【摘? ?要】對(duì)“問(wèn)題解決”的現(xiàn)代研究與教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行分析，可以更好地理解“問(wèn)題提出”的重要性，包括從教育角度做出進(jìn)一步的審視;相對(duì)于“問(wèn)題提出”的一般性論述而言，“問(wèn)題引領(lǐng)”則對(duì)改進(jìn)教學(xué)具有更直接的指導(dǎo)意義。對(duì)這三者進(jìn)行相關(guān)分析，可以被看成是對(duì)國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究進(jìn)行分析比較與互補(bǔ)整合的一個(gè)實(shí)例。

【關(guān)鍵詞】問(wèn)題提出;問(wèn)題解決;問(wèn)題引領(lǐng)

筆者近年來(lái)越來(lái)越強(qiáng)烈地感受到了這樣一點(diǎn)，即中國(guó)與世界數(shù)學(xué)教育日益接軌。例如，2021年7月在上海召開的第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-14）顯然就可被看成是這方面的一個(gè)很好實(shí)例，特別是在這一數(shù)學(xué)教育界最高水平的國(guó)際性大會(huì)上，可以響亮地聽到“中國(guó)數(shù)學(xué)教育的聲音”。

就當(dāng)前的發(fā)展趨勢(shì)而言，一些學(xué)者可以說(shuō)發(fā)揮了重要的作用。如中國(guó)旅美學(xué)者蔡金法教授，不僅從宏觀方面幫助中國(guó)同行了解國(guó)際上的最新發(fā)展做了很大努力，特別是直接促成了由美國(guó)數(shù)學(xué)教師全國(guó)委員會(huì)（NCTM）組織出版的《數(shù)學(xué)教育研究手冊(cè)》（Compendium for Research in Mathematics Education，2017）這一高水平文集在中國(guó)的翻譯出版（人民教育出版社，2021），還投入大量的時(shí)間和精力直接參與了中國(guó)一線教師的培訓(xùn)工作，如“回家鄉(xiāng)浙江蕭山，和老師們一起工作，搭建平臺(tái)，為蕭山教育出智出力”。[1]8

筆者在這方面一貫有這樣一個(gè)主張：“放眼世界，立足本土?！边@就是指，我們對(duì)于國(guó)際上數(shù)學(xué)教育整體發(fā)展與最新成果的了解與學(xué)習(xí)都應(yīng)服務(wù)于促進(jìn)我國(guó)數(shù)學(xué)教育事業(yè)發(fā)展這樣一個(gè)目標(biāo)。我們?cè)诋?dāng)前還應(yīng)特別重視這樣一點(diǎn)，即在努力“向外學(xué)習(xí)”的同時(shí)，也應(yīng)高度重視自身工作的總結(jié)和反思，包括通過(guò)對(duì)國(guó)內(nèi)外工作的對(duì)照比較以及對(duì)兩方面進(jìn)行必要的互補(bǔ)和整合，從而取得更大的進(jìn)步。

后一主張意味著基本立場(chǎng)的重要轉(zhuǎn)變：我們應(yīng)由盲目崇外而否定自己的傳統(tǒng)轉(zhuǎn)向清楚地認(rèn)識(shí)自己的長(zhǎng)處，在充分肯定自身優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，也能清楚地認(rèn)識(shí)存在的問(wèn)題與不足之處，并能通過(guò)向外學(xué)習(xí)和進(jìn)一步的工作不斷取得新的進(jìn)步。

在筆者看來(lái)，這就是我們面對(duì)《數(shù)學(xué)教育研究手冊(cè)》這一文集應(yīng)當(dāng)采取的態(tài)度，即在努力學(xué)習(xí)的同時(shí)，也應(yīng)高度重視對(duì)自身工作進(jìn)行總結(jié)和反思，包括對(duì)照比較、互補(bǔ)整合。在此我們還應(yīng)特別重視對(duì)國(guó)外工作的深入剖析。下面就以蔡金法教授在“問(wèn)題提出”這一方面的工作為直接對(duì)象做出具體分析，希望能對(duì)促進(jìn)我國(guó)的相關(guān)研究，特別是實(shí)際教學(xué)工作發(fā)揮積極的作用。

為了達(dá)到更大的分析深度，筆者將采取這樣一個(gè)分析路徑，即將“問(wèn)題提出”（problem posing）與“問(wèn)題解決”（problem solving）聯(lián)系起來(lái)加以考察。這正是理解概念十分重要的一個(gè)方法，即將此與其他密切相關(guān)的概念聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行分析比較。例如，為了理解“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”，我們就應(yīng)同時(shí)考慮“碎片化教學(xué)”和“整體性教學(xué)”這樣兩個(gè)概念，特別應(yīng)注意分析“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”與“整體性教學(xué)”的聯(lián)系與區(qū)別，否則就容易將這兩者簡(jiǎn)單地等同起來(lái)，統(tǒng)一理解成對(duì)于“碎片化教學(xué)”的直接反對(duì)。當(dāng)然，將“問(wèn)題提出”與“問(wèn)題解決”聯(lián)系起來(lái)還有這樣一個(gè)優(yōu)點(diǎn)：由于在后一方面已有了大量的實(shí)踐與研究，就可為前一方面的工作提供重要的借鑒。

具體地說(shuō)，在此可以首先提及這樣一個(gè)問(wèn)題：我們應(yīng)當(dāng)如何理解所說(shuō)的“問(wèn)題提出”？筆者的看法是：盡管蔡金法教授在“訪談錄”中已經(jīng)為此提供了具體解答“它是一個(gè)教學(xué)目標(biāo);它是一種認(rèn)知活動(dòng);它是一種教學(xué)手段”[1] 9。但只有聯(lián)系“問(wèn)題解決”，特別是人們?cè)谶@方面認(rèn)識(shí)的發(fā)展過(guò)程，包括著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞的相關(guān)工作以及20世紀(jì)80年代在世界范圍內(nèi)盛行的“問(wèn)題解決”這一數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)，我們才能對(duì)此有更好的理解，從而更好地確定進(jìn)一步努力的方向。

一、“問(wèn)題解決”現(xiàn)代研究與教學(xué)實(shí)踐的啟示與教訓(xùn)

顯然，按照通常的理解，無(wú)論是所謂的“問(wèn)題解決”，還是“問(wèn)題提出”，都應(yīng)被看成一種實(shí)際活動(dòng);但這正是波利亞特別強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)，即“問(wèn)題解決”對(duì)于人類的特殊重要性，也即我們應(yīng)當(dāng)將此看成人類活動(dòng)最基本的一種形式：“我們大部分有意識(shí)的思維都和問(wèn)題有關(guān)。當(dāng)我們并未沉溺于娛樂(lè)或白日做夢(mèng)時(shí)，我們的思想是有方向和有目的的：我們尋找，我們?cè)噲D解決一個(gè)問(wèn)題?！睉?yīng)當(dāng)提及的是，這一論述事實(shí)上也可被看成對(duì)于“問(wèn)題解決”的一種界定：這應(yīng)是一種“有意識(shí)的思維活動(dòng)”，應(yīng)有明確的方向和目的;另外，對(duì)于所說(shuō)的“問(wèn)題”也應(yīng)做廣義的理解，而不應(yīng)局限于“數(shù)學(xué)問(wèn)題”。這也就如波利亞所指出的：“在這種研究中，我們不應(yīng)忽視任何一類問(wèn)題，并且應(yīng)當(dāng)找出處理各類問(wèn)題所共有的特征來(lái)。我們的目的應(yīng)當(dāng)是找出一般特征而與主題無(wú)關(guān)?！盵2] 221-222

按照波利亞的觀點(diǎn)，人們解決問(wèn)題能力的大小可被看成智力的集中表現(xiàn)：“解題是智力的特殊成就，而智力乃是人類的天賦，正是繞過(guò)障礙，在眼前無(wú)捷徑的迂回的能力使聰明的動(dòng)物高出愚笨的動(dòng)物，使人高出最聰明的動(dòng)物，并使聰明的人高出愚笨的動(dòng)物?！憋@然，這也提供了關(guān)于“問(wèn)題解決”具體含義的進(jìn)一步分析，后者大致相當(dāng)于“問(wèn)題解決”這一改革運(yùn)動(dòng)中對(duì)于這一概念的如下界定：這主要是指我們?nèi)绾文軌蛴行У亟鉀Q那種“非單純練習(xí)題式”的問(wèn)題（non-routine problem），包括實(shí)際問(wèn)題和源自數(shù)學(xué)內(nèi)部的問(wèn)題。[3]

與前者相比，波利亞的以下認(rèn)識(shí)又可說(shuō)更具有重要性，因?yàn)樗鼘ⅰ皢?wèn)題解決”與教育特別是數(shù)學(xué)教育直接聯(lián)系了起來(lái)：“如果教育未能對(duì)智力的發(fā)展做出貢獻(xiàn)，那么這樣的教育顯然是不完全的?！睌?shù)學(xué)在這方面“具有最大的可能性”，因此，“數(shù)學(xué)教師的首要責(zé)任是盡其一切可能來(lái)發(fā)展他的學(xué)生解決問(wèn)題的能力”。

那么，數(shù)學(xué)教育如何才能很好地承擔(dān)起這樣一種責(zé)任呢？按照波利亞的看法，應(yīng)幫助學(xué)生很好地掌握所謂的“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”。當(dāng)然，按照先前的論述，我們應(yīng)明確肯定“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”的普遍意義，也就是“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”所具有的常識(shí)性質(zhì)。這里所提的方法“對(duì)于那些認(rèn)真對(duì)待其問(wèn)題并有某些常識(shí)的人來(lái)說(shuō)是很自然的”，因?yàn)橹挥羞@樣，我們才能很好地實(shí)現(xiàn)這樣一個(gè)目標(biāo)：“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”的用途“不限于任何題目。我們的問(wèn)題可以是代數(shù)的或幾何的，數(shù)學(xué)的或非數(shù)學(xué)的，理論的或?qū)嶋H的……”因此，這也直接決定了我們應(yīng)當(dāng)如何去從事“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”的研究：“現(xiàn)代啟發(fā)法力求了解解題過(guò)程，特別是解題過(guò)程中典型有用的智力活動(dòng)?！盵2] 2-3，130

從歷史的角度看，波利亞對(duì)于“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”的強(qiáng)調(diào)可以看成是在傳統(tǒng)的“兩極對(duì)立”之間開拓了一個(gè)新的方向。具體地說(shuō)，在人類文明的發(fā)展進(jìn)展中，人們?cè)Ｍ苷业竭@樣一種方法，用之即可有效地解決一切問(wèn)題，包括有效地從事發(fā)明創(chuàng)造。如笛卡爾就曾提出過(guò)所謂的“萬(wàn)能方法”：第一，將任何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題;第二，將任何數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題;第三，將任何代數(shù)問(wèn)題歸結(jié)為解方程。從現(xiàn)今的立場(chǎng)看，上述對(duì)于“萬(wàn)能方法”的尋求顯然過(guò)于簡(jiǎn)單了，因?yàn)?，正如不存在可以把萬(wàn)物點(diǎn)化為黃金的“哲人之石”，能有效解決一切問(wèn)題或從事發(fā)明創(chuàng)造的“萬(wàn)能方法”也不存在。然而，就基本的研究?jī)A向而言，人們卻又一度由一個(gè)極端走向另一極端，即認(rèn)為根本不存在任何發(fā)現(xiàn)的方法。在歷史上后一種觀念與邏輯實(shí)證主義的“科學(xué)觀”有著直接的聯(lián)系：后者明確提出了關(guān)于“證明（檢驗(yàn)）的方法”與“發(fā)現(xiàn)的方法”的區(qū)分，并認(rèn)為方法論的研究應(yīng)當(dāng)局限于前一范圍，而發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題則因?yàn)椴豢赡茏龀鋈魏卫硇曰蜻壿嫷姆治龆鴳?yīng)被歸屬于心理學(xué)的范圍。這也就是說(shuō)，所謂“發(fā)現(xiàn)的方法”根本不存在。邏輯實(shí)證主義在西方學(xué)術(shù)界中曾長(zhǎng)期占據(jù)主導(dǎo)的地位，因此，關(guān)于發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造方法的研究也一度處于停頓狀態(tài)。

正是在上述的嚴(yán)峻形勢(shì)下，波利亞自覺(jué)地承擔(dān)起了“復(fù)興”數(shù)學(xué)啟發(fā)法的重任。波利亞對(duì)于這一問(wèn)題的基本立場(chǎng)是：所謂的“萬(wàn)能方法”并不存在，但是，“各種各樣的規(guī)則還是有的，諸如行為準(zhǔn)則、格言等等。這些都還是有用的?！盵4] 這也就是所謂的“啟發(fā)性”的模式或方法：盡管它們并非人們?cè)诮鉀Q問(wèn)題過(guò)程中必須遵循的硬性規(guī)范，但仍可給人們一定的啟示和幫助。由此可見，波利亞“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”的提出事實(shí)上就是在上述“規(guī)范性”與“描述性”的兩極對(duì)立之間開拓了第三種可能性，并為如何提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力指明了努力的方向：除去數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的學(xué)習(xí)以外，我們還應(yīng)幫助學(xué)生很好地掌握所說(shuō)的“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”。

波利亞的上述思想一經(jīng)發(fā)表就獲得了普遍好評(píng)，但就數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中的相關(guān)發(fā)展而言，卻又只能說(shuō)是一種“曲折的前進(jìn)”。因?yàn)椋?0世紀(jì)60年代在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中占據(jù)主導(dǎo)地位的是“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”;到了70年代，作為改革的一種“反動(dòng)”，“回到基礎(chǔ)”又成了西方特別是美國(guó)數(shù)學(xué)教育界的主要口號(hào);而在經(jīng)歷了這樣的曲折過(guò)程之后，人們的注意力在80年代才重新回到了“問(wèn)題解決”上，這包括對(duì)于“波利亞的重新發(fā)現(xiàn)”。具體地說(shuō)，“問(wèn)題解決”正是美國(guó)數(shù)學(xué)教育界在20世紀(jì)80年代的主要口號(hào)，并在國(guó)際范圍內(nèi)產(chǎn)生了廣泛的影響，而作為這方面的一個(gè)重要指導(dǎo)性文件，美國(guó)數(shù)學(xué)教師全國(guó)委員會(huì)在1980年出版的《學(xué)校數(shù)學(xué)中的問(wèn)題解決》就重印了波利亞在1949年發(fā)表的一篇短文《論中學(xué)里的數(shù)學(xué)解題》作為全書的第一篇文章。

綜上，我們就應(yīng)充分肯定波利亞在這方面的重要貢獻(xiàn)。但從現(xiàn)今的角度看，我們又應(yīng)更深入地去思考這樣一些問(wèn)題：第一，是否應(yīng)將“問(wèn)題解決”看成人類活動(dòng)最重要的形式，乃至將問(wèn)題解決的能力看成人類智力的集中表現(xiàn)？第二，是否應(yīng)將努力提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力看成教育特別是數(shù)學(xué)教育最重要的目標(biāo)？第三，“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”是否應(yīng)被看成實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)最重要的一個(gè)方面？還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，如果將20世紀(jì)80年代開展的“問(wèn)題解決”這一改革運(yùn)動(dòng)看成是波利亞相關(guān)思想的具體實(shí)踐，那么，這在一定程度上也可被看作是為上述問(wèn)題提供了初步解答，并標(biāo)志著人們?cè)谶@一方面認(rèn)識(shí)的重要發(fā)展。

例如，這就是這方面十分重要的一項(xiàng)理論成果：正是通過(guò)教學(xué)實(shí)踐的總結(jié)與反思，包括進(jìn)一步的研究，人們認(rèn)識(shí)到了“啟發(fā)法”并非決定人們解題能力的唯一要素，恰恰相反，所謂的“元認(rèn)知”和“觀（信）念”也應(yīng)被看成在這方面具有十分重要的作用。再者，這也可被看成是關(guān)于新的改革運(yùn)動(dòng)認(rèn)真反思的一項(xiàng)重要結(jié)果，即人們清楚地認(rèn)識(shí)到了單純強(qiáng)調(diào)“問(wèn)題解決”的局限性。這也正如“問(wèn)題解決”現(xiàn)代研究的主要代表人物舍費(fèi)爾德所指出的：“現(xiàn)在讓我回到‘問(wèn)題解決’這一論題。盡管我在1985年出版的書中用了‘?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題解決’這樣一個(gè)名稱，但我現(xiàn)在認(rèn)識(shí)到這一名稱的選用并不是很恰當(dāng)。我所考慮的是，單純的問(wèn)題解決的思想過(guò)于狹窄了。我所希望的并非僅僅是教會(huì)我的學(xué)生解決問(wèn)題——特別是別人所提出的問(wèn)題，而是幫助他們學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維?！憋@然，后一論述也直接涉及“問(wèn)題解決”與“問(wèn)題提出”之間的關(guān)系，或者說(shuō)，從一個(gè)角度指明了“問(wèn)題提出”為什么會(huì)在20世紀(jì)80年代后期獲得人們的特別重視。當(dāng)然，更一般地說(shuō)，我們又應(yīng)特別提及愛因斯坦的以下論述，因?yàn)檫@顯然也可被看成十分清楚地表明了“提出問(wèn)題”的重要性：“提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更為重要，因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題也許是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問(wèn)題、新的可能性，從新的角度去看舊的問(wèn)題，卻需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。”

當(dāng)然，波利亞的工作與“問(wèn)題解決”這一改革運(yùn)動(dòng)之間也存在一定的區(qū)別，特別是除去直接的繼承以外，后者還提出了一些更加“激進(jìn)”的主張。具體地說(shuō)，新的改革運(yùn)動(dòng)主張不僅應(yīng)以努力提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力作為學(xué)校數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)，也應(yīng)以“問(wèn)題解決”為中心對(duì)學(xué)校數(shù)學(xué)教育做出全面的改造或重建，即學(xué)校的全部數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)教學(xué)都應(yīng)采取“問(wèn)題解決”這樣一種形式。當(dāng)然，這又是筆者將此稱為“激進(jìn)主張”的主要原因：不僅相關(guān)的實(shí)踐已經(jīng)證明后一主張?jiān)诂F(xiàn)實(shí)中根本行不通，從理論的角度看，這也是一個(gè)十分重要的問(wèn)題，即不應(yīng)將“基本的教育思想”與“數(shù)學(xué)教學(xué)的基本形式”簡(jiǎn)單地等同起來(lái)。

那么，從學(xué)校數(shù)學(xué)教育的角度看，究竟如何才能有效提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力呢？正是從這一角度進(jìn)行分析，我們應(yīng)特別提及中國(guó)學(xué)者的貢獻(xiàn)，特別是這樣一個(gè)思想：與“問(wèn)題解決”的專門教學(xué)相比，我們應(yīng)當(dāng)更加重視相關(guān)思想在日常教學(xué)活動(dòng)中的滲透與指導(dǎo)，即應(yīng)當(dāng)努力做好用思維分析的方法帶動(dòng)具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，從而將數(shù)學(xué)課真正“教活、教懂、教深”。[5]因?yàn)椋挥型ㄟ^(guò)這一渠道，我們才可使學(xué)生真切地感受到數(shù)學(xué)思維的力量，并切實(shí)防止在不知不覺(jué)中將相關(guān)研究變成純粹的“紙上談兵”。（由此可見，如果認(rèn)定美國(guó)數(shù)學(xué)教師全國(guó)委員會(huì)的以下主張可以被看成“問(wèn)題提出發(fā)展歷程中第一個(gè)里程碑式的事件”：應(yīng)“把問(wèn)題提出整合到課程和課堂教學(xué)中”[1] 11，那么，我們也就應(yīng)當(dāng)充分肯定中國(guó)數(shù)學(xué)教育工作者在“問(wèn)題解決”發(fā)展歷程中的重要貢獻(xiàn)）

當(dāng)然，就中國(guó)學(xué)者關(guān)于“問(wèn)題解決”的研究而言，也有一定的局限性，特別是相關(guān)研究主要集中于“啟發(fā)法”（或者說(shuō)“解題策略”）的研究，特別重視“解題策略”的細(xì)化，乃至希望由此而實(shí)現(xiàn)解題活動(dòng)的“程序化、算法化”。但這也正是國(guó)外的相關(guān)實(shí)踐所給予我們的又一重要啟示，即上述方向的努力并不能真正提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力。與此相對(duì)照，筆者認(rèn)為，這是一個(gè)更加合理的主張，即不僅應(yīng)當(dāng)超越具體知識(shí)和技能深入到思維的層面，也應(yīng)由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過(guò)渡到一般性的思維策略，特別是應(yīng)通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)努力提升學(xué)生的思維品質(zhì)，包括由理性思維逐步走向理性精神。[6]

應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，上述分析為我們更好地理解“問(wèn)題提出”，包括如何從事相關(guān)工作提供了重要背景和直接啟示。這也正是下一節(jié)的直接論題。

二、聚焦“問(wèn)題提出”和“問(wèn)題引領(lǐng)”

除去“問(wèn)題提出”以外，我們?yōu)槭裁从忠貏e提及“問(wèn)題引領(lǐng)”這樣一個(gè)概念？這不僅因?yàn)楹笳呦鄬?duì)于前者有一定的獨(dú)立性，還因?yàn)樗鼘?duì)于我們改進(jìn)教學(xué)具有更直接的指導(dǎo)意義和促進(jìn)作用。

在此我們顯然也應(yīng)首先提及這樣一個(gè)問(wèn)題：數(shù)學(xué)教學(xué)為什么應(yīng)當(dāng)特別重視“問(wèn)題引領(lǐng)”？筆者的看法是：這是我們落實(shí)“雙主體”這一基本教學(xué)思想的主要途徑，特別是在充分發(fā)揮教師在教學(xué)過(guò)程中主導(dǎo)作用的同時(shí)，也能很好地體現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的主體地位。

進(jìn)而，這也直接涉及數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)：作為“思維的科學(xué)”，數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)應(yīng)是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，特別是能幫助他們逐步學(xué)會(huì)更深入、更清晰、更全面、更合理地進(jìn)行思考。顯然，就目前的論題而言，這也為我們?nèi)绾芜M(jìn)行“問(wèn)題引領(lǐng)”指明了方向，即應(yīng)當(dāng)通過(guò)適當(dāng)提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生更深入地進(jìn)行思考，從而達(dá)到一定的思維深度。[7]

顯然，按照上述的分析，“問(wèn)題引領(lǐng)”在現(xiàn)實(shí)中獲得普遍重視也就不足為奇了：不僅國(guó)內(nèi)很多數(shù)學(xué)教材都采取了這樣的編排方式，這在教學(xué)實(shí)踐中也得到了廣泛應(yīng)用，更有不少教師在這一方面取得了很多有意義的研究成果。也正因?yàn)榇?，這就不能不說(shuō)是一些相關(guān)的總結(jié)性工作的一個(gè)明顯不足，即將“問(wèn)題引領(lǐng)”完全從屬于“問(wèn)題提出”，從而不僅未能給予足夠重視，而且沒(méi)有認(rèn)識(shí)到這就是我國(guó)對(duì)于數(shù)學(xué)教育這一人類共同事業(yè)的一項(xiàng)重要貢獻(xiàn)。[8]

當(dāng)然，在這方面也有很多問(wèn)題需要深入研究，特別是在理論研究與教學(xué)實(shí)踐的密切結(jié)合上應(yīng)做出切實(shí)的努力，如我們?nèi)绾文軌虺鲋R(shí)的學(xué)習(xí)并從更廣泛的角度發(fā)揮“問(wèn)題引領(lǐng)”的作用？教學(xué)中又應(yīng)如何處理“生問(wèn)”與“師問(wèn)”、“大問(wèn)題”與“問(wèn)題串”之間的關(guān)系？等等。顯然，從同一角度我們也可更好地認(rèn)識(shí)超出一般性的“問(wèn)題提出”并更加突出“問(wèn)題引領(lǐng)”的重要性，特別是這可被看成是為廣大教師改進(jìn)教學(xué)提供的一個(gè)好的抓手，“一個(gè)切實(shí)可行的，在課堂上抓得住摸得著的，讓學(xué)生能夠體驗(yàn)、學(xué)習(xí)的載體”。[1] 9

以下再轉(zhuǎn)向?qū)Α皢?wèn)題提出”的分析。在此筆者要再次強(qiáng)調(diào)這樣一點(diǎn)，即我們不應(yīng)將這一概念與其他相關(guān)概念絕對(duì)地分割開來(lái)，而應(yīng)清楚地看到“問(wèn)題解決”與“問(wèn)題提出”之間的重要聯(lián)系。正如波利亞所指出的，在解決問(wèn)題的過(guò)程中常常需要引進(jìn)輔助問(wèn)題，而這事實(shí)上就已進(jìn)入“問(wèn)題提出”的領(lǐng)域：“如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題？一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類比的問(wèn)題？”再者，這也是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特點(diǎn)，即數(shù)學(xué)家們通常不滿足于問(wèn)題的解決，而是力圖通過(guò)新的研究發(fā)展自己的認(rèn)識(shí)，如能否對(duì)已獲得的結(jié)果做出推廣，能否對(duì)相應(yīng)方法與符號(hào)系統(tǒng)等做出優(yōu)化，在新獲得的結(jié)果與其他結(jié)論之間是否存在一定的聯(lián)系，是否可以將它們納入某個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)？等等。更一般地說(shuō)，這可被看成是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)普遍性模式：?jiǎn)栴}提出—問(wèn)題解決—新的問(wèn)題提出……

綜上可見，我們就不應(yīng)過(guò)分強(qiáng)調(diào)“問(wèn)題提出”與“問(wèn)題解決”之間的區(qū)別，而應(yīng)高度重視“問(wèn)題解決”的現(xiàn)代研究與教學(xué)實(shí)踐在這方面給予我們的啟示，特別是思考我們究竟應(yīng)當(dāng)如何提升學(xué)生提出問(wèn)題的能力。具體地說(shuō)，是學(xué)生解決問(wèn)題能力的提升。我們?cè)诖孙@然也應(yīng)明確肯定這樣一個(gè)事實(shí)：學(xué)生提出問(wèn)題能力的提升主要依賴于后天的學(xué)習(xí)，而且相對(duì)于這方面的專門課程而言，我們也應(yīng)更加重視相關(guān)思想在日常教學(xué)活動(dòng)中的滲透與指導(dǎo)。

當(dāng)然，這顯然就可被看成是前一認(rèn)識(shí)的一個(gè)明確結(jié)論，即我們不應(yīng)片面地強(qiáng)調(diào)“生問(wèn)”，乃至認(rèn)為教學(xué)必須圍繞學(xué)生所提的問(wèn)題去進(jìn)行，而應(yīng)更加注重如何能夠通過(guò)自己的教學(xué)努力提升學(xué)生提出問(wèn)題的能力。再則，依據(jù)后一分析我們也可更好地理解蔡金法教授的這樣一個(gè)建議，包括我們?yōu)槭裁磻?yīng)當(dāng)特別重視“數(shù)學(xué)教學(xué)中的問(wèn)題引領(lǐng)”：“要把問(wèn)題提出整合到教材中去，整合到課堂教學(xué)中去，把問(wèn)題提出這樣一種教學(xué)活動(dòng)變成常態(tài)，來(lái)改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。”[1] 12最后，這顯然也可被看成“問(wèn)題解決”與“問(wèn)題提出”之間存在密切聯(lián)系的一個(gè)直接結(jié)論：從實(shí)踐的層面看，只有很少情況可以被看成“問(wèn)題提出”的專門課程，與此相對(duì)照，我們應(yīng)更加重視這兩者之間的辯證關(guān)系與相互促進(jìn)關(guān)系。

也正是從后一角度進(jìn)行分析，筆者以為，以下關(guān)于“問(wèn)題提出”教學(xué)的建議就不是恰當(dāng)或不夠全面，即認(rèn)為相關(guān)教學(xué)應(yīng)當(dāng)集中于“情境設(shè)置”：“問(wèn)題提出教學(xué)是以情境為開端的，教師首先要讓學(xué)生基于情境提出一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后根據(jù)一堂課的教學(xué)目標(biāo)來(lái)確定需要解決的問(wèn)題?！盵1] 10這顯然也是這方面工作十分重要的內(nèi)容，即教師應(yīng)當(dāng)圍繞數(shù)學(xué)概念和對(duì)“問(wèn)題解決”的理解去提出問(wèn)題。更一般地說(shuō)，即教師應(yīng)當(dāng)善于依據(jù)具體的教學(xué)目標(biāo)與課堂上的具體情況有針對(duì)性地去提出問(wèn)題，特別是通過(guò)這一手段引導(dǎo)學(xué)生更深入地進(jìn)行思考。這事實(shí)上也就是現(xiàn)實(shí)中人們特別重視整體設(shè)計(jì)“問(wèn)題串”的主要原因。

當(dāng)然，在此也有大量問(wèn)題需要我們深入地進(jìn)行研究。例如，就如何有效提升學(xué)生提出問(wèn)題的能力而言，除去教師的言傳身教以外（前面已經(jīng)提及，這正是數(shù)學(xué)教學(xué)為什么應(yīng)當(dāng)特別重視“問(wèn)題引領(lǐng)”的重要原因之一），我們顯然也應(yīng)很好地處理教學(xué)的開放性與規(guī)范性之間的關(guān)系，既應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極地提出問(wèn)題，又應(yīng)切實(shí)做好引導(dǎo)的工作，特別是應(yīng)幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)如何對(duì)問(wèn)題的重要性和恰當(dāng)性做出評(píng)價(jià)，也應(yīng)當(dāng)將此看成是提升學(xué)生提出問(wèn)題能力十分重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。再者，這顯然也是這方面十分重要的一個(gè)問(wèn)題：正如“解題策略”的教學(xué)，我們是否也應(yīng)幫助學(xué)生很好地掌握“提問(wèn)的策略”？應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，盡管筆者對(duì)此持肯定的態(tài)度，但這顯然也是這方面工作應(yīng)當(dāng)注意防止的一個(gè)趨向，即策略的過(guò)度細(xì)化，乃至對(duì)于提問(wèn)“程序化、算法化”的不恰當(dāng)強(qiáng)調(diào);恰恰相反，與具體策略的學(xué)習(xí)相比，我們應(yīng)更加重視提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

再者，這也可看成是從更廣泛的角度進(jìn)行分析的又一重要結(jié)論，即無(wú)論是培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力或是解決問(wèn)題的能力，都不應(yīng)被看成是數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)。與此相對(duì)照，我們應(yīng)更加重視如何通過(guò)自己的教學(xué)促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，包括由唯一強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)地思維”走向“學(xué)會(huì)思維”，也即應(yīng)當(dāng)更加注意提升學(xué)生的思維品質(zhì)。另外，與單純強(qiáng)調(diào)在教師指導(dǎo)下進(jìn)行學(xué)習(xí)相比，我們也應(yīng)高度重視提升學(xué)生在這一方面的自覺(jué)性，即應(yīng)幫助他們逐步地學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，包括不斷提升自身解決問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力，從而真正成為學(xué)習(xí)的主人。

應(yīng)當(dāng)指出的是，從上述角度進(jìn)行分析，我們?cè)诮虒W(xué)中顯然應(yīng)當(dāng)十分重視這樣一項(xiàng)工作：總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)，包括對(duì)于“長(zhǎng)時(shí)間思考”的積極提倡，也即應(yīng)當(dāng)將此看成是提升學(xué)生提出問(wèn)題能力和解決問(wèn)題能力的又一重要環(huán)節(jié)。

還要強(qiáng)調(diào)的是，這事實(shí)上也正是筆者近期為什么積極提倡“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的主要原因，后者可被看成是對(duì)于上面所提及的各個(gè)論點(diǎn)的一個(gè)概括，從而為我們改進(jìn)教學(xué)指明了努力的方向：數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越具體知識(shí)和技能深入到思維的層面，由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過(guò)渡到一般性的思維策略與思維品質(zhì)的提升，應(yīng)幫助學(xué)生由在教師（或書本）指導(dǎo)下進(jìn)行學(xué)習(xí)逐步轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，包括善于通過(guò)同學(xué)間的合作與互動(dòng)進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而真正成為學(xué)習(xí)的主人。[9]

最后，依據(jù)上述分析我們顯然可以引出這樣一個(gè)結(jié)論：“問(wèn)題引領(lǐng)”同樣應(yīng)當(dāng)被看成是做好教師培訓(xùn)工作的關(guān)鍵，因?yàn)橹挥型ㄟ^(guò)提出適當(dāng)問(wèn)題引導(dǎo)教師積極地進(jìn)行思考和研究，廣大教師才能真正成為培訓(xùn)活動(dòng)的主人，而不是始終處于“被培訓(xùn)”或“受教育者”的地位，包括由此而獲得教學(xué)中如何做好“問(wèn)題引領(lǐng)”的親身體驗(yàn)和直接啟示。當(dāng)然，所說(shuō)的“問(wèn)題引領(lǐng)”并不只適用于“‘問(wèn)題提出’的主題式教學(xué)專業(yè)發(fā)展工作坊”，也包括所有的教師培訓(xùn)。

上述工作也可被看成是我們?nèi)绾巫龊谩跋蛲鈱W(xué)習(xí)”的一個(gè)實(shí)例，特別是在加強(qiáng)學(xué)習(xí)的同時(shí)，教師也應(yīng)高度重視自身工作的總結(jié)和反思，包括通過(guò)國(guó)內(nèi)外工作的對(duì)照比較與互補(bǔ)整合明確前進(jìn)的方向，從而將自己的工作做得更好。

參考文獻(xiàn)：

[1]賈隨軍，姚一玲.問(wèn)題提出的回顧與展望：美國(guó)特拉華大學(xué)終身教授蔡金法訪談錄[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2021（10）.

[2]波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)教學(xué)法的新面貌[M].徐泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，1982.

[3]鄭毓信.問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)教育[M].南京：江蘇教育出版社，1994.

[4] 波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)：對(duì)解題的理解、研究和講授[M].劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.北京：科學(xué)出版社，2016.

[5] 鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].南寧：廣西教育出版社，1991.

[6] 鄭毓信.“數(shù)學(xué)思維”之深思[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015（1）.

[7] 鄭毓信. 數(shù)學(xué)教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016（3）.

[8] 鄭毓信. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育的“問(wèn)題特色”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018（1）.

[9] 鄭毓信.數(shù)學(xué)深度教學(xué)的理論與實(shí)踐[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

（南京大學(xué)哲學(xué)系? ?210093）