摘? 要：為落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，整合教材資源，以人教A版教材中“函數(shù)的應用（一）”為例設計并實踐了“情境—模型—情境”型教學模式，并對應用問題的教學提出了一些建議：整合資源，用教材教;構(gòu)建情境，用問題教.

關(guān)鍵詞：應用問題;問題情境;教學設計

一、問題提出

核心素養(yǎng)是本次課改的關(guān)鍵詞，指新時代的公民必須具備的人格品質(zhì)及關(guān)鍵能力，是落實“立德樹人”的重要標尺. 為落實立德樹人根本任務、發(fā)展素質(zhì)教育，最新修訂的《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）中提到“情境”一詞158次. 同時，評價框架的第一個維度就是反映數(shù)學學科核心素養(yǎng)的四個方面，即情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思. 由此可見，“情境”在教學與評價中擁有舉足輕重的地位.

根據(jù)教學要求，如何創(chuàng)設合適的情境，使得學生經(jīng)歷其中，感悟知識和數(shù)學本質(zhì)，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)，成為一線教師亟待實踐的課題. 事實上，情境包括現(xiàn)實情境、數(shù)學情境和科學情境. 一般把應用問題中的情境狹義地理解為“現(xiàn)實情境”. 在蘇州市的新課程新教材研討活動中，筆者開設了題為“函數(shù)的應用（一）”的公開課，內(nèi)容選自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”），試圖將“情境創(chuàng)設和問題設計要有利于發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)”落到實處.

二、教學實踐

1. 學情分析

本節(jié)課的授課對象是江蘇省蘇州中學高一某班學生，學業(yè)水平在同年級中較為優(yōu)秀，學生思維比較活躍，筆者對學生情況十分熟悉. 在前期教學過程中，筆者較多通過現(xiàn)實情境或數(shù)學情境引入知識，學生對情境的抽象有較多基本活動經(jīng)驗.

“函數(shù)的應用（一）”主要是利用函數(shù)概念及其蘊涵的數(shù)學思想方法解決簡單的實際問題，教材中所選例題都是分段函數(shù)，也是給定數(shù)學模型的實際應用，為后續(xù)復雜的、需要根據(jù)實際背景建立數(shù)學模型的應用問題提供用函數(shù)解決實際問題的過程與方法.

2. 教學過程

（1）實際情境到數(shù)學模型的抽象.

師：同學們，在本章中，我們從實際問題出發(fā)，通過“求同存異”抽象出函數(shù)，此后研究函數(shù)的性質(zhì)，目的還是為了解決問題. 正如哲學上所說，從實踐到理論，從理論到實踐，如此不斷提高自己的認知水平. 在本章的學習即將結(jié)束時，我們來看一個實際問題，即教材第94頁的例2，請認真審題.

（1）求圖1中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義;

（2）假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為[2 004 km]，試建立行駛這段路程時汽車里程表讀數(shù)[s]（單位：km）與時間[t]的函數(shù)解析式，并畫出相應的圖象.

師：很好！其實本圖是速率[v]隨時間[t]的變化而變化的函數(shù)圖象，是函數(shù)表示方法中的一種，從中可以解讀到函數(shù)的很多信息. 此外，要建立函數(shù)關(guān)系，就需要理清多個變量之間的關(guān)系，如時間[t]、速率[v]、行駛路程[S]、里程表讀數(shù)[s].

生2：由于[s=S+2 004]，因此只需要解決行駛路程的問題. 在第（1）小題的啟示下，只需要計算[t]時刻圍成圖形的面積，應該要分段，所得函數(shù)圖象如圖2所示.

以下過程略.

【設計意圖】函數(shù)的應用，可以狹義地理解為“實際應用”，即建構(gòu)問題情境中的數(shù)學模型，從而解決相應問題. 通過該例題，可以明確應用問題的常規(guī)解題步驟，即確定研究變量、探尋變量關(guān)系、解決數(shù)學問題、回顧問題情境，從而幫助學生學會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律. 同時，函數(shù)的應用也可以看成本章的復習課，故應該涉及函數(shù)的各個方面，該例題提供了函數(shù)表達方式的轉(zhuǎn)化，即圖象與解析式的相互轉(zhuǎn)化，從而讓學生明白要根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆绞奖硎竞瘮?shù)，理解函數(shù)圖象的意義.

（2）數(shù)學模型到問題情境的構(gòu)建.

變式：為配合公安部“一盔一帶”行動，守護駕乘人員安全，某電動車生產(chǎn)廠家對剎車系統(tǒng)進行了改造. 在一次測試中，正常行駛速度為[10 m / s]的電動車經(jīng)過某級剎車系統(tǒng)后，5[s]內(nèi)勻減速到停止，即速度為[0 m / s].

【設計意圖】承接例題的模型，變式需要研究函數(shù)的性質(zhì)與最值解決現(xiàn)實問題，體現(xiàn)了函數(shù)在實際問題中的應用. 同時，所構(gòu)建的二次函數(shù)模型恰好呼應了函數(shù)概念中所需要探尋的問題情境，從而呼吁學生探尋更多問題情境，即培養(yǎng)學生的“問題意識”和“提問能力”，也是讓學生能夠從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學模型，同時根據(jù)數(shù)學模型去構(gòu)建現(xiàn)實情境，即通過這樣的“來回”，了解問題提出和問題解決的路徑.

（3）問題情境與數(shù)學模型的轉(zhuǎn)化.

師：我們經(jīng)歷了從現(xiàn)實情境抽象出數(shù)學模型，也嘗試了根據(jù)數(shù)學模型構(gòu)建出現(xiàn)實情境，關(guān)鍵在于理清變量之間的關(guān)系，構(gòu)造目標函數(shù)，解決數(shù)學問題. 再次回到實際問題，請看教材第102頁的復習參考題3的第13題.

師：該問題的情境是數(shù)學中幾何圖形的面積，抽象出的數(shù)學模型是分段函數(shù). 在前面的例子中，現(xiàn)實情境可以抽象出數(shù)學問題，也可以再次建構(gòu)現(xiàn)實情境. 該題是從數(shù)學情境中抽象出數(shù)學問題，可以賦予什么樣的現(xiàn)實情境呢？

生10：可以構(gòu)建一輛車先勻加速運動再勻減速運動直至停止的現(xiàn)實情境.

師：這是一個很好的情境，只是要根據(jù)數(shù)據(jù)加以調(diào)整. 從例題到變式再到練習，都可以賦予運動的情境，即使用[v-t]函數(shù)構(gòu)建[s-t]函數(shù). 試想一下：如何求變速運動的路程呢？這個問題留給大家課后思考.

【設計意圖】原來的情境是幾何背景，抽象出的模型是分段函數(shù)，再次構(gòu)建的問題情境是物理背景. 結(jié)合上述兩個物理背景問題，可以抽象概括出一個數(shù)學模型——[v-t]坐標系中函數(shù)圖象與坐標軸所圍成的面積是路程，從而提出新問題，即如何計算曲邊梯形的面積？重新審視整節(jié)課，不難發(fā)現(xiàn)：微積分的基本思想已經(jīng)悄悄埋入學生的知識體系中，為學生將來學習積分提供了很好的數(shù)學活動經(jīng)驗.

三、教學反思

在教學設計時，筆者根據(jù)《標準》所提倡的理念，研究教材內(nèi)容，整合教學資源來組織教學. 通過教學實踐，對應用問題的教學又有了新的認識，給出如下建議.

1. 整合資源，用教材教

章建躍博士對此課進行點評時說：“人教A版教材的訓練體系是‘練習—習題—復習參考題’，授課者充分利用了教材上的例題、練習題、復習參考題中的問題，關(guān)注到了教材的整體性.”事實上，教材中最好的、也最值得珍惜的就是例題和習題，筆者在備課時的想法就是“用好教材”，即整合教材資源、明確思維主線，努力解決明確的問題. 筆者曾提出復習課的教學設計要用“一個對象”貫穿，移植到新授課的教學，也采用了“一個對象”貫穿，即由“[v-t]函數(shù)”研究“[s-t]函數(shù)”，讓學生強化模型意識，形成正向的思維定勢，同時也悄悄埋下“積分”的種子.

在教材中選用例2，搭建勻減速運動的情境，抽取二次函數(shù)的模型，鏈接教材中的練習，繼而讓學生探索該模型的情境，最后選用復習參考題中類似幾何背景的問題，再次回扣并構(gòu)建運動學中勻加速再勻減速的情境. 如此，從情境到模型，再從相似情境到模型，探索情境;從模型到情境，再探索情境，試圖讓學生能夠在問題情境中抽象出數(shù)學模型，也能根據(jù)數(shù)學模型去構(gòu)建問題情境. 類比概念來說，理解問題情境是數(shù)學模型的外延，數(shù)學模型是問題情境的內(nèi)涵，因此我們要能透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，以期實現(xiàn)《標準》所提出的“在情境中”的要求. 在實踐過程中，也會發(fā)現(xiàn)學生對例題的認識較為陌生，研究變式之后，對練習的處理是極其迅速的，可見這樣的設計是有效果的.

2. 構(gòu)建情境，用問題教

《標準》對“情境與問題”進行解讀：情境主要是指現(xiàn)實情境、數(shù)學情境和科學情境;問題是指在情境中提出的數(shù)學問題. 事實上，我們不僅要能夠在情境中解決問題，還要學會從情境中提出問題，這是《標準》所提出的“四能”之一;同時“問題意識”也是創(chuàng)新能力的一種體現(xiàn).

在本節(jié)課中，筆者基于教材中的問題，設計了“構(gòu)建情境”的教學活動，旨在回應教材，也為實踐理念，但從課堂的效果來看并不是十分理想. 教材中的“探究”問題在教學前已經(jīng)布置給學生，但從作業(yè)情況來看，學生的思維具有很強的局限性，僅能列舉物理學中運動的情境. 從課堂教學實踐來看，學生沒有表現(xiàn)出很強的積極性，需要教師點名，個別學生才分享自己構(gòu)建的案例. 由此可見，“構(gòu)建情境”的問題意識不是一蹴而就的，需要對學生進行“小步子慢節(jié)奏”的培養(yǎng).

誠如章建躍博士所言，知識不是講會的，而是做會的，所以一定要讓學生自己做，讓學生有機會獨立面對問題，即教學中需要讓學生經(jīng)歷更多的活動. 因此，教師要不斷“放手”，學生要反復“動手”，才能讓學生打破自己的思維局限，變被動解題為主動提問，實現(xiàn)將情境與模型自由轉(zhuǎn)化，進而更好地應用數(shù)學，更深入地理解數(shù)學.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

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