摘?要：數(shù)學(xué)概念，是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在概率論中許多重要概念的精確定義，是經(jīng)過長(zhǎng)期高度抽象概括得到的。本文通過概率論中一些重要概念的描述定義與精確定義的類比，體現(xiàn)描述定義在概率論教學(xué)與學(xué)習(xí)中的重要作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念;描述定義;精確定義

中圖分類號(hào)：G4?????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.34.070

0?引言

人類由于生存與社會(huì)發(fā)展的需要，產(chǎn)生許多問題，為解決這些問題，創(chuàng)建了數(shù)學(xué)。眾所周知，與其它學(xué)科相比，數(shù)學(xué)是一門讓人感到枯燥乏味的學(xué)科，大量的定義、定理、公式、計(jì)算證明等，讓眾多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭倦、恐懼的畏難情緒。而數(shù)學(xué)是按兩個(gè)方向發(fā)展的：（1）是創(chuàng)建新的數(shù)學(xué)思想、新的數(shù)學(xué)方法、新的數(shù)學(xué)理論和新的數(shù)學(xué)學(xué)科;（2）是構(gòu)建數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)、完善數(shù)學(xué)的理論，既數(shù)學(xué)的產(chǎn)生是按“問題—→方法—→理論”的順序發(fā)展的。

1?概率論介紹

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一般是先學(xué)數(shù)學(xué)理論，再學(xué)數(shù)學(xué)方法，最后才是應(yīng)用練習(xí)，既數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是按“理論—→方法—→問題”的順序進(jìn)行的，這與數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展的順序剛好相反，這就造成了普遍感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象、困難;感到有些數(shù)學(xué)用途不大或沒有用途;學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)枯燥無味等。這些都是造成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難，不愿學(xué)數(shù)學(xué)的重要原因，故在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要返璞歸真，特別對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)更應(yīng)返璞歸真，應(yīng)該先用簡(jiǎn)單、形象、通俗的語言對(duì)數(shù)學(xué)概念加以的描述，使學(xué)生的理解逐漸從模糊到精確，最終達(dá)到正確理解數(shù)學(xué)概念的精髓。 因此，要先學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的樸素、直觀、形象的描述定義，再學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的精確定義，這樣做一方面便于教學(xué)，另一方面也便于學(xué)生深刻地理解掌握數(shù)學(xué)概念的精確定義，這點(diǎn)在概率論教學(xué)中更為重要，因?yàn)楦怕收撝械臄?shù)學(xué)概念的精確定義都是高度抽象概括的，教師不容易教，學(xué)生也不容易理解與掌握。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是20世紀(jì)迅速發(fā)展的學(xué)科，主要研究各種隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)與內(nèi)在規(guī)律，以及自然、社會(huì)等學(xué)科中不同類型數(shù)據(jù)的科學(xué)的處理和統(tǒng)計(jì)推斷方法。隨著人類社會(huì)各個(gè)體系的日益龐大、復(fù)雜、精密以及計(jì)算機(jī)的廣泛使用，概率統(tǒng)計(jì)在信息時(shí)代的重要性也越來越大。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)現(xiàn)在已廣泛使用于自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)、軍事科學(xué)及生活實(shí)際等各領(lǐng)域。學(xué)生通過學(xué)習(xí)該課程的知識(shí)內(nèi)容，能用概率論的思想方法去解決“隨機(jī)”事件的問題;用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)去發(fā)現(xiàn)“數(shù)據(jù)”并且會(huì)處理各種數(shù)據(jù)資料。不僅如此，該課程在學(xué)生的大學(xué)生涯中也會(huì)有很多實(shí)踐應(yīng)用，例如，學(xué)生參加全國(guó)大學(xué)生市場(chǎng)調(diào)查與分析大賽、全國(guó)大學(xué)生建模比賽以及參加大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目等許多大型的比賽。因此，概率統(tǒng)計(jì)課程在大學(xué)生的學(xué)習(xí)中起到了十分重要的作用，學(xué)生對(duì)該課程也非常重視，但該課程的概念、定理依然很深?yuàn)W，學(xué)生理解起來十分吃力，時(shí)間一長(zhǎng)，學(xué)生感到枯燥乏味，也逐漸對(duì)該課程失去興趣，從而，該課程的開設(shè)起不到應(yīng)有的作用。如果，教師在授課的過程中，注意挖掘概率論的起源，深挖概率論的定義，讓深?yuàn)W的定義變得淺顯易懂，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，就可以起到事半功倍的功勞。

2?事件的概率

在概率論中“事件的概率”這一數(shù)學(xué)概念，它的描述定義在概率論創(chuàng)建時(shí)（十七世紀(jì)）就已明確，但其精確定義卻經(jīng)過了二三百年，在20世紀(jì)30年代才建立起來，顯然若不先學(xué)習(xí)事件概率的描述定義，就很難理解掌握它的精確定義。所以在概率論中的數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，先講授概念的描述定義再講授概念的精確定義，一方面教師容易講授，另一方面學(xué)生也容易準(zhǔn)確地理解掌握概念的精髓。

則稱P為_ij上的概率，稱P（A）為事件A的概率。

通過描述定義的理解，可以幫助我們更好地理解概率的精確定義。知道概率是隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性的量度，同時(shí)也是概率論最基本的概念之一。人們常說某人有百分之多少的把握能通過這次考試，某件事發(fā)生的可能性是多少，這都是概率的實(shí)例。但如果一件事情發(fā)生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次發(fā)生該事件，而是指此事件發(fā)生的頻率接近于1/n這個(gè)數(shù)值。通過類比，可看出并體會(huì)描述性定義在概率論教學(xué)與學(xué)習(xí)中的重要作用。

3?分布函數(shù)

分布函數(shù)是概率論中一個(gè)重要的函數(shù)，正是通過它，可用數(shù)學(xué)分析的思想方法去研究概率。分布函數(shù)是隨機(jī)變量最重要的概率特征，分布函數(shù)可以完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，并且決定隨機(jī)變量的一切其他概率特征。

隨機(jī)變量是表示隨機(jī)試驗(yàn)各種結(jié)果的實(shí)值單值函數(shù)。隨機(jī)事件不論與數(shù)量是否直接有關(guān)，都可以數(shù)量化，即都能用數(shù)量化的方式表達(dá)。隨機(jī)事件數(shù)量化的好處是可以用數(shù)學(xué)分析的方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象。例如，某一時(shí)間內(nèi)公共汽車站等車乘客人數(shù)，電話交換臺(tái)在一定時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，燈泡的壽命等，都是隨機(jī)變量的實(shí)例。

例1：某人射擊結(jié)果如下：

想判斷某人的射擊水平，若垵命中環(huán)數(shù)就無法判斷某人的射擊水平，但若按命中環(huán)數(shù)落入的區(qū)間就可以對(duì)某人的射擊水平做出判斷，即某人射擊水平：80%可能在8環(huán)以下，20%可能在8環(huán)以上，或某人射擊命中的環(huán)數(shù)有80%可能落在區(qū)間（-∞，8] 內(nèi)。

分布函數(shù)的描述性定義是指隨機(jī)變量的取值落入某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率，即累加概率。

或F（x）=P{X>x，x∈R}，（因自變量是實(shí)數(shù)，故F（x）是普通函數(shù)）。

理解好分布麗數(shù)的定義：F（x）=P （X≤x），它在任意一點(diǎn)x的值，表示隨機(jī)變量落在x 點(diǎn)左邊（X≤x） 的概率，它的定義域是（-∞，+∞）， 值域是[0， 1]。

由定義我們很容易掌握分布函數(shù)的性質(zhì)，并且用性質(zhì)去處理相關(guān)的題目等。

以上僅列舉明確了概率論中的部分概念，提出了自己的觀點(diǎn)，供同行商討。

4?結(jié)論

總之，數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生是先有描述定義，后依據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展的要求，再創(chuàng)建出精確定義，故在教學(xué)中按數(shù)學(xué)概念的發(fā)展順序進(jìn)行教學(xué)，教師容易講授，學(xué)生也容易學(xué)習(xí)，更重要的是先學(xué)習(xí)樸素、直觀、形象的描述定義，學(xué)生就能容易準(zhǔn)確的理解掌握高度抽象、概括的精確定義。

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基金項(xiàng)目：山東省自然科學(xué)基金（ZR2016AL05）與棗莊學(xué)院概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)團(tuán)隊(duì)（YTD18003）。

作者簡(jiǎn)介：秦孝艷（1972-），女，山東棗莊人，碩士，教授，研究方向：隨機(jī)非線性系統(tǒng)控制與教學(xué)。