景來峰 楊長智
摘 要:新課標下的恒成立是高中數學的常見問題,它主要考察函數與導數,方程與不等式,函數性質與圖象的綜合應用。同時滲透換元,轉化與化歸,函數與方程的思想方法,尤其導數中體現更為明顯,是歷年高考的熱點問題??陀^題中的恒成立問題,通過分離參數或轉化為求函數的最值基本能夠解決,但主觀題的恒成立問題,經常是以壓軸題的形式出現,同學們做起來,經常感到思路不暢,解答不完整,通法難以套用等。下面我就導數大題的恒成立問題,并結合高考題談一下思路和方法。
關鍵詞:導數;恒成立;放縮;分類討論;兩個小不等式等
一、觀察端點函數值,轉化為討論函數的單調性
例1:設函數若對恒成立,求m的取值范圍。
分析:觀察端點函數值f (x)=0,原題即為x>1恒有f (x)>f (1),所以只需討論m,說明f (x)在單增即可,但是不能按f (x)是單增函數求m范圍,因為f (x)在(1,+∞)單增是 f (x)>0(1,+∞)恒成立的充分不必要條件。
解:
令g (x)=x2+x-m,g (x)在(1,+∞)單增且g (1)=2-m
(1)當即時
在(1,+∞)是增函數
所以 ?f (x)在(1,+∞)為增函數
對,有,適合題意
(2)當即時
令得
當時,即
在上是減函數
當時,不適合題意
所以m取值范圍是
方法總結:若題目為:時恒成立,求f (x)中參數的取值范圍。先觀察端點函數值,若,即轉化為討論參數,說明f (x)在單增(單減)即可,上題中在的單調性是明確的,如果不明確,需要二次求導。有的題目需要變形后才能轉化成上面的類型。
例2:(14年全國高考) 已知函數
(1)討論f (x)的單調性
(2)設,當求b的最大值。
(1)略
(2)
分析:觀察即 所以只需討論b,說明即可。
簡解:
因為
①當即時
在R上單增適合題意
②當即時
令得
當是減函數不合題意
所以b取值范圍是,b最大值為2.
方法總結:本題端點函數值為零,然后通過整體思想或者換元,轉化為討論二次函數的單調性問題。
例3(2020全國理科) ? 已知函數
(1)當時 討論f (x)的單調性
(2)當時 ,求的取值范圍.
(1)略
分析(2)若令
觀察到:即。所以可以轉化為討論,說明即可,但是幾次求導后不能轉化為上面的題型,討論單調性。因此需先把原題變形一下:即。
分析:令,觀察端點函數值 ,即,所以只需討論,說明g (x)在(0,+∞)單減即可
簡解:
令
①當即時
g (x)為增函數時不合題意
②當即時
單減
單減極大值
由要使只需
由解得
③當即時 ? ?因為
可以說明當 ? 恒成立
也可以直接說明
時
綜上的取值范圍是
方法總結:本題雖說符合這種解法,但是沒法直接討論其單調性,需要變形后再討論。適當的變形是關鍵。
二、對參數進行分類,在每一類下說明不等式是否恒成立。
這種題有兩個關鍵點,一是參數的范圍如何劃分,二是怎么說明不等式是否成立,說明不成立,找到特值或區(qū)間,說明成立需要進行征明,可能用到兩個小不等式的放縮。
如4(15年四川高考)已知函數
討論f (x)的單調性
試確定a的值,使得在區(qū)間(1,+∞)恒成立
過程略①單增
②時是增函數, 是減函數
(2)分析:若令雖說
即:時,恒成立但無法討論,說明g (x)的單調性
簡解:1°當時
而即
不成立
2°由(1)的結論可知:①當即時
由①知f (x)在單減
所以而原式不成立
②當即時(說明g (x)單增即可)
在(1,+∞)是增函數
所以:當適合題意
取值范圍是
方法總結:由根據單調區(qū)間對 進行了分類然后在每一類下,進行說明或證明,其中證明時用到放縮①
如5.(2020全國高考)已知函數
(1)時求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積。
(2)若求的取值范圍
簡解:(1)略
(2)
在是增函數
①當時 不成立
②當時是增函數,且f '(1)=0
,f (x)單減,f (x) ?單增
所以 所以恒成立
③當時
使即
f (x)單減
f (x)單增
時 恒成立
綜上的取值范圍是
方法總結:本題根據的正負對進行分類,而說明成立,相當于隱零點求最值,當然本題也有其它簡單的解法。
以上就是我對恒成立問題的兩種解法的總結,當然恒成立問題,靈活多變,綜合性強。在掌握基本方法的前提下,觀察式子特點,通過化歸思想,轉化為熟知的類型。
參考文獻
[1]楊秀.一類恒成立問題的解法探究[J].中學生理科應試 2020(08):8-9.
[2]洪汪寶.一道恒成立問題的多種求解策略[J].中學生數理化(高二使用) 2020(Z1):72-73.
[3]何成寶.淺談不等式恒成立問題的類型及其求解策略[J].中學生數理化(高二使用) 2020(Z1):80-81.
[4]周亮.高中數學含參不等式恒成立問題解題策略[J].試題與研究 2020(18):24.
[5]曹彬.一個函數不等式恒成立問題的兩種解法[J].數理化解題研究 2020(16):49-50.