范月娥

[摘 要]培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生形成主動(dòng)探究知識(shí)的能力，是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的重要任務(wù)。教師要積極創(chuàng)造寬松的教學(xué)環(huán)境，以數(shù)學(xué)問(wèn)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探究與交流分享，努力把數(shù)學(xué)課堂打造成“探究和分享”空間。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)課堂;探究和分享; 二次函數(shù);最值問(wèn)題

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）02-0004-03

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生形成主動(dòng)探究知識(shí)的能力，是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的重要任務(wù)。為此，教師要積極創(chuàng)造寬松的教學(xué)環(huán)境，以數(shù)學(xué)問(wèn)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探究與交流分享，努力把數(shù)學(xué)課堂打造成“探究和分享”空間。

本文通過(guò)“與二次函數(shù)模型有關(guān)的最值問(wèn)題”這一課例，闡明培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，需要教師精心選擇教學(xué)素材，給學(xué)生設(shè)置諸如“開(kāi)放型問(wèn)題”“變式題”等富有挑戰(zhàn)性和探究?jī)r(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生從多個(gè)角度探究和解決問(wèn)題，深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，掌握數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展發(fā)散性思維。

一、基本情況

“與二次函數(shù)模型有關(guān)的最值問(wèn)題”一課安排在初三下學(xué)期第一輪總復(fù)習(xí)，是二次函數(shù)復(fù)習(xí)課的第四課時(shí)。

授課班級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)功底較為扎實(shí)，學(xué)習(xí)主動(dòng)性強(qiáng)，樂(lè)于研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，樂(lè)于分享自己的研究成果。在解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生喜歡從不同的角度進(jìn)行思考，經(jīng)常會(huì)有多種不同的解法產(chǎn)生，學(xué)生的發(fā)散性思維能力和創(chuàng)新意識(shí)較強(qiáng)。

二、教學(xué)過(guò)程

教學(xué)環(huán)節(jié)一：題目引入

1.用一根長(zhǎng)度為20 m的繩子圍成一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形面積的最大值為 ? ? ? ? ?。

【變式】若矩形一邊靠墻，墻長(zhǎng)8 m，則長(zhǎng)度為20 m的繩子可以圍成的矩形的面積最大值是多少？

2.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A從點(diǎn)[M（0， 5）]出發(fā)向原點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)B從點(diǎn)[N（3， 0）]出發(fā)，在[x]軸正半軸上以相同的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)[A]到達(dá)原點(diǎn)[O]時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。連接[AB]，以線段[AB]為一邊在第一象限內(nèi)作正方形[ABCD]，則正方形[ABCD]面積的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ?。

3.如圖2，已知半徑為2的[⊙O]與直線[l]相切于點(diǎn)[A]，點(diǎn)[P]是直徑[AB]左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)[P]作直線[l]的垂線，垂足為[C]，[PC]與[⊙O]交于點(diǎn)[D]，連接[PA]、[PB]，設(shè)[PC]的長(zhǎng)為[x（2<x<4）]。當(dāng)[x]為 ? ? 時(shí)，[PD·CD]的值最大？

4.如圖3，直線[l]與半徑為4的[⊙O]相切于點(diǎn)[A]，[P]是[⊙O]上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)[A]重合），過(guò)點(diǎn)[P]作[PB⊥l]，垂足為[B]，連接[PA]。設(shè)[PA=x]，[PB=y]，則[（x-y）]的最大值是 ? ? ? ? 。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)上述4道題目，分別引出解決與二次函數(shù)模型有關(guān)的最值問(wèn)題的幾種常用方法，即公式（面積）、勾股定理、直接表示（構(gòu)造矩形、全等、坐標(biāo)等）以及相似三角形（三角函數(shù)）。其中第1題承上啟下，回顧了之前復(fù)習(xí)的二次函數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)的最值問(wèn)題，引出了本節(jié)課的內(nèi)容;第2、第3、第4題分別從需要引入變量、有一個(gè)變量和有兩個(gè)變量這三個(gè)角度出發(fā)引出本節(jié)課的內(nèi)容。借助這4道題目，學(xué)生可以回憶常用方法，為后續(xù)例題的研究奠定良好的基礎(chǔ)。

課堂概況：學(xué)生對(duì)區(qū)間范圍內(nèi)的二次函數(shù)最值問(wèn)題非常熟悉，解決起來(lái)駕輕就熟，同時(shí)對(duì)需要引入變量及通過(guò)尋找兩個(gè)變量之間的關(guān)系進(jìn)行消元的思想方法也掌握較好。特別是第3題引起了學(xué)生極大的興趣，他們分別從以下幾個(gè)角度展開(kāi)思考。①看到要表示弦[PD]，想到添加弦心距，利用垂徑定理;②看到兩個(gè)垂直，想到構(gòu)造矩形，不僅可以過(guò)[O]作垂線，還可以過(guò)[P]作垂線;③看到[PC]和[AB]平行，想到圓中自帶等腰，會(huì)有角平分線，于是連接[PO]并延長(zhǎng)交圓于一點(diǎn)，構(gòu)造三角形全等;④通過(guò)兩對(duì)三角形分別相似尋找線段之間的關(guān)系，因?yàn)槭窍嗨浦苯侨切危砸部梢杂萌呛瘮?shù)來(lái)解答此題。

課后思考：這個(gè)環(huán)節(jié)用時(shí)過(guò)長(zhǎng)，需要進(jìn)一步精選題目，為后面的教學(xué)環(huán)節(jié)留足時(shí)間。學(xué)生已經(jīng)完全掌握且可以輕松解決的第1題是不是可以省略不講？題目中沒(méi)有變量的時(shí)候，需要“無(wú)中生有”引入變量的思想和題目中有多個(gè)變量需要消元減少變量的思想是否一定要在這個(gè)環(huán)節(jié)中復(fù)習(xí)到位？還是可以通過(guò)一道題目引入變式，不僅滲透這兩個(gè)思想，而且從多個(gè)角度引出與二次函數(shù)模型有關(guān)的最值問(wèn)題的幾種常用方法？

教學(xué)環(huán)節(jié)二： 精講精練

[例1]如圖4，已知[∠MON=90°]，[OT]是[∠MON]的平分線，[A]是射線[OM]上的一點(diǎn)，[OA=8] cm。動(dòng)點(diǎn)[P]從點(diǎn)[A]出發(fā)，以1 cm/s的速度沿[AO]水平向左做勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)[Q]從點(diǎn)[O]出發(fā)，也以1 cm/s的速度沿[ON]豎直向上做勻速運(yùn)動(dòng)。連接[PQ]，交[OT]于點(diǎn)[B]。經(jīng)過(guò)[O]、[P]、[Q]三點(diǎn)作圓，交[OT]于點(diǎn)[C]，連接[PC]、[QC]。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為[t（s）]，其中[0<t<8]。

（1）求[OP+OQ]的值;

（2）是否存在實(shí)數(shù)[t]，使得線段[OB]的長(zhǎng)度最大？若存在，求出[t]的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

設(shè)計(jì)意圖：本題是2020年蘇州市中考題的節(jié)選，刪去了和本節(jié)課主題關(guān)系不密切的第（3）小題。本題是一道幾何動(dòng)態(tài)型試題，[P]和[Q]兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)帶來(lái)了以線段[PQ]為直徑的圓的變化。變化的過(guò)程中蘊(yùn)含著一些不變的量，學(xué)生可以從多個(gè)角度研究、解決問(wèn)題。

課堂概況：教師引導(dǎo)學(xué)生梳理題目中的條件，形成相關(guān)的知識(shí)鏈接，分析后得出解決問(wèn)題的策略，最終寫出解答過(guò)程。學(xué)生思維活躍，積極探究，先后得出了以下幾種解決方案。①看到角平分線的條件，想到角平分線的性質(zhì)，再過(guò)點(diǎn)[B]分別作[OM]、[ON]兩邊的垂線段，進(jìn)一步由垂線段想到面積，最后用等積法建立函數(shù)關(guān)系;②看到[45°]角想到等腰直角三角形，于是過(guò)點(diǎn)[B]作[OM]的垂線段，構(gòu)造一對(duì)“[A]”字相似來(lái)建立函數(shù)關(guān)系;③看到點(diǎn)[B]是射線[OT ]和線段[PQ]的交點(diǎn)，且射線[OT]是直角[MON]的平分線，想到以[O]為原點(diǎn)，分別以射線[OM]和[ON]所在直線為[x]軸和[y]軸建立平面直角坐標(biāo)系，用求[OT]和[PQ]所在直線的交點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題;④把[OB]放在[△OBP]中，可以證明[△OBP∽△OQC]，同時(shí)由[OQ=TA]想到連接[CA]得[△OQC≌△APC]，從而通過(guò)相似來(lái)建立函數(shù)關(guān)系。

課后思考：整個(gè)過(guò)程學(xué)生思維活躍，參與度很高，能夠從多個(gè)角度來(lái)解決問(wèn)題，說(shuō)明以下幾個(gè)方面都做得不錯(cuò)。①前面的知識(shí)內(nèi)容積累得很充分;②例題選擇很恰當(dāng);③課堂引導(dǎo)很順利。不足之處：對(duì)于多種不同的解法，教師沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生分析對(duì)比，沒(méi)有嘗試思考哪種或者哪幾種方法對(duì)學(xué)生而言比較容易想到。對(duì)大部分學(xué)生而言，最容易想到的方法往往就是最好的方法。

教學(xué)環(huán)節(jié)三： 學(xué)情評(píng)價(jià)

[檢測(cè)題]已知矩形[ABCD]中，[AB=5] cm，點(diǎn)P為對(duì)角線[AC]上的一點(diǎn)，且[AP=25] cm。如圖5，動(dòng)點(diǎn)[M]從點(diǎn)[A]出發(fā)，在矩形邊上沿著[A→B→C]的方向勻速運(yùn)動(dòng)（不包含點(diǎn)[C]）。設(shè)動(dòng)點(diǎn)[M]的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為[t（s）]，△[APM]的面積為S（cm2），S與t的函數(shù)關(guān)系如圖6所示。

（1）直接寫出動(dòng)點(diǎn)[M]的運(yùn)動(dòng)速度為 ? ? cm/s，[BC]的長(zhǎng)度為 ? ? cm;

（2）如圖7，動(dòng)點(diǎn)[M]重新從點(diǎn)[A]出發(fā)，在矩形邊上按原來(lái)的速度和方向勻速運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)[N]從點(diǎn)[D]出發(fā)，在矩形邊上沿著[D→C→B]的方向勻速運(yùn)動(dòng)。設(shè)動(dòng)點(diǎn)[N]的運(yùn)動(dòng)速度為v（cm/s）。已知兩動(dòng)點(diǎn)[M]，[N]經(jīng)過(guò)時(shí)間[x]（s）在線段[BC]上相遇（不包含點(diǎn)[C]），動(dòng)點(diǎn)[M]，[N]相遇后立即同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，記此時(shí)[△APM]與[△DPN]的面積分別為[S1]（cm2），[S2]（cm2），①求動(dòng)點(diǎn)[N]運(yùn)動(dòng)速度[v]（cm/s）的取值范圍;②試探究[S1+S2]是否存在最大值，若存在，求出[S1+S2]的最大值并確定運(yùn)動(dòng)時(shí)間[x]的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

設(shè)計(jì)意圖：本題是2019年蘇州市中考題。這是一道結(jié)合函數(shù)圖像的幾何動(dòng)態(tài)型題目，這一類題目學(xué)生往往不是特別擅長(zhǎng)。和例1相比較，這道題在以下兩個(gè)方面對(duì)學(xué)生的能力要求更高。①如果沒(méi)有仔細(xì)讀題，對(duì) “已知兩動(dòng)點(diǎn)[M]，[N]經(jīng)過(guò)時(shí)間[x]（s）在線段[BC]上相遇（不包含點(diǎn)[C]），動(dòng)點(diǎn)[M]，[N]相遇后立即同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，記此時(shí)[△APM]與[△DPN]的面積分別為[S1]（cm2），[S2]（cm2）”這段話理解不透，就不會(huì)弄清是要研究在兩動(dòng)點(diǎn)[M]和[N]相遇后的兩個(gè)三角形的面積問(wèn)題，那么問(wèn)題就很難解決;②如果不能發(fā)現(xiàn)[S1+S2]為定值，而分別去求[S1]、[S2]的面積，解答此題會(huì)相對(duì)麻煩。把這樣一道富有挑戰(zhàn)性的題目作為檢測(cè)題，既可以鞏固這節(jié)課的研究成果，又可以讓學(xué)生體會(huì)到一題多解（求解[S1]的過(guò)程既可以用幾何圖形的方法，又可以用函數(shù)解析式的方法）帶來(lái)的快樂(lè)。

課堂概況：只有5分鐘的練習(xí)時(shí)間，有些學(xué)生一開(kāi)始就遇到問(wèn)題，覺(jué)得很復(fù)雜，原因是他們沒(méi)有認(rèn)清兩個(gè)三角形的面積;有的學(xué)生一開(kāi)始就分別求兩個(gè)三角形的面積，計(jì)算很復(fù)雜;也有少數(shù)學(xué)生想到了比較好的解決方法，但來(lái)不及仔細(xì)計(jì)算。

課后思考：教師除了要給學(xué)生留足練習(xí)時(shí)間，對(duì)這一類結(jié)合函數(shù)圖像的幾何動(dòng)態(tài)型問(wèn)題，還要和學(xué)生進(jìn)行深入研究，把這一類問(wèn)題的共性研究透。另外，教師要進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，進(jìn)而使學(xué)生能夠更準(zhǔn)確、完整地梳理題目中的條件。

三、總結(jié)與改進(jìn)

（一）精心選擇例題和練習(xí)題

從本質(zhì)上講，數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。而數(shù)學(xué)活動(dòng)又是學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和發(fā)展思維能力的過(guò)程。因而，教師必須精心選擇教學(xué)素材，精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)。唯有這樣，學(xué)生才能更加充分地利用課堂時(shí)間探究和分享有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)會(huì)多角度思考問(wèn)題和解決問(wèn)題，并在此過(guò)程中體會(huì)“什么樣的方法才是最好的方法”， 積累一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）強(qiáng)化課堂的開(kāi)放性

教師要?jiǎng)?chuàng)造更加寬松的學(xué)習(xí)環(huán)境。如果學(xué)生的點(diǎn)滴進(jìn)步被肯定，每一次的思維靈動(dòng)被贊賞，那么就有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，由此形成一個(gè)良性循環(huán)。這對(duì)學(xué)生形成良好的意志品質(zhì)、思維品質(zhì)以及激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新靈感也十分有利。

當(dāng)學(xué)生探究問(wèn)題的熱情被點(diǎn)燃后，教師要順勢(shì)引導(dǎo)他們從不同的角度思考問(wèn)題，從不同的角度探索解決問(wèn)題的途徑和方法。同時(shí)，教師要積極鼓勵(lì)學(xué)生在課堂上分享自己的想法。無(wú)論思路和方法如何，教師都應(yīng)予以肯定，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)師生活動(dòng)、生生互動(dòng)，探索出最佳的解題方法。

教師要依據(jù)學(xué)情適度增設(shè)一些開(kāi)放性問(wèn)題和變式題讓學(xué)生探究。學(xué)生在探究這類問(wèn)題的過(guò)程中往往會(huì)感覺(jué)自己是一名探索者，會(huì)產(chǎn)生“登高望遠(yuǎn)”之樂(lè)趣，激起進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣。當(dāng)然，在探究問(wèn)題的過(guò)程中，教師需要適當(dāng)引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜測(cè)、勇于質(zhì)疑。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生多角度、全方位地思考問(wèn)題，激活學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新思維。

為了更好地打造“探究和分享”數(shù)學(xué)課堂， 教師不僅要積極轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，不斷地學(xué)習(xí)和研究，還要掌握學(xué)科知識(shí)體系，把握學(xué)生的能力發(fā)展目標(biāo)和認(rèn)知規(guī)律。同時(shí)，對(duì)于每一項(xiàng)要求學(xué)生探究的內(nèi)容，教師必須先探究，這更有利于教師參與學(xué)生的探究活動(dòng)并給予必要的指導(dǎo)。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）

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