【摘 要】新高考即將全面實施之際，如何備戰(zhàn)2022年“老”高考的“壓軸考”引起人們的廣泛關注。文章以2021年高考數(shù)學全國乙卷為例，通過分析試題特點，窺探高考命題走勢，揭示核心素養(yǎng)導向下的教學如何更好地適應評價的改革。

【關鍵詞】高考試題;核心素養(yǎng);數(shù)學本質;理性思維

【作者簡介】鄭良，高級教師，中國數(shù)學奧林匹克一級教練員，主要研究方向為高中數(shù)學教學、高中數(shù)學競賽。

新高考即將全面實施之際，如何備戰(zhàn)2022年“老”高考的“壓軸考”引起人們的廣泛關注。本文以2021年高考數(shù)學全國乙卷（以下簡稱2021年全國乙卷）為例，窺探高考命題走勢，為教師教學提供參考。

一、整體特點

由于2021年全國乙卷的使用區(qū)域較廣，考慮到學生水平的差異，試卷穩(wěn)中有變，變中求新，即總體結構不變，局部稍作調整。

（一）對接新高考，為文理合卷做嘗試

為對接新高考的文理合卷，全國乙卷做了諸多過渡性的嘗試，如文理同題（括號前為理科試題題號，括號內為文科試題題號，下同）有第3（3）、4（9）、5（10）、10（12）、15（15）、16（16）、17（17）、22（22）、23（23）題等;姊妹題有第8（7）、11（11）、13（14）、14（13）、18（18）題等，在考查內容上體現(xiàn)了向新課程改革過渡的趨勢。

（二）一題多解，體現(xiàn)思維的層次性

（三）注重理性思維，強調答題規(guī)范

二、試題分析

（一）設置一題多解，甄別思維層次

橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。對于同一對象，如果觀察的視角不同，看到的風景就會不一樣。數(shù)學教學的目的是培養(yǎng)學生的思維能力，從不同的角度考慮問題，就可以得到不同的解決方法。教師通過對各種解題方法進行比較，深化學生對問題的認知，進而提升其思維能力。

該題解題的關鍵是弄清兩條直線所成的角的概念與范圍，一般有以下兩種解題思路。（1）若用向量法，側重于數(shù)學運算，可用基底法或坐標法，解答過程略。（2）若用綜合法，通過邏輯推理，得出∠PBC1是直線PB與AD1所成的角（或其補角）（圖略）。解法1在△PBC1中用余弦定理求解;解法2先判定△PBC1為直角三角形再進行求解;解法3通過補形后再在等邊△A1BC1中求解。這三種解法體現(xiàn)出解題者對問題的認知越來越深刻。解法1為求兩條直線所成的角的通性通法，解法2對所要研究的對象的性質做進一步挖掘，解法3擴大研究對象的范圍，使目標與結論更加清楚直觀。如學生只給出解法1，教師要引導學生觀察發(fā)現(xiàn)解法2與解法3，讓學生以退為進，要有全局視角。類似的問題還有將不共線的三點共圓轉化為四點共圓，四面體的外接球重合于長方體的外接球等。

（二）基于教材內容，理論聯(lián)系實際

教材是編寫者集體智慧的結晶，是師生教與學的藍本。教材內容看似淺顯易懂，但內涵深厚。高考命題把教材和課程標準作為根本依據(jù)，引導師生重視教材內容，回歸知識本原。回歸教材不是簡單地瀏覽，而是從教材編排中經(jīng)歷概念的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展、抽象和完善的過程，理解例題的設計意圖，并對課后習題進行探究延展。數(shù)學源于生活，應用于實踐。教材為了降低難度，往往會選擇背景相對簡單（可能還要經(jīng)過抽象與簡化）的生活實例，教師要將其與數(shù)學知識進行聯(lián)系，構建數(shù)學模型，讓學生在問題解決中深化對數(shù)學知識的理解。

例2（理科第9題）魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關于測量的數(shù)學著作，其中第一題是測量海島的高。如圖1所示，點E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島的高AB=（ ）

A.表高×表距表目距的差+表高 B.表高×表距表目距的差-表高

C.表高×表距表目距的差+表距 D.表高×表距表目距的差-表距

該題源自人教A版數(shù)學必修5“1.2 應用舉例”第13頁例3。試題以《海島算經(jīng)》中的測量方法為背景，要求學生根據(jù)測量過程中的相關條件，推斷海島高度的計算方法。該題主要考查三角形的求解問題，需要學生具備一定的邏輯思維、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)處理能力?？衫孟嗨迫切蔚男再|、比例的性質（合分比定理）、直角三角形的邊角關系進行求解。

（三）模型引領方向，考查理性精神

模型是通過主觀意識借助實體或者虛擬表現(xiàn)，構成客觀闡述形態(tài)結構的一種表達目的的物件。解題時“對號入座”中的“號”就是解題的模型，如何避免模型選擇的表象化與先入為主，不僅需要學生在審題時細致入微，還要深挖模型的功能與理性思辨。

（四）強化視角轉換，實現(xiàn)以退為進

解題時，很多學生經(jīng)常會因為思維定式而思維受阻，教師需要引導學生學會有序化思維，在動與靜、進與退等解題策略，以及整體與局部、數(shù)與形等對象之間進行靈活轉換，提高思維的敏感性與靈活性。

（五）考查內容理解，促進齊頭并進

一個數(shù)學問題的解決往往會涉及很多知識，一旦某個環(huán)節(jié)出現(xiàn)知識空白、思維中斷等情況，就會導致問題無法求解。因此，在教學中，教師要引導學生查缺補漏，齊頭并進，遇到問題才能多管齊下。如立體幾何問題的解決不僅需要“三法”（綜合法、向量基底法、坐標法）并舉，還要用到平面幾何的基礎知識。

在求解該題時，需考慮問題的背景是什么？已知條件中的PB⊥AM還能怎么表征？對于立體幾何的常規(guī)問題，運用綜合法雖然無須大量的計算，但需要根據(jù)題設和結論聯(lián)想平面幾何與立體幾何中的相關結論并作出適當?shù)妮o助線，對學生的空間想象能力和邏輯推理能力要求較高。對于非常規(guī)空間幾何體，常常需要將其化歸為常見幾何體（如長方體等）求解。對于該題第（1）問的求解，可將∠ADB+∠DAM=90°用tan∠ADB·tan∠DAM=1來表示。2021年全國乙卷文科第18題第（2）問與該題第（1）問的本質相同。立體幾何中的向量基底法與坐標法的理論基礎為綜合法，但大多數(shù)理科學生學習立體幾何對向量法如獲至寶，忽視對綜合法的深化，導致很多學生運用向量基底法與坐標法的公式時張冠李戴。因此，在教學中，教師要切實提高學生的數(shù)學能力與素養(yǎng)，遇到問題時能根據(jù)需要靈活運用有關知識和方法。

（六）突出問題邏輯，重視恒等變形

推理是數(shù)學的“命根子”，運算是數(shù)學的“童子功”。數(shù)學育人的基本途徑是對學生進行系統(tǒng)的（邏輯）思維訓練，訓練的基本手段是讓學生進行邏輯推理和數(shù)學運算，要在推理的嚴謹性和簡潔性、運算的正確性和算法的有效性上有要求[1]。推理，在邏輯學上指思維的基本形式之一，是由一個或幾個已知的判斷（前提）推出新判斷（結論）的過程，有直接推理、間接推理等。運算，在數(shù)學上是一種行為，通過已知量的可能的組合，獲得新的量。運算的本質是集合之間的映射。解題離不開恒等變形，因何而變，變向何方？教師要讓學生實現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越。例如在學習中，不少學生過于強化導數(shù)的功能與作用，而忽視了初等函數(shù)的基本結論與恒等變形，導致處理一些函數(shù)問題時“小題大做”，事倍功半。教學中，教師要通過正例和反例加強對學生思想與技能的引導。

（七）數(shù)學抽象引領，重視過程體驗

高考不僅肩負著為高校選拔人才的重任，還引領中學教學的方向。數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數(shù)學的本質特征，貫穿在數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展、應用的過程中。當前“重結論，輕過程”的現(xiàn)象比較普遍，若在教學中教師強行灌輸諸多二級結論，就會導致學生雖然能得到最后答案但不能規(guī)范地寫出解題過程。多數(shù)學生“記得很多，練得很勤”，運用結論時卻張冠李戴。因此，若缺少情境和過程，學生就會缺乏抽象與體驗的基礎。教育是慢的藝術，慢的目的不是教學節(jié)奏的拖沓，而是給學生思考的時間。知識是培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)的載體，活動是培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)的渠道[2]。教師要對教學情境、教學內容、教學流程、教學方式等認真思考，使創(chuàng)設的情境真實且貼近學生認知，讓學生經(jīng)歷數(shù)學活動的完整過程。

三、教學啟示

（一）著力落實“四基”，切實提高“四能”

（二）拓展思維角度，提高運算能力

布魯納曾說，探索是數(shù)學的生命線，沒有探索就沒有數(shù)學的發(fā)展。只有發(fā)散思維才有可能質疑并創(chuàng)新。如2021年全國乙卷文科、理科第16題只給出正視圖，要求學生選出兩個圖分別作為側視圖和俯視圖，是一道具有開放性的試題。不同的選法對應著不同的思考方向，需要學生的思維更靈活，空間想象能力更豐富。學生的運算能力決定著學生高考的命運，如2021年全國乙卷文科、理科第17題以芯片生產(chǎn)中的刻蝕速率為原型，設計概率統(tǒng)計的應用問題，要求學生根據(jù)新舊2臺設備各生產(chǎn)10件產(chǎn)品得到的某項指標數(shù)據(jù)，判斷新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高，考查學生對平均數(shù)、方差等知識的理解和應用，同時引導學生關注科技發(fā)展，認識到科技創(chuàng)新的重要性。但在閱卷中發(fā)現(xiàn)，盡管很多學生都明確解題方向，但大多數(shù)學生因為運算能力不過關而導致丟分。

（三）深化模型理解，規(guī)范書寫過程

教好數(shù)學就是落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)，其內涵是引導學生通過對現(xiàn)實問題的數(shù)學抽象獲得數(shù)學對象，構建研究數(shù)學對象的基本路徑，發(fā)現(xiàn)值得研究的數(shù)學問題，探尋解決問題的數(shù)學方法，獲得有價值的數(shù)學結論，建立數(shù)學模型解決現(xiàn)實問題[3]。如2021年全國乙卷文科、理科第16、第18題均可利用長方體模型進行求解。在平時的學習時，只有熟悉常見的數(shù)學模型，遇到問題時才能透過現(xiàn)象看本質，從而解決實際問題。在解題中，大多數(shù)學生審題時感覺似曾相識，解題時卻無從下手，或出現(xiàn)“會而不對”“對而不全”等現(xiàn)象，這是因為對問題的理解不夠透徹導致的。我們只有在平時的學習中，完善認知，規(guī)范書寫過程，才能避免這些現(xiàn)象的發(fā)生。

參考文獻：

[1]章建躍.核心素養(yǎng)統(tǒng)領下的立體幾何教材變革[J].數(shù)學通報，2017（11）：1-6，18.

[2]羅增儒.數(shù)學素養(yǎng)課堂落實的思考[J].中小學課堂教學研究，2020（11）：3-6，31.

[3]章建躍.核心素養(yǎng)導向的高中數(shù)學教材變革（續(xù)1）：《普通高中教科書·數(shù)學（人教A版）》的研究與編寫[J].中學數(shù)學教學參考（上旬），2019（7）：6-11.

（責任編輯：陸順演）