王虹 劉金英

摘? 要：天津中考數(shù)學(xué)網(wǎng)格作圖題，題目簡捷、設(shè)計(jì)巧妙，立足課程標(biāo)準(zhǔn)，是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合性考查. 文章通過對(duì)試題解題方法的分析，建議在教學(xué)中著眼基礎(chǔ)，逐步滲透解題思路，形成知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)的生長鏈.

關(guān)鍵詞：網(wǎng)格作圖題;核心素養(yǎng);解法研究

綜合性指向是指根據(jù)不同數(shù)學(xué)問題所需，將核心素養(yǎng)有機(jī)結(jié)合，有效進(jìn)行邏輯鏈接，是數(shù)學(xué)思考與問題解決之間的橋梁. 它的價(jià)值在于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的準(zhǔn)確運(yùn)用，是考查學(xué)生能否將幾何直觀、邏輯推理、建模思想、運(yùn)算能力、數(shù)形結(jié)合等能力融會(huì)貫通的主要標(biāo)志.

天津中考數(shù)學(xué)網(wǎng)格作圖題，題目簡捷、設(shè)計(jì)巧妙，立足課程標(biāo)準(zhǔn)，聚焦核心內(nèi)容. 利用網(wǎng)格隱藏了學(xué)生熟悉的幾何題目中具象化且明確的邊角關(guān)系和原始信息，將復(fù)雜的原理融入只有簡單線條的有限網(wǎng)格中，考查學(xué)生利用網(wǎng)格綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于綜合與實(shí)踐范疇. 要求學(xué)生有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，能根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，將問題轉(zhuǎn)換成與之相匹配的具體數(shù)學(xué)模型;具有較強(qiáng)的“母題”還原能力，能夠再現(xiàn)并重組、解構(gòu)、變換解題方法. 網(wǎng)格作圖題的解題思路也很多，不同的解題思路會(huì)得到不同的構(gòu)圖方式，局限于有限的網(wǎng)格內(nèi)，作圖的難易程度就會(huì)千差萬別. 通過研究網(wǎng)格作圖題，可以深挖教材、由淺入深，逐步滲透解題方法和思考路徑.

一、網(wǎng)格作圖題是初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)

網(wǎng)格中可以實(shí)現(xiàn)的基本作圖構(gòu)造包括：等分線段、相似、全等、平行、垂直、軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等. 一些精心設(shè)計(jì)的網(wǎng)格作圖題更具綜合性，可以考查學(xué)生是否熟練掌握幾何圖形的性質(zhì)、圖形的變換規(guī)律及相關(guān)結(jié)論，能否運(yùn)用所學(xué)知識(shí)完成作圖. 網(wǎng)格作圖題幾乎可以涵蓋初中所有的數(shù)學(xué)知識(shí)和解題技巧，思維含量很高，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)與技能的升華.

1. 網(wǎng)格作圖題承載了幾何直觀、邏輯推理等素養(yǎng)

例1 （2020年天津卷·18）如圖1，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，[△ABC]的頂點(diǎn)[A，C]均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)[B]在網(wǎng)格線上，且[AB=53].

（1）略;

（2）以[BC]為直徑的半圓與邊[AC]相交于點(diǎn)[D，] 若點(diǎn)[P，Q]分別為邊[AC，BC]上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)[BP+PQ]取得最小值時(shí)，試用無刻度的直尺，在如圖1所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)[P，Q，] 并簡要說明點(diǎn)[P，Q]的位置是如何找到的（不要求證明）? ? ? ? ? ? ?.

此題涉及的知識(shí)點(diǎn)有：垂線段最短、相似、平移、平行線分段成比例、作已知點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)、三角形垂心的性質(zhì)、圓中直徑所對(duì)的圓周角為直角. 綜合性較強(qiáng)，考查了學(xué)生的推理能力和綜合運(yùn)用能力.

一方面，網(wǎng)格為純幾何推理提供了必要準(zhǔn)備，邏輯推理能力和計(jì)算功底較強(qiáng)的學(xué)生可以運(yùn)用純幾何方式作圖. 如圖2，試題中巧妙設(shè)計(jì)了[BC]是直徑，可以利用90°角所對(duì)的圓周角是直角，射線BD便與AC垂直. 作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，由平行線分線段成比例定理可知，需要構(gòu)造HI∥AC，并構(gòu)造線段[AH=AB=][53.] 取格點(diǎn)J，E，連接JE交網(wǎng)格線于點(diǎn)H. 要做平行，可由平移的知識(shí)，取格點(diǎn)F，G，連接FG交網(wǎng)格線于點(diǎn)I，連接HI，得HI∥AC. 則交BD于點(diǎn)B′. 直接由點(diǎn)B′作BC的垂線難度是比較大的，網(wǎng)格作圖題中隱藏了常規(guī)幾何中的邊角關(guān)系，考查了學(xué)生的幾何直觀和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，其實(shí)是利用△BB′C中三邊高線的交點(diǎn)是垂心這一幾何知識(shí)將題目的綜合性推上了高潮. 再次，利用直徑和直角，連接B′C，與半圓交于點(diǎn)K，連接BK，所以BK⊥CB′. 因此，點(diǎn)B′和垂心相連，便可垂直BC于點(diǎn)Q了，這個(gè)垂心即為待求的點(diǎn)P.

另一方面，網(wǎng)格作圖的優(yōu)勢不止為純幾何的推理提供角度和線段長度計(jì)算的可能，也為建立平面直角坐標(biāo)系提供了條件，為學(xué)生拓展、創(chuàng)新搭建了平臺(tái). 構(gòu)圖時(shí)選取網(wǎng)格中的特殊點(diǎn)，在合理位置建立平面直角坐標(biāo)系，分析點(diǎn)的位置特點(diǎn)，體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)平面直角坐標(biāo)系的理解，又增加了解題的靈活性和創(chuàng)造性，考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，將幾何問題代數(shù)化，能夠大幅度降低學(xué)生幾何思維的難度.

如圖3，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系. 則有[A0，0，B0，-53，C3，-2.] 則直線AC的解析式為[y=-23]x. 因?yàn)閇AB=53，] B′D = BD，由平行線分線段成比例可知，將直線AC向上平移[53]個(gè)單位長度得到的直線的解析式為[y=-23x+53，] 且點(diǎn)B′必在其上. 網(wǎng)格固定又靈活的特點(diǎn)使學(xué)生能得到任意格點(diǎn)的坐標(biāo)，能發(fā)現(xiàn)直線[y=-23x+53]一定過格點(diǎn)[E1，1]和[F4，-1.] 連接EF交BD于點(diǎn)B′，連接CB′交圓于點(diǎn)G，連接BG交AC于點(diǎn)P，作射線B′P交BC于點(diǎn)Q，則點(diǎn)P，Q即為所求.

網(wǎng)格作圖題用它特有的優(yōu)勢，將數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來，使一道幾何問題可以用代數(shù)方法更為靈活、快捷地解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以及對(duì)學(xué)生知識(shí)掌握情況的綜合性考查.

由于網(wǎng)格作圖題中的網(wǎng)格有限，要實(shí)現(xiàn)各種解法，需要學(xué)生不僅具有較強(qiáng)的計(jì)算功底，又要深刻理解幾何圖形的各種性質(zhì)，具有函數(shù)思想、方程思想、空間觀念，以及合理轉(zhuǎn)化點(diǎn)的能力，能夠?qū)?shù)與形結(jié)合起來. 網(wǎng)格作圖題的設(shè)置符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)作圖的要求：在尺規(guī)作圖中了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，同時(shí)能夠有效考查學(xué)生利用網(wǎng)格設(shè)計(jì)解決問題的方案，以及創(chuàng)建模型并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

2. 網(wǎng)格作圖題提供了創(chuàng)造性解決幾何圖形問題的平臺(tái)

網(wǎng)格作圖問題也可以不是指向某些知識(shí)點(diǎn)或解題技巧，而是更明確地考查學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)或者典型題目的理解記憶，是初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn).

例2 （2018年天津卷·18）如圖4，在每個(gè)小正方形的邊長為[1]的網(wǎng)格中，[△ABC]的頂點(diǎn)[A，] [B，] [C]均在格點(diǎn)上.

（1）略;

（2）在如圖4所示的網(wǎng)格中，[P]是邊[BC]上任意一點(diǎn). 以點(diǎn)[A]為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于[∠BAC]，把點(diǎn)[P]逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)[P]的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為[P′.] 當(dāng)[CP′]最短時(shí)，試用無刻度的直尺，畫出點(diǎn)[P′，] 并簡要說明點(diǎn)[P′]的位置是如何找到的（不要求證明）? ? ? ? ? ? .

此題要求一個(gè)定點(diǎn)與一條直線上動(dòng)點(diǎn)所連線段的最小值，其實(shí)質(zhì)是旋轉(zhuǎn)后垂線段最短的問題. 從知識(shí)層面上，主要考查了勾股定理、成比例線段、相似、全等三角形、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等;從技能層面上，主要考查了學(xué)生的計(jì)算能力、作圖能力和推理能力. 首先，要明確旋轉(zhuǎn)作圖的方法——“角邊角”構(gòu)造全等. 因?yàn)樾D(zhuǎn)角等于∠BAC，所以旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B′在直線AC上，在直線AC上通過計(jì)算截取AB′ = AB即可確定點(diǎn)B′的位置，然后需要構(gòu)造∠B′，以確定點(diǎn)C′的位置. 如圖5，觀察圖形的位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)∠ABC = 45° - ∠ABM，所以利用點(diǎn)B′也構(gòu)造一個(gè)1 × 7的對(duì)角線就可以得到與∠ABM相等的角. 結(jié)合相似知識(shí)構(gòu)造0.5 × 3.5的對(duì)角線B′H，最后轉(zhuǎn)化成過定點(diǎn)C作CP′⊥B′H. 這時(shí)可以由一線三垂直構(gòu)造. 由此可以聯(lián)想到“手拉手”模型. 如圖6，正方形ABCD與正方形CEFG有公共頂點(diǎn)C，連接BE，DG，則△BCE的中線CH⊥DG. 利用該結(jié)論，可知要構(gòu)造CP′⊥B′H，只需取AB的中點(diǎn)K，即取格點(diǎn)I，J，連接IJ交AB于點(diǎn)K，作射線KC交B′H于點(diǎn)P′.

此題的解決依賴于學(xué)生對(duì)已有知識(shí)結(jié)構(gòu)的整理和記憶，同時(shí)對(duì)幾何圖形的性質(zhì)和題目本質(zhì)有深刻的了解，還要具有幾何直觀意識(shí)和建模思想. 這樣才能順理成章地在網(wǎng)格內(nèi)構(gòu)圖，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與技能的升華.

二、解決網(wǎng)格作圖題的教學(xué)建議

1. 立足教材，逐步滲透，開闊視野

網(wǎng)格作圖題雖然綜合性強(qiáng)，但是教師可以在日常的教學(xué)中循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)，在網(wǎng)格作圖題中加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解.

平移的性質(zhì)是“平移前后對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等”. 以此為根據(jù)，學(xué)生可以通過數(shù)格的方式在網(wǎng)格中構(gòu)造平行線，有利于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí).

例3? 如圖7，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，以AB為半徑作半圓，連接AC，BC，用無刻度直尺作一條直線將封閉圖形的面積平分.

如圖8，學(xué)生可以用折線CDE平分圖形的面積. 分析圖形發(fā)現(xiàn)，若存在符合要求的直線EG，則S△CGH = S△DEH. 由此問題轉(zhuǎn)變?yōu)樵诰€段BC上尋找點(diǎn)G，使得S△CGH = S△DEH. 根據(jù)等式的性質(zhì)，可知S△CEG = S△CDE. 結(jié)合等底等高的三角形面積相等，發(fā)現(xiàn)只需過點(diǎn)D作線段CE的平行線，其與線段BC的交點(diǎn)即為符合要求的點(diǎn)G，直線EG即為所求.

立足教材，在講授知識(shí)的同時(shí)逐步引入網(wǎng)格作圖題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不只是簡單的邏輯推理和計(jì)算，是可以在網(wǎng)格這種新奇的背景下應(yīng)用的，并逐漸體會(huì)網(wǎng)格的作用，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí). 在培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的同時(shí)，使學(xué)生收獲成功的喜悅和成就感，感受數(shù)學(xué)的簡潔和變化美，開闊視野.

2. 著眼基礎(chǔ)，變式綜合，融會(huì)貫通

對(duì)網(wǎng)格作圖題的探究要著眼基礎(chǔ)，同時(shí)將知識(shí)點(diǎn)多角度呈現(xiàn)，幫助學(xué)生理解知識(shí)的深刻內(nèi)涵，進(jìn)而提升學(xué)生處理問題的綜合能力.

例如，角平分線是幾何圖形中比較常見的基礎(chǔ)線，與之相關(guān)的知識(shí)和技巧有很多. 從知識(shí)角度來看，與角平分線相關(guān)的定理有等腰三角形三線合一、角平分線的尺規(guī)作圖依據(jù)——“邊邊邊”全等、角平分線的判定定理;從技能層面來看，有“平行等腰出平分”的結(jié)論;從知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累來看，利用角平分線的性質(zhì)可以計(jì)算角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離;等等. 網(wǎng)格為這些知識(shí)和技巧提供了廣闊的作圖空間. 例如，構(gòu)造圖9中∠AOB的平分線就有多種方法.

方法1：利用等腰三角形三線合一，需要以角的頂點(diǎn)為等腰三角形的頂點(diǎn)，構(gòu)造等腰三角形AOB，找到AB的中點(diǎn). 為此可以構(gòu)造矩形ACBD，如圖10，連接對(duì)角線交于點(diǎn)E，射線OE即為∠AOB的平分線.

方法2：利用尺規(guī)作圖作角平分線的原理——“邊邊邊”全等，構(gòu)造角平分線. 圖中恰好有OA = OB = 5，等邊長的網(wǎng)格為長度計(jì)算提供了依據(jù)，可得到格點(diǎn)C，使得AC = BC. 作射線OC，則△AOC ≌ △BOC（SSS）. 如圖11、圖12所示. 則射線OC即為∠AOB的平分線.

方法3：利用“HL”全等. 如圖13，構(gòu)造AC⊥OA，與過點(diǎn)B的網(wǎng)格線交于點(diǎn)D. 因?yàn)辄c(diǎn)B在格點(diǎn)上，所以BD⊥OB. 作射線OD，因?yàn)镺A = OB，OD = OD，所以Rt△AOD ≌ Rt△BOD（HL）. 所以射線OD為∠AOB的平分線.

方法4：如圖14，利用網(wǎng)格線間的平行關(guān)系，作AC∥OB，使AC = OA = 5，作射線OC，則∠OAC = ∠ACO = ∠COB，所以射線OC為∠AOB的平分線.

方法5：利用勾股定理或面積法計(jì)算角平分線的位置再截取. 如圖15，利用網(wǎng)格線，作AC⊥OB. 設(shè)∠AOB的平分線與線段AC交于點(diǎn)P. 因?yàn)镾△AOC = [12OC ·][AC=6，] 而S△AOC = S△POC + S△AOP =[12PCOC+OA，] 所以解得[PC=43.] 取格點(diǎn)D，E，則DE與AC的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，射線OP即為∠AOB的平分線.

通過對(duì)網(wǎng)格作圖問題進(jìn)行不斷探究，對(duì)一個(gè)問題進(jìn)行多角度呈現(xiàn)，串聯(lián)基礎(chǔ)，既能加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用，又訓(xùn)練了學(xué)生思維的靈活性，同時(shí)還能幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通.

3. 研究試題，深挖教材，拓展提升

雖然網(wǎng)格作圖試題看似很難，但是往往能夠在教材中找到解題依據(jù).

題目1? 如圖16，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB = AC，∠B = ∠C. 求證：AD = AE.

題目2? 如圖17，在△ABC中，AB = AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD上. 找出圖中的全等三角形，并證明它們相等.

上述兩道題目分別為人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第40頁例3和第45頁習(xí)題12.2的第13題，其為2021年中考數(shù)學(xué)天津卷第18題的情境設(shè)計(jì)、問題本質(zhì)、思考方法提供了依據(jù). 教師在講授過程中可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，抓住圖形的邊角關(guān)系，引申題目“如圖18，在圖17的基礎(chǔ)上延長BE交AC于點(diǎn)G，延長CE交AB于點(diǎn)F，圖中有多少對(duì)全等三角形？”這樣可以有效幫助學(xué)生理解相關(guān)問題，逐步形成模型意識(shí)，為處理網(wǎng)格作圖題奠定一定的基礎(chǔ).

在研究試題的基礎(chǔ)上，了解試題的本質(zhì)和構(gòu)成，有利于訓(xùn)練學(xué)生的網(wǎng)格作圖能力. 在講授“三角形全等”和“軸對(duì)稱”的知識(shí)后，教師可以如下設(shè)計(jì)網(wǎng)格作圖題目.

題目3? 如圖19，點(diǎn)A，B，D在格點(diǎn)上，點(diǎn)C為AD上任意一點(diǎn)，用無刻度直尺在線段AB上構(gòu)造AP = AC.

解析：如圖20，由三線合一可以先構(gòu)造BD的中點(diǎn)E，然后連接AE，BC交于點(diǎn)G，射線DG交AB的交點(diǎn)P即為所求.

讓學(xué)生逐步接觸網(wǎng)格作圖問題，可以有效提高學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力. 在學(xué)習(xí)完“圓”的知識(shí)后，教師可以在圖19的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)如下題目.

題目4? 如圖21，點(diǎn)A，C在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上，以AB為直徑的半圓的圓心為O，用無刻度直尺構(gòu)造∠BAC的角平分線AD.

解析：由圓的性質(zhì)，可知半圓O上任意點(diǎn)與點(diǎn)A，O構(gòu)成的三角形皆為等腰三角形，而利用“平行等腰出平分”即可構(gòu)造角平分線. 由此，問題轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)O作線段AC的平行線，其與半圓O的交點(diǎn)即為所求射線上的一點(diǎn)D. 如圖22，觀察點(diǎn)B，C的位置，結(jié)合中位線的知識(shí)，可知線段BC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E即為其中點(diǎn)，則OE∥AC. 所以O(shè)D∥AC. 所以AD即為所求.

在鋪墊上述兩道題目后，教師最終呈現(xiàn)2021年中考天津卷第18題.

題目5 （2021年天津卷·18）如圖23，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上.

（1）略;

（2）以AB為直徑的半圓的圓心為O，在線段AB上有一點(diǎn)P，滿足AP = AC，試用無刻度的直尺，在如圖23所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)P，并簡要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）? ? ? ? ? ? ? ?.

這時(shí)學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)通過構(gòu)造軸對(duì)稱全等作圖，又掌握了作角平分線的方法，結(jié)合起來只需完成等腰三角形ABF的作圖. 如圖24，根據(jù)直徑、直角，AE⊥BE，且構(gòu)造AE平分∠BAC，延長AC，BE交于點(diǎn)F，便構(gòu)造了等腰△ABF，AE交BC于點(diǎn)G，射線FG與線段AB的交點(diǎn)P即為所求.

對(duì)于網(wǎng)格作圖題的探究，教師可以根據(jù)學(xué)段降解難度，并在逐步演變的過程中，不斷訓(xùn)練、提升學(xué)生提取問題本質(zhì)的能力，以及學(xué)生的模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí).

網(wǎng)格作圖題屬于綜合與實(shí)踐范疇，《標(biāo)準(zhǔn)》要求達(dá)到“結(jié)合實(shí)際情境，經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決具體問題的方案，并加以實(shí)施的過程，體驗(yàn)建立模型、解決問題的過程，并在此過程中，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題”的程度. 通過對(duì)有關(guān)問題的探討，進(jìn)一步理解相關(guān)知識(shí)，發(fā)展學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)和能力. 網(wǎng)格作圖題為學(xué)生多角度探究問題提供了空間，在知識(shí)層面可以覆蓋所有初中的幾何原理和代數(shù)知識(shí);在解題技能上以學(xué)生的自身經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，根據(jù)學(xué)生的自身能力及特點(diǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯推理能力，以及透過現(xiàn)象看本質(zhì)的提煉能力，同時(shí)能夠有效考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、空間觀念、幾何直觀、模型思想、方程思想和函數(shù)思想. 網(wǎng)格作圖題具有豐富的研究價(jià)值，為后續(xù)教學(xué)提供了極好的素材，網(wǎng)格作圖題彰顯了網(wǎng)格潛在的龐大功能，依托“小網(wǎng)格”，鑄就“大舞臺(tái)”.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]劉金英. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)與評(píng)價(jià)的研究[M]. 沈陽：遼寧教育出版社，2020.

[3]白麗娜，劉金英，顧洪敏. 探尋網(wǎng)格作圖問題? 提升數(shù)學(xué)思維能力[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2016（7 / 8）：102-105，128.

[4]章建躍. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何落實(shí)在課堂[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016（3）：封4.

[5]宋春，劉金英，趙國華. 大道至簡? 點(diǎn)線同源：對(duì)2020年中考天津卷第18題的解法探究[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2020（11）：41-45.