姚一玲 賈隨軍

【摘? ?要】提出問題和解決問題一直以來都是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)。關(guān)于問題解決的研究已有較長(zhǎng)歷史，但關(guān)于問題提出的研究卻相對(duì)缺乏。近年來問題提出越來越受到數(shù)學(xué)教育工作者的廣泛關(guān)注。以在上海舉辦的第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-14）中“問題提出與問題解決”小組的研究為基礎(chǔ)，從“教學(xué)資源和要素”“教學(xué)模式與教師準(zhǔn)備”“學(xué)生的認(rèn)知過程”以及“如何運(yùn)用技術(shù)開展教學(xué)”四個(gè)方面進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹，為讀者梳理“問題提出與問題解決”國(guó)際研究的進(jìn)展與趨勢(shì)。

【關(guān)鍵詞】問題提出;問題解決;ICME-14;綜述

提出問題和解決問題一直以來都是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)。問題解決在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域備受關(guān)注已經(jīng)超過半個(gè)世紀(jì)，有了很多相關(guān)的研究成果。然而，對(duì)各年齡階段的學(xué)習(xí)者來說，解決問題依然有很多困難和挑戰(zhàn)[1]。已有研究表明，教師很難如課程目標(biāo)要求的那樣，將問題解決很好地融入自己的課堂教學(xué)中，這主要是由于教師在教學(xué)過程中擔(dān)心產(chǎn)生不可預(yù)測(cè)的結(jié)果。因此，教師依然需要加強(qiáng)問題解決的教學(xué)實(shí)踐，從而推動(dòng)自己的專業(yè)發(fā)展。

雖然問題提出與問題解決同樣重要，但數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域真正開始關(guān)注問題提出也僅有三十年左右的時(shí)間。盡管波利亞的解決問題步驟中的“回溯”需要問題解決者提出問題，但直至20世紀(jì)80年代問題提出才受到更多研究者的關(guān)注。Kilpatrick（1987）指出，問題提出不僅僅是一種教學(xué)目標(biāo)，還是一種教學(xué)方法或手段。但無論是何種功能的問題提出研究，都依然處于起步發(fā)展階段。

第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-14）設(shè)置了“問題提出與問題解決”主題研究小組（TSG17），以期在強(qiáng)調(diào)問題解決研究重要性的同時(shí)凸顯問題提出的教育價(jià)值。該小組提供的37篇文章中有12篇涉及問題解決，21篇涉及問題提出，4篇既涉及問題解決又涉及問題提出。由于該主題小組文章較多且內(nèi)容較細(xì)，無法將所有文章涉及的內(nèi)容都納入本文中，只能選擇較為重要的研究?jī)?nèi)容和趨勢(shì)進(jìn)行分類整理和綜述，以幫助讀者了解目前該領(lǐng)域的國(guó)際研究進(jìn)展與趨勢(shì)。由于個(gè)別文章會(huì)涉及多個(gè)主題，同一篇文章有可能在多個(gè)主題中討論。此外，有3～5篇文章或因會(huì)議論文較短很難凸顯研究主題與研究結(jié)果，或因作者未做會(huì)議報(bào)告，在本文中沒有涉及。

一、問題提出、問題解決的教材文本分析及使用

王嶸和王翠橋從歷史發(fā)展的角度分別對(duì)人教版三個(gè)系列的初中（1992、2005、2012年）和高中（1996、2007、2019年）數(shù)學(xué)教材中問題提出任務(wù)的數(shù)量、類型、內(nèi)容領(lǐng)域、習(xí)題等進(jìn)行比較分析。研究發(fā)現(xiàn)，兩學(xué)段教材在問題提出任務(wù)的設(shè)計(jì)和呈現(xiàn)上基本一致：2000年后問題提出任務(wù)開始增多，但相較于問題解決任務(wù)來說，依然較少;內(nèi)容領(lǐng)域分布不均衡，主要涉及數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域;年級(jí)分布不均，年級(jí)越高，問題提出任務(wù)越少;問題提出任務(wù)要求學(xué)生不僅達(dá)到對(duì)知識(shí)的“知道與理解”，更要突出“抽象與一般化”“探究與發(fā)現(xiàn)”以及“歸納與反思”的思維過程。類似的，Yan等人基于Cai和Jiang提出的問題提出任務(wù)類別，比較了人教版和北師大版兩個(gè)系列（1990年和2000年）的初中和小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的問題提出任務(wù)。[2]比較結(jié)果顯示：雖然問題提出任務(wù)在兩個(gè)版本教材中占比普遍較低，但有增加的趨勢(shì);年級(jí)分布不均，內(nèi)容領(lǐng)域大部分只涉及數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，且結(jié)構(gòu)化情境占比較大;小學(xué)教科書的問題提出任務(wù)更多要求學(xué)生基于給定信息和樣例提出額外問題，而初中教科書多要求學(xué)生提出一個(gè)與給定運(yùn)算相匹配的問題。

為了考察教材中的問題解決任務(wù)對(duì)于教師課堂教學(xué)的影響，Maud分析了瑞士Geneva州數(shù)學(xué)教科書中有關(guān)推理的問題解決任務(wù)，同時(shí)以兩名教師為個(gè)案，評(píng)估他們對(duì)教科書中有關(guān)推理問題解決任務(wù)的選擇性使用。Maud發(fā)現(xiàn)，該州數(shù)學(xué)教科書中涉及的數(shù)學(xué)推理有實(shí)驗(yàn)法、試誤法、窮舉法、例證法、邏輯推理和演繹推理等。其中，大部分屬于演繹推理。而兩位教師在實(shí)際教學(xué)過程中更加突出對(duì)學(xué)生邏輯推理和解題策略的培養(yǎng)。出現(xiàn)這一偏差的主要原因是，教科書或其他官方課程材料并未提供給教師明確的教學(xué)目標(biāo)和實(shí)施策略，這使得教師只能依賴于自己的經(jīng)驗(yàn)，并以容易達(dá)成的目標(biāo)為導(dǎo)向，選擇教材中的問題提出任務(wù)。

雖然許多國(guó)家的課程標(biāo)準(zhǔn)呼吁在問題解決教學(xué)中要突出數(shù)學(xué)思想方法的滲透和應(yīng)用，并且要發(fā)揮問題提出的作用，但從以上研究可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)際的數(shù)學(xué)教材、課堂教學(xué)與課程標(biāo)準(zhǔn)的要求之間存在一定的差距。教師很難根據(jù)課標(biāo)的要求選擇教材中的問題解決任務(wù)，教師對(duì)教材中問題解決任務(wù)的選擇具有隨意性。此外，相較于問題解決任務(wù)，教材中的問題提出任務(wù)非常欠缺，且在類型、主題分布、年級(jí)分布等方面不均衡。[3]

二、問題提出、問題解決的教學(xué)方式與教師專業(yè)發(fā)展

Cai等人闡述了問題提出的10個(gè)研究領(lǐng)域，問題提出的教學(xué)方式以及教師在實(shí)施問題提出教學(xué)時(shí)所具備的知識(shí)與能力是其中的2個(gè)領(lǐng)域。[4]由此可見，研究問題提出的教學(xué)方式以及教師為此所具備的知識(shí)和能力是非常必要的。

（一）問題提出、問題解決的教學(xué)方式

為有效幫助教師和學(xué)生提出問題，Dickman設(shè)計(jì)了兩種問題提出的方法：反向提問和提出相似問題。反向提問法不同于常規(guī)的給定條件求解結(jié)論，而是在講解完問題解決方法后提供結(jié)果，讓學(xué)生補(bǔ)充條件。提出相似問題則類似于波利亞的問題解決方法之一，即讓學(xué)生改變已有問題中的部分條件，創(chuàng)建一個(gè)相似問題，之后解決該問題并解釋自己提出的問題與給定的問題之間的相似關(guān)系。該研究基于學(xué)生可能會(huì)遇到的困難，通過實(shí)際案例展示教師如何使用兩種方法開展問題提出與問題解決的教學(xué)。

Amado等人設(shè)計(jì)了一個(gè)關(guān)于馬桶年用水量的實(shí)際生活情境，引導(dǎo)學(xué)生從中提出數(shù)學(xué)問題，從而考察七年級(jí)學(xué)生問題提出與其在問題解決過程中提出假設(shè)的能力之間的關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)，基于實(shí)際生活情境進(jìn)行教學(xué)對(duì)發(fā)展學(xué)生問題提出能力有重要作用，且學(xué)生提出假設(shè)的能力與其問題提出能力之間有顯著關(guān)系。

Andrade綜合了維果茨基的社會(huì)文化理論、Paulo Freire的批判教育理論以及Lakatos的數(shù)學(xué)哲學(xué)理論，進(jìn)而提出在探究性問題解決教學(xué)過程中需要依賴課堂環(huán)境，持續(xù)不斷地延伸問題，使學(xué)生能夠深入挖掘問題并運(yùn)用多種方法解決問題，他更多地從宏觀領(lǐng)域提出探究性問題解決教學(xué)需要關(guān)注的要素。而Subramanian等人的研究更為具體，他們指出，盡管探究性問題解決教學(xué)備受重視，但目前幾乎沒有相應(yīng)的教學(xué)理論幫助教師開展這方面的課堂教學(xué)。基于此，他們?cè)诂F(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育框架下，設(shè)計(jì)了本土探究性問題解決教學(xué)框架。該框架包含七個(gè)要素：低門檻、高天花板的起點(diǎn)，陌生內(nèi)容，多策略，多方案解決，關(guān)鍵想法，關(guān)鍵點(diǎn)以及解決過程。

（二）問題提出與教師專業(yè)發(fā)展

教師的數(shù)學(xué)知識(shí)、教學(xué)知識(shí)等都對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果有顯著影響。因此，考察數(shù)學(xué)教師的相關(guān)知識(shí)與能力也是本小組研究者們關(guān)注的重要內(nèi)容。姚一玲等人利用圖示及問題提出等手段考察職前數(shù)學(xué)教師對(duì)分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的概念性理解。研究發(fā)現(xiàn)，職前教師能夠提出一定的數(shù)學(xué)問題，但相較于畫圖，他們?cè)趩栴}提出時(shí)對(duì)概念性理解表現(xiàn)得更為突出。由此也表明問題提出作為一種評(píng)估手段，能夠更加準(zhǔn)確地診斷出學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)理解程度。類似的，?skendero?lu考察了31名土耳其小學(xué)數(shù)學(xué)教師在分?jǐn)?shù)加法內(nèi)容上的問題提出能力。研究者提供了4個(gè)開放式問題提出任務(wù)，隨后對(duì)教師提出的問題進(jìn)行分析。研究發(fā)現(xiàn)，教師在問題提出過程中存在三類困難：語言困難、概念困難、由教學(xué)習(xí)慣引起的困難。Beltran比較了在職和職前數(shù)學(xué)教師問題提出的表現(xiàn)差異，主要從問題的情境、內(nèi)容、類型、清晰程度以及準(zhǔn)確性方面考察研究對(duì)象提出的文字問題。研究發(fā)現(xiàn)，職前教師提出的問題會(huì)基于更多種類的情境，但涉及的數(shù)學(xué)概念較為基礎(chǔ)。在職教師所提問題幾乎很少有情境，但會(huì)涉及更多數(shù)學(xué)內(nèi)容和過程。該研究也得出與前文研究相似的結(jié)論，即問題提出可以作為評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)內(nèi)容知識(shí)掌握情況的工具[5]。

為了探討問題提出策略是否會(huì)影響小學(xué)職前數(shù)學(xué)教師對(duì)分?jǐn)?shù)概念的表征和理解，Vula和Berisha調(diào)查了101名塞爾維亞大二職前小學(xué)數(shù)學(xué)教師。調(diào)查結(jié)果顯示，問題提出活動(dòng)會(huì)顯著影響職前教師對(duì)分?jǐn)?shù)的表征和概念理解。同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，職前教師在正確建構(gòu)分?jǐn)?shù)概念方面存在困難。張丹等人則將問題提出作為教學(xué)手段，以工作坊的方式指導(dǎo)教師開展問題提出教學(xué)。通過一年的縱向跟蹤研究發(fā)現(xiàn)，接受問題提出教學(xué)的學(xué)生在問題解決、問題提出以及數(shù)學(xué)情感等方面均有顯著提升。然而，Lautert等人認(rèn)為，要開展問題提出教學(xué)，教師首先要具備提出問題的能力，因此他們對(duì)39名教授1至9年級(jí)的巴西數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了調(diào)查研究。研究者讓教師提出8個(gè)關(guān)于乘法和除法的問題，隨后對(duì)教師提出的問題進(jìn)行類型和數(shù)量?jī)蓚€(gè)維度的分析。結(jié)果顯示，教師提出的問題類型較為單一，大部分是能夠一步解決的簡(jiǎn)單問題。

三、問題提出、問題解決的認(rèn)知過程與表現(xiàn)

問題提出與問題解決過程也是調(diào)動(dòng)和發(fā)展學(xué)生認(rèn)知的過程，因此，了解學(xué)習(xí)者在問題提出和問題解決中的認(rèn)知過程和表現(xiàn)是非常重要的。在專題小組研究的項(xiàng)目中，共有12項(xiàng)研究涉及這一內(nèi)容，其中9項(xiàng)研究主要關(guān)注學(xué)習(xí)者在問題提出和問題解決中的認(rèn)知過程或模式，其余3項(xiàng)研究主要考察學(xué)習(xí)者在完成問題提出和問題解決任務(wù)上的表現(xiàn)。

（一）問題提出與問題解決的認(rèn)知過程

Wang和Walkington基于現(xiàn)實(shí)情境，考察了9名8～10歲學(xué)生在校外參與WalkSTEM俱樂部活動(dòng)過程中的問題提出情況。該研究為學(xué)生提供了四個(gè)現(xiàn)實(shí)情境（回聲屋、餐廳、穹頂及大數(shù)屋），讓學(xué)生基于自己所看到的現(xiàn)實(shí)物體提出數(shù)學(xué)問題。研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能夠在現(xiàn)實(shí)情境中提出超出自己知識(shí)水平的問題，同伴和教師的支持是影響學(xué)生問題提出的重要因素。

Hartmann等人在關(guān)注學(xué)生問題提出能力的同時(shí)考察學(xué)生解決自己提出的問題的能力。該研究為82名來自德國(guó)的9～10年級(jí)學(xué)生提供了6個(gè)現(xiàn)實(shí)情境，要求學(xué)生基于每一種情境提出一個(gè)問題，隨后解決自己提出的問題。研究者采用Mayring（2015）的方法分析學(xué)生提出的問題：是否數(shù)學(xué)問題、是否同一個(gè)問題、是否開放性問題、是否現(xiàn)實(shí)問題。結(jié)果表明，現(xiàn)實(shí)情境有助于學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題并提升他們的數(shù)學(xué)建模能力。然而，學(xué)生更傾向于提出封閉性問題，這也是未來問題提出教學(xué)需要進(jìn)一步關(guān)注的情況。

Huat以一個(gè)9年級(jí)學(xué)生作為案例，考察該學(xué)生在面臨一個(gè)幾何任務(wù)時(shí)的問題提出過程。該研究詳細(xì)描述和分析了學(xué)生在問題提出每一個(gè)階段的具體表現(xiàn)，從而為教師和研究者提供了了解學(xué)生問題提出認(rèn)知過程和設(shè)計(jì)問題提出教學(xué)任務(wù)的具體實(shí)例。其中認(rèn)知過程主要包括：關(guān)注性質(zhì)、關(guān)注問題結(jié)構(gòu)、檢查結(jié)果及回溯。

Ramírez建構(gòu)了一個(gè)問題提出的啟發(fā)式教學(xué)流程，該流程類似于學(xué)習(xí)者的認(rèn)知過程，包括六個(gè)階段：選擇、分類、聯(lián)想、查找、口頭表達(dá)、轉(zhuǎn)換。盡管這一針對(duì)問題提出的啟發(fā)式教學(xué)流程與學(xué)生的認(rèn)知過程很難區(qū)分，但它能夠具體地刻畫問題提出教學(xué)過程。

Baumanns和Rott指出，盡管目前有很多關(guān)于問題解決過程的模型，但問題提出卻缺乏類似的過程模型，因此他們?cè)诰C合已有研究基礎(chǔ)上構(gòu)建了問題提出五階段模型，包括分析、變化、一般化、問題解決和評(píng)價(jià)，具體如圖1所示。

Stéphane考察了學(xué)生在課堂上解決常規(guī)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知過程。他對(duì)Rott等人（2021）提出的問題解決過程一維模型（圖2）進(jìn)行改造，新增了監(jiān)控維度，從而形成能夠刻畫學(xué)生解決常規(guī)數(shù)學(xué)問題實(shí)際過程的二維模型（圖3）。此外，Bos和Lemmink設(shè)計(jì)了一個(gè)名為啟發(fā)樹的工具來激發(fā)學(xué)生解決問題的能力，該工具能夠幫助學(xué)生在遇到困難時(shí)將問題進(jìn)行分解，從而一步一步地解決。

（二）學(xué)生問題提出和問題解決表現(xiàn)

Yan和Dong運(yùn)用三個(gè)任務(wù)（無情境、半結(jié)構(gòu)化情境、結(jié)構(gòu)化情境）調(diào)查了我國(guó)新疆地區(qū)238名五年級(jí)學(xué)生的問題提出能力。研究者讓學(xué)生分別提出2個(gè)容易問題、2個(gè)中等難度問題以及2個(gè)較難問題，并采用創(chuàng)造性思維評(píng)價(jià)維度（創(chuàng)新性、靈活性、復(fù)雜性）評(píng)估學(xué)生所提出的問題。研究發(fā)現(xiàn)，女生問題提出能力高于男生，漢族學(xué)生能夠提出更多數(shù)學(xué)問題，維吾爾族學(xué)生和漢族學(xué)生提出問題的能力無顯著差異，學(xué)生提出問題能力與其數(shù)學(xué)成績(jī)存在顯著相關(guān)性。

Luo等人從國(guó)際比較視角，對(duì)比了我國(guó)內(nèi)蒙古地區(qū)58名學(xué)生和美國(guó)蒙大拿地區(qū)28名五年級(jí)學(xué)生在除法學(xué)習(xí)上的問題提出表現(xiàn)。該研究主要通過問題提出方式了解學(xué)生對(duì)除法運(yùn)算意義的理解。研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生提出的大部分問題涉及分?jǐn)?shù)的平均分思想或?qū)ξ矬w進(jìn)行分組，其中涉及的情境主要以食物為主。中國(guó)學(xué)生所提問題涉及六類結(jié)構(gòu)（均分、包含除、等分除、部分—整體、比較、比率或速率），而美國(guó)學(xué)生僅提出涉及前兩類結(jié)構(gòu)的問題。

Yazgan等人考察了18個(gè)來自6、7、8三個(gè)年級(jí)的優(yōu)等生在“不同問題間策略轉(zhuǎn)換的靈活性”和“同一問題內(nèi)部策略轉(zhuǎn)變的靈活性”等方面的表現(xiàn)。研究發(fā)現(xiàn)，被試學(xué)生在“不同問題間策略轉(zhuǎn)換的靈活性”方面的表現(xiàn)較好，且整體而言，優(yōu)等生對(duì)問題解決策略使用的靈活性普遍較好。但該研究?jī)H調(diào)查優(yōu)等生的表現(xiàn)，難以幫助讀者了解一般水平學(xué)生的表現(xiàn)，這也是未來需要進(jìn)一步研究的方向。

四、技術(shù)手段對(duì)問題提出、問題解決教學(xué)的影響

關(guān)于技術(shù)在數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用已有很多學(xué)者進(jìn)行了嘗試和研究。一系列研究表明，技術(shù)有助于學(xué)生在計(jì)算、建模及項(xiàng)目學(xué)習(xí)中轉(zhuǎn)換問題、解決問題、描述解決方案[6]。

Hernández等人考察了GeoGebra軟件對(duì)職前初中數(shù)學(xué)教師問題解決的影響。研究結(jié)果表明，職前數(shù)學(xué)教師在運(yùn)用GeoGebra解決問題時(shí)表現(xiàn)出較高的創(chuàng)造力和推理能力，因?yàn)樵摴ぞ叩膭?dòng)態(tài)特性能夠?yàn)榻處熖峁┬碌耐緩絹肀碚鲾?shù)學(xué)對(duì)象、轉(zhuǎn)換表征方式、形成猜想以及觀察和證明性質(zhì)。

教師在課堂上無法估計(jì)所有學(xué)生的問題，針對(duì)這一現(xiàn)狀，Pozdniakov等人考察了如何運(yùn)用幾何軟件幫助學(xué)生自主解決空間幾何問題。該研究對(duì)波利亞的問題解決過程進(jìn)行擴(kuò)展，在其基礎(chǔ)上增加了考察問題所涉及的范圍、簡(jiǎn)化問題、構(gòu)建子問題、改編原始問題等環(huán)節(jié)。研究者采用質(zhì)性研究方法，描述了學(xué)生在這一過程中遇到的問題，以及動(dòng)態(tài)幾何軟件如何幫助學(xué)生解決問題或產(chǎn)生新的問題。研究表明，動(dòng)態(tài)幾何軟件能夠?yàn)閷W(xué)生提供更多學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)和更自由的學(xué)習(xí)環(huán)境，而且能夠在學(xué)生遇到困難時(shí)自動(dòng)提供初步的反饋，幫助學(xué)生解決問題。

從以上研究可以發(fā)現(xiàn)，目前關(guān)于技術(shù)使用對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用或影響還都僅限于問題解決領(lǐng)域，盡管Barana等人的研究提及運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)有助于學(xué)生提出新的數(shù)學(xué)問題，但整體而言，關(guān)于計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)學(xué)生問題提出的作用的研究還比較缺乏。一方面由于問題提出研究還處于起步階段，另一方面由于技術(shù)在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的應(yīng)用也還不夠深入。此外，主題小組有關(guān)計(jì)算機(jī)技術(shù)的相關(guān)研究都僅限于空間幾何領(lǐng)域，缺乏在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的運(yùn)用研究，這也是未來需要進(jìn)一步研究的方向。

五、總結(jié)

ICME-14會(huì)議的“TSG17”主題研究小組聚焦于問題提出和問題解決，為我們了解該領(lǐng)域研究進(jìn)展和教學(xué)狀況提供了非常重要且便捷的途徑。通過對(duì)這些研究進(jìn)行梳理和介紹，可以提出未來亟須進(jìn)一步研究的問題：（1）作為期望課程的課程標(biāo)準(zhǔn)和教材、教學(xué)之間依然存在差距，應(yīng)關(guān)注如何設(shè)計(jì)適合學(xué)生問題提出和問題解決的任務(wù)，如何以問題提出與問題解決為載體促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展;（2）對(duì)問題提出與思維發(fā)展之間的關(guān)系的研究尚淺，需關(guān)注如何運(yùn)用問題提出發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)思維等能力;（3）關(guān)于提出問題的認(rèn)知過程與模式的研究不夠深入，需關(guān)注學(xué)習(xí)者提出數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知過程或模式是什么樣的;（4）信息技術(shù)輔助教學(xué)是未來發(fā)展的重要方向之一，需關(guān)注如何運(yùn)用計(jì)算機(jī)等技術(shù)手段開展問題提出與問題解決教學(xué)。

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