張振興

摘? 要：把一個(gè)正方形通過分割拼接成為一個(gè)矩形，很多情況下它們的面積看似相等但并不相等. 研究發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)分割拼接方案后可以使兩者的面積更接近，甚至相等，這與“黃金分割”密切相關(guān)，據(jù)此能找到不同整數(shù)范圍內(nèi)理想的分割方案. 對(duì)此類問題的研究，能有效培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：面積問題;黃金分割;數(shù)學(xué)思維

一、問題呈現(xiàn)

日本當(dāng)代著名數(shù)學(xué)教育家遠(yuǎn)山啟在《數(shù)學(xué)與生活》一書中指出，面積的測(cè)量基于一個(gè)潛在的原理，即把圖形分割、排列后其面積不變. 這個(gè)觀點(diǎn)其實(shí)就是我國魏晉時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家劉徽（約225年—約295年）提出的“出入相補(bǔ)”原理. 遠(yuǎn)山啟在書中用了下面的例子加以說明.

例? 把邊長為8 cm的正方形按照如圖1所示的實(shí)線進(jìn)行分割，然后拼接成如圖2所示的矩形，則正方形的面積與矩形的面積看起來好像相等，但事實(shí)卻并非如此.

[S正方形=82=64 cm2， S矩形=5×5+8=5×13=65 cm2，]

[S矩形-S正方形=1 cm2.] 可見，它們的面積并不相等，拼接后的矩形面積比原來的正方形面積增加了1 cm2，但是增加的面積僅占矩形面積的[165，] 肉眼很難發(fā)現(xiàn).

究其原因，是圖2中矩形的對(duì)角線并非拼接線，拼接后的真正圖形如圖3所示，對(duì)角線變成了一個(gè)四邊形（陰影部分）.

二、問題探討

1. 中間的四邊形是什么形狀？

由圖1中的分割方案可知，兩個(gè)直角三角形全等，兩個(gè)直角梯形全等，則它們的對(duì)應(yīng)邊相等. 所以可知中間四邊形的兩組對(duì)邊分別相等，所以這個(gè)四邊形是平行四邊形.

2. 為什么中間可以出現(xiàn)四邊形？

四邊形的鄰邊必定不在同一條直線上，在圖2所示的矩形對(duì)角線附近，直角三角形的斜邊AB與直角梯形的腰BC不共線，就會(huì)得到如圖3所示的中間的四邊形. 究其原因，根源在于圖1中的兩個(gè)銳角不相等，理由如下.

在圖1中，[∠α]所在的直角三角形中（作如圖1虛線所示的垂線段），[∠α]的對(duì)邊長為5 cm，鄰邊長為2 cm，故[tan α=52;] [∠β]所在的直角三角形中，[∠β]的對(duì)邊長為8 cm，鄰邊長為3 cm，故[tan β=83≠52.] 所以[∠α≠∠β.]

此時(shí)，由“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”可知，直角梯形中[∠α+∠CBD=180°，] 則[∠β+∠CBD≠180°.] 所以圖3中的AB與BC不共線，它們只能成為多邊形的兩邊. 同理可知，還有另外兩邊，所以存在陰影部分的四邊形.

3. 中間的四邊形能更加不易察覺嗎？

我們改變圖1中的數(shù)據(jù)，把邊長為13 cm的正方形按照如圖4所示的方法進(jìn)行分割，然后拼接成如圖5所示的矩形.

則有[S正方形=132=169 cm2，S矩形=8×8+13=168 cm2，]

所以，[S矩形-S正方形=168-169=-1 cm2.] 結(jié)果出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，說明矩形面積比正方形的面積減少了1 cm2，而減少的面積僅占矩形面積的[1168，] 單憑直覺更加難以發(fā)現(xiàn). 此時(shí)，中間的四邊形不是空缺部分，而是重疊部分，其形狀仍為平行四邊形.

4. 中間的四邊形可能不存在嗎？

不失一般性，用圖6表示邊長為a + b的正方形分割方案[b>a>0，] 要想將其既無空隙，又不重疊地拼接成如圖7所示的矩形，則需要[∠α=∠β.]

由圖6可知，[tan α=bb-a，tan β=a+ba.] 當(dāng)[∠α=∠β]時(shí)，[tan α=tan β，] 即[bb-a=a+ba.] 則[ab=a+bb-a，] 即[ab=b2-a2.] 整理，得[a2+ab-b2=0.] 將其視為關(guān)于[a]的一元二次方程，解得[a=±5-12b.] 還可以著眼于兩個(gè)圖形面積相等列方程，則有[a+b2=ba+2b，] 進(jìn)一步整理得到. 因?yàn)閍，b均為正數(shù)，所以[a=5-12b.] 因此，當(dāng)a與b的比值為黃金分割比時(shí)，把邊長為a + b的正方形按圖6所示方法分割后，能鑲嵌成如圖7所示的矩形.

5. 圖中有哪些線段的黃金分割點(diǎn)？

在圖6中，[AE=a，AD=b.] 由[ab=5-12]可知，點(diǎn)E是線段AD的黃金分割點(diǎn).

我們更關(guān)心的是分割線的位置，在圖6中，點(diǎn)A把正方形的一邊分成長度分別為a，b的兩條線段，因?yàn)閇a=][5-12b，] 所以正方形邊長為[a+b=5-12b+b=5+12b.]

則[ba+b=b5+12b=5-12.] 可見，點(diǎn)A是正方形一邊的黃金分割點(diǎn). 同理，點(diǎn)B，C也是正方形對(duì)應(yīng)邊的黃金分割點(diǎn);點(diǎn)D是分割線段AB的黃金分割點(diǎn).

同時(shí)，以上推導(dǎo)也表明：當(dāng)線段上一點(diǎn)把這條線段分成的兩部分之比為[5-12]時(shí)，該分割點(diǎn)是這條線段的黃金分割點(diǎn). 因此，由[ba+b=5-12]可知，圖7中的點(diǎn)M，N分別是矩形兩條對(duì)邊的黃金分割點(diǎn). 進(jìn)一步，由平行線分線段成比例定理可知，點(diǎn)P，Q是矩形對(duì)角線的黃金分割點(diǎn).

6. 怎樣找到不同整數(shù)范圍內(nèi)的理想分割方案？

理想的分割方案中，拼接出的矩形內(nèi)部空缺或重疊的面積，與矩形面積之比越小越好. 由以上研究可知，a與b的比值越接近黃金分割比[5-12，] 方案就越好. 特別地，如果a與b均為整數(shù)，那么正方形的邊長a + b在不同范圍內(nèi)，理想的分割方案就是[ab]的值比較接近[5-12]的情況.

因?yàn)閇ab=5-12≈0.618，] 所以若正方形的邊長在10以內(nèi)，由[5-12≈0.618，] 考慮到[ab=610=0.6，] 分子、分母同時(shí)除以公約數(shù)2，使a + b在10以內(nèi)，則當(dāng)[a=3，b=5]時(shí)，[ab=35=0.6]與[5-12]比較接近，故有理想方案：對(duì)于邊長為8的正方形按照[a=3，b=5]進(jìn)行分割拼接.

若正方形的邊長在100以內(nèi)，由[5-12≈0.618，] 考慮到[ab=62100=0.62，] 分子、分母同時(shí)除以公約數(shù)2，使a + b在100以內(nèi)，則當(dāng)[a=31，b=50]時(shí)，[ab=3150=]0.62與[5-12]比較接近，故有理想方案：對(duì)于邊長為81的正方形按照[a=31，b=50]進(jìn)行分割拼接.

若正方形的邊長在1 000以內(nèi)，由[5-12≈0.618，] 考慮到[ab=6181 000=0.618，] 分子、分母同時(shí)除以公約數(shù)2，使a + b在1 000以內(nèi)，則當(dāng)[a=309，b=500]時(shí)，[ab=309500=]0.618與[5-12]比較接近，故有理想方案：對(duì)于邊長為809的正方形按照[a=309，b=500]進(jìn)行分割拼接.

依此類推，就能得到正方形的邊長a + b在不同整數(shù)范圍內(nèi)的理想分割方案. 當(dāng)然，如果能夠像圓周率的密率與疏率一樣，找到在指定范圍內(nèi)最理想的分割方案，也是我們要積極探索的.

三、思維剖析

這里，我們僅從數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的角度進(jìn)行反思. 數(shù)學(xué)思維品質(zhì)包括思維的寬度（深刻性和廣闊性）、思維的速度（敏捷性和靈活性）、思維的力度（批判性和獨(dú)創(chuàng)性）三個(gè)方面.

在對(duì)問題的探索過程中，進(jìn)行不僅限于表面問題的研究，從圖形分割與拼接的變化中抓住問題的本質(zhì)特征深入挖掘. 例如，圖1與圖2中兩個(gè)圖形面積是否相等的本質(zhì)是AB與BC是否共線，而AB與BC是否共線的本質(zhì)是[∠α]與[∠β]是否相等，逐步抽絲剝繭，找到根源所在. 在數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上，從整數(shù)范圍到實(shí)數(shù)范圍，從具體數(shù)值到用字母表示數(shù)，通過觀察、計(jì)算和推理，得到確定正方形邊長在不同整數(shù)范圍內(nèi)理想分割方案的普適方法，這些體現(xiàn)的都是思維的深刻性.

我們構(gòu)造不同的正方形分割方案，從矩形對(duì)角線四周空缺、重疊、密鋪三個(gè)視角展開研究問題，使思維不僅局限于解決原題，而且達(dá)到更高程度的發(fā)散. 判斷線段的黃金分割點(diǎn)時(shí)，有的根據(jù)黃金分割的意義，通過計(jì)算被分得的較長部分與整條線段的比值直接判斷;有的根據(jù)研究過程中得出的結(jié)論，通過計(jì)算被分成的兩部分線段的比值間接判斷. 這種多方面、多角度思考問題的方式，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.

思維敏捷性的特點(diǎn)是直接而快速. 例如，得到關(guān)于[a]的一元二次方程[a2+ab-b2=0，] 相對(duì)于承接前面的思路利用[tan α=tan β]得到該方程而言，根據(jù)分割拼接前后的正方形和矩形面積相等得到這個(gè)方程，直接指向并利用了“等積變形”的解題目的，列出方程的過程更顯輕松方便，直擊目標(biāo)，因而突出了思維的敏捷性.

培養(yǎng)思維的靈活性，常利用“一題多解”“一題多變”等方法. 把一個(gè)常見的經(jīng)典圖形作為起點(diǎn)，對(duì)中間的四邊形的形狀、出現(xiàn)的原因、直觀發(fā)現(xiàn)的難易程度、存在性（最小值）與黃金分割的關(guān)系及理想的方案等問題的變式探究，使得每個(gè)問題的解決方法之間既有聯(lián)系也有不同，需要對(duì)解題思路進(jìn)行重組、遷移，跳出思維定勢(shì)的負(fù)面干擾.

對(duì)于“權(quán)威”已經(jīng)確認(rèn)的結(jié)論，是僅僅銘記在心，還是試圖改進(jìn)優(yōu)化？遇到問題，能否獨(dú)立思考？有無自己的見解？是否敢于質(zhì)疑、深究原因？無不反映了思維的批判性. 研究正方形分割拼接矩形的問題，如果因其圖形“經(jīng)典”，只想“拿來主義”，就不會(huì)產(chǎn)生更好的方案，不能發(fā)現(xiàn)面積不相等的根源，也不會(huì)想到會(huì)有面積相等的可能性，更不能得出具有普遍意義的理想分割方案.

思維的獨(dú)創(chuàng)性是思維的高級(jí)狀態(tài)，最重要的指標(biāo)是新穎程度. 通過對(duì)這類圖形拼接問題的研究，我們發(fā)現(xiàn)了黃金分割竟然與之密切相關(guān)，它既是保證圖形實(shí)現(xiàn)真正意義上等積變形的“定海神針”，又是找到正方形邊長在不同范圍內(nèi)理想分割方案的“金鑰匙”. 這樣得到的研究結(jié)果，往往讓人始料未及，能帶來意外之喜，也令人對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的廣泛聯(lián)系和數(shù)學(xué)中的圖形與數(shù)字之美贊嘆不已.

四、教學(xué)建議

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué). 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)思維訓(xùn)練，對(duì)數(shù)學(xué)問題的研究不要過分追求數(shù)量的多少，更要著眼于思維含量的高低.

1. 在預(yù)設(shè)與反思中注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)

教師要從數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的不同角度尋找理論依據(jù)，解讀教材文本、研究數(shù)學(xué)知識(shí)、分析數(shù)學(xué)問題，深入挖掘其中承載的思維訓(xùn)練價(jià)值，在教學(xué)目標(biāo)的確定、教學(xué)內(nèi)容的甄別、教學(xué)方法的選擇、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)、教學(xué)效果的評(píng)價(jià)等各個(gè)方面，都要把數(shù)學(xué)思維作為一項(xiàng)重要內(nèi)容納入其中，提前謀劃，做到心中有數(shù). 在課后反思或研討中，對(duì)照培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的預(yù)設(shè)達(dá)成情況，總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn)，探討其背后的理論依據(jù);梳理存在的問題與教訓(xùn)，研究改進(jìn)的方法.

2. 在課堂教學(xué)中采取多種方式優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)踐過程中，要以學(xué)生為主體，以知識(shí)為載體，強(qiáng)化數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)活動(dòng)中基本思維方式的培養(yǎng)力度，組織和引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維與收斂思維、正向思維與逆向思維、直覺思維與邏輯思維、歸納思維與演繹思維、聯(lián)想思維與類比思維、再現(xiàn)思維與創(chuàng)造思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，有效發(fā)揮數(shù)學(xué)育人的功能.

3. 數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與思想方法共同發(fā)力提高教學(xué)效率

很多教師通過對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》和中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的理論學(xué)習(xí)及教學(xué)實(shí)踐，已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)思想方法的重要意義，此處不再贅述. 數(shù)學(xué)思維有不同層次的模式，其中，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思維的操作模式，數(shù)學(xué)思維的最初級(jí)模式是法則、方法和公式的直接應(yīng)用. 例如，依據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則、待定系數(shù)法的一般步驟、“左加右減、上加下減”的拋物線平移規(guī)律解答代數(shù)問題，利用截長法、補(bǔ)短法、倍長中線法進(jìn)行有關(guān)線段的證明，這種思維操作模式有利于學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)知識(shí)，形成數(shù)學(xué)技能，掌握基本的數(shù)學(xué)方法. 相對(duì)而言，數(shù)學(xué)思想屬于更高層次的數(shù)學(xué)思維模式，它是數(shù)學(xué)思維的動(dòng)態(tài)模式，表現(xiàn)為辯證性、運(yùn)動(dòng)性、總體性的思維形式，溝通了數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)踐之間的內(nèi)在聯(lián)系. 數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模三大數(shù)學(xué)思想的形成過程，無一不是數(shù)學(xué)思維發(fā)生、發(fā)展的動(dòng)態(tài)過程. 在具體的教學(xué)中數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)思維相輔相成、融為一體，共同為實(shí)現(xiàn)“高立意”的數(shù)學(xué)教學(xué)貢獻(xiàn)力量. 例如，求同為依據(jù)的類化思維、一一對(duì)應(yīng)的配對(duì)思維、運(yùn)動(dòng)為特點(diǎn)的函數(shù)思維、把握不變性的整體思維、建構(gòu)可實(shí)現(xiàn)的構(gòu)造思維等重要的數(shù)學(xué)思維，分別與分類思想、對(duì)應(yīng)思想、函數(shù)思想、整體思想、轉(zhuǎn)化思想等重要的數(shù)學(xué)思想相互契合. 由它們支撐形成的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅是為了完成數(shù)學(xué)知識(shí)技能的傳授，而是更關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展，著眼于學(xué)生的終身學(xué)習(xí)、綜合素養(yǎng)和長遠(yuǎn)利益. 在達(dá)成教學(xué)目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的道路上，重視數(shù)學(xué)思想方法、優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的“雙思”型課堂，應(yīng)該成為初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)努力的方向.

參考文獻(xiàn)：

[1]遠(yuǎn)山啟. 數(shù)學(xué)與生活[M]. 呂硯山，李誦雪，譯. 北京：人民郵電出版社，2010.

[2]周春荔. 數(shù)學(xué)思維概論[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.