摘? 要：文章對“母子直角三角形”包含的基本條件、主要結(jié)論和教材分布等情況進(jìn)行了研究，并以此為例呈現(xiàn)了認(rèn)識基本圖形的不同角度和基本方法.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;基本圖形;案例分析;教學(xué)規(guī)劃

在初中階段，基本圖形是較為常見的數(shù)學(xué)模型. 教師借助基本圖形進(jìn)行教學(xué)，可以讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)抽象—模型建構(gòu)—問題解決”的過程，以發(fā)展其數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 在這個過程中，對基本圖形的充分認(rèn)識是最為重要的. 教師應(yīng)該充分利用課堂教學(xué)，幫助學(xué)生從不同角度認(rèn)識基本圖形，不斷夯實(shí)基本圖形的應(yīng)用基礎(chǔ). 本文結(jié)合一個常見基本圖形談?wù)劰P者的思考，希望能為一線教師的教學(xué)帶來啟示.

一、一個常見基本圖形的分析

數(shù)學(xué)模型蘊(yùn)藏于學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動中，是學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決問題的主要工具之一. 在很多數(shù)學(xué)問題中都有著固定結(jié)構(gòu)的基本圖形，其極易引發(fā)學(xué)生對重要數(shù)學(xué)結(jié)論的聯(lián)想，使他們能夠快速形成解決問題的思路. 因而，教師把這些基本圖形也作為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行教學(xué)，以此來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 下面，我們就先來認(rèn)識這樣一個基本圖形.

1. 基本條件

如圖1，在[△ABC]中，[∠ACB=90°，] [CD⊥AB]于點(diǎn)D.

2. 重要結(jié)論

（1）角之間的關(guān)系.

① 由 垂直的定義，得[∠ACB=∠ADC=∠BDC][=90°;]

② 由直角三角形的兩個銳角互余，得[∠A+∠B=][∠ACD+∠A=∠B+∠BCD=90°;]

③ 由同角的余角相等，得[∠A=∠DCB，∠B=∠ACD.]

（2）三角形之間的關(guān)系.

由兩角分別相等的兩個三角形相似，得[△ACD∽][△CBD∽△ABC.]

（3）邊之間的關(guān)系.

① 由垂線段最短，得[AC>CD，BC>CD;]

② 由勾股定理，得[AB2=AC2+BC2，AC2=AD2+CD2，][BC2=BD2+BC2;]

③ 由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，得[ACCB=ADCD=][CDBD， ACCD=ABCB=BCBD.]

④ 由比例的性質(zhì)，得[AC · CD=AD · CB，] [CD2=][AD · BD，AC · BC=AB · CD，BC2=AB · BD.]

（4）邊、角之間的關(guān)系.

由銳角三角函數(shù)的定義，得[sinA=BCAB=CDAC，cosA=] [ACAB=ADAC，] [tanA=BCAC=CDAD.]

（5）三角形的面積.

由三角形的面積公式，得[S△ABC=12AC · BC=][12AB · CD.]

3. 教材分析

圖1是由[Rt△ABC]及其斜邊上的高CD構(gòu)成的，在初中數(shù)學(xué)中有很多問題會涉及這一基本圖形. 以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）為例，在除了教材七年級上冊以外的五本教材中，蘊(yùn)含圖1（含“基本條件”）或與圖1高度相近的教學(xué)內(nèi)容至少有16處. 具體見下表.

在上述問題中，與圖1相關(guān)的內(nèi)容基本上是以“圖形 + 文本”的形式漸進(jìn)呈現(xiàn)的，而“圖1 + 基本條件”是辨識度最高的內(nèi)容架構(gòu). 在這一架構(gòu)之上，通過上述16個問題及變式問題的解答與交流，相關(guān)重要結(jié)論逐步生長出來，不斷豐富和拓寬學(xué)生對圖1的認(rèn)知，使以圖1為支撐的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)成為學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的重要工具. 在教材中，同一類型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)以如此高的頻次出現(xiàn)，足以說明其在本學(xué)段的重要性. 因而，包括筆者在內(nèi)的很多一線教師將圖1作為基本圖形展開教學(xué)，根據(jù)教學(xué)進(jìn)度不斷豐富與發(fā)展其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，形成基于圖1的龐大知識網(wǎng)絡(luò)，更好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展.

4. 基本圖形的賦名

從上表中不難看出，學(xué)生最早接觸圖1是在教材七年級下冊“5.1.2 垂線”，給出的圖2及“[PO⊥l]”中就已經(jīng)有了圖1的影子. 教材八年級上冊第14頁“練習(xí)”第1題給出的條件“如圖1，[∠ACB=90°，CD⊥AB，] 垂足為D”與后面幾冊教材中圖1反復(fù)出現(xiàn)時所給條件完全一致，要探索的“[∠ACD]與[∠B]的關(guān)系”不僅是本節(jié)課知識的應(yīng)用，還是后面很多與圖1相關(guān)結(jié)論探索的基礎(chǔ). 鑒于“基本條件 + 圖1”中蘊(yùn)含的豐富數(shù)學(xué)結(jié)論不僅能在問題解決中發(fā)揮“工具”作用，還能使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到更好地發(fā)展. 因此，筆者在進(jìn)行該課教學(xué)時，引導(dǎo)學(xué)生剖析圖形特征——直角三角形 + 斜邊上的高，在回顧圖中邊的關(guān)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步推導(dǎo)出圖中角的關(guān)系，并在學(xué)生認(rèn)同的情況下將圖1這一基本圖形稱為“母子直角三角形”.

在接下來的學(xué)習(xí)中，隨著學(xué)生對勾股定理和相似三角形探索的不斷深入，各種基于“圖1 + 基本條件”的不同類別的結(jié)論逐漸生長，不斷豐富著這一基本圖形的內(nèi)涵. 與此相伴的是，很多數(shù)學(xué)問題需要學(xué)生從復(fù)雜的情境中發(fā)現(xiàn)并抽象出“母子直角三角形”，并應(yīng)用其中蘊(yùn)含的重要結(jié)論去建構(gòu)等量關(guān)系解決問題. 在整個初中階段，每次“母子直角三角形”內(nèi)涵的豐富與應(yīng)用的升級，不僅會提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，還會同步推動學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的快速發(fā)展.

二、從不同角度認(rèn)識基本圖形

基本圖形一般具有抽象性、典型性、綜合性、應(yīng)用性等特征. 因而，認(rèn)識一個基本圖形，應(yīng)是一項(xiàng)“綜合工程”. 在接觸之初，教師就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對圖形進(jìn)行多角度、全方位的分析，通過對基本條件、存在結(jié)論、適用情境等諸多要素逐一分析，理清圖形的整體架構(gòu)、生長流程、適用范圍和應(yīng)用前景.

1. 分析圖文條件，理清外部架構(gòu)

任何一個基本圖形，都是基于一定條件之上“生長”而成的. 因而，對條件的細(xì)致分析應(yīng)該成為學(xué)生認(rèn)識基本圖形的第一步. 對于基本圖形的教學(xué)，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生讀懂以文字、圖形、符號等形式呈現(xiàn)的基本條件，還要理清這些條件之間的關(guān)系，通過條件的比對呼應(yīng)明晰其外部架構(gòu). 例如，在解答教材八年級上冊第14頁“練習(xí)”第1題時，學(xué)生首次完整接觸圖1，這也是“母子直角三角形”在整套教材中第一次成型出現(xiàn). 此時，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通讀文圖條件，將文本條件“[∠ACB=90°，CD⊥AB，] 垂足為點(diǎn)D”與圖形中標(biāo)注的直角符號聯(lián)系起來，并分別明確圖中線段之間、三角形之間的關(guān)系. 解讀線段間的特殊位置關(guān)系，明確圖中的“雙垂直”（[AC⊥CB，] [CD⊥AB]）關(guān)系;觀察三個直角三角形間的位置關(guān)系，明確[Rt△ABC]對兩個共邊直角三角形[Rt△ACD]和[Rt△CBD]的包含關(guān)系. 明確了基于給定條件的位置關(guān)系，也就形成了基本圖形的外部架構(gòu)，這是學(xué)生從“外在長相”上把握圖形特征的基礎(chǔ)，也是學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和應(yīng)用基本圖形的基礎(chǔ)，更是學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)展的基礎(chǔ).

2. 推導(dǎo)主要結(jié)論，明晰圖形內(nèi)核

基本圖形是簡化了的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，不僅包括由文本呈現(xiàn)的基本條件下的圖形，還包含蘊(yùn)藏于圖形中的結(jié)論. 其中，這些結(jié)論是圖形應(yīng)用的主體，是其價值發(fā)揮的核心元素. 認(rèn)識基本圖形，應(yīng)對圖中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行重點(diǎn)認(rèn)知，教師不僅要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含其中的主要數(shù)學(xué)結(jié)論，還要讓他們經(jīng)歷這些結(jié)論的推導(dǎo)過程. 以“母子直角三角形”為例，教師應(yīng)該結(jié)合具體的教學(xué)時點(diǎn)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并證明上面的重要結(jié)論，以實(shí)現(xiàn)圖形內(nèi)核的自然生長. 例如，對于結(jié)論（1）③，教師應(yīng)該利用教材八年級上冊第14頁“練習(xí)”第1題的教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索. 因?yàn)橛辛恕爸苯堑亩x”“直角三角形兩銳角互余”和“同角的余角相等”等知識的鋪墊，通過對此題的探索，學(xué)生是可以依次推導(dǎo)出上面（1） 中的三個重要結(jié)論，隨著結(jié)論（1）③的得出，基本圖形中角之間的關(guān)系便聚集明晰，成為新的應(yīng)用點(diǎn). 與此類似的其他結(jié)論，教師同樣應(yīng)該緊扣上面表格中的問題，安排學(xué)生自主探索，使其“知其然，且知其所以然”，用不斷“生長”出的新的數(shù)學(xué)結(jié)論，充實(shí)圖形的內(nèi)核，擴(kuò)大其適用范圍. 學(xué)生有了一次次清晰的獲得后，對圖1的認(rèn)知就會不斷加深，他們才有可能對“母子直角三角形”做到抽象合理準(zhǔn)確、提取自然順暢、應(yīng)用坦然有序，其數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)才會得到同步發(fā)展.

3. 關(guān)注適用情境，感知應(yīng)用價值

一般地，基本圖形的抽象與應(yīng)用都離不開具體的情境. 對基本圖形的教學(xué)，認(rèn)識其存在情境應(yīng)該是一個重點(diǎn). 在初中階段，蘊(yùn)含基本圖形的情境有兩類，一類是與學(xué)生息息相關(guān)的生活情境，另一類是具有學(xué)科特征的數(shù)學(xué)情境. 在教學(xué)過程中，教師要結(jié)合具體的情境，讓學(xué)生思考這里有沒有我們熟悉的圖形？是什么圖形？你能根據(jù)這一圖形得到哪些結(jié)論？這些結(jié)論中，哪些與要說明的數(shù)學(xué)問題之間有關(guān)系？用這些結(jié)論能解決問題嗎？在這種反復(fù)追問、精準(zhǔn)標(biāo)注與有效關(guān)聯(lián)中，使學(xué)生經(jīng)歷基本圖形的抽象與應(yīng)用過程，并深刻領(lǐng)會基本圖形的生長背景、抽象途徑和應(yīng)用方式，感知其應(yīng)用價值.

例如，教材七年級下冊的圖5.1-9（即圖2）是在學(xué)生探索“垂線段最短”時給出的. 圖2很容易讓學(xué)生聯(lián)想到有多組斜拉索橋，這正是“母子直角三角形”中所隱藏的一種生活情境，將在與銳角三角函數(shù)相關(guān)的一些實(shí)際問題中出現(xiàn). 教學(xué)圖2時，教師有必要揭示圖2與斜拉索橋間潛在的關(guān)系，讓學(xué)生初步感知“母子直角三角形”適用的生活情境. 當(dāng)然，“母子直角三角形”更多存在于數(shù)學(xué)情境中. 例如，教材八年級上冊習(xí)題13“復(fù)習(xí)鞏固”第7題：如圖3，在[△ABC]中，[∠ACB=90°，][CD]是高，[∠A=30°.] 求證[BD=][14AB]. 此題將“母子直角三角形”與30°角相結(jié)合，形成了蘊(yùn)含更多結(jié)論的數(shù)學(xué)情境. 在教學(xué)這道練習(xí)題時，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從多角度充分認(rèn)識圖中的“母子直角三角形”，聯(lián)想與圖形相關(guān)的已學(xué)結(jié)論，再反復(fù)甄別哪些結(jié)論對問題解決是有用的，從而形成基于問題解決之上的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)展路徑.

三、如何讓學(xué)生認(rèn)識基本圖形

1. 整體規(guī)劃，分段落實(shí)

和其他數(shù)學(xué)知識一樣，學(xué)生對基本圖形的認(rèn)識不是一蹴而就的，其認(rèn)知?dú)v程一般都是由單一到綜合、由低級到高級、由簡單到復(fù)雜. 無論在哪個版本的教材中，基本圖形都是遵循“循序漸進(jìn)，螺旋上升”的規(guī)則設(shè)計與呈現(xiàn)的. 因而，無論在哪個學(xué)段，想要讓學(xué)生認(rèn)識基本圖形，都應(yīng)該基于整個學(xué)段教材給定的順序展開. 為了更好地落實(shí)教材確定的教學(xué)要求，教師應(yīng)通讀學(xué)段教材，整體把握基本圖形教學(xué)的具體時點(diǎn)和落實(shí)要求，然后站在學(xué)段學(xué)習(xí)，乃至整個數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的高度上，分段逐次對落實(shí)基本圖形的認(rèn)知要求.

隨著年級的上升，“文本 + 圖形 + 結(jié)論”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不斷豐滿. 從教材給出的“生長”過程來看，想要讓學(xué)生深刻認(rèn)識“母子直角三角形”，教師首先要結(jié)合教材的編排體系對其教學(xué)要求的學(xué)段分布有一個清醒的認(rèn)識. 圖1的學(xué)習(xí)分為幾個階段？每個階段的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么？要達(dá)到怎樣的要求？獲得哪些具體的結(jié)論？……在對“母子直角三角形”的教材分布進(jìn)行整體感知后，確定具體的教學(xué)時段、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求并分階段落實(shí). 教材七年級下冊的教學(xué)，認(rèn)識圖2，知道圖中存在“單垂直”，有可能出現(xiàn)“雙垂直”關(guān)系，同時知曉圖1中部分線段間的大小關(guān)系（結(jié)論（3）①）;教材八年級上冊的教學(xué)，探索圖1中的各個角的關(guān)系（結(jié)論（1）②③）和△ABC的面積的不同求法（結(jié)論（5））;教材教材八年級下冊、教材九年級上冊的教學(xué)，借助勾股定理認(rèn)識圖1中部分邊的平方間的關(guān)系（結(jié)論（3）②）;九年級下冊的教學(xué)，認(rèn)識圖1中的相似三角形（結(jié)論（2））、部分邊之間的比例關(guān)系（結(jié)論（3）③④）、圖中的邊、角之間的關(guān)系（結(jié)論（4））.

2. 緊扣節(jié)點(diǎn)，充分認(rèn)知

“好雨知時節(jié)，當(dāng)春乃發(fā)生”. 對基本圖形的認(rèn)知，只有把握住“時節(jié)”，學(xué)生的認(rèn)識才能深刻，其數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能得到真正發(fā)展. 因此，在學(xué)生認(rèn)識基本圖形的各個節(jié)點(diǎn)上，教師應(yīng)設(shè)計出與學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)匹配的問題組，通過追問展開探索，引導(dǎo)他們充分認(rèn)識圖形的條件、“生長環(huán)境”，以及基于基本條件可能獲得的數(shù)學(xué)結(jié)論，從而不斷豐富其內(nèi)涵.

例如，教材九年級下冊“27.2.1 相似三角形的判定”36頁“練習(xí)”第2題：如圖1，[Rt△ABC]中，CD是斜邊AB上的高. 求證：（1）[△ACD∽△ABC;] （2）[△CBD∽] [△ABC.] 這是對“母子直角三角形”中三角形之間關(guān)系的探索，是對“兩角分別相等的兩個三角形相似”結(jié)論的應(yīng)用，如果不考慮基本圖形的認(rèn)知要求，證得[△ACD∽△ABC]和[△CBD∽△ABC]就能達(dá)成課時目標(biāo). 然而，此題中還涉及了“母子直角三角形”，這是教材滲透、師生認(rèn)同的重要數(shù)學(xué)圖形，在教學(xué)時，筆者首先以“這個圖形你們見過嗎”引出“母子直角三角形”，在引導(dǎo)學(xué)生證得題中的兩組相似三角形后，繼續(xù)追問：這三個三角形之間有著怎樣的關(guān)系？（結(jié)論（2））它們的邊之間有怎樣的關(guān)系呢？（結(jié)論（3）③）你能將得到的這些比例式轉(zhuǎn)化為等積式嗎？（結(jié)論（3）④）對這些問題的探索，增加了教學(xué)容量，將原本簡單的對兩個三角形關(guān)系的探索延伸到三個三角形的關(guān)系和相似三角形對應(yīng)邊的關(guān)系上來. 如此拓展，讓學(xué)生對“母子直角三角形”中所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)結(jié)論有了更深層次的認(rèn)識，為接下來解決更復(fù)雜的問題提供了更多的依據(jù)，夯實(shí)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)展的基礎(chǔ).

3. 回顧總結(jié)，強(qiáng)化建網(wǎng)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，遺忘是不可避免的. 學(xué)生對基本圖形的認(rèn)識同樣是在“認(rèn)知—遺忘—認(rèn)知”的過程中曲折前行的. 圖形教學(xué)應(yīng)該尊重這一認(rèn)知規(guī)律，順應(yīng)學(xué)生的發(fā)展態(tài)勢，在遵循教材編排順序，落實(shí)教材編排意圖的同時，通過對圖形基本架構(gòu)的梳理與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)對基本圖形內(nèi)涵的鞏固、提煉和擴(kuò)張. 事實(shí)上，一個基本圖形的任何一次內(nèi)涵擴(kuò)張，都應(yīng)該是從已知到未知的過程，是其原有內(nèi)涵的自然延續(xù)和有效生長，教師應(yīng)該將新內(nèi)涵的“生長”建構(gòu)在對原有內(nèi)涵的充分梳理之上. 而在圖形內(nèi)涵得到有效拓展后，教師同樣要做好即時總結(jié)，讓新的生成與舊的網(wǎng)絡(luò)連接起來，形成更多維度的知識網(wǎng)絡(luò).

例如，教學(xué)“母子直角三角形”時，探索圖1中三個直角三角形的相似關(guān)系時，自然要回顧圖中各個角之間的關(guān)系. 在獲得了相似關(guān)系之后，我們有必要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探索兩個相似三角形對應(yīng)邊之間的關(guān)系，得出諸如[AC · BC=AB · CD]之類的結(jié)論. 對于結(jié)論[AC · BC=AB · CD，] 除了可以由比例式[ACCD=][ABCB]變形得到，還可以由[S△ABC=12AC ·][ BC=12AB · CD]和[sinA=][BCAB=CDAC]變形得到.這些結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)理應(yīng)成為教學(xué)中回顧、總結(jié)的重點(diǎn). 因此，探索結(jié)論（4）時，不僅要回顧結(jié)論（3）和結(jié)論（5），還要總結(jié)它們與結(jié)論（4）之間的關(guān)系，將結(jié)論（3）（4）（5）關(guān)聯(lián)起來.

與學(xué)生在更高學(xué)段認(rèn)知的幾何圖形相比，本文給出基本圖形是較為低級的，但它在學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)展的道路上所起的作用卻不容小覷. 對基本圖形“認(rèn)識—應(yīng)用—再認(rèn)識”的過程，是學(xué)生發(fā)現(xiàn)模型、應(yīng)用模型的過程，也是提升素養(yǎng)的過程. 基本圖形生于教材，長于教學(xué). 因而，為了幫助學(xué)生更好地認(rèn)識基本圖形，教師應(yīng)該立足于教材、扎根于教學(xué)，站在發(fā)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的角度去分析教材，并結(jié)合圖形生長的階段性和持續(xù)性合理設(shè)計教學(xué)，使學(xué)生在不知不覺中發(fā)現(xiàn)它，認(rèn)識它，并用好它.“母子直角三角形”是初中階段數(shù)學(xué)中常見的基本圖形，具有一定的代表性，但本文給出的認(rèn)識角度和教學(xué)方法未必有示范性，大家可以批判性應(yīng)用.

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