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        一道三角形面積最值真題引發(fā)的探究

        2022-03-27 21:59:30魏東升
        關(guān)鍵詞:方法

        魏東升

        摘 要:本文通過(guò)對(duì)2019年高考北京卷文科第8題及其變式進(jìn)行探究,試圖呈現(xiàn)解決一類解三角形面積最值問(wèn)題的常用思想方法.

        關(guān)鍵詞:高考;解三角形;最值;方法

        中圖分類號(hào):G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A?? 文章編號(hào):1008-0333(2022)04-0069-03

        解三角形和三角函數(shù)、三角恒等變形等知識(shí)一樣,是高中數(shù)學(xué)中的一塊非常重要的內(nèi)容,在歷年的高考中一直是考查的熱點(diǎn)之一.筆者在一節(jié)“正余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用”習(xí)題課中給出了一道2019年高考北京卷文科的真題,同學(xué)們出色的表現(xiàn)讓筆者感慨!為方便討論,筆者把探究過(guò)程整理如下.

        1 試題再現(xiàn)

        題目 如圖1,A,B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn),P為圓周上的動(dòng)點(diǎn),∠APB是銳角,大小為β,則圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為(? ).

        A.4β+4cosβ? B. 4β+4sinβ

        C.2β+2cosβD. 2β+2sinβ

        2 試題解析

        這是一道關(guān)于解三角形最值的問(wèn)題,是選擇題中的壓軸題.主要考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí),是一道不可多得的好題.

        分析 如圖2,設(shè)圓心為O,連接OA,OB,OP,AB,則∠AOB=2∠APB=2β.

        所以S扇形OAB=12×2β×22=4β,

        S△AOB=12×2×2sin2β=4sinβ·cosβ.

        記S弓形=S扇形OAB-S△AOB=4β-4sinβ·cosβ,

        所以S陰影=S弓形+S△ABP,其中S弓形為定值.

        所以當(dāng)S△ABP最大時(shí),S陰影最大.

        對(duì)于S△ABP最值的求法,由于題設(shè)直接給出了外接圓半徑及相應(yīng)的圖象,因而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想計(jì)算S△ABP是最自然的選擇,但如果不給圖象,且把題目作如下改編:

        △ABP中,AB=4sinβ,∠APB=β,則△ABP面積的最大值為.

        又該如何作答呢?筆者班上的學(xué)生見(jiàn)此變式甚為興奮,學(xué)生A快速地給出了如下作答:

        解法1 由圖3可知,當(dāng)AP=BP時(shí),S陰影最大.

        因?yàn)锳B=4sinβ,此時(shí)

        S△ABP=12×4sinβ(2+2cosβ)

        =4sinβ(1+cosβ).

        通過(guò)外接圓解題無(wú)疑是最佳途徑.此法完全是“站”在剛才真題這個(gè)“巨人的肩膀”上作出的完美解答,但這在考場(chǎng)上并不容易想到,特別是在沒(méi)有“巨人”的幫助下.

        這時(shí),學(xué)生B和學(xué)生C分別給出了以下兩種思路:

        解法2 假設(shè)邊PA,PB的長(zhǎng)分別為b,a,在△ABP中,AB=4sinβ,由余弦定理,得

        AB2=16sin2β

        =16(1-cos2β)

        =a2+b2-2abcosβ

        ≥2ab-2abcosβ

        =2ab(1-cosβ).

        即ab≤8(1+cosβ).

        從而S△ABP=12absinβ≤4(1+cosβ)sinβ.

        所以△ABP面積的最大值為4(1+cosβ)sinβ.

        解法3 假設(shè)邊PA,PB的長(zhǎng)分別為b,a,

        結(jié)合正弦定理,知

        S△ABP=12absinβ

        =8sinA·sinB·sinβ

        =8sinβ·sinA·sin(β+A)

        =8sinβ·sinA(sinβ·cosA+cosβ·sinA)

        =4sinβ·[sin2A·sinβ+cosβ·(1-cos2A)]

        =4sinβ·[cosβ-cos(2A+β)]

        ≤4sinβ·(cosβ+1).

        所以△ABP面積的最大值為4(1+cosβ)sinβ.

        解法2是在解三角形的余弦定理中巧妙地引入了均值不等式,利用了不等式的有界性,這是求二元最值的一種常見(jiàn)手法;解法3是把所求問(wèn)題中關(guān)于邊的變量通過(guò)正弦定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的變量,進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

        以上兩種解法實(shí)際是我們處理解三角形最值問(wèn)題的常見(jiàn)方法,說(shuō)明這兩位同學(xué)的基本功很扎實(shí).就在我給學(xué)生B和學(xué)生C給予肯定話語(yǔ)時(shí),學(xué)生D給我?guī)?lái)了驚喜:

        解法4 假設(shè)邊PA,PB的長(zhǎng)分別為b,a,記S△ABP為S,在△ABP中,由S=12absinβ和

        AB2=16sin2β=a2+b2-2abcosβ,

        消去b整理得到關(guān)于a2的二次方程

        sin2β·a4-(16sin4β+4S·sinβ·cosβ)a2+4S2

        =0.

        要使該方程有意義,則判別式

        △=(16sin4β+4S·sinβ·cosβ)2-16sin2β·S2

        ≥0,

        從而得到 S≤4(1+cosβ)sinβ.

        所以△ABP面積的最大值為4(1+cosβ)sinβ.

        解法4其實(shí)是把所求問(wèn)題看作是方程的一個(gè)變量,利用二次方程有解,用判別式非負(fù)得到所求量的最值,體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想.我情不自禁地給學(xué)生D投去了贊許的目光.

        “老師,我還想到了一種方法”,數(shù)學(xué)課代表E站了起來(lái):

        解法5 以圓心為原點(diǎn)建立如圖4所示的直角坐標(biāo)系,其中A,B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱.

        在△ABP中,AB=4sinβ,經(jīng)計(jì)算可得

        A(-2sinβ,-2cosβ),

        B(2sinβ,-2cosβ).

        假設(shè)P(2cosα,2sinα),則

        AP=(2cosα+2sinβ,2sinα+2cosβ),

        BP=(2cosα-2sinβ,2sinα+2cosβ),

        S△ABP=12|(2cosα+2sinβ)(2sinα+2cosβ)

        -(2cosα-2sinβ)(2sinα+2cosβ)|

        =124sinβ(2sinα+2cosβ)≤4sinβ(1+cosβ).

        所以△ABP面積的最大值為

        4(1+cosβ)sinβ.

        不愧是數(shù)學(xué)課代表,本法實(shí)際上是三角函數(shù)、解三角形和向量的綜合運(yùn)用,其通過(guò)坐標(biāo)很好地把三角形面積這個(gè)幾何問(wèn)題進(jìn)行代數(shù)化.更難能可貴的是,她還記住了剛學(xué)不久的三角形面積公式的坐標(biāo)表示!同學(xué)們不禁為她出色的表現(xiàn)鼓起了掌…

        解題往往是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一條重要途徑,通過(guò)解題能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想方法的深入理解,進(jìn)而學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維去解決不局限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的生活中的許多問(wèn)題.重視解題過(guò)程中的素養(yǎng)滲透,能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生從追求解題到追求解決問(wèn)題的思維轉(zhuǎn)變,實(shí)現(xiàn)教師從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力到提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的導(dǎo)向轉(zhuǎn)變.從這個(gè)角度上來(lái)講,解題教學(xué)中的方法、手段和目的都顯得非常重要.

        參考文獻(xiàn):

        [1]

        呂二動(dòng),劉占權(quán).高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“一類函數(shù)的最值”案例評(píng)析[J].中小學(xué)數(shù)學(xué),2017(05):36-38.

        [2] 姚宗亮.一道三角形的面積最值問(wèn)題的解法探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2018(33):35-36.

        [責(zé)任編輯:李 璟]

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