湯牧文 郜舒竹

【摘 ? 要】小學(xué)生在解決行程問(wèn)題時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)概念混淆等問(wèn)題。從對(duì)速度概念本身的認(rèn)識(shí)出發(fā)，反思課程標(biāo)準(zhǔn)要求、教材內(nèi)容以及教學(xué)方式等，針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)提出以下教學(xué)建議：通過(guò)教學(xué)活動(dòng)發(fā)展速度感、“運(yùn)算”與“關(guān)系”并行、從單位化思想理解速度產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)意義、通過(guò)幾何直觀理解速度。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);認(rèn)知難點(diǎn);速度;概念教學(xué)

速度是小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”部分出現(xiàn)頻率較高的數(shù)學(xué)概念，以人教版教材為例，從三年級(jí)上冊(cè)的“多位數(shù)乘一位數(shù)”到六年級(jí)下冊(cè)的“比例”，涉及速度概念的章節(jié)達(dá)14個(gè)，而后續(xù)初高中對(duì)于加速度、瞬時(shí)速度、平均速度、速率等概念的理解都依賴于學(xué)生在小學(xué)期間對(duì)速度概念形成的基礎(chǔ)。速度除其本身的知識(shí)屬性外，也是學(xué)生理解運(yùn)動(dòng)、對(duì)時(shí)空關(guān)系建立初步理性認(rèn)識(shí)的開(kāi)端。速度的學(xué)習(xí)涉及路程、時(shí)間、速度三者的關(guān)系，對(duì)學(xué)生的比例思維發(fā)展、后續(xù)的函數(shù)學(xué)習(xí)，以及關(guān)系模型的構(gòu)建等均有奠基作用。然而，小學(xué)生對(duì)于速度概念的理解并非一蹴而就，通過(guò)對(duì)皮亞杰（Jean Piaget）等人有關(guān)兒童教育理論的研究可知，兒童速度概念的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程存在階段性[1]5、不均衡性[1]21、缺乏守恒性[2]等特征，影響兒童對(duì)速度概念的理解，因此速度概念的教學(xué)需要從學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)出發(fā)。

一、對(duì)速度概念的再認(rèn)識(shí)

（一）速度、時(shí)間、空間和運(yùn)動(dòng)的內(nèi)涵與關(guān)系

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)速度的界定是“每小時(shí)（或每分鐘等）行的路程”，物理學(xué)認(rèn)為“速度是反映物體運(yùn)動(dòng)方向和位置變化快慢的物理量”，前者是發(fā)生式定義，包含了時(shí)間和路程兩個(gè)重要的要素;后者是描述性定義，反映了速度與運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)聯(lián)系。黑格爾（G.W.F.Hegel）認(rèn)為“速度作為運(yùn)動(dòng)的量，是與流逝的特定時(shí)間成比例的空間”[3]59，因此從哲學(xué)的角度看，速度反映了時(shí)間和空間的關(guān)系。時(shí)間和空間是描述物體運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)維度，二者互相依存，形成一個(gè)不可分割的整體[3]61?？臻g是指同時(shí)發(fā)生運(yùn)動(dòng)的物體的位置變化，小學(xué)階段學(xué)習(xí)的路程是忽略了方向的位移量。時(shí)間與空間在一起構(gòu)成了表征物體運(yùn)動(dòng)的有序關(guān)系的總和。[4]2因此速度反映的是運(yùn)動(dòng)物體時(shí)、空這兩個(gè)不可分割的屬性之間的關(guān)系。

（二）速度中滲透的比例思維

小學(xué)階段接觸的比可以分為同類量的比和異類量的比。同類量的比包括倍數(shù)、分?jǐn)?shù)等，具備無(wú)量綱性[5]，主要是對(duì)算法的學(xué)習(xí)和鞏固，而比例思想中更為深刻的是異類量的比。異類量的比是在度量的基礎(chǔ)之上發(fā)展而來(lái)的對(duì)不同類量關(guān)系的映射，是人在心智（mind）層面對(duì)兩個(gè)客觀廣延量（extensive quantity）之間存在關(guān)系的抽象概括，被稱為強(qiáng)度量（intensive quantity）[6]，是依賴于人的推理活動(dòng)主觀生成的。其現(xiàn)實(shí)意義是為了反映一個(gè)事物的內(nèi)在性質(zhì)或優(yōu)劣程度[7]，如密度、濃度、壓強(qiáng)等。通過(guò)對(duì)影響事物本質(zhì)的關(guān)鍵要素構(gòu)建比例關(guān)系，可以形成判斷事物優(yōu)劣程度的度量指標(biāo)。這樣根據(jù)兩種量之間的比例關(guān)系獲得判斷的過(guò)程是比例思維的重要表現(xiàn)形式，當(dāng)比率固定時(shí)，比例反映了兩個(gè)關(guān)聯(lián)要素之間的協(xié)變關(guān)系，是函數(shù)思維在小學(xué)的初步滲透，其本質(zhì)是研究變與不變關(guān)系的模型。速度反映的是運(yùn)動(dòng)物體的內(nèi)在性質(zhì)，通過(guò)空間和時(shí)間兩個(gè)維度的量的變化構(gòu)建度量指標(biāo)，二者為異類量，其比值反映了運(yùn)動(dòng)物體的快慢程度。

（三）速度蘊(yùn)含的極限思想

14世紀(jì)40年代前后，人們開(kāi)始意識(shí)到物體從一點(diǎn)到另外一點(diǎn)或從一個(gè)時(shí)刻到另外一個(gè)時(shí)刻的質(zhì)的強(qiáng)度變化可能是均勻的，也可能是非均勻的，例如在勻加速運(yùn)動(dòng)中，物體在給定時(shí)間t內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程s等于用相同時(shí)間以平均速度走過(guò)的路程，平均速度就是初速度v0和末速度vt的算術(shù)平均值，即[s=1/2（v0+vt）]。14世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W雷姆（N.Oresme）基于以上認(rèn)識(shí)提出了在勻加速運(yùn)動(dòng)中用水平直線表示時(shí)間，直線上的每一點(diǎn)代表一個(gè)時(shí)刻，每一個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)一個(gè)速度，該速度用一條垂直于水平直線且經(jīng)過(guò)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段來(lái)代表，其長(zhǎng)度是速度大小，時(shí)間的水平線和代表速度的線段所圍成的三角形的面積就是時(shí)間t內(nèi)走過(guò)的路程，時(shí)間的中間量D是速度之半，即平均速度，三角形ABC的面積等于同樣以時(shí)間t為長(zhǎng)，平均速度為寬的矩形ABGF的面積，而時(shí)間t1到時(shí)間t2走過(guò)的路程就是由t1和t2之間的水平線段與速度v1和v2所代表的線段共同構(gòu)成的梯形的面積。試將[0，t]分成n個(gè)子區(qū)間，當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)，每?jī)蓚€(gè)時(shí)間點(diǎn)之間的間隔（[?t=tk-tk-1]）足夠小，如果水平線與兩條代表速度的線段所圍成的梯形的上底和下底的長(zhǎng)度趨于相同，那么vk或vk-1都可以作為平均速度，再乘以[?t]就會(huì)得到梯形Sk的面積的近似值，所有這樣的面積之和等于三角形的面積，也就是物體走的路程。[8]

隨后，奧雷姆不斷地力圖構(gòu)建幾何與代數(shù)緊密聯(lián)系的范式，將水平方向所代表的數(shù)值大小看成經(jīng)度（longitudes），將垂直于水平方向的數(shù)值大小看成緯度（latitudes），構(gòu)建了坐標(biāo)系的模型，這樣看似孤立的速度、時(shí)間、路程都成為連續(xù)的變量，每一點(diǎn)的瞬時(shí)速度在極限的概念下趨于與這一點(diǎn)相鄰的兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)所構(gòu)成的時(shí)間段內(nèi)的平均速度，且更加形象地詮釋了速度、路程和時(shí)間三者的關(guān)系，路程在解析幾何的范疇內(nèi)以二維的面積表征與單維的速度和時(shí)間構(gòu)成了相互依賴的關(guān)系，這樣的推論在非勻加速運(yùn)動(dòng)中同樣成立，從而突破了人們對(duì)于非勻速、非勻加速運(yùn)動(dòng)認(rèn)識(shí)的局限。

（四）兒童對(duì)速度的認(rèn)知階段

1.兒童對(duì)速度影響要素的認(rèn)知階段

（1）依賴“超越”現(xiàn)象階段

皮亞杰在低齡兒童身上看到了對(duì)“超越”現(xiàn)象的順序直覺(jué)，這意味著低齡兒童已經(jīng)有了時(shí)間順序和空間順序，但此時(shí)他們并沒(méi)有形成有關(guān)時(shí)間的長(zhǎng)短和所經(jīng)過(guò)的空間位移的衡量，所以兒童最早產(chǎn)生的速度概念并不依賴于路程或時(shí)間的概念，而是伴隨著次序出現(xiàn)的。[1]145在此階段，兒童能夠不依賴于路程的長(zhǎng)短或時(shí)間的長(zhǎng)短，而依賴于“超越”現(xiàn)象對(duì)速度的大小進(jìn)行直覺(jué)判斷，主要關(guān)注兩個(gè)比較對(duì)象位置的先后順序，以停止點(diǎn)的先后順序判斷速度的大小，這個(gè)階段的兒童一般處于學(xué)齡前的階段。[9]

（2）距離概念得到發(fā)展的階段

該階段兒童對(duì)距離的概念開(kāi)始逐漸發(fā)展起來(lái)。皮亞杰發(fā)現(xiàn)在這個(gè)階段，兒童能夠根據(jù)實(shí)驗(yàn)中兩輛小車的起點(diǎn)和終點(diǎn)位置對(duì)距離大小進(jìn)行判斷[1]221，有學(xué)者通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)7歲兒童對(duì)于距離的概念明顯優(yōu)于5歲兒童[10]，距離的概念先于時(shí)間的概念得到發(fā)展[4]293，此時(shí)兒童仍然有根據(jù)停止點(diǎn)判斷速度大小的傾向，但距離的概念已經(jīng)開(kāi)始影響兒童對(duì)于速度的判斷，兒童有從“同則同”轉(zhuǎn)為“多則多”的理解轉(zhuǎn)向[11]，該階段持續(xù)時(shí)間一般從入學(xué)到三年級(jí)前。

（3）過(guò)渡階段

該階段兒童對(duì)于速度、時(shí)間、路程三者建立了正確的關(guān)系意識(shí)，能夠注意到時(shí)間、距離因素對(duì)速度大小的影響，例如能夠理解在相同時(shí)間的情況下路程與速度的關(guān)系，即“多則多”，能夠正確使用規(guī)則，但如果路程和時(shí)間同時(shí)發(fā)生變化，兒童對(duì)三者具體關(guān)系的闡述開(kāi)始出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，如“更遠(yuǎn)的距離—更少的時(shí)間”[12]，該階段持續(xù)時(shí)間為三年級(jí)到五年級(jí)。

（4）穩(wěn)定階段

該階段兒童能夠兼顧速度、時(shí)間、路程三者的關(guān)系，明確知道速度的大小受路程和時(shí)間兩個(gè)要素的影響，能夠?qū)θ叩淖兓?guī)律進(jìn)行推理，能夠比較路程和時(shí)間都不相同的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體的速度大小關(guān)系，對(duì)速度大小變化的認(rèn)識(shí)趨于穩(wěn)定狀態(tài)，該階段普遍被認(rèn)為在五年級(jí)之后。[1]59

2.兒童對(duì)速度中的比例關(guān)系認(rèn)知階段

（1）單一維度影響階段

該階段兒童在對(duì)比例關(guān)系變化進(jìn)行判斷時(shí)往往只考慮單一維度所造成的影響，例如對(duì)速度大小進(jìn)行判斷時(shí)只考慮距離或時(shí)間其中一個(gè)變量對(duì)速度大小的影響，且更傾向于選擇其中較引人注目的一個(gè)優(yōu)勢(shì)維度進(jìn)行判斷，兒童對(duì)路程概念的發(fā)展先于時(shí)間概念的發(fā)展，故認(rèn)為路程為優(yōu)勢(shì)維度更易影響兒童對(duì)速度變化的認(rèn)識(shí)。

（2）從屬維度影響階段

該階段兒童對(duì)比例關(guān)系的變化開(kāi)始脫離單一維度的判斷，此時(shí)相較于優(yōu)勢(shì)維度處于劣勢(shì)的從屬維度同樣成為兒童對(duì)比例關(guān)系的考量要素。西格勒認(rèn)為，第二階段的觸發(fā)是源于主導(dǎo)維度的數(shù)值相同，無(wú)法通過(guò)比較進(jìn)行判斷時(shí)兒童會(huì)開(kāi)始考慮從屬維度，在路程模型中，兒童開(kāi)始注意到除了路程會(huì)影響速度以外，時(shí)間也與速度的大小有一定的關(guān)系，當(dāng)路程相同時(shí)，兒童開(kāi)始思考通過(guò)時(shí)間的長(zhǎng)短比較速度大小，認(rèn)識(shí)到優(yōu)勢(shì)維度和從屬維度的大小變化都會(huì)影響比例關(guān)系的變化，對(duì)比例關(guān)系中“變與不變”這一對(duì)立關(guān)系中的“變”產(chǎn)生了相對(duì)穩(wěn)定的認(rèn)識(shí)。

（3）恒定其一階段

該階段兒童開(kāi)始認(rèn)識(shí)到只要保持距離或時(shí)間中一個(gè)維度的量大小恒定，就可以通過(guò)另一個(gè)維度的量的大小對(duì)速度大小進(jìn)行判斷，即掌握“相同時(shí)間比路程，相同路程比時(shí)間”的規(guī)則。兒童雖然能綜合考慮兩個(gè)維度，但必須建立在能找到相同變量的基礎(chǔ)上，如果遇到一方在優(yōu)勢(shì)維度上的值大，另一方在從屬維度上的值大，兒童就會(huì)再次產(chǎn)生困惑，無(wú)從判斷。另外，兒童對(duì)于正比例關(guān)系的理解要優(yōu)于反比例關(guān)系，即“相同時(shí)間比路程”對(duì)兒童來(lái)說(shuō)更簡(jiǎn)單，“相同路程比時(shí)間”對(duì)兒童來(lái)說(shuō)更有挑戰(zhàn)性。

（4）綜合判斷階段

該階段兒童能較為深刻地理解距離和時(shí)間的比例關(guān)系，能在任何情況下綜合考慮兩個(gè)維度的量的大小變化對(duì)速度大小產(chǎn)生的影響，按科學(xué)的規(guī)則來(lái)解決問(wèn)題。辯證地理解“變與不變”，認(rèn)識(shí)到當(dāng)速度不變時(shí)，路程與時(shí)間存在協(xié)變關(guān)系。

二、小學(xué)生速度概念發(fā)展的認(rèn)知難點(diǎn)

認(rèn)知難點(diǎn)需要依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)及認(rèn)知發(fā)展規(guī)律而確定，學(xué)生在對(duì)客觀事物進(jìn)行主觀判斷時(shí)出現(xiàn)偏差，究其原因，一是與其自身原有經(jīng)驗(yàn)相悖，二是與個(gè)體所接受的直觀表象相悖。從郜舒竹教授提出的“變教為學(xué)”[13]的觀點(diǎn)出發(fā)，教學(xué)難點(diǎn)應(yīng)以學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)為依據(jù)，速度概念的教學(xué)應(yīng)根據(jù)學(xué)生對(duì)速度概念的認(rèn)知難點(diǎn)而設(shè)計(jì)。

（一）概念混淆

在行程問(wèn)題中，常見(jiàn)的一種情況就是單位使用錯(cuò)誤，學(xué)生在使用速度單位時(shí)并不理解速度單位的本質(zhì)含義，常常把速度單位寫成路程單位。如學(xué)生在解決一道相遇問(wèn)題時(shí)，題目中給出了甲、乙兩者的速度，學(xué)生將甲、乙的速度相加，在得到的答案后面寫了路程的單位（如圖2）。學(xué)生這樣做，可能是想表示甲走了一小時(shí)的路程加上乙走了一小時(shí)的路程。鑒于這位學(xué)生沒(méi)有表述“速度乘以時(shí)間”這一步驟，故更傾向于認(rèn)為該學(xué)生是將甲、乙速度相加所得到的共同速度當(dāng)成了路程或路程的一部分。這樣的解題過(guò)程看似單位使用錯(cuò)誤，實(shí)則是對(duì)速度與路程兩者概念的混淆，對(duì)速度概念的不理解。

速度本身代表的是路程與時(shí)間的比例關(guān)系，速度本身并不具備可直接測(cè)量的性質(zhì)，需要通過(guò)路程和時(shí)間的比而得到，所以其單位反映的是“速度是度量?jī)煞N量關(guān)系”的特征，是由兩個(gè)不同類量度量單位的比構(gòu)成的。速度本身既不是路程，也不是路程的一部分或是時(shí)間，它僅表示路程和時(shí)間的關(guān)系。對(duì)速度進(jìn)行疊加需要建立在兒童理解甲、乙兩者在共同時(shí)間內(nèi)走的路程的背景下方能進(jìn)行，從速度作為強(qiáng)度量的本質(zhì)而言，其主要體現(xiàn)的是乘法性質(zhì)，將兩個(gè)強(qiáng)度量疊加的操作在大部分真實(shí)情境下不具備現(xiàn)實(shí)意義。

（二）數(shù)量關(guān)系建立紊亂

在解決行程問(wèn)題時(shí)，學(xué)生常出現(xiàn)“用時(shí)間除以速度求路程”或“用路程乘以速度求時(shí)間”的情況，圖3中顯示學(xué)生將求得的速度除以時(shí)間得到路程，其問(wèn)題在于學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解出現(xiàn)紊亂，無(wú)法建構(gòu)正確的路程模型，導(dǎo)致公式使用錯(cuò)誤。

學(xué)生在解決行程問(wèn)題時(shí)，對(duì)路程、時(shí)間、速度關(guān)系的認(rèn)知停留在知二求一的理解水平[14]，即在題目中找出兩個(gè)已知量就可以求出一個(gè)未知量，卻并不明晰已知和未知之間關(guān)系的實(shí)質(zhì)。路程、時(shí)間、速度三者間互為比例關(guān)系，時(shí)間一定時(shí)，路程與速度成正比，路程一定時(shí)，時(shí)間與速度成反比，速度一定時(shí)，路程與時(shí)間成正比。在行程問(wèn)題中，僅將數(shù)量關(guān)系的建立視為知二求一的運(yùn)算關(guān)系是不夠的，三者的實(shí)質(zhì)是依賴與制約的協(xié)變關(guān)系，協(xié)變關(guān)系是學(xué)生認(rèn)知的難點(diǎn)。

（三）認(rèn)為平均速度等于速度的平均

六年級(jí)學(xué)生遇到求平均速度的問(wèn)題時(shí)往往會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，例如下面的案例。

甲、乙兩地相距1800千米，一架飛機(jī)以每分鐘9千米的速度從甲地飛往乙地，飛回時(shí)的速度是每分鐘7.2千米，飛機(jī)的平均速度是每分鐘多少千米？

許多學(xué)生列式：（9+7.2）÷2=8.1（千米），此時(shí)學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)有如下兩點(diǎn)：其一在于受到了前面學(xué)習(xí)的平均數(shù)知識(shí)的干擾;其二就是對(duì)所學(xué)概念本身的曲解。在小學(xué)階段，學(xué)生通過(guò)路程模型求出速度是物體在一定的空間和時(shí)間中運(yùn)動(dòng)的平均速度，而我們?nèi)粘Ｉ钪谐３Ｊ褂玫乃俣纫彩侵冈谀骋粫r(shí)間段內(nèi)的平均速度，如“步行速度”“發(fā)展速度”等，但我們?cè)诒硎鰰r(shí)把“平均”二字省略了，故小學(xué)生并不理解我們所接觸的、計(jì)算的都是平均速度，而容易將速度理解為物體此時(shí)此刻的速度，這時(shí)學(xué)生將速度看作引起物體運(yùn)動(dòng)的“因”，因?yàn)橛辛怂俣?，物體才發(fā)生位移，并保持一定時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在這樣的觀念下，學(xué)生更傾向于認(rèn)為速度本身的發(fā)展并不受路程和時(shí)間的制約，速度的大小變化影響了運(yùn)動(dòng)的距離和持續(xù)的時(shí)間，削弱了對(duì)于路程和時(shí)間兩個(gè)維度的心理地位，此時(shí)速度的大小在學(xué)生的認(rèn)知里就是一個(gè)孤立存在的數(shù)值，平均速度不受路程與時(shí)間的制約，而只受速度本身的大小變化的影響，所以平均速度就像求平均數(shù)一樣，反映的是兩段路程的速度的平均，這樣的典型錯(cuò)誤思路還反映在求“上山和下山的平均速度”“去程和返程的平均速度”等問(wèn)題上。而實(shí)際上，從比例思維的角度看速度，更趨向于將平均速度理解為“果”，因?yàn)橄扔辛诉\(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，物體在時(shí)空兩個(gè)維度發(fā)生了量的變化，才有了表征這樣變化的需要。平均速度的問(wèn)題實(shí)則反映了學(xué)生對(duì)速度的曲解，平均速度反映了兩段路程的整體速度水平，與其中任何一段的速度以及任何一時(shí)刻的速度無(wú)關(guān)。

三、基于認(rèn)知難點(diǎn)對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)、教材和教法的分析

（一）課程標(biāo)準(zhǔn)

小學(xué)階段從三年級(jí)上冊(cè)開(kāi)始出現(xiàn)有關(guān)速度的教學(xué)內(nèi)容，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中小學(xué)部分關(guān)于速度的教學(xué)目標(biāo)闡述得相對(duì)較少，僅在“數(shù)與代數(shù)”第二學(xué)段的具體教學(xué)內(nèi)容中提出“在具體情境中，了解常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量、路程=速度×?xí)r間，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”[15]，沒(méi)有明確提出對(duì)兒童速度概念學(xué)習(xí)的具體教學(xué)內(nèi)容。但《課程標(biāo)準(zhǔn)》中卻明確提出認(rèn)識(shí)時(shí)間單位（如對(duì)時(shí)、分、秒、年、月、日等概念的認(rèn)識(shí)）和認(rèn)識(shí)空間單位（如對(duì)米、分米、毫米等概念的認(rèn)識(shí)）等，因此作為有一定認(rèn)知難度的速度概念，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中沒(méi)有對(duì)其概念掌握做出明確要求，容易造成教師和學(xué)生對(duì)于速度概念的輕視。

（二）小學(xué)教材

各個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中關(guān)于速度的呈現(xiàn)方式和編排順序都有差異，以人教版和北師大版為例，這兩個(gè)版本的教材均在四年級(jí)上冊(cè)引入了速度的概念。人教版教材在四年級(jí)上冊(cè)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”后引入速度的概念，北師大版教材在四年級(jí)上冊(cè)“除法”的學(xué)習(xí)內(nèi)容后引入速度的概念。兩個(gè)版本的教材均將“概念引入”部分放在算法學(xué)習(xí)之后，這樣安排的目的是對(duì)于所學(xué)習(xí)的算法，建立有實(shí)際意義的數(shù)量關(guān)系模型，進(jìn)一步鞏固算法的習(xí)得成果。而對(duì)速度本身的內(nèi)涵與價(jià)值無(wú)法通過(guò)算法的學(xué)習(xí)與鞏固而獲得，速度反映的是比例思維、關(guān)系思想、函數(shù)思想等重要內(nèi)容，如果將其看成單純乘法或者除法運(yùn)算，則顯得“大材小用”。

（三）教法

小學(xué)教師對(duì)于速度概念的教學(xué)一般是創(chuàng)設(shè)比賽的活動(dòng)情境，在情境中要求學(xué)生“根據(jù)固定的時(shí)間比路程”“根據(jù)固定的路程比時(shí)間”，讓學(xué)生感受速度受到路程和時(shí)間兩個(gè)量大小變化的影響，再通過(guò)數(shù)值的代入驗(yàn)證速度與時(shí)間、路程的關(guān)系。在這樣的教學(xué)情形下，教師趨近于將速度看成兩個(gè)數(shù)的比值，而不是兩個(gè)量的比值，其實(shí)質(zhì)是變換了情境的除法教學(xué)或分?jǐn)?shù)教學(xué)，忽視了速度作為異類量的比，反映了物質(zhì)本質(zhì)的屬性。在速度概念的教學(xué)中鮮有教師能注意到對(duì)速度的價(jià)值與意義、其本身蘊(yùn)含的比例思維進(jìn)行剖析。在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)速度受兩個(gè)維度的共同影響時(shí)，教師往往更注重模式化的機(jī)械記憶。筆者曾聽(tīng)一位教師要求學(xué)生反復(fù)齊讀“相同時(shí)間路程越長(zhǎng)速度越大，相同路程時(shí)間越長(zhǎng)速度越小”，而非對(duì)其關(guān)系進(jìn)行深入探究。在解決行程問(wèn)題的時(shí)候，教師更趨向于教學(xué)生理解每個(gè)單位時(shí)間物體走的路程即速度，這樣的教學(xué)容易引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生“速度是路程或路程的一部分”的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，將速度與路程的關(guān)系理解為部分與整體的關(guān)系，給學(xué)生帶來(lái)不必要的思維干擾，甚至影響后續(xù)對(duì)于瞬時(shí)速度、加速度等知識(shí)概念的學(xué)習(xí)。

四、教學(xué)建議

（一）通過(guò)教學(xué)活動(dòng)發(fā)展速度感

速度是客觀存在的，但人可以通過(guò)觀察物體的運(yùn)動(dòng)來(lái)獲得速度感（Speed Sense）。[16]皮亞杰的實(shí)驗(yàn)回答了愛(ài)因斯坦“速度是先驗(yàn)的還是后天習(xí)得”的問(wèn)題，低齡兒童同樣具備對(duì)速度的感知，只是低齡兒童的感知更加依賴于直觀表象，例如通過(guò)“超越”現(xiàn)象來(lái)判斷物體運(yùn)動(dòng)速度的快慢，在判斷速度快慢時(shí)會(huì)考慮單一維度對(duì)速度造成的影響。此時(shí)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展還停留在“眼見(jiàn)為實(shí)”的階段，選擇相信自己所看到的，而缺乏邏輯推理能力，對(duì)事物的判斷以自我為中心。而隨著學(xué)生對(duì)于速度概念的發(fā)展進(jìn)階，他們對(duì)速度的感知從感覺(jué)（sensation）轉(zhuǎn)化為感受（feeling），從依賴直覺(jué)轉(zhuǎn)化為依靠推理的心智活動(dòng)。對(duì)速度概念的教學(xué)就是不斷修正兒童對(duì)于速度的認(rèn)識(shí)的過(guò)程，可以通過(guò)教學(xué)活動(dòng)讓兒童發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)并不可靠，如那些“多則多”“少則少”的想法，可以通過(guò)感受推理的過(guò)程發(fā)現(xiàn)依賴表象背后產(chǎn)生的誤區(qū)，這樣的過(guò)程是從依賴直觀的感性思維水平逐漸進(jìn)階到以推理能力為內(nèi)核的運(yùn)算思維水平。

（二）“運(yùn)算”與“關(guān)系”并行

皮亞杰認(rèn)為比例圖式的增長(zhǎng)在兒童對(duì)速度概念的發(fā)展中起著核心作用。[1]88在對(duì)速度概念的教學(xué)中，教師往往更加關(guān)注速度作為運(yùn)算結(jié)果而存在，將速度教學(xué)視為算法教學(xué)，而忽視了速度反映的比的“關(guān)系”哲學(xué)。在學(xué)生發(fā)展比例思維的過(guò)程中，將比看作一種運(yùn)算，窄化了比的內(nèi)涵，比反映的是變化中不變的關(guān)系，是溝通兩個(gè)不同類型的廣延量的橋梁，是人主觀上對(duì)關(guān)系量化的生成。速度概念的教學(xué)是引領(lǐng)學(xué)生理性認(rèn)識(shí)關(guān)系的活動(dòng)，是為了消除或緩解學(xué)生在關(guān)系認(rèn)知中出現(xiàn)的矛盾，如為什么單一維度的變化不能用來(lái)衡量比值的變化？?jī)蓚€(gè)維度的量同時(shí)變化時(shí)，速度一定會(huì)維持不變嗎？?jī)蓚€(gè)異類量的比代表的現(xiàn)實(shí)意義是什么？在教學(xué)的過(guò)程中應(yīng)均衡和綜合對(duì)比例圖式“運(yùn)算”和“關(guān)系”的內(nèi)涵的理解。

（三）從單位化思想理解速度產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)意義

單位化的思想是人希望用量化形式去描述客觀世界存在的物質(zhì)的一種主觀愿望，如對(duì)運(yùn)動(dòng)物體的描述，快與慢是對(duì)運(yùn)動(dòng)質(zhì)性的描述，質(zhì)性描述存在的弊端就是缺乏標(biāo)準(zhǔn)，究竟什么樣的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是快，什么樣的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是慢呢？我們常常因?yàn)閷?duì)質(zhì)的描繪而被這樣的問(wèn)題問(wèn)得啞口無(wú)言，我們需要有一個(gè)度量的工具幫助我們回答這樣的問(wèn)題，就像我們使用的尺子一樣，通過(guò)尺子告訴別人一個(gè)物體究竟有多長(zhǎng)，有多短。單位化（Unitizing）的思想過(guò)程是人主觀思考和選擇“一”的過(guò)程，通過(guò)“一”去衡量“幾”或“多少”，具有確定的意義。[17]在速度概念的教學(xué)中，這樣的單位化思想是對(duì)于速度價(jià)值意義最好的詮釋，當(dāng)我們需要告訴別人一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)究竟有多快或者多慢時(shí)，我們也需要有一把量尺，把運(yùn)動(dòng)物體時(shí)間和空間復(fù)合而成的區(qū)域分割成一小塊一小塊相同的標(biāo)準(zhǔn)量來(lái)進(jìn)行量化，這些小塊都是“一”。那么從兩個(gè)維度分別來(lái)看，衡量路程的量尺是1米、1分米、1厘米、1毫米等，衡量時(shí)間的量尺是1小時(shí)、1分鐘、1秒等，衡量速度的量尺必然是兩種不同類量的度量標(biāo)準(zhǔn)的復(fù)合，要反映二者的關(guān)系，即考慮在時(shí)間和空間兩個(gè)維度復(fù)合而成的標(biāo)準(zhǔn)量，速度是單位時(shí)間路程的數(shù)量，也可以是單位距離所花費(fèi)的時(shí)間。通過(guò)速度來(lái)衡量物體運(yùn)動(dòng)的快慢，其實(shí)就是把單位時(shí)間走的路程看成了“單位1”，用若干個(gè)單位時(shí)間走過(guò)的路程來(lái)衡量運(yùn)動(dòng)的快慢。

（四）通過(guò)幾何直觀理解速度

在對(duì)速度概念進(jìn)行教學(xué)的時(shí)候，因?yàn)樗俣仁遣荒芡ㄟ^(guò)直觀感知的，是通過(guò)兩個(gè)量復(fù)合而成的……有教師形容速度的教學(xué)是“皇帝的新衣”，像對(duì)著一群小孩撒謊，講一個(gè)自己也看不見(jiàn)摸不著的東西，這樣的無(wú)實(shí)物教學(xué)令人頭疼。但通過(guò)幾何直觀就可以很好地解釋這個(gè)問(wèn)題，小學(xué)階段學(xué)生接觸的路程模型中速度指代的是平均速度，因?yàn)榱?xí)慣用語(yǔ)而簡(jiǎn)稱為速度。速度和時(shí)間的乘法模型、路程與速度和路程與時(shí)間的除法模型，都可通過(guò)幾何直觀的形式，將抽象的速度轉(zhuǎn)化為直觀的幾何形式，通過(guò)速度的幾何意義幫助學(xué)生理解其代數(shù)意義。例如面積模型就可以很好地反映速度與時(shí)間的乘法模型，體現(xiàn)的是乘法中累加的性質(zhì)，將若干個(gè)標(biāo)準(zhǔn)速度與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的乘積進(jìn)行累加形成了路程，每一小格的面積代表了衡量路程的標(biāo)準(zhǔn)（如圖4）。

線段圖實(shí)際上是除法模型，通過(guò)分割的形式來(lái)呈現(xiàn)路程與速度、路程與時(shí)間比的關(guān)系。教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)線段圖可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，如果把一條線段分得越多，那么每一小部分的長(zhǎng)度就越短;如果把一條線段分得越少，那么每一小部分的長(zhǎng)度就越長(zhǎng)。分的份數(shù)與每份的長(zhǎng)度呈此消彼長(zhǎng)的關(guān)系（如圖5、圖6）。

總之，速度對(duì)于學(xué)生今后的數(shù)學(xué)以及科學(xué)的學(xué)習(xí)都至關(guān)重要，需要在課程設(shè)計(jì)以及教學(xué)中引起足夠的重視。

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（1.海南師范大學(xué)初等教育學(xué)院 ? 571158

2.首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 ? 100048）