唐永

摘? 要：對“不同函數(shù)增長的差異”一課的教學設(shè)計從整體性和細節(jié)性兩個方面進行研究，分析設(shè)計中的六個關(guān)鍵細節(jié)問題，并給出教學建議. 同時，提出探究性教學要深刻理解課程標準的要求與教材的編寫意圖，要為學生創(chuàng)設(shè)更大的自主探究空間.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);教學設(shè)計;細節(jié)問題;探究教學

一、教學設(shè)計案例

1. 創(chuàng)設(shè)情境

（1）上海四行倉庫抗戰(zhàn)紀念館：八月份參觀人數(shù)直線上升.

（2）新聞視頻：新冠肺炎疫情指數(shù)級增長.

2. 數(shù)學建構(gòu)

探究1：指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長的差異.

問題1：選取適當?shù)闹笖?shù)函數(shù)與一次函數(shù)，探索它們在區(qū)間[0，+∞]上的增長差異，你能描述一下指數(shù)函數(shù)增長的特點嗎？

追問1：以函數(shù)[y=2x]和[y=2x]為例，在同一平面直角坐標系中畫出它們的圖象. 觀察這兩個函數(shù)的圖象，它們在位置上有什么關(guān)系？這說明了什么？

追問2：取更大的[x]值，在更大范圍內(nèi)觀察它們的增長情況，從圖象和數(shù)表上，你能發(fā)現(xiàn)什么？

追問3：若以函數(shù)[y=2x]和[y=100x]為例呢？選擇不同的指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)重復(fù)上述過程，你得到的結(jié)論分別是什么？

追問4：通過對特定的指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的研究，推廣到一般情況，你能得到什么結(jié)論？

探究2：對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長的差異.

問題2：選取適當?shù)膶?shù)函數(shù)與一次函數(shù)，探索它們在區(qū)間[0，+∞]上的增長差異. 你能描述一下對數(shù)函數(shù)增長的特點嗎？

追問1：不妨以函數(shù)[y=lgx]和[y=110x]為例，在同一平面直角坐標系中畫出它們的圖象. 觀察這兩個函數(shù)的圖象在位置上有什么關(guān)系？這說明了什么？

追問2：如果將[y=lgx]縱坐標擴大[1 000]倍，再對函數(shù)[y=1 000lgx]和函數(shù)[y=110x]的增長情況進行比較，仍有上述規(guī)律嗎？

追問3：通過對特定的對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的研究，推廣到一般情況，你能得到什么結(jié)論？

問題3：如果將一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)同時比較，你能得到什么結(jié)論？

追問1：在同一平面直角坐標系中畫出一次函數(shù)[y=2x]，指數(shù)函數(shù)[y=2x]和對數(shù)函數(shù)[y=log2x]的圖象，比較他們的增長有何差異？

追問2：一次函數(shù)[y=kx k>0]，指數(shù)函數(shù)[y=ax][a>1]和對數(shù)函數(shù)[y=logbx b>1]的增長有何差異？

3. 數(shù)學應(yīng)用

4. 課堂小結(jié)

具體內(nèi)容略.

二、課時教學設(shè)計的整體性分析

本輪課程改革提倡單元教學設(shè)計，強調(diào)從宏觀上把握知識體系，從整體上綜合協(xié)調(diào)數(shù)學知識、思想方法、能力素養(yǎng)等各要素之間的關(guān)系，把課時教學放置到整章、大單元系統(tǒng)中加以統(tǒng)籌，明確課時在本單元乃至整個知識體系中的位置，理清知識的上下位關(guān)系，從整體上架構(gòu)，克服課時教學將學習內(nèi)容碎片化的不足.

本節(jié)課內(nèi)容選自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第一冊第四章“4.4.3 不同增長函數(shù)的差異”. 對本章的整體進行分析：先有指數(shù)運算、對數(shù)運算為研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)做好數(shù)學運算上的準備;再建立指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的概念，研究其圖象與性質(zhì);然后把幾個函數(shù)放在一起，從增長差異比較的角度進一步認識這些函數(shù)的特征（個別研究到比較研究，為的是能夠在面臨問題時作出選擇判斷）;最后是數(shù)學應(yīng)用. 函數(shù)的應(yīng)用、二分法與求方程的近似解是數(shù)學內(nèi)部的應(yīng)用，數(shù)學模型是將數(shù)學知識用于解決實際問題. 現(xiàn)實中直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的現(xiàn)象大量存在，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用非常普遍. 這樣，“增長差異的比較”的地位作用就非常明顯了.

三、課時教學設(shè)計的細節(jié)性研究

具體到本節(jié)課內(nèi)容，首先，要想清楚要解決的問題是什么：一是增長快慢;二是增長方式. 先快后慢、先慢后快、穩(wěn)定等. 第二個問題就是如何用數(shù)學的方式來刻畫，教材上用了表（數(shù)）、圖（形）相結(jié)合的方式，描述性的語言較多，如“增長速度不在同一個‘檔次’”“越來越……”之類. 其次，要研究一些細節(jié)問題，如“創(chuàng)設(shè)什么情境引入更恰當”“如何用數(shù)學的方式刻畫快慢”“如何更精確地量化增長差異”“要不要給出增量比的符號[ΔyΔx]”等. 這些細節(jié)有些可能關(guān)乎全局，需要精心雕琢.

1. 選擇什么情境引入更恰當

情境引入主要有以下三種形式. ① 結(jié)合當今社會熱點現(xiàn)象、熱點問題. 例如，隨著電影《八佰》熱映，參觀上海四行倉庫抗戰(zhàn)紀念館的人數(shù)直線上升;2020年初，新冠肺炎疫情暴發(fā)階段，感染人數(shù)呈指數(shù)級增長;等等. ② 選自教材中的“情境”. 例如，[A，B]兩地景區(qū)2011年至2015年的游客人次及逐年增加量. ③ 教師自編生活“情境”. 例如，開車上班速度與時間的函數(shù).

創(chuàng)設(shè)問題情境，應(yīng)該考慮整個章節(jié)的教學連貫性，盡量選取可以在多個課時使用的較為綜合性的情境素材，設(shè)計章節(jié)系列學習活動（問題串）. 之前的教學中，教材通過[A，B]兩地景區(qū)游客人次引入指數(shù)函數(shù)的概念，所以建議本節(jié)課繼續(xù)選擇“[A，B]兩地景區(qū)游客人次”作為問題情境，深入研究它們增長方式的差異.

2. 為什么只在區(qū)間[0，+∞]上進行研究

許多參賽教師忽略了這個問題，這也應(yīng)該是探究的一部分. 事實上，在區(qū)間[-∞，0]上，指數(shù)函數(shù)[y=2x]的值恒大于0，一次函數(shù)[y=2x]的值恒小于0，對數(shù)函數(shù)[y=log2x]沒意義，所以重點研究區(qū)間[0，+∞]上它們的增長差異，可以使研究結(jié)論更具廣泛性和價值性.

3. 如何用數(shù)學語言刻畫“指數(shù)函數(shù)[y=2x]的增長趨勢最終會快于一次函數(shù)[y=2x]的增長趨勢”

教材選擇指數(shù)函數(shù)[y=2x]和一次函數(shù)[y=2x]，在[0，+∞]內(nèi)兩個函數(shù)圖象有兩個交點，當[x>2]時，都有[2x>2x]. 但是，這并不意味著[y=ax]與[y=kx]總有交點，如函數(shù)[y=ex]的圖象恒在直線[y=x]的上方. 因此，有參賽教師表述“總存在一個交點，在這個交點之后，都有[2x>2x]”是不嚴謹?shù)? 如何用數(shù)學語言刻畫這種趨勢是本節(jié)課的一個難點，許多教師采取直接講述“總會存在一個[x0]，當[x>x0]時，恒有[2x>2x]”，這樣學生就失去了一次珍貴的抽象概括機會. 只有當學生討論明白：如果兩個函數(shù)有交點，在這個交點之后，總會存在一個[x0];若沒有交點，仍然存在一個[x0]（事實是存在無數(shù)個[x0]）. 自然能夠用符號語言表達了，學生的數(shù)學抽象、邏輯推理素養(yǎng)也得到了提升.

4. 線性函數(shù)[y=kx k>0]在增長差異的比較中充當什么角色

本章通過指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長差異的實例引入指數(shù)函數(shù)的概念，本小節(jié)之所以繼續(xù)選擇一次函數(shù)[y=2x]與指數(shù)函數(shù)[y=2x]進行比較，除了能體現(xiàn)這兩種函數(shù)增長差異外，還能較好地體現(xiàn)指數(shù)函數(shù)[y=2x]“爆炸性”增長的特點. 在與對數(shù)函數(shù)[y=lgx]的比較中， 選擇一次函數(shù)[y=110x]而沒有選擇一次函數(shù)[y=2x，]是因為一次函數(shù)[y=110x]的增長速度比一次函數(shù)[y=2x]更慢，而且一次函數(shù)[y=110x]與對數(shù)函數(shù)[y=lgx]有交點，這樣更能直觀體現(xiàn)對數(shù)函數(shù)[y=lgx]的增長逐漸趨緩的特點. 由于學生對線性函數(shù)已經(jīng)有了認知基礎(chǔ)，其變化規(guī)律非常直觀. 因此，線性函數(shù)作為“中間量”，架起了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)比較的橋梁，作為“一把尺子”，度量指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長差異，更能突出“指數(shù)爆炸”和“對數(shù)增長”的特征.

5. 要不要補充變化率[ΔyΔx]

這是最具爭議的問題. 有的教師認為此時講變化率會加重學習負擔;而有的教師則認為，不講變化率就很難講清變化趨勢. 實際上，數(shù)學中有精準的方法，也就是用導(dǎo)數(shù)，用瞬時變化率來刻畫變化率. 在這個問題上，筆者傾向于補充. 章建躍博士曾指出，加強一般觀念指導(dǎo)數(shù)學學習與探究活動，發(fā)展學生的理性思維.“運算”是一般觀念，在指數(shù)函數(shù)概念的抽象過程中，對[A]地景區(qū)每年的游客人次作減法運算，得到游客人次的年增加量，對[B]地景區(qū)每年的游客人次做除法運算，得到游客人次的年增長率. 學生已經(jīng)有了這方面的運算基礎(chǔ)，補充運算[ΔyΔx=y2-y1x2-x1]，學生是能夠理解的，教學中即使不補充，也可以引導(dǎo)學生觀察表格中的數(shù)據(jù)，自變量[x]的增加量相同，即[Δx]恒為定值，只要看函數(shù)值[y]的增量[Δy]即可. 本質(zhì)上是滲透了變化率，從變化率的角度讓學生感受不同函數(shù)的增長差異.

6.“直線上升”“對數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”在生活中有什么含義

讓學生列舉生活中符合指對數(shù)增長的案例，感受三者之間的差異，體會數(shù)學來源于生活又應(yīng)用于生活，這是一個不可或缺的環(huán)節(jié).

“指數(shù)爆炸”可以有以下理解：① 任何事物都不能無限制地指數(shù)增長，否則就會產(chǎn)生災(zāi)難，如澳大利亞兔子數(shù)量“大爆炸”;② 從事業(yè)的角度，妥善進行投資，實現(xiàn)財富指數(shù)增長，就有可能成為商界大亨;③ 從努力學習的角度，多一分努力，就多一分收獲. [1.01365≈37.8]，[1.02365≈1 377.4]. 在學習上要霸氣和張揚，呈現(xiàn)指數(shù)增長;在做人上，要像對數(shù)函數(shù)一樣，沉穩(wěn)收斂.“對數(shù)增長”的例子，如體育運動，體育鍛煉的前幾天，進步神速，但過一段時間穩(wěn)定下來后，再進步就沒有那么容易了，想成為職業(yè)選手更是難上加難.

四、課時教學設(shè)計案例反思

1. 要深刻理解課程標準的要求和教材的編寫意圖

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）對“函數(shù)與數(shù)學模型”提出的內(nèi)容與要求是：① 理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學語言和工具，在實際情境中，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律. ② 結(jié)合現(xiàn)實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異，理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義.③ 收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際或者經(jīng)濟領(lǐng)域中的數(shù)學模型，體會人們是如何借助函數(shù)刻畫實際問題的，感悟數(shù)學模型中參數(shù)的現(xiàn)實意義.

面對實際問題時，為了準確描述它的變化規(guī)律，需要選擇恰當?shù)暮瘮?shù)類型來構(gòu)建數(shù)學模型，為此就要先分析清楚不同類型函數(shù)的增長差異. 教材通過具體實例對不同函數(shù)的增長差異進行比較，緊接著安排了“函數(shù)的應(yīng)用（二）”一節(jié)，引導(dǎo)學生深入學習運用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的方法. 由于增長差異的比較與現(xiàn)實世界有著非常緊密的聯(lián)系，所以是加強綜合實踐活動、推進高中數(shù)學育人方式改革的一個有力抓手.

2. 要為學生創(chuàng)設(shè)更多的探究可能

探究教學是指教師針對教學中的某個教學內(nèi)容，精心設(shè)計能引發(fā)學生積極探索的教學過程，使學生在體驗數(shù)學研究的過程中提高獨立思考、合情推理等方面的能力. 因此，在教學中要重視探究內(nèi)容的創(chuàng)設(shè)和探究時機的把握.

（1）讓學生去探索研究.

對一個數(shù)學對象的研究往往可以從四個角度進行分析：為什么研究，研究什么，如何研究，研究結(jié)果. 引入不同類型現(xiàn)實問題情境，增長方式存在很大差異，這就是“為什么研究”. 在確定研究內(nèi)容“一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)三類函數(shù)增長的差異比較”之后，“如何研究”就是最重要的環(huán)節(jié).

在上述教學案例中，出示探究1后，緊接著提出問題1及4個追問，把學生的思維強行帶入教師預(yù)設(shè)的軌道，禁錮了學生的思維，看似探究實則是“假探究”.舍得留出時間給學生，讓學生自行規(guī)劃研究思路（從具體到抽象、從特殊到一般），思考具體問題，如研究的區(qū)間、函數(shù)的選擇、圖象的繪制、函數(shù)的調(diào)整、信息技術(shù)的支持等. 探究1具有示范性，引導(dǎo)學生類比上述研究過程，繼續(xù)探究2，進一步領(lǐng)會研究方法. 例如，在更大的范圍內(nèi)，用幾何畫板軟件畫函數(shù)[y=2x]和[y=100x]的圖象，交點可能顯示不出，此時就是學生探索的最好契機：如果在幾何畫板軟件的數(shù)軸上同時改變[x]軸和[y]軸的單位長度，圖象會發(fā)生什么改變？（大小改變但形狀不變）;如果只改變[x]軸（或[y]軸）的單位長度，圖象會發(fā)生什么改變？（圖象會被伸壓，但由于本堂課研究的是幾個函數(shù)增長的差異，所以不影響繼續(xù)研究）.

（2）讓學生去體驗感悟.

知識的學習只有通過自身的體驗才能得到同化和順應(yīng). 教學中要鼓勵學生敢于結(jié)合已有經(jīng)驗說出自己的感受，發(fā)揮自己的想象，體驗和感悟知識產(chǎn)生、形成和發(fā)展的過程. 只有這樣，才能促進學生深刻理解數(shù)學本質(zhì)，實現(xiàn)深度學習. 例如，在上述案例中學生觀看新冠肺炎疫情傳播視頻時，驚呼數(shù)據(jù)的增長之快，自發(fā)地說出“爆炸增長”，此時可以“趁熱打鐵”，讓學生借助工具計算[1.01]的平方和立方，進而提出問題：猜測[1.01365]大概是多少？[1.01365≈37.8]，讓學生直觀感知“指數(shù)爆炸”的含義.

在總結(jié)“函數(shù)[y=2x]與[y=2x]在[0，+∞]上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同，而且不在同一個程度上”時，引導(dǎo)學生發(fā)揮想象：取更大的[x]值，在更大的范圍內(nèi)兩個函數(shù)圖象的關(guān)系是什么？隨著自變量的取值越來越大，函數(shù)[y=2x]的圖象幾乎與[x]軸垂直，可謂是“一飛沖天”，函數(shù)值“爆炸式”增長，函數(shù)[y=2x]的增長速度保持不變，與函數(shù)[y=2x]的增長速度相比，幾乎“微不足道”.

（3）讓學生去概括表達.

新高考加大了對關(guān)鍵能力的考查力度. 其中，閱讀理解和語言表達能力是學生亟需提高的. 符號語言的使用，使數(shù)學表達具有簡潔性、抽象性、邏輯性等特點，可以極大地縮減數(shù)學思維過程，更有利于學生認識和表達數(shù)學對象的本質(zhì). 例如，作出函數(shù)[y=2x]與[y=2x]在區(qū)間[0，+∞]上的圖象，歸納它們在位置上的關(guān)系和趨勢時，讓學生反復(fù)推敲總結(jié)，最終提煉出符號語言“總會存在一個[x0]，當[x>x0]時，恒有[2x>2x]”. 概括“三種函數(shù)的增長差異”時讓學生用不同的語言表達，如文字語言“一次函數(shù)的增長速度總是不變;指數(shù)函數(shù)的增長速度會越來越快，并且指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值最終總會大于一次函數(shù)的函數(shù)值;對數(shù)函數(shù)的增長速度會越來越慢，并且對數(shù)函數(shù)的函數(shù)值最終總會小于一次函數(shù)的函數(shù)值”;符號語言“總存在一個[x0]，當[x>x0]時，有[ax>kx]，[kx>logbx]，[a>1，b>1，k>0]”;甚至用詩歌的形式表達，如“增長模型各不同，指數(shù)增長最震撼，直線增長穩(wěn)上升，對數(shù)增長慢悠悠”.

3. 要注重落實核心素養(yǎng)的課堂定位

《標準》中提到，函數(shù)單元要重點提升學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng). 本節(jié)課主要提升學生的直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模素養(yǎng). 那么，課堂教學中如何讓這些核心素養(yǎng)落地生根？

（1）從函數(shù)性質(zhì)的角度來看.

增長差異是對函數(shù)單調(diào)性的進一步深化，不同函數(shù)的增長差異刻畫了它們增長方式及變化速度的差異. 補充[x1，x2]上的變化率[ΔyΔx]的概念，作函數(shù)[y=2x]和[y=2x]的圖象時，在數(shù)表中增加一列數(shù)據(jù)[ΔyΔx]，從數(shù)據(jù)上能夠直觀看出函數(shù)[y=2x]的變化率恒定，即增長速度保持不變. 而函數(shù)[y=2x]的變化率越來越大，即增長速度在增大，引導(dǎo)學生從代數(shù)角度理解圖象的陡緩程度. 利用幾何畫板軟件畫出函數(shù)[y=2x]，[y=2x]和[y=log2x]的圖象. 通過比較圖象，分析三個函數(shù)增長的快慢，特別是當[x]的值比較大時，直觀感知函數(shù)值的差異，進一步形成更一般的猜想. 借助數(shù)表、幾何畫板軟件和GeoGebra軟件進行教學，讓學生經(jīng)歷通過圖形建立直觀猜想、通過計算驗證結(jié)論的思維與操作過程，提升學生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)，通過概括與表達提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

（2）能否選擇合適的函數(shù)模型刻畫實際問題的變化規(guī)律.

學生選擇合適的函數(shù)模型刻畫實際問題的變化規(guī)律的基礎(chǔ)是對各類函數(shù)的特征有準確的把握，對每類函數(shù)到底刻畫了哪類現(xiàn)實問題的變化規(guī)律有深入的了解，同時對各類函數(shù)的增長差異心中有數(shù). 由此可見，發(fā)展學生的數(shù)學建模素養(yǎng)：一是準確理解各類基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)，以及不同類型函數(shù)刻畫了哪一類現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，準確把握各類函數(shù)的增長差異;二是加強用函數(shù)建立數(shù)學模型解決實際問題的實踐. 前一個是數(shù)學知識基礎(chǔ)，后一個是數(shù)學建模實踐，兩者缺一不可. 設(shè)計案例中補充了一個簡單應(yīng)用，讓學生活學活用，理論與實踐相結(jié)合，提升學生的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學建模素養(yǎng).

五、結(jié)束語

教學設(shè)計是課堂教學成功的決定性因素，具有示范、研討的意義. 教師要準確理解和把握課程目標、課程內(nèi)容，合理設(shè)計課時目標，創(chuàng)設(shè)恰當情境，在情境的引導(dǎo)下，讓學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，在多媒體的支持下解決問題，落實“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展. 在探究性教學中，教師應(yīng)該給予學生充分探索、交流的時間與空間，促使學生養(yǎng)成仔細觀察、主動探索、自覺交流、善于表達的習慣，使學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界.

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