楊麗嫻

【摘要】數(shù)少形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。數(shù)與形是數(shù)學(xué)世界的兩大基礎(chǔ)之石，而兩者之間既彼此獨立，又相互關(guān)聯(lián)，呈現(xiàn)出彼此交融呼應(yīng)的關(guān)系。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)問題，均可以從數(shù)與形的轉(zhuǎn)換、提煉及演變中切入。文章結(jié)合教學(xué)工作經(jīng)驗，從以數(shù)導(dǎo)形、以形助數(shù)兩個方面，淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用。敬陳管見，以期拋磚引玉。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;應(yīng)用策略

數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用，可有效釋放數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力，讓學(xué)生們感受到數(shù)學(xué)的豐富與有趣，從而點燃學(xué)生們的學(xué)習(xí)熱情。數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用，有利于驅(qū)動學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生們將已學(xué)的幾何知識、數(shù)量知識融會貫通，從而達(dá)到舉一反三的良好狀態(tài)。數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用，能極大拓展學(xué)生們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)視角。學(xué)生們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，可通過應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，從“因”找“果”，由“果”找“因”，讓學(xué)生們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加多元與高效。在具體的教學(xué)活動中，教師在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法時，應(yīng)遵循數(shù)形結(jié)合思想的思維類型，循循善誘，幫助學(xué)生們掌握數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用方法，從而達(dá)到“不教”的根本目的。

1、以數(shù)導(dǎo)形

借助于數(shù)量關(guān)系，從而推導(dǎo)出圖形的“樣貌”，以圖形的大小、形狀、特征等，直觀而具體的映射出需要求解的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而可快速加以計算，減少誤差，提高學(xué)生們的解題效率，讓學(xué)生們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得自信且快樂。事實上，在高中學(xué)習(xí)中，學(xué)生們學(xué)習(xí)的大量知識點，如函數(shù)中的三角函數(shù)、常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等等，都可以通過數(shù)量關(guān)系，或者是函數(shù)中出現(xiàn)的關(guān)鍵信息，在搜集、判斷、提煉、整合后，轉(zhuǎn)化為圖形，以圖形加以判斷、歸類、推理、計算，刪繁就簡，降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度。比如說，函數(shù)f（x）=2x+3在[2，5]上的最大值和最小值。最值問題，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中司空見慣的問題。求解函數(shù)的最值，乃至于對于函數(shù)模塊知識的學(xué)習(xí)，對于學(xué)生們來說可謂“幾家歡喜幾家愁”。有的學(xué)生不善于應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“按部就班”的加以計算，或者是通過“代入式”的方法展開計算，這不但導(dǎo)致學(xué)生們在函數(shù)知識學(xué)習(xí)中費時費力，且產(chǎn)出效益不大，錯誤率居高不下。

不難想象，當(dāng)學(xué)生們對題目投入大量時間和精力，其結(jié)果卻是錯誤的，這無疑極大打擊到學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣，有的學(xué)生不善于情緒調(diào)節(jié)，有的學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)的柔韌性，在學(xué)習(xí)中受阻后，難免自怨自艾，或否定自我，或畏懼?jǐn)?shù)學(xué)。其實，通過簡單的圖形轉(zhuǎn)換，如圖1所示，可一目了然看出函數(shù)具有單調(diào)遞增性，因此，在[2，5]內(nèi)，在x=2時，函數(shù)取得最小值;當(dāng)x=5時，函數(shù)取得最大值。在具體的教學(xué)活動中，無論是簡答的題目，還是較為復(fù)雜的題目，都應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生們學(xué)會從數(shù)量關(guān)系中畫出草圖，以數(shù)助形。讓學(xué)生們養(yǎng)成畫圖分析的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，這對于學(xué)生們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深入利莫大焉。除函數(shù)外，方程類知識點，如直線方程、圓的方程、圓錐曲線等，統(tǒng)計、概率知識，空間幾何體等重點內(nèi)容的學(xué)習(xí)，都離不開數(shù)形結(jié)合思想的有效應(yīng)用。

2、以形助數(shù)

以形助數(shù)，顧名思義，通過圖形對數(shù)量關(guān)系加以研究，讓數(shù)量關(guān)系變得直觀具體。相對來說，以形助數(shù)難度較以數(shù)導(dǎo)形更大一些，需要學(xué)生們具有一定的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力，抽象思維能力和創(chuàng)新能力。比如說，在集合知識的學(xué)習(xí)中，出現(xiàn)以下題目：三年二班共有50名同學(xué)參加學(xué)校組織的甲、乙兩項競賽活動，每人至少參加其中一項。其中，參加甲項的同學(xué)有30名，而參加乙項的學(xué)生有25名。那么，僅僅參加一項競賽活動的學(xué)生共有多少人？對于這個題目，學(xué)生們在常規(guī)思維作用下，一般是設(shè)置未知數(shù)x表示參加甲乙兩項的學(xué)生，列出計算式：（30-x）+x+（25-x）=50，求得x=5。當(dāng)然，這個問題不算復(fù)雜，學(xué)生們即便不借助圖形，一樣可以快速解答。但是，對于復(fù)雜一些的題目，以形助數(shù)的價值就極大體現(xiàn)出來。且通過以數(shù)助形，還可以對解題過程加以檢驗，從而讓整體題目都變得“清晰”起來。

比如說：一個公司有48人，都參加公司舉辦的趣味性小活動，活動分為A、B、C三項，每人至少參加其中一項。報名結(jié)果統(tǒng)計下來，參加A項的員工28人，參加B項的員工25人，參加C項的員工15人。同時參加AB兩項的員工8人，同時參加AC兩項的員工6人，同時參加BC兩項的員工7人。請問，參加ABC三項的員工有幾人？對于這個題目，有的學(xué)生不假思索，套用公式，以P為全集：P（A）+P（B）+P（C）-P（A∩B）-P（A∩C）-P（B∩C）+P（A∩B∩C）=48，因此，28+25+15-8-6-7+P（A∩B∩C）=48，求得P（A∩B∩C）=1。果然如此嗎？學(xué)生們沒有應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，盲目套用公式，使得運算結(jié)果出錯。而畫出圖形，如下圖2，我們可以將計算的結(jié)果代進(jìn)去，再反過來加以驗算。此時，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)P（A∩B∩C）=1時，僅僅參加A項活動的員工為13人，僅僅參加B項活動的員工為9人，僅僅參加C項活動的員工為1人。而公司開展的活動，按照圖2所示，一共可劃分為7種項目，這樣一來，求得公司總?cè)藬?shù)是45人，并非48人?？此铺子霉搅⒖痰贸龅拇鸢?，其實在應(yīng)用圖形分析后，不能反推，這就說明公式的套用存有缺漏之處，亦或者題目的設(shè)置出現(xiàn)問題。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能正向求解，亦能反向推理，這才能真正的分析問題，深入了解問題。

結(jié)語：以數(shù)導(dǎo)形，以形助數(shù)，隨著學(xué)習(xí)的深入最終發(fā)展為數(shù)形變換，這對于學(xué)生們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意義重大。在具體的教學(xué)活動中，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生們實事求是，嚴(yán)謹(jǐn)客觀，善思善問的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，助力學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的長遠(yuǎn)發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].胥婷.數(shù)學(xué)大世界（中旬）.2021（03）.