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        恒成立問(wèn)題的另類解法

        2021-09-10 17:04:04景來(lái)峰楊長(zhǎng)智
        高考·上 2021年1期
        關(guān)鍵詞:恒成立分類討論導(dǎo)數(shù)

        景來(lái)峰 楊長(zhǎng)智

        摘 要:新課標(biāo)下的恒成立是高中數(shù)學(xué)的常見(jiàn)問(wèn)題,它主要考察函數(shù)與導(dǎo)數(shù),方程與不等式,函數(shù)性質(zhì)與圖象的綜合應(yīng)用。同時(shí)滲透換元,轉(zhuǎn)化與化歸,函數(shù)與方程的思想方法,尤其導(dǎo)數(shù)中體現(xiàn)更為明顯,是歷年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題。客觀題中的恒成立問(wèn)題,通過(guò)分離參數(shù)或轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值基本能夠解決,但主觀題的恒成立問(wèn)題,經(jīng)常是以壓軸題的形式出現(xiàn),同學(xué)們做起來(lái),經(jīng)常感到思路不暢,解答不完整,通法難以套用等。下面我就導(dǎo)數(shù)大題的恒成立問(wèn)題,并結(jié)合高考題談一下思路和方法。

        關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù);恒成立;放縮;分類討論;兩個(gè)小不等式等

        一、觀察端點(diǎn)函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性

        例1:設(shè)函數(shù)若對(duì)恒成立,求m的取值范圍。

        分析:觀察端點(diǎn)函數(shù)值f (x)=0,原題即為x>1恒有f (x)>f (1),所以只需討論m,說(shuō)明f (x)在單增即可,但是不能按f (x)是單增函數(shù)求m范圍,因?yàn)閒 (x)在(1,+∞)單增是 f (x)>0(1,+∞)恒成立的充分不必要條件。

        解:

        令g (x)=x2+x-m,g (x)在(1,+∞)單增且g (1)=2-m

        (1)當(dāng)即時(shí)

        在(1,+∞)是增函數(shù)

        所以 ?f (x)在(1,+∞)為增函數(shù)

        對(duì),有,適合題意

        (2)當(dāng)即時(shí)

        令得

        當(dāng)時(shí),即

        在上是減函數(shù)

        當(dāng)時(shí),不適合題意

        所以m取值范圍是

        方法總結(jié):若題目為:時(shí)恒成立,求f (x)中參數(shù)的取值范圍。先觀察端點(diǎn)函數(shù)值,若,即轉(zhuǎn)化為討論參數(shù),說(shuō)明f (x)在單增(單減)即可,上題中在的單調(diào)性是明確的,如果不明確,需要二次求導(dǎo)。有的題目需要變形后才能轉(zhuǎn)化成上面的類型。

        例2:(14年全國(guó)高考) 已知函數(shù)

        (1)討論f (x)的單調(diào)性

        (2)設(shè),當(dāng)求b的最大值。

        (1)略

        (2)

        分析:觀察即 所以只需討論b,說(shuō)明即可。

        簡(jiǎn)解:

        因?yàn)?/p>

        ①當(dāng)即時(shí)

        在R上單增適合題意

        ②當(dāng)即時(shí)

        令得

        當(dāng)是減函數(shù)不合題意

        所以b取值范圍是,b最大值為2.

        方法總結(jié):本題端點(diǎn)函數(shù)值為零,然后通過(guò)整體思想或者換元,轉(zhuǎn)化為討論二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題。

        例3(2020全國(guó)理科) ? 已知函數(shù)

        (1)當(dāng)時(shí) 討論f (x)的單調(diào)性

        (2)當(dāng)時(shí) ,求的取值范圍.

        (1)略

        分析(2)若令

        觀察到:即。所以可以轉(zhuǎn)化為討論,說(shuō)明即可,但是幾次求導(dǎo)后不能轉(zhuǎn)化為上面的題型,討論單調(diào)性。因此需先把原題變形一下:即。

        分析:令,觀察端點(diǎn)函數(shù)值 ,即,所以只需討論,說(shuō)明g (x)在(0,+∞)單減即可

        簡(jiǎn)解:

        ①當(dāng)即時(shí)

        g (x)為增函數(shù)時(shí)不合題意

        ②當(dāng)即時(shí)

        單減

        單減極大值

        由要使只需

        由解得

        ③當(dāng)即時(shí) ? ?因?yàn)?/p>

        可以說(shuō)明當(dāng) ? 恒成立

        也可以直接說(shuō)明

        時(shí)

        綜上的取值范圍是

        方法總結(jié):本題雖說(shuō)符合這種解法,但是沒(méi)法直接討論其單調(diào)性,需要變形后再討論。適當(dāng)?shù)淖冃问顷P(guān)鍵。

        二、對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類,在每一類下說(shuō)明不等式是否恒成立。

        這種題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),一是參數(shù)的范圍如何劃分,二是怎么說(shuō)明不等式是否成立,說(shuō)明不成立,找到特值或區(qū)間,說(shuō)明成立需要進(jìn)行征明,可能用到兩個(gè)小不等式的放縮。

        如4(15年四川高考)已知函數(shù)

        討論f (x)的單調(diào)性

        試確定a的值,使得在區(qū)間(1,+∞)恒成立

        過(guò)程略①單增

        ②時(shí)是增函數(shù), 是減函數(shù)

        (2)分析:若令雖說(shuō)

        即:時(shí),恒成立但無(wú)法討論,說(shuō)明g (x)的單調(diào)性

        簡(jiǎn)解:1°當(dāng)時(shí)

        而即

        不成立

        2°由(1)的結(jié)論可知:①當(dāng)即時(shí)

        由①知f (x)在單減

        所以而原式不成立

        ②當(dāng)即時(shí)(說(shuō)明g (x)單增即可)

        在(1,+∞)是增函數(shù)

        所以:當(dāng)適合題意

        取值范圍是

        方法總結(jié):由根據(jù)單調(diào)區(qū)間對(duì) 進(jìn)行了分類然后在每一類下,進(jìn)行說(shuō)明或證明,其中證明時(shí)用到放縮①

        如5.(2020全國(guó)高考)已知函數(shù)

        (1)時(shí)求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積。

        (2)若求的取值范圍

        簡(jiǎn)解:(1)略

        (2)

        在是增函數(shù)

        ①當(dāng)時(shí) 不成立

        ②當(dāng)時(shí)是增函數(shù),且f '(1)=0

        ,f (x)單減,f (x) ?單增

        所以 所以恒成立

        ③當(dāng)時(shí)

        使即

        f (x)單減

        f (x)單增

        時(shí) 恒成立

        綜上的取值范圍是

        方法總結(jié):本題根據(jù)的正負(fù)對(duì)進(jìn)行分類,而說(shuō)明成立,相當(dāng)于隱零點(diǎn)求最值,當(dāng)然本題也有其它簡(jiǎn)單的解法。

        以上就是我對(duì)恒成立問(wèn)題的兩種解法的總結(jié),當(dāng)然恒成立問(wèn)題,靈活多變,綜合性強(qiáng)。在掌握基本方法的前提下,觀察式子特點(diǎn),通過(guò)化歸思想,轉(zhuǎn)化為熟知的類型。

        參考文獻(xiàn)

        [1]楊秀.一類恒成立問(wèn)題的解法探究[J].中學(xué)生理科應(yīng)試 2020(08):8-9.

        [2]洪汪寶.一道恒成立問(wèn)題的多種求解策略[J].中學(xué)生數(shù)理化(高二使用) 2020(Z1):72-73.

        [3]何成寶.淺談不等式恒成立問(wèn)題的類型及其求解策略[J].中學(xué)生數(shù)理化(高二使用) 2020(Z1):80-81.

        [4]周亮.高中數(shù)學(xué)含參不等式恒成立問(wèn)題解題策略[J].試題與研究 2020(18):24.

        [5]曹彬.一個(gè)函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的兩種解法[J].數(shù)理化解題研究 2020(16):49-50.

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