孟祥玉

[摘 要] 圖式理論是認(rèn)知心理學(xué)用以解釋、理解心理過程的一種理論，是數(shù)學(xué)的重要組成部分。善用圖式能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度建構(gòu)，對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的深度建構(gòu)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)表象圖式、結(jié)構(gòu)圖式、符號(hào)圖式等，從而讓圖式能表征事實(shí)、勾連知識(shí)、蘊(yùn)含意義。只有引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)圖式、完善圖式、運(yùn)用圖式，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是有意義、有價(jià)值的。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)圖式;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

圖式是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的助推器，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分。圖式最早由哲學(xué)家康德提出，瑞士教育心理學(xué)家皮亞杰發(fā)展了圖式理論，使之成為一種認(rèn)知圖式，并用同化、順應(yīng)、平衡來描述圖式的建構(gòu)。圖式，是指由單元構(gòu)成的組織、組塊。圖式融合了三種元素，即命題、表象、線性順序。圖式具有整體性、主動(dòng)性、建構(gòu)性的特質(zhì)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師善于應(yīng)用圖式，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的深層建構(gòu)。

一、建構(gòu)表象圖式

圖式種類很多，主要有表象圖式、結(jié)構(gòu)圖式、符號(hào)圖式。表象圖式，是指學(xué)生借助頭腦中的形象進(jìn)行思考、探究的載體、媒介。研究表明，學(xué)生頭腦中的思維使用并不僅僅是描述定義，而更多的是一種非命題的表象圖式。相對(duì)于符號(hào)圖式而言，表象圖式在學(xué)生心里扎的根更深。

表征事實(shí)，是表象圖式的根本性的功能。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、言語(yǔ)表達(dá)等手段，夯實(shí)學(xué)生頭腦中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的表象。皮亞杰認(rèn)為，圖式是一種有組織、可重復(fù)的行為、思維模式。在學(xué)生的頭腦之中，表象圖式往往有三種形式的表征：一是做數(shù)學(xué)的動(dòng)作表征，二是畫數(shù)學(xué)的圖像表征，三是說數(shù)學(xué)的言語(yǔ)表征。這些表征，是連接客觀事實(shí)與學(xué)生內(nèi)在心理表象的橋梁。比如，教學(xué)“多邊形的面積”（蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)）這一部分內(nèi)容時(shí)，很多教師非常注重引導(dǎo)學(xué)生推理，注重引導(dǎo)學(xué)生演繹公式。但筆者認(rèn)為，教學(xué)這一部分內(nèi)容時(shí)，表象圖式的建立是最為重要的。以“梯形的面積”教學(xué)為例，筆者在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生基于自我已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)大膽地探究。學(xué)生通過多樣化的探究，豐富、夯實(shí)表象圖式。當(dāng)學(xué)生的頭腦中建立了兩個(gè)完全相同的梯形拼成的平行四邊形的圖式時(shí)，學(xué)生自然能建構(gòu)梯形的面積公式，自然不會(huì)遺忘“梯形面積公式中的‘除以2’”。當(dāng)學(xué)生頭腦中有了“梯形分成兩個(gè)三角形圖式”時(shí)，學(xué)生自然能理解“‘上下底的和’乘以高除以2”的面積公式內(nèi)涵。

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表象圖式具備鮮明的個(gè)體經(jīng)驗(yàn)技巧，具有鮮明的個(gè)體經(jīng)驗(yàn)化印記。相對(duì)于符號(hào)圖式、命題圖式，表象圖式更為直觀、生動(dòng)、形象。教師要在教學(xué)中清晰、牢固學(xué)生的表象圖式。教師建構(gòu)恰當(dāng)?shù)谋硐髨D式有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，充分而有效的表象圖式可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供支架。

二、建構(gòu)結(jié)構(gòu)圖式

相對(duì)于表象圖式而言，結(jié)構(gòu)圖式更加具有結(jié)構(gòu)性、關(guān)聯(lián)性。我們知道，數(shù)學(xué)知識(shí)是高度結(jié)構(gòu)化的，是一個(gè)結(jié)構(gòu)性的有機(jī)體。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用結(jié)構(gòu)圖式能引導(dǎo)學(xué)生把握知識(shí)、分析知識(shí)、勾連知識(shí)，從而讓學(xué)生“既見樹木又見森林”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生串點(diǎn)成線、連線成面、勾面成體，從而有效地助推學(xué)生建構(gòu)結(jié)構(gòu)圖式。

結(jié)構(gòu)圖式是富有層次性的，結(jié)構(gòu)圖式有助于深化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。正如著名數(shù)學(xué)教育家斯法德所說：“數(shù)學(xué)概念與實(shí)體的結(jié)構(gòu)和運(yùn)算間的互補(bǔ)性具有極強(qiáng)的教育價(jià)值?！睂?duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)而言，其建構(gòu)圖式往往經(jīng)歷了兩個(gè)過程：其一是過程化，其二是對(duì)象化。建構(gòu)結(jié)構(gòu)圖式，數(shù)學(xué)知識(shí)都應(yīng)當(dāng)處于對(duì)象化的水平。換言之，在結(jié)構(gòu)化圖式中，每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都能參與運(yùn)算，都是一種活性的數(shù)學(xué)因子。如教學(xué)“因數(shù)和倍數(shù)”（蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)）這部分內(nèi)容時(shí)，筆者致力于引導(dǎo)學(xué)生在已有數(shù)學(xué)概念上進(jìn)行建構(gòu)，如從“一個(gè)數(shù)的因數(shù)”到“幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)”，從“幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)”到“幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)”等。教師通過結(jié)構(gòu)圖式，將“奇數(shù)和偶數(shù)”“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”“互質(zhì)數(shù)”“質(zhì)因數(shù)”“分解質(zhì)因數(shù)”等概念納入其中。如此，每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都處于知識(shí)的結(jié)構(gòu)圖式中。通過結(jié)構(gòu)圖式，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)形成了本質(zhì)性、關(guān)系性的深度理解。

結(jié)構(gòu)圖式不是物理實(shí)件的簡(jiǎn)單堆加，也不是要素的簡(jiǎn)單拼湊，而是認(rèn)知的建筑。勾連知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，建立結(jié)構(gòu)圖式，能讓知識(shí)在學(xué)生的腦中處于一種完形狀態(tài)。在結(jié)構(gòu)圖式中，高階的知識(shí)點(diǎn)對(duì)于低階的知識(shí)點(diǎn)而言，往往具有統(tǒng)馭的作用、功能。結(jié)構(gòu)圖式的建構(gòu)，我們似乎可以套用古希臘著名思想家赫拉克利特的一句名言來概括，即“數(shù)學(xué)就在于一件事，就是認(rèn)識(shí)到那善于駕馭一切的圖式”。

三、建構(gòu)符號(hào)圖式

圖式建構(gòu)不僅包括形象化、直觀化的表象圖式、結(jié)構(gòu)圖式，而且包括有意義、有價(jià)值的符號(hào)圖式。相較于表象圖式、結(jié)構(gòu)圖式，符號(hào)圖式更負(fù)載著一種意義與價(jià)值。學(xué)生的符號(hào)圖式，猶如冰山一角，其意義等應(yīng)當(dāng)儲(chǔ)存在學(xué)生的心靈深處。教師引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)符號(hào)圖式，關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圖式的意義、作用和功能。

現(xiàn)代認(rèn)知學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，知識(shí)不能簡(jiǎn)單地由教師或他人傳遞給學(xué)生，而應(yīng)當(dāng)由學(xué)生自主建構(gòu)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用符號(hào)圖式，生動(dòng)地描述問題、分析問題，幫助學(xué)生解決問題，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。建構(gòu)符號(hào)圖式，重要的是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)化的過程，讓學(xué)生感受、觸摸到符號(hào)所凝結(jié)的人類的生命實(shí)踐智慧。洞察意義、體認(rèn)價(jià)值，是建構(gòu)符號(hào)圖式的關(guān)鍵。比如，“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）”（蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級(jí)上冊(cè)），是學(xué)生初步接觸分?jǐn)?shù)、書寫分?jǐn)?shù)、解讀分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵一課。其教學(xué)重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生將一個(gè)物體、一個(gè)圖形或者一個(gè)計(jì)量單位的幾分之一或者幾分之幾用分?jǐn)?shù)來表示。在教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)圓形圖片的操作來認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)、理解分?jǐn)?shù)。通過畫圖和操作，學(xué)生認(rèn)識(shí)到，分?jǐn)?shù)通常包括三個(gè)部分，分?jǐn)?shù)線表示平均分，分母表示平均分的份數(shù)，分子表示其中的幾份。教師通過將多張同種規(guī)格的紙平均分成不同的份數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)不同的分?jǐn)?shù);通過對(duì)多張不同規(guī)格的紙平均分成相同的份數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)相同的分?jǐn)?shù)。這樣的變式教學(xué)，深化了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)符號(hào)的意義理解。符號(hào)圖式不再是簡(jiǎn)單的、無意義的概念，而是學(xué)生生命實(shí)踐智慧的結(jié)晶。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要喚醒學(xué)生的圖式，激活學(xué)生的圖式，讓學(xué)生的符號(hào)圖式成為學(xué)生建構(gòu)新圖式的重要載體、媒介。如加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的符號(hào)圖式的意義理解，同樣有助于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)分式的符號(hào)圖式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要讓圖式成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力引擎。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，從某種意義上來說就是圖式的建構(gòu)、發(fā)展過程。教師要為學(xué)生的數(shù)學(xué)圖式建構(gòu)注入動(dòng)能，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)圖式的真正內(nèi)化。教師只有引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)化了符號(hào)圖式，把握了符號(hào)圖式的意義，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能真正實(shí)現(xiàn)從“量”轉(zhuǎn)為“質(zhì)”，從“知”變?yōu)椤爸恰薄?/p>