程龍軍 丁永愿

摘? 要：教師說(shuō)題是近年來(lái)常見(jiàn)的教研活動(dòng)形式，為了說(shuō)明說(shuō)題的內(nèi)容和方法，文章以一道中考幾何試題為例，闡述如何從背景立意、解法思路、問(wèn)題實(shí)質(zhì)和變式拓展等方面展開(kāi)分析，進(jìn)而達(dá)到提煉思想方法、拓展深度和廣度、把握命題規(guī)律、提升數(shù)學(xué)思維的目的.

關(guān)鍵詞：教師說(shuō)題;背景立意;解法思路;變式拓展

教師說(shuō)題是近年來(lái)常見(jiàn)的一種教研活動(dòng)形式，是考查數(shù)學(xué)教師基本功和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體. 具體是指教師通過(guò)對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的詳細(xì)解說(shuō)，剖析問(wèn)題的背景立意和思想方法，明確解題的思路和策略，拓展問(wèn)題的深度和廣度，把握命題的規(guī)律和趨勢(shì). 那么，說(shuō)題要說(shuō)什么？怎么說(shuō)？又要注意哪些問(wèn)題？下面筆者以2020年安徽卷第23題為例進(jìn)行說(shuō)明.

一、題目展示

題目? 如圖1，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，[AE=AD.] EC與BD相交于點(diǎn)G，與AD相交于點(diǎn)F，[AF=AB.]

（1）求證：[BD⊥EC;]

（2）若[AB=1，] 求AE的長(zhǎng);

（3）如圖2，連接AG，求證：[EG-DG=2AG.]

二、說(shuō)明背景

每道數(shù)學(xué)題目中或多或少都會(huì)包含一些社會(huì)、文化、生活，或者高等數(shù)學(xué)等背景，也經(jīng)常與教材中的例題、習(xí)題、中考試題及競(jìng)賽題有密切聯(lián)系. 因此，教師說(shuō)題要首先明晰問(wèn)題的背景，弄清題型、題源和考查方向，揭示考查的知識(shí)點(diǎn)和思想方法，以及與社會(huì)生活的密切聯(lián)系.

從立意看，題目第（1）小題從常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)型全等入手，通過(guò)證明[△AEF≌△ADB]推導(dǎo)線段間的特殊位置關(guān)系，屬于對(duì)通性、通法的考查.

第（2）小題從《幾何原本》第Ⅱ卷命題11中選取素材（如圖3），滲透了黃金分割的文化背景，由[△DFC∽][△AFE，] 易求得[AE=][1+52.] 事實(shí)上，由已知條件可分別推出[DFAF=AFAD]和[ABAE=][AEBE.] 所以點(diǎn)F和點(diǎn)A分別為線段AD和線段BE的黃金分割點(diǎn)，由[ABAD=AFAD=][5-12，] 可知矩形ABCD為黃金矩形，其中點(diǎn)G是黃金矩形內(nèi)的等角螺線無(wú)限趨近的點(diǎn).

第（3）小題證明共端點(diǎn)的三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，其內(nèi)在實(shí)質(zhì)與托勒密定理及三弦定理相關(guān)聯(lián). 三道小題的設(shè)置循序漸進(jìn)，滲透了濃厚的數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)之美，內(nèi)涵豐富、立意高遠(yuǎn).

從選材看，與題目類似的圖形在教材中也有出現(xiàn). 例如，第（1）小題與滬科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“滬科版教材”）八年級(jí)上冊(cè)第109頁(yè)第3題類似（如圖4）;第（2）小題是十分常見(jiàn)的“X”型相似的基本圖形;第（3）小題與滬科版教材八年級(jí)上冊(cè)第149頁(yè)第3題類似（如圖5）. 題目解法多樣，不僅考查了矩形、直角三角形、三角形全等、三角形相似、一元二次方程、圓等知識(shí)，也綜合考查了學(xué)生的數(shù)感、幾何直觀、推理能力和模型思想.

三、說(shuō)清解法

解法分析是說(shuō)題的重點(diǎn)環(huán)節(jié)，反映了教師對(duì)問(wèn)題理解的深度和廣度. 由于教師說(shuō)題的對(duì)象是教師而不是學(xué)生. 因此，本環(huán)節(jié)不僅要關(guān)注一題多解，還要重點(diǎn)理清解題方向和思路，對(duì)不同解法進(jìn)行比較、分析、歸納、總結(jié)，力求達(dá)到“知其然，知其所以然”的效果.

下面結(jié)合題目的第（3）小題進(jìn)行重點(diǎn)分析.

1. 思路分析

從結(jié)論來(lái)看，等式[EG-DG=2AG]呈現(xiàn)了三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，其結(jié)構(gòu)特征比較突出，如果執(zhí)果索因，可以考慮在線段EG上截長(zhǎng)或者在線段DG上補(bǔ)短，將三條線段轉(zhuǎn)化為兩條線段，或者從[2AG]出發(fā)聯(lián)想等腰直角三角形. 從已知條件來(lái)看，圖2中有多個(gè)直角和直角三角形，由此入手，可以聯(lián)想四點(diǎn)共圓或“三垂直”模型. 由[∠EGD=∠EAD=90°]，可得D，G，A，E四點(diǎn)共圓;由[∠FGB+∠FAB=180°]，可得F，A，B，G四點(diǎn)共圓. 進(jìn)而還能發(fā)現(xiàn)更為隱蔽的信息[∠EGA=45°.]

2. 解題方法

證法1：（截長(zhǎng)法）如圖6，在線段EG上截取[EH=DG，] 連接AH.

由已知條件，易證得[△AEH≌△ADG.]

則[△AHG]是等腰直角三角形.

得到[HG=2AG.]

從而[EG-DG=EG-EH=HG=2AG.]

證法2：（截長(zhǎng)法）如圖7，在線段GE上截取[GH=][GD，] 連接DH，DE.

則[△ADE]和[△GDH]均為等腰直角三角形.

由已知條件，易證得[△EDH∽△ADG].

得到[EH=2AG].

從而[EG-DG=EG-GH=EH=2AG.]

證法3：（補(bǔ)短法）如圖8，延長(zhǎng)DG到點(diǎn)H，使得[DH=EG，] 連接AH.

由已知條件，易證得[△AEG≌△ADH.]

則[△AHG]是等腰直角三角形.

得到[GH=2AG.]

從而[EG-DG=DH-DG=GH=2AG.]

證法4：（補(bǔ)短法）如圖9，延長(zhǎng)GD到點(diǎn)H，使得[GH=GE，] 連接ED，EH.

則[△ADE]和[△EGH]均為等腰直角三角形.

由已知條件，易證得[△DEH∽△AEG.]

得到[HD=2AG.]

從而[EG-DG=HG-DG=HD=2AG.]

證法5：（“三垂直”模型）如圖10，過(guò)點(diǎn)E作[EM⊥][AG]，交GA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作[DN⊥AG]，交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.

由已知條件，易證得[△EMA≌△AND.]

得到[AM=DN.]

再結(jié)合[∠EGA=45°，]

得[EG-DG=2MG-2DN=2MG-2AM=2AG.]

證法6：（四點(diǎn)共圓）如圖11，連接ED，以ED為直徑作[⊙O.]

由已知條件，易證得[DE=2AD.]

由[∠DGE=∠DAE=90°，]

可得A，E，D，G四點(diǎn)共圓.

由托勒密定理，得[DE?AG+DG?AE=AD?EG.]

所以[2AD?AG+DG?AD=AD?EG.]

所以[2AG+DG=EG，]

即[EG-DG=2AG].

3. 解法比較

說(shuō)題需要一題多解，但是不能糾結(jié)于一題多解，問(wèn)題的多種解法要能反映不同的解題思路，而不是在處理某些步驟時(shí)，把不同的處理方式當(dāng)作不同解法. 從這點(diǎn)來(lái)說(shuō)，上述證法1 ～ 4的思路都是截長(zhǎng)補(bǔ)短. 因此，可視為同一類證法，這種方法常用來(lái)處理三條線段之間的和差關(guān)系，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，屬于通性、通法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 如果將截長(zhǎng)補(bǔ)短法和結(jié)論中的[2AG]結(jié)合起來(lái)聯(lián)想，顯然證法1和證法3更為簡(jiǎn)潔、自然，而證法2和證法4涉及等式的變形和相似三角形的運(yùn)用，方法迂回，略顯復(fù)雜. 證法5從直角出發(fā)聯(lián)想“三垂直”模型，再結(jié)合隱蔽條件[∠EGA=45°]轉(zhuǎn)換線段，雖然構(gòu)思巧妙，但是對(duì)學(xué)生的聯(lián)想構(gòu)圖能力和發(fā)散思維能力要求較高. 證法6從直角出發(fā)聯(lián)想四點(diǎn)共圓，運(yùn)用托勒密定理進(jìn)行妙解，方法簡(jiǎn)單精妙，也更加逼近問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，但此證法不夠常規(guī)且超出課程要求，因此并不能被大部分學(xué)生接受.

四、說(shuō)透實(shí)質(zhì)

一個(gè)問(wèn)題的解法往往不止一種，如果教師不能在紛繁復(fù)雜的解法中提煉出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，那么眾多的解題方法也只是霧里看花，無(wú)法識(shí)得問(wèn)題的廬山真面目. 因此，教師說(shuō)題就需要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，善于將數(shù)學(xué)問(wèn)題“打回原形”，提煉出問(wèn)題實(shí)質(zhì)，達(dá)到“知何由以知其所以然”的境界.

由圖12不難發(fā)現(xiàn)，題目中的線段GD，GE，GA為[⊙O]上過(guò)點(diǎn)G的三條弦. 下面研究過(guò)圓上同一點(diǎn)的三條弦之間的數(shù)量關(guān)系. 顯然，三條弦之間的數(shù)量關(guān)系與其夾角[α，β]有關(guān)，如果這兩個(gè)角的大小進(jìn)行變化，那么三條弦之間的數(shù)量關(guān)系會(huì)有怎樣的變化？

如圖12，不妨設(shè)[⊙O]半徑為R，[∠DGE=α，∠AGE=]

[β.] 在[△DGA，△AGE，△DGE]中，分別根據(jù)正弦定理，得[AD=2R?sinα+β，AE=2R?sinβ，DE=2R?sinα.]由托勒密定理，得[EG ? AD=DG ? AE+AG ? DE.] 所以[EG ? 2Rsinα+β=DG ? 2Rsinβ+AG ? 2Rsinα.] 所以[EG ? sinα+β=DG?sinβ+AG?sinα.]

上述結(jié)論被稱為“三弦定理”，即過(guò)圓上一點(diǎn)作三條弦，可由弦之間的角度確定三條弦之間的數(shù)量關(guān)系，這一定理反映了圓內(nèi)弦、角之間的關(guān)系，可視為托勒密定理的一個(gè)重要推論. 通過(guò)這個(gè)定理我們不難發(fā)現(xiàn)，題目第（3）小題的實(shí)質(zhì)就是在[∠α=90°，∠β=45°]的條件下證明三條弦的數(shù)量關(guān)系.

五、說(shuō)通拓展

問(wèn)題變式拓展的質(zhì)量體現(xiàn)了教師對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解. 此環(huán)節(jié)不能滿足于簡(jiǎn)單的條件或結(jié)論變式，而是要在看透實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行深度地、有邏輯地拓展和應(yīng)用，以達(dá)到融會(huì)貫通，萬(wàn)變不離其宗的目的. 對(duì)于題目第（3）小題，可以從角度與線段兩個(gè)方向?qū)?wèn)題進(jìn)行變式.

1. 三弦?jiàn)A角特殊化

變式1：已知PA，PB，PD是[⊙O]的三條弦，PD平分[∠APB.]

（1）如圖13，若AB是[⊙O]的直徑，求證：[PA+][PB=2PD.]

（2）如圖14，若[∠APB=α，] 求證：[PA+PB=2PDcosα2.]

2. 線段關(guān)系特殊化

變式2：如圖15，在四邊形AEDG中，[EG⊥DG，] [EA⊥DA.]

（1）當(dāng)[AE=3AD]時(shí)，求證：[EG-3DG=2GA.]

（2）當(dāng)[AE=kAD]時(shí)，求證：[EG-kDG=k2+1GA.]

3. 解法分析

變式1將弦PD特殊化為角平分線，兩道小題均可以延長(zhǎng)PB至點(diǎn)C，使得[BC=AP，] 連接DC，通過(guò)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明，其中第（1）小題和第（2）小題之間是特殊和一般的關(guān)系. 變式2與題目中的第（3）小題一脈相承，只是將AE和AD的關(guān)系一般化，兩道小題均可以在EG上截取kDG，通過(guò)截長(zhǎng)法構(gòu)造相似三角形進(jìn)行證明，第（1）小題和第（2）小題之間也是特殊和一般的關(guān)系. 這樣的變式緊扣問(wèn)題實(shí)質(zhì)，解法多樣，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，體現(xiàn)了處理線段關(guān)系的通性、通法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力和歸納推理能力大有裨益.

六、兩點(diǎn)建議

1. 把握好說(shuō)題與解題的關(guān)系

說(shuō)題非解題，兩者之間既有區(qū)別也有聯(lián)系. 解題是說(shuō)題的基礎(chǔ)，不僅要會(huì)解，會(huì)一題多解、一題多變，還要知道為什么這么解. 為此，教師不僅要積累扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)和豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，也要有善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的慧眼和善于刨根問(wèn)底的慧心. 說(shuō)題是解題的升華，其內(nèi)涵更為豐富，包含了問(wèn)題的背景、特征、解法、拓展、反思等多個(gè)思維過(guò)程，是教師綜合素養(yǎng)的集中體現(xiàn). 因此，要想把題目的各個(gè)方面都說(shuō)清楚，就要結(jié)合教育教學(xué)理論對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全面、深入地研究，要站在較高的視角審視問(wèn)題，提高解題站位，避免習(xí)題教學(xué)中常見(jiàn)的套模型、套思路的機(jī)械做法和不良導(dǎo)向. 在本例中，如果能從圖形的結(jié)構(gòu)特征“直角”入手，發(fā)現(xiàn)四點(diǎn)共圓，進(jìn)而從托勒密定理和三弦定理的高度提煉問(wèn)題，就抓住了該問(wèn)題的本質(zhì)屬性，將“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)”這一課程理念落到了實(shí)處，也為后續(xù)更好地變式拓展奠定了重要基礎(chǔ).

2. 把握好教、學(xué)、研三者的關(guān)系

教師說(shuō)題是一個(gè)解題、研題、說(shuō)題、改題的系列活動(dòng)，雖然對(duì)象是同行和專家，但是終端對(duì)象仍然是學(xué)生. 因此，說(shuō)題是教師的“教”，學(xué)生的“學(xué)”以及考試命題的“研”三維一體的過(guò)程. 從“學(xué)”的角度來(lái)說(shuō)，要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和最近發(fā)展區(qū)，分析解題思路和思維斷點(diǎn)，關(guān)注解題的通性、通法，及時(shí)對(duì)解法進(jìn)行比較、優(yōu)選、反思;從“教”的角度來(lái)說(shuō)，說(shuō)題要體現(xiàn)教師對(duì)題目本質(zhì)的理解與認(rèn)識(shí)，要說(shuō)透問(wèn)題的本質(zhì)特征，在此基礎(chǔ)上說(shuō)通問(wèn)題的變式拓展;從“研”的角度來(lái)說(shuō)，在前兩者的基礎(chǔ)上，還要分析問(wèn)題的背景和題源，理清考查的知識(shí)點(diǎn)和思想方法，把握命題的規(guī)律和方向. 上述題目的證法1 ～ 4是從結(jié)論代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征入手尋找思路，解法也是通性、通法，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，屬于“學(xué)”的視角，證法5和證法6是從圖形的結(jié)構(gòu)特征入手，解法高于課程的基本要求，具有一定的難度，屬于“教”的視角;對(duì)證法6運(yùn)用正弦定理進(jìn)行提煉進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)“三弦定理”，并由此進(jìn)行特殊化的變式拓展，完整地體現(xiàn)了研究一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題從特殊到一般的歸納過(guò)程，以及再?gòu)囊话愕教厥獾膽?yīng)用過(guò)程，屬于“研”的視角. 三個(gè)視角的和諧統(tǒng)一，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教師所必備的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]洪夢(mèng)，吳立寶，王富英. 數(shù)學(xué)說(shuō)題的內(nèi)涵與結(jié)構(gòu)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（11）：58-63.

[2]郭軼男. 黃金分割研究[D]. 大連：遼寧師范大學(xué)，2008.

[3]周全軍. 說(shuō)題：另辟教師專業(yè)成長(zhǎng)新途徑[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（上旬），2021（1）：6-7，13.