinC>0,所以sinA=12.

        因?yàn)閎2+c2-a2=8,

        所以由余弦定理,得

        cosA=b2+c2-a22bc=82bc=4bc>0.

        所以4bc=32,bc=833.

        所以△ABC的面積

        S=12bcsinA=12×833×12=233.

        點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式,考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),解題關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件,列出關(guān)于bc的方程,再整體求出bc,屬于中檔題.

        例10 (2020年全國Ⅱ卷理17)△ABC中,

        sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

        (1)求A;

        (2)若BC=3,求△ABC周長的最大值.

        分析 (1)由正弦定理結(jié)合條件sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC化角為邊,再根據(jù)余弦定理求出cosA的值,進(jìn)而求得A;(2)由(1)可得AC+AB2-AC·AB=9,利用基本不等式可求得AC+AB的最大值,進(jìn)而得到結(jié)果.

        解析 (1)由已知和正弦定理,得

        BC2-AC2-AB2=AC·AB.

        所以cosA=AC2+AB2-BC22AC·AB=-12.

        因?yàn)锳∈0,π,所以A=2π3.

        (2)由BC=3及(1),得9=BC2=AC2+AB2+AC·AB=AC+AB2-AC·AB.

        因?yàn)锳C·AB≤AC+AB22,

        所以9=AC+AB2-AC·AB

        ≥AC+AB2-AC+AB22=34AC+AB2.

        所以AC+AB≤23.

        所以△ABC的周長L=AC+AB+BC≤3+23,當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB=3時(shí),等號(hào)成立.

        所以△ABC周長的最大值為3+23.

        點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng). 解題關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件,列出關(guān)于邊AB和AC的方程后,結(jié)合基本不等式,轉(zhuǎn)化為關(guān)于AB+AC的不等式,進(jìn)而求出△ABC周長的最大值,屬于中檔題.

        變式練習(xí)5 (2016年全國Ⅰ卷理17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

        (1)求角C;

        (2)若c=7,S△ABC=332,求△ABC的周長.

        6 數(shù)形結(jié)合

        數(shù)形結(jié)合是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì),研究三角形邊、角之間的關(guān)系,以尋求三角形問題的解決途徑.充分挖掘幾何圖形隱含的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,必要時(shí)可適當(dāng)添加輔助線.

        例11 (2015年全國Ⅰ卷理16)如圖2,在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是.

        圖2

        分析 先找出線段DA的兩個(gè)極限位置CF和點(diǎn)E,得到AB的兩個(gè)極限值FB和EB,再求解即可.

        解析 延長BA與CD相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF∥DA交AB于點(diǎn)F,則FB<AB<EB.

        在等腰△BCF中,F(xiàn)C=BC=2,∠BCF=30°.

        所以FB=FC2+BC2-2×FC×BCcos∠BCF=22+22-2×2×2cos30°=6-2.

        又在等腰△BCE中,∠B=∠C=75°,∠E=30°,

        所以EB=BCsin∠Csin∠E=2sin75°sin30°=2×6+2412

        =6+2.

        所以6-2<AB<6+2.

        點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、余弦定理和極限思想,滲透直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),解題關(guān)鍵是構(gòu)造△BCE,找出線段DA的兩個(gè)極限位置CF和點(diǎn)E,屬于中檔題.

        例12 (2014年全國Ⅰ卷理16)已知a,b,c 分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且a=2,(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為.

        分析 先用正弦定理化角為邊,再用余弦定理求出A,最后畫出△ABC及其外接圓,結(jié)合圖形求解.

        解析 由a=2和

        (2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,

        得(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC.

        根據(jù)正弦定理,得

        (a+b)(a-b)=(c-b)c.

        即b2+c2-a2=bc.

        所以cosA=b2+c2-a22bc=12,故A=60°.

        又根據(jù)正弦定理,得△ABC外接圓⊙O的直徑2R=asinA=2sin60°=433,如圖3所示.

        圖3

        故點(diǎn)A可在優(yōu)弧BmC上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn)B,C).

        當(dāng)AO⊥BC時(shí),△ABC的高最大,面積也最大,這時(shí)△ABC恰為正三角形,其面積為34×22=3.

        點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用,滲透邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),解題關(guān)鍵是巧妙利用正弦定理和2=a進(jìn)行代換,將已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式,進(jìn)而求出A,再借助△ABC的外接圓,求出△ABC面積的最大值,屬于中檔題.

        變式練習(xí)6 (2019年全國Ⅲ卷理18)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asinA+C2=bsinA.

        (1)求B;

        (2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍.

        參考文獻(xiàn):

        [1] 李金進(jìn).例談解三角形問題中非齊次結(jié)構(gòu)的難點(diǎn)突破[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2021(01):8-10.

        [2] 劉海珍,劉秀萍.例談數(shù)形結(jié)合法巧求三角形面積的范圍[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2020(05):43-44.

        [責(zé)任編輯:李 璟]

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