黃雅蘭

摘 要：本文主要緊扣函數(shù)的性質(zhì)，研究了函數(shù)的圖象變換、函數(shù)的應(yīng)用和函數(shù)的識別問題.

關(guān)鍵詞：函數(shù)性質(zhì);函數(shù)圖象;圖象變換

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0024-03

基本初等函數(shù)的性質(zhì)是高考試題中最為常考的一種題型之一，通過函數(shù)圖象去研究函數(shù)性質(zhì)是數(shù)學(xué)方法中常見的一種研究手段，本文立足函數(shù)性質(zhì)，分析了函數(shù)圖象的相關(guān)問題.

1 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例1 已知f （x）是定義在

R上的奇函數(shù)，且f（x+1）為偶函數(shù)，若f（-1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=（? ）.

A.4? B.2? C.0? D.-2

解法1 f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，

所以-f（x）=f（-x）.①

因?yàn)閒（x+1）為偶函數(shù)，

所以f（-x+1）=f（x+1）.②

在②式中，用x+1替代x，

則f（-x）=f（x+2）.

所以f（x）=-f（x+2）.③

在①式中，令x+2替代x，

則-f（x+2）=f（-x-2）.④

因?yàn)閒（-x-2）=f[-（x+3）+1]，

再根據(jù)②式關(guān)系，得

f（-x-2）=f[-（x+3）+1]=f[（x+3）+1]=f（x+4）.

綜上所述，得f（x）=f（x+4）.

所以f（x）的周期為4.

由已知得，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，

則

f（0）=0，f（1）=-f（-1）=-2，

f（2）=f（1+1）=f（-1+1）=f（0）=0，

f（3）=f（-1+4）=f（-1）=2，

f（4）=f（0+4）=f（0）=0，

所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0.

所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2019）

=504×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+[f（1）+f（2）+f（3）]=-2+0+2=0.

解法2 由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+1）為偶函數(shù)，可知函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù).

又f（-1）=2，取f（x）=-2x，x∈[-1，1]，

則f（1）=-2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（-1）=2，f（4）=f（0）=0.

所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2019）=504×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+[f（1）+f（2）+f（3）]=-2+0+2=0.

點(diǎn)評 已知f（x）是周期函數(shù)且為偶函數(shù)，求函數(shù)值常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)求解.

2 函數(shù)圖象的識別

例2 （2021年安徽池州模擬）如圖1，函數(shù)f（x）=

xln2-sinx2+sinx的部分圖象可能是（? ）.

解析 因?yàn)閒（x）=xln2-sinx2+sinx，

故f-x=-xln2+sinx2-sinx=-xln2-sinx2+sinx-1=xln2-sinx2+sinx=fx，

所以f（x）是偶函數(shù).

所以f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，故排除C，D.

當(dāng)x∈0，π2時(shí)，sinx∈0，1，

所以0<2-sinx2+sinx<1.

所以ln2-sinx2+sinx<0.

即f（x）<0，故排除B，選A.

例3 （2021年廣東湛江模擬）已知函數(shù)f（x）的圖象如圖2所示，則f（x）可以為（? ）.

A. f（x）=x3-3x?? B. f（x）=ex-e-xx

C. f（x）=2x-xD. f（x）=exx

解析 首先對4個選項(xiàng)進(jìn)行奇偶性判斷，可知f（x）=ex-e-xx為偶函數(shù)，不符合題意，排除B;其次，在剩下的3個選項(xiàng)，對其在0，+SymboleB@上的零點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行判斷， f（x）=exx在0，+SymboleB@上無零點(diǎn)， 不符合題意，排除D;然后，對剩下的2個選項(xiàng)，進(jìn)行單調(diào)性判斷， f（x）=2x-x在0，+SymboleB@上單調(diào)遞減， 不符合題意，排除C，故選A.

點(diǎn)評 函數(shù)圖象與解析式之間的4種對應(yīng)關(guān)系：

（1）從函數(shù)的定義域判斷圖象的左右位置，從函數(shù)的值域（或有界性），判斷圖象的上下位置;

（2）從函數(shù)的單調(diào)性判斷圖象的升降變化趨勢;

（3）從函數(shù)的奇偶性判斷圖象的對稱性：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，在對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，在對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反;

（4）從函數(shù)的周期性判斷圖象是否具有循環(huán)往復(fù)特點(diǎn).

3 函數(shù)圖象的變換

例4 已知定義在區(qū)間[0，4]上的函數(shù)y=f（x）的圖象如圖3所示，則y=-f（2-x）的圖象為（? ）.

解法1 先作出函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象，得到y(tǒng)=f（-x）的圖象;然后將y=f（-x）的圖象向右平移2個單位，得到y(tǒng)=f（2-x）的圖象;

再作y=f（2-x）的圖象關(guān)于x軸的對稱圖象，得到y(tǒng)=-f（2-x）的圖象.故選D.

解法2 先作出函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)的對稱圖象，得到y(tǒng)=-f（-x）的圖象;然后將y=-f（-x）的圖象向右平移2個單位，得到y(tǒng)=-f（2-x）的圖象.

故選D.

點(diǎn)評 通過圖象變換識別函數(shù)圖象要掌握的兩點(diǎn)：

（1）熟悉基本初等函數(shù)的圖象（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的圖象）;

（2）了解一些常見的變換形式，如平移變換、翻折變換.

4 函數(shù)圖象的應(yīng)用

例5 已知f（x）=lgx，x>0，2x，x≤0，則方程2f 2（x）-3f（x）+1=0的解的個數(shù)為.

解析 方程2f 2（x）-3f（x）+1=0的解為f（x）=12或f（x）=1.

如圖5，作出y=f（x） 的圖象，由圖象知直線y=12與函數(shù)y=f（x）的圖象有2個公共點(diǎn);

直線y=1與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個公共點(diǎn).

故方程2f 2（x）-3f（x）+1=0有5個解.

點(diǎn)評 利用函數(shù)圖象可以解決很多與函數(shù)有關(guān)的問題，如利用函數(shù)的圖象解決函數(shù)性質(zhì)問題，函數(shù)的零點(diǎn)、方程根的問題，有關(guān)不等式的問題等，當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時(shí)，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程f（x）=0的根就是函數(shù)f（x）圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f（x）=g（x）的根就是函數(shù)f（x）與g（x）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

參考文獻(xiàn)：

[1] 藍(lán)云波，陳國林.導(dǎo)數(shù)問題中運(yùn)用零點(diǎn)存在定理的賦值策略探究[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016（10）：54-57.

[2] 廖永福.高考考查函數(shù)圖象的三個視角[J].數(shù)理化解題研究，2020（13）：20-23.

[責(zé)任編輯：李 璟]