官利娟

摘 要：數(shù)學教材中的“閱讀與思考”材料旨在了解數(shù)學科學與人類發(fā)展之間的相互作用，尋求數(shù)學發(fā)展的歷史軌跡，傳遞數(shù)學文化育人價值。筆者以斐波那契數(shù)列的介紹為例，進行了“閱讀與思考”材料的教學探究，挖掘材料的數(shù)學育人功能。

關鍵詞：閱讀與思考;問題解決;興趣培養(yǎng);數(shù)學與美育

在新教材《普通高中教科書人教A版》中仍保留了“閱讀與思考”欄目，并且在必修和選擇性必修教材中共編入25篇閱讀與思考材料。這些材料有的是介紹數(shù)學史，比如函數(shù)概念的發(fā)展歷程、中外歷史上的方程求解、向量及向量符號的由來、海倫與秦九韶等;有的是教學知識點的拓展，比如集合中元素的個數(shù)、幾何命題與充分條件和必要條件、代數(shù)基本定理等;有的是學科交叉知識的運用，比如三角學與天文學、畫法幾何與蒙日、振幅、周期、頻率、相位等。

數(shù)學教材中的“閱讀與思考”材料旨在了解數(shù)學科學與人類發(fā)展之間的相互作用，尋求數(shù)學發(fā)展的歷史軌跡，傳遞數(shù)學文化育人價值。但是“閱讀與思考”欄目的閱讀和教學，在不少教師心中卻是仍未引起足夠重視的荒野。筆者以斐波那契數(shù)列的介紹為例，進行了“閱讀與思考”教學探究，挖掘材料的數(shù)學育人功能。斐波那契數(shù)列作為新舊教材中受青睞的探究性閱讀材料，有助于培養(yǎng)學生閱讀和問題解決能力、激發(fā)學生數(shù)學學習興趣、發(fā)揮數(shù)學美育功能。

一、探究斐波那契數(shù)列，培養(yǎng)數(shù)學閱讀和問題解決能力

（一）問題的提出：1202年，斐波那契《算盤全書》中提出了一個有趣的兔子繁殖問題：假設一對初生兔子要一個月才到成熟期，而一對成熟兔子每月會生一對兔子，那么，由一對初生兔子開始，12個月后會有多少對兔子呢？

（二）問題的解答：我們對兔子的繁殖做詳細分析，很容易知道：第一個月這對兔子沒長大，沒有繁殖能力;第二個月小兔子長成大兔子;第三個月這對大兔子生下一對小兔子;第四個月大兔子繼續(xù)生下一對小兔子，小兔子長成大兔子，如圖所示，依次類推。

可以看出每個月兔子的總對數(shù)構成了一個數(shù)列，如下表：

（三）數(shù)列的引入：兔子總對數(shù)所組成的這個數(shù)列有非常明顯的特征，即從第三項起，每一項都是前面相鄰兩項之和。這個數(shù)列以兔子繁殖問題而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、……，它的遞推公式可以表達為 。

這個數(shù)列是意大利中世紀數(shù)學家列昂納多·斐波那契在《算盤全書》中首次提出的，為了紀念該數(shù)學家，又稱其為斐波那契數(shù)列。斐波那契數(shù)列在歐美可謂是人盡皆知，美國數(shù)學會從1963年起出版了以《斐波那契數(shù)列季刊》為名的一份數(shù)學雜志，用于專門刊載這方面的研究成果。

（四）設計意圖：斐波那契在書中提出的兔子繁殖問題與實際的兔子繁殖情況有出入，是一個抽象化的數(shù)學問題。要解決這個問題，首先需要學生仔細閱讀并分析清楚每個月兔子的生長情況，進而選取樹狀圖和表格的形式發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題。學生在已知的問題情境中，經(jīng)歷分析問題和解決問題的過程，有助于培養(yǎng)其數(shù)學閱讀和問題解決能力。

二、聯(lián)系生活實際，激發(fā)數(shù)學學習興趣

（一）大自然中的斐波那契數(shù)：在大自然中，斐波那契數(shù)廣泛地存在著，大到星系和颶風，小到細胞分裂，都有斐波那契數(shù)列的存在。譬如，百合和蝴蝶花的花瓣數(shù)是5;藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草的花瓣數(shù)是8;翠雀花 花瓣數(shù)是13;金盞和玫瑰的花瓣數(shù)是21;紫宛的花瓣數(shù)是34、55或89。

更為大家所熟知的是向日葵花的斐波那契數(shù)。向日葵的花盤中有兩組螺旋線，一組是按照順時針方向盤繞，一組是按照逆時針方向盤繞，兩組螺旋線彼此鑲嵌，雖然向日葵的花盤有大有小，栽培品種也不相同，種子排列的順時針和逆時針方向、螺旋線的數(shù)量也不盡相同，但是往往不會超出34和55，55和89或89和144這三組數(shù)字，其中前一個數(shù)字是順時針方向盤繞的線數(shù)，后一個數(shù)字是逆時針方向盤繞的線數(shù)。而這三組數(shù)據(jù)的每組數(shù)據(jù)都是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩個數(shù)。

不止向日葵懂得斐波那契數(shù)列，雛菊的花盤也有類似的數(shù)學模式，科學家們在植物的葉、枝、莖等排列中也發(fā)現(xiàn)了斐波那契數(shù)。植物的這些數(shù)學特征都是它們在大自然中長期適應和進化的結果，這已經(jīng)成了植物生長發(fā)育的優(yōu)化方式。

（二）設計意圖：教師通過例舉大自然中的斐波那契數(shù)，引導學生觀察生活和自然，體會數(shù)學與自然的聯(lián)系，進一步激發(fā)學生數(shù)學學習興趣。

三、探究數(shù)列規(guī)律，發(fā)揮數(shù)學美育功能

（一）斐波那契數(shù)列與黃金分割：我們知道黃金分割是一種最能引起美感的分割比例。如果將一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值就是黃金分割。

如圖所示，若C為AB的黃金分割點，則有AC/AB=BC/AC。設AB的長為1，AC長為，則有，可解得。因此黃金分割的比值是，約等于0.618。

我們再來看一組數(shù)據(jù)：

不難發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)列中的前一項與后一項的比值越來越逼近黃金分割0.618。因此，斐波那契數(shù)列又被稱為黃金數(shù)列。

“黃金分割”在人體結構、建筑物、國旗、繪畫、優(yōu)選法等體現(xiàn)美的共性上有很多的應用。譬如，完美人體的頭頂?shù)蕉悄毜木嚯x/肚臍到腳底的距離=0.618;最協(xié)調(diào)的臉龐的眉毛到脖子的距離/頭頂?shù)讲弊拥木嚯x=0.618;生活中拍照時，人物位于相框的黃金分割點處的位置時看起來最美觀。

（二）斐波那契螺旋：如果我們將斐波那契數(shù)為邊的正方形拼成一個長方形，在其中每一個正方形中畫一個90度的扇形，連接起來的弧線，稱之為斐波那契螺旋線。由前面的計算，我們知道斐波那契螺旋中兩個相鄰正方形邊長之比都接近黃金分割。因此，斐波那契螺旋堪稱是自然界最完美的經(jīng)典黃金比例。

斐波那契螺旋線在自然界中大量存在，譬如苗木生長、向日葵種子排列規(guī)律和動物繁殖等都與斐波那契螺旋相關。此外，其在建筑、藝術、攝影、影視作品中也被廣泛地使用，在斷臂維納斯、蒙娜麗莎等經(jīng)典畫作中都能找出斐波那契螺旋線。

（三）設計意圖：亞里士多德曾經(jīng)講到：“雖然數(shù)學沒有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數(shù)學完全分離。因為美的主要形式家是“秩序、勻稱和確定性”，這些正是數(shù)學研究的原則?！膘巢瞧趼菪鳛樽匀唤缱钔昝赖慕?jīng)典黃金比例，其體現(xiàn)出數(shù)學的和諧、科學、規(guī)律之美是進行美育教育的良好載體。我們應當抓住這個載體，充分發(fā)揮數(shù)學的美育功能，通過斐波那契數(shù)的規(guī)律探究，結合經(jīng)典著作的分析，促使學生對美的感受能夠從感性走向理性。

“閱讀與思考”作為教材中的對相關主干知識的補充，既可以單獨研讀，也可與主干知識融合，滲透其育人價值。對于數(shù)學史知識和數(shù)學家的介紹，可滲透數(shù)學文化，發(fā)揮數(shù)學文化育人價值，例如函數(shù)概念的發(fā)展歷程、笛卡爾與解析幾何等;對于有探究性質的材料，可作為提升學生閱讀能力、思維能力、問題解決能力、數(shù)學學習興趣的載體，例如斐波那契數(shù)列、中國古代數(shù)學家求數(shù)列和的方法;對于學科交叉知識，可作為學生跨學科融合學習的教育載體。雖然課標對“閱讀與思考”沒有具體要求，但是如果我們認真研磨、仔細解讀，在教學中充分發(fā)揮其科學價值、人文價值、應用價值和美育價值，定會給課堂帶來生機，讓整個數(shù)學學習過程更加完整。

參考文獻

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