作者簡介

陳六一，南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校教科室主任，高級教師，全國科研先進(jìn)工作者，江蘇省教育科學(xué)成果獎一等獎獲得者，蘇州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，蘇州市優(yōu)秀教育工作者，《教師博覽》簽約作者，多家教育期刊外審專家，發(fā)表教育教學(xué)文章近200篇，其中20多篇被人大復(fù)印報刊資料全文轉(zhuǎn)載或索引。

摘 要： 數(shù)學(xué)知識本是教師進(jìn)行教學(xué)的根本，當(dāng)下卻出現(xiàn)了擁有高學(xué)歷的老師、會解題的學(xué)生不甚理解數(shù)學(xué)的現(xiàn)象。為了使學(xué)生的生物腦成為智力腦，就需要數(shù)學(xué)教師不僅講推理，更講道理;不僅講思考，更講思想。這樣通過學(xué)科知識的視角講數(shù)學(xué)故事，才有可能讓數(shù)學(xué)育人在課堂真正發(fā)生。

關(guān)鍵詞：深刻理解;數(shù)學(xué)育人;智力腦;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

王子興教授指出，數(shù)學(xué)學(xué)科知識是小學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行教學(xué)的根本，包含三個層次：（1）覆蓋數(shù)學(xué)知識體系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法;（2）現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)的淵源與實(shí)質(zhì);（3）應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的知識。全美教師理事會在其報告《數(shù)學(xué)教師標(biāo)準(zhǔn)》中說，教師在數(shù)學(xué)學(xué)科知識方面要理解數(shù)學(xué)概念、過程及其關(guān)系，多種方式表述數(shù)學(xué)，能以不同形式進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，了解數(shù)學(xué)本質(zhì)的變化帶來的教學(xué)方式的變化，不同文化、學(xué)科對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，以及數(shù)學(xué)在生活中的作用。概括而言，數(shù)學(xué)學(xué)科知識包括數(shù)學(xué)內(nèi)容的知識和關(guān)于數(shù)學(xué)的知識。數(shù)學(xué)內(nèi)容的知識是指對數(shù)學(xué)概念、過程及其關(guān)系的理解，數(shù)學(xué)的知識是指數(shù)學(xué)從哪里來、發(fā)生了怎樣的改變。

反觀當(dāng)下一線小學(xué)數(shù)學(xué)教師，盡管他們對小學(xué)數(shù)學(xué)教材乃至各種輔導(dǎo)材料中的習(xí)題，都能不費(fèi)力地解決，但筆者通過課堂觀察卻發(fā)現(xiàn)，他們對數(shù)學(xué)學(xué)科知識的理解普遍不夠深刻（教師會解題不等于理解數(shù)學(xué)）;加之目前的校本培訓(xùn)、業(yè)務(wù)進(jìn)修、專題教研，主辦者一般都會圍繞教育理念、教學(xué)藝術(shù)、課程建設(shè)等方面來開展，卻常常忽視對學(xué)科知識的指導(dǎo)（大家都認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)知識很簡單）。而恰恰是由于教師對數(shù)學(xué)學(xué)科本身的理解存在欠缺，課堂中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充斥著形式化的、無意義的生物腦的訓(xùn)練，使學(xué)生能按套路做對題目卻不懂?dāng)?shù)學(xué)。為此，張奠宙教授生前曾不斷警示：“小學(xué)數(shù)學(xué)并不簡單，甚至具有很高的學(xué)術(shù)含量。小學(xué)里有許多內(nèi)容需要高屋建瓴地從數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示進(jìn)行梳理，僅就一些教育理念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計是走不遠(yuǎn)的?！贝_實(shí)，我們小學(xué)數(shù)學(xué)教師，雖然冠名以“小”，但任務(wù)不小，唯有不斷追問“我懂?dāng)?shù)學(xué)嗎？”才有可能講好數(shù)學(xué)故事，讓數(shù)學(xué)育人在課堂發(fā)生，讓學(xué)生習(xí)得帶得走的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、不僅講推理，更講道理

“是什么”即推理，“為什么”即道理。小學(xué)數(shù)學(xué)教師往往對“是什么”都有著清晰的認(rèn)識，但對于數(shù)學(xué)為什么是這個樣子，由于其和指導(dǎo)學(xué)生做對題目關(guān)系不大，加之教師自己一般不做這些追問，因此也就不能從本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)，不能從文化、思維游戲等維度發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力，從而傳遞給學(xué)生的數(shù)學(xué)也就變成了“冰冷的名詞”。例如，教學(xué)“因數(shù)和倍數(shù)”時，我們都知道當(dāng)非0自然數(shù)a、b、c存在a×b=c時，a和b叫作c的因數(shù)，或者說c是a的倍數(shù)，也是b的倍數(shù)。并由此解釋什么是質(zhì)數(shù)、合數(shù)，即只有1和它本身兩個因數(shù)的自然數(shù)稱為質(zhì)數(shù);除了1和它本身外，還有其他因數(shù)的自然數(shù)稱為合數(shù)。然而，為什么要把0排除在外呢？學(xué)習(xí)因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)是為了什么？記得在一次公開課上，學(xué)生提出了這些問題，教師只是解釋不考慮0是規(guī)定，它們屬于純數(shù)學(xué)問題。沒有觸動數(shù)學(xué)脈絡(luò)的理答，注定不會吸引學(xué)生愛上數(shù)學(xué)，投身數(shù)學(xué)研究。那么怎樣才算對因數(shù)、倍數(shù)的深刻理解呢？

在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)教材五年級下冊“因數(shù)、倍數(shù)”時，筆者先出示一個數(shù)：2520。再講述：“古代埃及的數(shù)學(xué)成就非凡，考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在埃及金字塔的一塊墓碑上，竟然刻著2520。你知道2520的意義嗎？”學(xué)生做著各種猜想，然后又自我否定。數(shù)學(xué)好奇心強(qiáng)烈地驅(qū)使著學(xué)生一定要弄個明白。原來古人覺得數(shù)能解釋世界，比如畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾提出“萬物皆數(shù)”的學(xué)說，那么數(shù)必然有最基本的元素，就像物理世界的粒子，就像建筑物需要的磚塊，可是在尋找最基本元素的過程中，如果只用1做單位來數(shù)數(shù)，會導(dǎo)致自然數(shù)只有1這一個基本元素，如2=1+1，3=2+1=1+1+1，4=3+1=2+1+1=1+1+1+1……數(shù)學(xué)就顯得無趣了。于是接下來教師引導(dǎo)學(xué)生重新數(shù)自然數(shù)，并將數(shù)與形結(jié)合，學(xué)生在數(shù)數(shù)中感悟到1、2、3、5……這些自然數(shù)在直線上只有左右兩個方向，是一維的;而4、6、8、9、2520……這些自然數(shù)不僅有左右方向，還有上下方向，是二維的，因此也叫矩形數(shù)。

在古代，0還未視作自然數(shù)，所以解決質(zhì)數(shù)問題時，0沒有納入數(shù)論的范疇。盡管后來大家約定0為自然數(shù)，而數(shù)論依然把0排除在外，我們可引導(dǎo)學(xué)生了解： 0是一個點(diǎn)，在數(shù)軸上既無左右方向，更沒有上下方向，是0維度，這便成了0不是數(shù)論研究對象的緣由。進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生討論為什么規(guī)定1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。其實(shí)在哥德巴赫眼里，1是質(zhì)數(shù)，正如前文所述，因?yàn)?和2、3、5等自然數(shù)一樣，都是一維的;后來人們用因數(shù)的個數(shù)來解釋質(zhì)數(shù)、合數(shù)，這樣非0自然數(shù)先被分成兩類，即只有1個因數(shù)的數(shù)和不止1個因數(shù)的數(shù)，當(dāng)研究的角度只關(guān)注不止1個因數(shù)的自然數(shù)時，1就成了單獨(dú)的集合。不止1個因數(shù)的自然數(shù)又可分成兩類，即只有兩個因數(shù)的數(shù)（質(zhì)數(shù)）和多于兩個因數(shù)的數(shù)（合數(shù)）。

學(xué)習(xí)進(jìn)行到此，學(xué)生可以智慧地解決課堂開始的問題了。原來2520是1、2、3到10這十個連續(xù)自然數(shù)的倍數(shù)，而且是它們的最小公倍數(shù)，所以古代埃及人自豪地記錄了這一發(fā)現(xiàn)。

可見，“是什么”讓數(shù)學(xué)演變成了靜態(tài)的觀念，“為什么”則啟示著數(shù)學(xué)是動態(tài)的、不斷發(fā)展著的。在推理中叩問道理，也就是追尋靜態(tài)背后的發(fā)展趨勢，而這正是形成學(xué)生人生觀、世界觀的一種可能路徑。

再如教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)教材四年級下冊“三位數(shù)乘法”時，不少教師過度關(guān)注乘的程序。展開來說，教師強(qiáng)調(diào)從低位算起，用哪個數(shù)字去乘，就寫在哪一位的下面，然后重復(fù)練習(xí)求得技能自動化，而漠視乘的“為什么”。

其實(shí)，對于任意兩個自然數(shù)，乘法運(yùn)算法則分為三個部分：（1）兩個一位數(shù)相乘，（2）任意一個數(shù)與一個一位數(shù)相乘，（3）任意兩個數(shù)相乘。以145×326為例來理解，乘法法則的第一部分：先用145的每一個數(shù)字都乘6，6×5=30，在個位上寫0，在十位上進(jìn)3;6×4=24，在十位上寫4，加上個位上進(jìn)的3，十位上最終寫7，在百位上進(jìn)2;6×1=6，在百位上寫6，加上十位上進(jìn)的2，百位上最終寫8。將同樣的法則用于145×2和145×3，可以分別得到結(jié)果290與435。將145×6、145×2和145×3的積放在一起，也就是把870、290、435按如圖1方式疊放。

基于圖1，實(shí)現(xiàn)了乘法法則第三部分：任意兩個數(shù)相乘。這樣無須去識記所謂的程序，學(xué)生可以根據(jù)自己的習(xí)慣、數(shù)感，創(chuàng)造屬于自己的豎式;只是無論從哪里算起，終將變成兩個一位數(shù)的乘法;結(jié)果寫在其下方理由是算145×2，實(shí)際指向145×20，所以記錄的時候要出現(xiàn)移位。一旦學(xué)生掌握了圖1的方法，由此可以得到啟示：乘多位數(shù)，既可以從低位算起，也可以從高位算起，甚至無論從哪一位算起都行。原來，計算就是遵從某種規(guī)則的游戲，于是不同水平層次的學(xué)生都有了算的念頭，并在表達(dá)算的過程中，實(shí)現(xiàn)了馬立平教授期待的“知識包”，即三位數(shù)乘法依賴于數(shù)的組成、乘法意義和一位數(shù)乘法、兩位數(shù)乘法，利用了位值制概念，同時又為未來學(xué)習(xí)乘法分配律提供思維經(jīng)驗(yàn)。

教師僅有程序性的“是什么”，其數(shù)學(xué)理解是碎片式的。而將知識點(diǎn)以聯(lián)系的視角分析，形成“知識包”，就能舉一反三，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在遷移中發(fā)生，讓數(shù)學(xué)在“為什么”的根基上不斷擴(kuò)張。

二、不僅講思考，更講思想

越來越多的教師重視數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生在思考中感受智力挑戰(zhàn)帶來的樂趣。但是，只有數(shù)學(xué)思考，還不能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美、源自數(shù)學(xué)的深刻。例如，教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)教材五年級下冊“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時，教師往往會出示一些變式題促進(jìn)學(xué)生思考，求得對“分子、分母同時乘或除同一個數(shù)”的真正理解，比如：（1）[416=2（? ? ）=（? ? ）48，]（2）[416=4+416+（? ? ），]（3）[416=4a（? ? ） （a≠0），]（4）[nm=][3nm+（? ? ）。]同時，教師也會引發(fā)學(xué)生對“商不變的性質(zhì)”“小數(shù)的性質(zhì)”進(jìn)行關(guān)聯(lián)，求得知識間的融會貫通。

但這些還不夠，教師要往前再走一步，要通過“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，讓學(xué)生領(lǐng)悟等價類思想。等價類數(shù)學(xué)思想，指的是同一類對象具有某種等價性，也就是用一個相等的準(zhǔn)則，把彼此相等的對象歸為一類，同一類對象，本質(zhì)一樣，只是表征形式不一。以此審視分?jǐn)?shù)：一個分?jǐn)?shù)的值有無限種表達(dá)形式，例如[12]和[24，36，48，510]……相等。學(xué)生以往學(xué)習(xí)自然數(shù)時，1只能等于1，2只能等于2，未曾發(fā)生過1、2可以寫成其他形式。分?jǐn)?shù)的等價，擴(kuò)充了學(xué)生的視野，讓學(xué)生習(xí)得盡管不同的數(shù)、不同的形，有著各自的意義，但是通過比較大小，可以看透不同中的相同。這樣，相等的角是一種等價類，以等價類來學(xué)習(xí)角，學(xué)生領(lǐng)悟角的邊，可以是線段，可以是射線，角相等是指角區(qū)域的大小相等，自然與邊的長短無關(guān)，于是各個學(xué)段學(xué)習(xí)角都是等價的。換句話說，第一學(xué)段認(rèn)為角有一個頂點(diǎn)和兩條邊，第二學(xué)段教材對角的解釋是從一個頂點(diǎn)引出的兩條射線，歐氏幾何定義角是兩條直線的位置關(guān)系，以及旋轉(zhuǎn)定義：角是射線旋轉(zhuǎn)而形成的圖形。這些定義都是等價的，只是限于學(xué)生的年齡特點(diǎn)，用了不同的說明方式。這樣，解相等的方程也是一種等價類，于是不同的數(shù)量關(guān)系式、不同的未知數(shù)，在直角坐標(biāo)系中都有了相同的圖像。

例如，在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)教材五年級上冊“小數(shù)的意義”時，除了思考小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，掌握一位小數(shù)是十分之幾、兩位小數(shù)是百分之幾……教師還要懂得小數(shù)反映著量化的數(shù)學(xué)思想。整數(shù)、小數(shù)都以1為度量單位，往大的方向計數(shù)，是10倍的方式累計;往小的方向計數(shù)，是10倍的方式均分（分?jǐn)?shù)是任意倍數(shù)方式的均分）。量化思想啟示著學(xué)生：第一，數(shù)本身的擴(kuò)張具有一致性，不論整數(shù)還是小數(shù)，其計數(shù)原理相同。為什么百分之幾是兩位小數(shù)，就是因?yàn)榈谝淮我?0倍的方式均分，數(shù)出的幾份記在個位的右邊第一位;再一次需要以10倍的方式均分，數(shù)出的幾份記在十分位的右邊第一位，也就是均分100份，數(shù)出的份數(shù)用兩個數(shù)字來記錄，依次記在個位的右邊。第二，小數(shù)代表著先進(jìn)文明，古人用不斷創(chuàng)造新度量單位的方式表示精確程度，如里、引、丈、尺、寸、分、厘、毫、絲等，但這給學(xué)生的記憶帶來了麻煩，小數(shù)只需要一種單位，就能表示這一切。顯然，小數(shù)是大腦冒險的產(chǎn)物，是邏輯的力量;同時，大腦的冒險，讓度量工具得以革新，如納米技術(shù)、芯片技術(shù)。第三，量化是解釋世界的一種方式，萬物一旦定下了“1”，便能賦予數(shù);有了數(shù)，便可以加減乘除。于是，數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)運(yùn)算就讓不容易描述的、難以表達(dá)的現(xiàn)象可以講道理，讓只能靠想象而無法言明的道理得以可視化。所以教師不僅要教數(shù)學(xué)思考，更要教數(shù)學(xué)思想。

當(dāng)然，正如張奠宙教授所言：“小學(xué)數(shù)學(xué)要做到淺而不錯、分而不碎不是一件容易的事情?！边@需要一線教師對數(shù)學(xué)學(xué)科知識有深刻的理解。對數(shù)學(xué)有深刻的理解，教師就能將數(shù)學(xué)所涵蓋的各種成分迅速轉(zhuǎn)換，就能知曉學(xué)生以后會學(xué)習(xí)到哪些知識，在課堂上予以適當(dāng)鋪墊，就能用更高的觀點(diǎn)統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)，平衡數(shù)學(xué)的邏輯與教學(xué)的邏輯。

總之，教師對數(shù)學(xué)有深刻的理解，才能實(shí)現(xiàn)上通數(shù)學(xué)，下達(dá)課堂;才能以數(shù)學(xué)的本真，涵養(yǎng)現(xiàn)代公民應(yīng)具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

參考文獻(xiàn)

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