張廣民 康玥 任倩

摘? 要：以“概率與頻率”一課為例，借助GeoGebra軟件，設(shè)計(jì)了對頻率與概率意義的直觀認(rèn)識、通過試驗(yàn)認(rèn)識頻率的穩(wěn)定性、認(rèn)識頻率與概率的本質(zhì)區(qū)別、通過軟件模擬認(rèn)識頻率的穩(wěn)定性和用頻率估計(jì)概率的方法.在這個(gè)過程中，嘗試通過新的技術(shù)和理念提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：GeoGebra軟件;頻率;概率;探究與發(fā)現(xiàn)

人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（必修）》（以下統(tǒng)稱“新教材”）第二冊“概率”一章，與人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)3（必修）》（以下統(tǒng)稱“舊教材”）“概率”一章來比，從小節(jié)安排，事件概念的引入、事件與事件的關(guān)系、概率的計(jì)算、概率的性質(zhì)及頻率與概率的關(guān)系都有較大的調(diào)整.

反思舊教材，對概率問題的研究對象是什么、研究的內(nèi)容是如何想到的、基本概念是怎么抽象的、概率的性質(zhì)是如何發(fā)現(xiàn)的等問題的重視程度不夠，造成學(xué)生“知道是什么但不知道怎么想”;而新教材從概率的研究對象入手，始終圍繞如何使學(xué)生獲得概率的研究對象、如何發(fā)現(xiàn)概率的研究內(nèi)容和方法等問題逐一展開探究，使學(xué)生通過具體的實(shí)際問題，能輕松地理解隨機(jī)事件的概率、概率的性質(zhì)及頻率與概率等問題. 尤其是頻率與概率這部分內(nèi)容，舊教材將其融入“隨機(jī)事件的概率”“概率的意義”當(dāng)中，而新教材則將其作為本章的最后一節(jié)獨(dú)立成節(jié)，更科學(xué)、更具體、更形象地講解頻率與概率. 更加突出“頻率與概率的關(guān)系”這一內(nèi)容的地位.

在這一節(jié)中，新教材分為“頻率的穩(wěn)定性”和“隨機(jī)模擬”兩個(gè)小節(jié)，都是通過具體實(shí)例貫穿全文. 在教學(xué)過程中，如果只是將新教材中的例子通過傳統(tǒng)的講解，很難達(dá)到理想的教學(xué)效果，而適當(dāng)通過信息技術(shù)手段，讓學(xué)生真正參與到模擬試驗(yàn)的過程中，才能使其感受到概率與頻率的具體聯(lián)系，有效提高學(xué)生的理解程度，進(jìn)而提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

“頻率與概率”是新教材必修第二冊第十章第三節(jié)的內(nèi)容，包含“頻率的穩(wěn)定性”和“隨機(jī)模擬”兩個(gè)小節(jié)，是在學(xué)習(xí)了第九章“統(tǒng)計(jì)”，以及第十章“隨機(jī)事件與概率”和“事件的相互獨(dú)立性”的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的.

2. 內(nèi)容解析

頻率和概率是在實(shí)際問題中應(yīng)用概率論研究的最有力的工具之一，在當(dāng)今的生產(chǎn)、生活甚至科研活動中，很多隨機(jī)問題的概率不能計(jì)算出來，往往要借助一定量的隨機(jī)試驗(yàn)，通過頻率來估計(jì)概率. 例如，一種新藥的有效率，就是通過臨床試驗(yàn)（往往是雙盲試驗(yàn)，目的是盡量減少主觀認(rèn)識對結(jié)果的影響）得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì). 而頻率的穩(wěn)定性正是這種估計(jì)的理論依據(jù)，是概率論的基礎(chǔ)，它說明隨機(jī)現(xiàn)象的背后有著必然的規(guī)律，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小是可以進(jìn)行度量的. 在這個(gè)理論基礎(chǔ)之上，利用當(dāng)前的信息技術(shù)來實(shí)現(xiàn)這樣的具體操作，即隨機(jī)模擬.

在初中階段，學(xué)生已經(jīng)利用頻率和概率的關(guān)系，通過大量重復(fù)試驗(yàn)，利用頻率估計(jì)概率，在這一節(jié)中我們還要研究為什么能用頻率來估計(jì)概率，進(jìn)而尋找它們的內(nèi)在聯(lián)系和理論背景. 從學(xué)生的認(rèn)知過程來看，這是在探究具體操作背后的數(shù)學(xué)原理，也進(jìn)一步理解了上一章“統(tǒng)計(jì)”中利用抽樣得到樣本來估計(jì)總體數(shù)字特征的合理性. 基于以上原因，確定本小節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別，用頻率估計(jì)概率和隨機(jī)模擬.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

本小節(jié)的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）通過具體的實(shí)例，利用動畫演示，體會頻率與概率的基本關(guān)系，認(rèn)識到如果事件[A]發(fā)生的概率比較大，那么在重復(fù)試驗(yàn)中，事件[A]發(fā)生得比較頻繁，因此事件[A]的頻率也比較大. 并能用比較嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言表達(dá).

（2）進(jìn)一步通過試驗(yàn)認(rèn)識頻率的穩(wěn)定性，經(jīng)歷具體的隨機(jī)試驗(yàn)，認(rèn)識到當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)較少時(shí)，頻率的波動比較大. 隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率的波動越來越小，逐漸穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)的附近，這個(gè)常數(shù)就是概率.

（3）認(rèn)識頻率與概率的本質(zhì)區(qū)別，對確定的隨機(jī)事件，其發(fā)生的可能性大小是客觀存在的，即事件的概率是唯一確定的一個(gè)數(shù)值. 而事件發(fā)生的頻率卻具有隨機(jī)性，試驗(yàn)次數(shù)不同，其頻率可能不同，即使試驗(yàn)次數(shù)相同，得到的試驗(yàn)頻率也可能不同.

（4）在實(shí)際的問題中，通過計(jì)算機(jī)模擬，利用頻率來估計(jì)概率.

2. 目標(biāo)解析

在本小節(jié)中，達(dá)成上述教學(xué)目標(biāo)的標(biāo)志如下.

（1）學(xué)生親自操作GeoGebra軟件的模擬試驗(yàn)：模擬一個(gè)不均勻骰子的投擲. 其中，每個(gè)面向上的概率事先給定，進(jìn)行重復(fù)的操作，觀察每個(gè)面向上的頻率，比較頻率的大小，并發(fā)現(xiàn)概率較大的其頻率也較大. 重復(fù)這樣的試驗(yàn)，驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論的普遍性，猜想出一個(gè)一般性結(jié)論.

（2）學(xué)生親自操作GeoGebra軟件的模擬試驗(yàn)：重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，統(tǒng)計(jì)正面向上的頻率. 通過比較不同試驗(yàn)次數(shù)得到的頻率，體會試驗(yàn)次數(shù)對頻率產(chǎn)生的影響. 觀察試驗(yàn)結(jié)果，由此歸納出一般的結(jié)論，并可以利用這個(gè)結(jié)論來估計(jì)一些隨機(jī)事件的概率.

（3）學(xué)生親自操作GeoGebra軟件的模擬試驗(yàn)：再回到投擲一個(gè)不均勻的骰子. 試驗(yàn)事先給定好某個(gè)面向上的概率，即某個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率是確定的. 在這個(gè)基礎(chǔ)上，重復(fù)固定次數(shù)的試驗(yàn)，觀察這個(gè)給定面向上的頻率. 通過試驗(yàn)歸納出頻率發(fā)生具有隨機(jī)性，并再一次體會頻率和概率之間的基本關(guān)系.

（4）利用前面得到的結(jié)論，通過GeoGebra軟件的模擬試驗(yàn)，利用蒙特卡羅法解決一些實(shí)際問題，體會這個(gè)方法是可以應(yīng)用到一些實(shí)際問題當(dāng)中的，包括科研、設(shè)計(jì)、風(fēng)險(xiǎn)控制等.

三、教學(xué)問題診斷分析

雖然在小學(xué)和初中學(xué)生就接觸到了概率和統(tǒng)計(jì)，但由于概率和統(tǒng)計(jì)的思想與其他內(nèi)容差別較大，因?qū)W生此對其理解并不全面、透徹. 另外，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計(jì)的時(shí)候，只是掌握了一些操作層面的內(nèi)容，對其原理并不了解. 當(dāng)然，概率和統(tǒng)計(jì)兩者之間有很大的區(qū)別，但又有極其密切的聯(lián)系，學(xué)生在初學(xué)的過程中不易體會到，從而使得學(xué)習(xí)概率的過程中只記結(jié)論不想原理. 在本小節(jié)的教學(xué)過程中，要讓學(xué)生在掌握知識的同時(shí)，體會隨機(jī)現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原理，讓學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)知、聯(lián)系、理解的不同層次. 另外，概率問題總是以一些具體的隨機(jī)事件為背景，與實(shí)際問題聯(lián)系緊密，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).

為此，教師應(yīng)該將問題分析透徹，盡量用形象的形式來體現(xiàn)，幫助學(xué)生通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出頻率與概率之間的聯(lián)系，再通過試驗(yàn)驗(yàn)證歸納的結(jié)論，并引導(dǎo)學(xué)生利用發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解決一些具體的問題.

四、教學(xué)技術(shù)條件分析

技術(shù)是為教學(xué)目的服務(wù)的. 概率和統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)都離不開數(shù)據(jù)，如果僅用筆紙?zhí)幚頂?shù)據(jù)會相對枯燥，也不容易發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)背后的聯(lián)系，同時(shí)會占用大量的時(shí)間，而計(jì)算機(jī)可以彌補(bǔ)這方面的不足. 研究頻率與概率的聯(lián)系，需要大量重復(fù)的試驗(yàn)，計(jì)算機(jī)恰好可以發(fā)揮它的優(yōu)勢. 因此，對于這一節(jié)內(nèi)容，用好信息技術(shù)對于學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)、探究、理解和接受頻率與概率的關(guān)系非常重要. GeoGebra軟件作為目前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)常用軟件，在這方面具有一定的優(yōu)勢，可以達(dá)到較為理想的效果.

本小節(jié)的教學(xué)需要使用GeoGebra軟件制作相應(yīng)的小程序，由學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立的試驗(yàn).

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 通過試驗(yàn)，初步體會頻率與概率的關(guān)系

問題1：已知一個(gè)不均勻骰子從1到6這六個(gè)面向上的概率分別為[0.1]，[0.2]，[0.2]，[0.3]，[0.1]，[0.1]，現(xiàn)重復(fù)投擲[5 000]次.

（1）是不是點(diǎn)數(shù)1向上發(fā)生的次數(shù)比點(diǎn)數(shù)2向上發(fā)生的次數(shù)少？

（2）將投擲次數(shù)修改為50，再重復(fù)進(jìn)行這樣的試驗(yàn)，有沒有什么不同的結(jié)果？

（3）通過以上兩次試驗(yàn)，試解釋下面的問題：某隨機(jī)事件[A]的概率較大，其發(fā)生的頻率會有什么特征？反之，其發(fā)生的頻率較大，則它的概率是否也較大？這個(gè)結(jié)論與試驗(yàn)次數(shù)有何關(guān)系？

預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生會有兩種不同的觀點(diǎn). 其一，因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)2向上的概率比點(diǎn)數(shù)1向上的概率更大，因此其頻率也會更大一些;其二，因?yàn)橥恩蛔?，哪一個(gè)點(diǎn)數(shù)向上是隨機(jī)的，因此不一定點(diǎn)數(shù)[2]向上的頻率更大. 這個(gè)問題可以讓學(xué)生先討論，然后利用GeoGebra軟件的模擬試驗(yàn)來實(shí)際操作，如圖1所示.

因?yàn)槊恳晃粚W(xué)生都做這個(gè)試驗(yàn)，因此全班相當(dāng)于做了班級人數(shù)次的試驗(yàn)，如40人. 可以問一問大家，有沒有誰的點(diǎn)數(shù)1向上的次數(shù)大于點(diǎn)數(shù)2向上的次數(shù)？理論上，不會出現(xiàn)這種情況.

然后鼓勵(lì)大家點(diǎn)擊“重復(fù)試驗(yàn)”，每一位學(xué)生又可以重復(fù)試驗(yàn). 一般地，也不會出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1向上的次數(shù)大于點(diǎn)數(shù)2向上的次數(shù)的情況.

有的學(xué)生還會提出質(zhì)疑：畢竟是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，按說點(diǎn)數(shù)1向上的次數(shù)當(dāng)然有可能大于點(diǎn)數(shù)[2]向上的次數(shù)呀？為什么會沒有出現(xiàn)呢？教師應(yīng)該鼓勵(lì)這樣的學(xué)生，并適時(shí)提出第（2）小題，讓學(xué)生減少投擲的次數(shù)，如將其改為50再試一下. 圖2就是其中一次試驗(yàn)的結(jié)果. 可以看出點(diǎn)數(shù)1和點(diǎn)數(shù)2面向上的次數(shù)是一樣的，點(diǎn)數(shù)6向上的次數(shù)大于點(diǎn)數(shù)2向上的次數(shù). 但是要注意，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種情況之后，教師最好追問：這樣的情況多嗎？估計(jì)有的學(xué)生會自己調(diào)整投擲次數(shù)，如調(diào)整為100，500等. 也可以讓這些學(xué)生說一說自己的發(fā)現(xiàn). 當(dāng)然，教師也可以鼓勵(lì)學(xué)生自己動手修改試驗(yàn)中的數(shù)據(jù)，自己來試一試.

這時(shí)，教師可以提出第（3）小題，對第（1）（2）兩個(gè)小題進(jìn)行總結(jié). 通過投擲次數(shù)的不同（第一次試驗(yàn)投擲[5 000]次，第二次試驗(yàn)投擲50次）的試驗(yàn)，回答提到的幾個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出頻率與概率意義的直觀認(rèn)識. 知道頻率是描述事件發(fā)生的頻繁程度，概率是事件發(fā)生的可能性大小的度量. 一般地，如果事件[A]發(fā)生的概率較大，那么在重復(fù)試驗(yàn)中，事件[A]發(fā)生得比較頻繁，因此事件[A]發(fā)生的頻率一般也比較大. 反之，在重復(fù)試驗(yàn)中，事件[A]發(fā)生的頻率較大，說明該事件發(fā)生的概率也較大. 當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)比較大時(shí)（如第一次試驗(yàn)中的[5 000]次），這個(gè)結(jié)果會更加穩(wěn)定，試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)（如第二次試驗(yàn)中的50次），可能會有偏差.

【設(shè)計(jì)意圖】通過一個(gè)形象的試驗(yàn)，產(chǎn)生對頻率與概率的意義的直觀認(rèn)識，體會隨機(jī)事件中的必然規(guī)律.

2. 認(rèn)識頻率的穩(wěn)定性

問題2：獨(dú)立完成下面的試驗(yàn). 試驗(yàn)分為三組，每組分別投擲20次、100次和500次硬幣（試驗(yàn)次數(shù)可以自己調(diào)整），每組都進(jìn)行12次這樣的試驗(yàn)，通過不同的折線顯示每組試驗(yàn)中正面向上的頻率. 中間的虛線是一枚硬幣正面向上的概率（0.5）.

（1）在每組試驗(yàn)中，頻率是不是一樣的？為什么？

（2）頻率和概率有怎樣的關(guān)系？

（3）投擲次數(shù)的多少對頻率的變化有什么影響？

（4）是不是試驗(yàn)次數(shù)較多時(shí)的頻率會比試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)的頻率更接近概率[0.5]？為什么？

預(yù)設(shè)的師生活動：教師先提出頻率與概率有聯(lián)系. 在大量試驗(yàn)中，一般兩個(gè)隨機(jī)事件中概率較大的事件發(fā)生的頻率也較大. 那么，對于一個(gè)隨機(jī)事件，其頻率和概率又有什么關(guān)系呢？以投擲硬幣的例子來看，如果投擲相同的次數(shù)，其頻率都是一樣的嗎？一般情況下，學(xué)生會認(rèn)識到由于是隨機(jī)試驗(yàn)，因此其結(jié)果可能是不一樣的. 如果學(xué)生沒有認(rèn)識到，那么教師可以先讓學(xué)生自己動手進(jìn)行試驗(yàn)，得到結(jié)論，再分析原因.

教師再提出第（2）小題，并由學(xué)生自己動手進(jìn)行第一組試驗(yàn)，得到如下類似結(jié)果，如圖3所示.

通過多次試驗(yàn)，折線圖畫出了每一次（圖中的每一次表示投擲硬幣20次）試驗(yàn)正面向上的頻率. 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)頻率會在概率的附近擺動.

然后，提出第（3）小題，并帶著這個(gè)問題完成試驗(yàn)中后兩組的操作，得到類似圖4的結(jié)果.

通過試驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出如下結(jié)論：從整體來看，頻率在概率[0.5]附近波動. 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，波動幅度較大;當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，波動幅度較小. 但是，從圖中和數(shù)據(jù)表中可以看出，試驗(yàn)次數(shù)較多時(shí)，其頻率與概率的差距不一定比試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)的小. 例如，圖4中每組的第7次試驗(yàn)，投擲100次硬幣的頻率與投擲20次硬幣的頻率相比，距離概率[0.5]的偏差就更大一些. 類似地，每組的第一次試驗(yàn)，投擲100次硬幣與投擲500次硬幣相比，100次的頻率比500次的頻率更接近概率. 但是，可以看出，投擲的次數(shù)越多，其頻率與概率發(fā)生較大偏差的可能性也就越小. 從圖4來看，次數(shù)較多的試驗(yàn)所對應(yīng)的折線會相對更加貼近于概率[0.5]. 實(shí)際上，解決第（3）小題的同時(shí)，第（4）小題也就解決了. 試驗(yàn)次數(shù)多時(shí)，其頻率不一定比試驗(yàn)次數(shù)少時(shí)更接近概率，但是當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)更多時(shí)，其頻率的波動幅度小的可能性更大.

【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生自己動手試驗(yàn)來體會頻率在概率的附近擺動，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率的波動幅度比較大.

問題3：從上面的例子可以看出當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較多時(shí)，頻率的波動幅度較小. 那么，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率和概率又有怎樣的聯(lián)系呢？我們通過第三次模擬試驗(yàn)觀察：投擲一枚硬幣[1 000]次，繪制出隨投擲次數(shù)的變化對應(yīng)頻率的散點(diǎn)圖，如圖5所示. 觀察圖象的變化規(guī)律，提出自己的發(fā)現(xiàn).

預(yù)設(shè)的師生活動：教師可以打開模擬試驗(yàn)的界面，介紹試驗(yàn)的過程，讓學(xué)生先猜想一下結(jié)果如何. 學(xué)生討論之后，再讓學(xué)生進(jìn)行試驗(yàn)，來驗(yàn)證猜想或者否定猜想. 同時(shí)，結(jié)合第二次試驗(yàn)得到的結(jié)果來看第三次試驗(yàn)的結(jié)果. 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出如下規(guī)律：散點(diǎn)落在直線[y=0.5]的附近，即頻率在概率附近擺動;散點(diǎn)在最初始的時(shí)候波動幅度較大，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，波動幅度在縮小，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增加時(shí)，頻率的波動幅度越來越小，逐漸穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)附近，即概率的附近.

這時(shí)，教師可以繼續(xù)提出問題：在第二次試驗(yàn)中，提到試驗(yàn)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，因此試驗(yàn)次數(shù)較多時(shí)的頻率與試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)的頻率相比，不一定距離概率[0.5]的偏差就小，這個(gè)問題在這個(gè)試驗(yàn)中有所反映嗎？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)圖中的數(shù)據(jù)并不是隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加而更加接近[0.5]. 教師又可以提出問題：能說這個(gè)散點(diǎn)圖中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無限增加時(shí)，頻率會趨向于概率[0.5]嗎？根據(jù)前面的分析，我們知道這個(gè)說法是錯(cuò)誤的. 接著教師又可以問：那么隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率與概率有怎樣的關(guān)系呢？如果學(xué)生沒有總結(jié)出來，教師可以提示在第二次試驗(yàn)中我們提到投擲的次數(shù)越多，那么其頻率與概率發(fā)生較大偏差的可能性也就越小，從這一點(diǎn)出發(fā)，你能總結(jié)出什么規(guī)律？引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率偏離概率的幅度會縮小，即頻率會穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率，亦即頻率的穩(wěn)定性. 這正是雅各布·伯努利給出的著名的大數(shù)定律.

【設(shè)計(jì)意圖】通過這個(gè)問題和試驗(yàn)，讓學(xué)生鞏固由前面的問題得到的基本結(jié)論，并進(jìn)一步體會頻率穩(wěn)定性的特征，初步認(rèn)識頻率并非收斂于概率，而是依概率收斂于概率，體會大數(shù)定律.

3. 利用頻率的穩(wěn)定性，解釋一些實(shí)際問題

問題4：新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應(yīng)的男嬰數(shù). 通過抽樣調(diào)查得知，我國2014年、2015年出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51.

（1）分別估計(jì)我國2014年和2015年男嬰的出生率（新生兒中男嬰的比率，精確到0.001）;

（2）根據(jù)估計(jì)結(jié)果，你認(rèn)為“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷可靠嗎？

預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生先獨(dú)立完成第（1）小題. 對于第（2）小題，會有學(xué)生提出“生男孩和生女孩一定是等可能的”. 這時(shí)，教師要提示學(xué)生運(yùn)用我們剛剛學(xué)到的頻率與概率的基本關(guān)系，即利用頻率的穩(wěn)定性來解釋這個(gè)問題.

先提出這樣的問題：題目中給出的數(shù)據(jù)是通過抽樣調(diào)查得知，那么我們自然默認(rèn)這樣的抽樣過程是合理和正確的，因?yàn)檎{(diào)查的是全國的數(shù)據(jù)，因此也就認(rèn)為樣本應(yīng)該是大量的. 如果認(rèn)為“生男孩和生女孩一定是等可能的”，也就認(rèn)為男孩的出生率為0.5，換句話說，相當(dāng)于前面的模擬試驗(yàn)中的概率為0.5. 因此，在大量的試驗(yàn)中，得到的頻率值應(yīng)該穩(wěn)定在0.5附近，也就是說偏離0.5的概率很小. 該題中由（1）得到2014年男嬰出生的頻率為[0.537]，2015年男嬰出生的頻率為[0.532]，偏離[0.5]是比較大的. 可能有學(xué)生會提出問題，如何判斷[0.532]與[0.5]的偏差較大呢？這時(shí)，可以先通過前面的兩個(gè)試驗(yàn)來研究. 例如，第三次試驗(yàn)如圖6所示（這里在第三次試驗(yàn)的基礎(chǔ)上繪制了[0.5-][0.032≤y≤][0.5+0.032]的陰影區(qū)域，試驗(yàn)次數(shù)改為了[2 000]），可以看出當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較多時(shí)（在這個(gè)具體的試驗(yàn)中，大約試驗(yàn)次數(shù)超過200），頻率落在陰影區(qū)域內(nèi).

由前面總結(jié)的關(guān)系，我們知道當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增大時(shí)，頻率與概率發(fā)生較大偏差的概率越小，因此在這個(gè)具體問題中，[0.532]的頻率出現(xiàn)就是一個(gè)小概率事件了，更何況連續(xù)兩年的數(shù)據(jù)（2014年是[0.537]）都是這樣，我們就有理由懷疑概率為[0.5]是不正確的了.

另外，教師也應(yīng)該指出，我們現(xiàn)在的說理還是一種感性的認(rèn)識，具體的、更為科學(xué)的判斷方式還需要用統(tǒng)計(jì)學(xué)中假設(shè)檢驗(yàn)的方法進(jìn)行檢驗(yàn).

【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)例子會與學(xué)生的直觀認(rèn)識不同，通過這個(gè)例子培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)據(jù)說話”的科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，以及良好的用概率和統(tǒng)計(jì)知識分析和解釋問題的能力，讓學(xué)生體會概率和統(tǒng)計(jì)在實(shí)際問題中的作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概率和統(tǒng)計(jì)的興趣.

練習(xí)1：一個(gè)游戲包含兩個(gè)隨機(jī)事件[A]和[B]，規(guī)定事件[A]發(fā)生則甲獲勝，事件[B]發(fā)生則乙獲勝. 判斷游戲是否公平的標(biāo)準(zhǔn)是事件[A]和事件[B]發(fā)生的概率是否相等.

在游戲過程中，甲發(fā)現(xiàn)：玩了[10]次時(shí)，雙方各勝5次，但玩了[1 000]次時(shí)，自己才勝300次，而乙卻勝了700次. 據(jù)此，甲認(rèn)為游戲不公平，但乙認(rèn)為游戲是公平的. 你更支持誰的結(jié)論？為什么？

預(yù)設(shè)的師生活動：教師提出問題之后可以讓學(xué)生發(fā)表自己的觀點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)觀點(diǎn)需要有理論的支撐. 實(shí)際上，與前面投擲硬幣的試驗(yàn)類似，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少（如問題中的10次）時(shí)，頻率與概率的波動可能會比較大，特殊的情況容易發(fā)生. 但是當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較多（如問題中的[1 000]次）時(shí)，頻率與概率發(fā)生較大偏差的可能性是很小的，由此有理由認(rèn)為這個(gè)游戲是不公平的，應(yīng)該支持甲對游戲公平性的判斷.

【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)例子同樣是讓學(xué)生利用學(xué)到的頻率的穩(wěn)定性來解釋生活中的一些現(xiàn)象.

練習(xí)2：氣象工作者有時(shí)用概率預(yù)報(bào)天氣，如某氣象臺預(yù)報(bào)“明天的降水概率是90%. 如果您明天要出門，最好攜帶雨具”. 如果第二天沒有下雨，我們或許會抱怨氣象臺預(yù)報(bào)的不準(zhǔn)確. 那么如何理解“降水概率是90%”？又該如何評價(jià)氣象臺預(yù)報(bào)的結(jié)果是否準(zhǔn)確呢？

預(yù)設(shè)的師生活動：教師提出問題之后，仍然鼓勵(lì)學(xué)生從頻率的穩(wěn)定性角度分析這個(gè)問題. 實(shí)際上，降水概率是90%，表示在類似的氣象條件下，大約有90%的天數(shù)要下雨. 換句話說，在大量的相同條件下，即類似于進(jìn)行大量的試驗(yàn)，90%的降水概率可以看作隨機(jī)事件發(fā)生的概率為0.9. 我們想要判斷預(yù)報(bào)結(jié)果是否準(zhǔn)確，就相當(dāng)于檢測這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的概率是否為0.9. 如果成立的話，則在大量試驗(yàn)的情況下其頻率應(yīng)該穩(wěn)定在0.9附近. 但是就單獨(dú)的某一天，相當(dāng)于只做一次這樣的試驗(yàn)，出現(xiàn)不發(fā)生是完全可能的，不能說明這個(gè)概率的估計(jì)有錯(cuò)誤. 但是，也不能說明估計(jì)概率為0.9是正確的. 只有在大量的試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，如根據(jù)氣象臺預(yù)報(bào)的長期記錄，在類似的氣象條件下預(yù)報(bào)要降水的那些天（天數(shù)較多）里，大約有90%確實(shí)下雨了，才能判斷氣象臺的預(yù)報(bào)應(yīng)該是準(zhǔn)確的;如果真是降水的天數(shù)所占比例與90%差別較大，那么就可以認(rèn)為氣象臺的預(yù)報(bào)是不準(zhǔn)確的. 如同問題4，嚴(yán)格和科學(xué)的判斷還需要用統(tǒng)計(jì)學(xué)中假設(shè)檢驗(yàn)的方法進(jìn)行檢驗(yàn).

【設(shè)計(jì)意圖】練習(xí)1是讓學(xué)生體會在大量試驗(yàn)的基礎(chǔ)上用得到頻率來否定一個(gè)概率的推斷，練習(xí)2是讓學(xué)生體會在一次試驗(yàn)中（或較少的試驗(yàn)次數(shù)）發(fā)生的結(jié)果是不足以否定一個(gè)結(jié)論的. 這兩個(gè)練習(xí)都是可以用頻率的穩(wěn)定性來解釋的.

4. 通過模擬試驗(yàn)，估計(jì)隨機(jī)事件的概率

有些隨機(jī)事件我們沒有辦法或者很難求得其發(fā)生的概率，那么我們有沒有什么手段來估計(jì)其發(fā)生的概率呢？為什么？

教師可以提出這樣一個(gè)很實(shí)用的問題引導(dǎo). 這類問題在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、社會學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用. 例如，制藥公司研制一種新藥，療效如何？即治好的概率為多少？我們是不可能通過制藥過程進(jìn)行計(jì)算得到的. 眾所周知，其療效是通過臨床試驗(yàn)（往往是雙盲試驗(yàn)，避免心理上對治療效果的影響）統(tǒng)計(jì)出的結(jié)果. 實(shí)際上，這就是利用頻率的穩(wěn)定性，通過一定量的試驗(yàn)結(jié)果，用頻率估計(jì)概率的基本方法.

下面我們就通過幾個(gè)具體的實(shí)例，來進(jìn)一步體會用頻率估計(jì)概率的方法.

問題5：一個(gè)口袋裝有2個(gè)紅色球和3個(gè)藍(lán)色球，這些球除顏色外沒有其他差別. 我們知道，從中摸取一個(gè)球，其為紅球的概率是[0.4]. 下面我們通過模擬試驗(yàn)看看能不能用頻率估計(jì)出這個(gè)概率值.

預(yù)設(shè)的師生活動：教師可以先指出通過實(shí)際操作是可以的. 但是實(shí)際操作耗材、費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，現(xiàn)在我們有先進(jìn)的技術(shù)，可以通過計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬. 然后，教師可以先讓學(xué)生討論，給出一個(gè)實(shí)施的方案，教師再給出下面的實(shí)施方案，并與學(xué)生的方案進(jìn)行對比. 如果學(xué)生能提供更好的方案，教師可以在課下將其具體化，制作一個(gè)小程序?qū)崿F(xiàn)，并再一次進(jìn)行點(diǎn)評.

我們利用GeoGebra軟件實(shí)現(xiàn)這個(gè)隨機(jī)模擬，先定義一個(gè)列表[1，2，3，4，5]，其中1，2表示紅色球，3，4，5表示藍(lán)色球，然后在這個(gè)列表中隨機(jī)選取一個(gè)元素，判斷其大小，重復(fù)指定次數(shù)，統(tǒng)計(jì)取得元素小于等于2的頻率，以此來估計(jì)概率. 如圖7，左側(cè)代數(shù)區(qū)是小程序的制作過程. 這個(gè)試驗(yàn)可以反復(fù)進(jìn)行，也可以設(shè)定試驗(yàn)的次數(shù). 圖7中的試驗(yàn)，得到頻率為0.39，作為概率0.4的估計(jì)誤差很小. 教師還應(yīng)該指出，試驗(yàn)的次數(shù)不能太小，并讓學(xué)生解釋原因.

【設(shè)計(jì)意圖】通過一個(gè)簡單的實(shí)例，讓學(xué)生體會用概率估計(jì)頻率的基本方法. 這個(gè)問題的概率是顯而易見的，因此通過這個(gè)例子，可以讓學(xué)生在理論的基礎(chǔ)上，體會在實(shí)際問題中這種估計(jì)的合理性.

問題6：從你所在班級任選6名學(xué)生，調(diào)查他們的出生月份，假設(shè)出生在一月，二月，…，十二月是等可能的，設(shè)事件[A]為“至少有兩個(gè)人出生月份相同”，設(shè)計(jì)一種試驗(yàn)方法，模擬給定的次數(shù)，估計(jì)事件[A]發(fā)生的概率.

預(yù)設(shè)的師生活動：教師可以先問學(xué)生能不能求出事件[A]發(fā)生的概率. 學(xué)生在目前的認(rèn)知下是不會求解的. 教師可以提出，到了高二可以通過計(jì)算得到其概率，但是在很多實(shí)際問題中，通過計(jì)算求得概率是不可能或者不現(xiàn)實(shí)的. 利用問題5中的基本方法，通過計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬進(jìn)行大量試驗(yàn)得到的頻率來估計(jì)概率，然后讓學(xué)生思考和討論設(shè)計(jì)試驗(yàn)的方法.

與問題5類似，我們?nèi)匀煌ㄟ^GeoGebra軟件來實(shí)現(xiàn). 先創(chuàng)建一個(gè)從1到12的列表表示12個(gè)月，然后在其中隨機(jī)可重復(fù)選取6個(gè)元素代表選定的6個(gè)人所對應(yīng)的生日月份，判斷這6個(gè)元素是否有相同元素. 將這樣的試驗(yàn)重復(fù)給定的次數(shù)，統(tǒng)計(jì)出有相同元素發(fā)生的頻率，進(jìn)而得到概率的估計(jì)值. 圖8是GeoGebra軟件的試驗(yàn)截圖，左側(cè)是模擬試驗(yàn)的制作過程.

在圖8的試驗(yàn)中，試驗(yàn)次數(shù)為20次，這里得到的頻率為0.75，實(shí)際概率為[1-A612126≈0.78]. 實(shí)際上，因?yàn)?0次的試驗(yàn)次數(shù)并不多，因此得到的頻率相對不穩(wěn)定，全班學(xué)生去做的話，會有一些學(xué)生得到的結(jié)果偏離[0.78]很多. 教師可以讓學(xué)生調(diào)整一下試驗(yàn)次數(shù)再試一試，如調(diào)整為200次，如圖9所示.

【設(shè)計(jì)意圖】通過這個(gè)例題，讓學(xué)生體會在無法準(zhǔn)確求得概率的時(shí)候，隨機(jī)模擬是一個(gè)非常方便和實(shí)用的估計(jì)概率的方法. 同時(shí)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會頻率穩(wěn)定性的特征.

5. 梳理小結(jié)

問題7：通過本單元的學(xué)習(xí)，你能說出主要研究了什么內(nèi)容嗎？有什么樣的結(jié)論？我們是通過什么方法來研究它的？它有什么樣的實(shí)際作用？你能舉幾個(gè)通過這個(gè)方法研究的實(shí)例嗎？你能給出研究的具體過程嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生梳理本單元的基礎(chǔ)知識和處理問題的基本方法，應(yīng)用所學(xué)內(nèi)容解決一些具體的實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)概率和統(tǒng)計(jì)的興趣，以及用概率和統(tǒng)計(jì)知識解決實(shí)際問題的意識.

預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生自主總結(jié)，展示交流.

預(yù)設(shè)的結(jié)果：本單元主要研究隨機(jī)事件的頻率與概率的基本關(guān)系，即頻率的穩(wěn)定性. 由于所研究的事件是隨機(jī)事件，因此在重復(fù)試驗(yàn)的過程中，其發(fā)生的頻率也具有隨機(jī)性. 但是，隨機(jī)的背后有固定的規(guī)律，這也是變化中的不變關(guān)系. 從整體來看，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率波動較大，但是當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，其頻率波動幅度較大的概率很小，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增大，頻率會穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率. 利用這個(gè)原理，我們可以通過一定量的試驗(yàn)，利用頻率估計(jì)概率，也可以對生活中的一些隨機(jī)現(xiàn)象做出解釋. 我們通過隨機(jī)模擬試驗(yàn)來觀察前面得到的結(jié)論，也可以通過隨機(jī)模擬試驗(yàn)來實(shí)現(xiàn)對實(shí)際問題中隨機(jī)事件概率的估計(jì).

對于具體的實(shí)例，可以由學(xué)生討論并展示. 教師也可以布置下面的任務(wù)由學(xué)生在課下自主完成.

6. 自主研習(xí)

任務(wù)1：在一次奧運(yùn)會男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動員甲和乙進(jìn)入了決賽，決賽采用3局2勝制. 假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4. 設(shè)計(jì)隨機(jī)模擬試驗(yàn)，利用GeoGebra軟件或者其他軟件來估計(jì)甲獲得冠軍的概率.

【設(shè)計(jì)意圖】這是新教材中的例題. 作為自主研習(xí)的任務(wù)，是為了培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識和能力. 學(xué)生完成這個(gè)任務(wù)，可以再對照教材，自我檢查和教材處理方式的異同，以達(dá)到自我檢測的目的. 這也是教材例題使用過程中的一個(gè)嘗試.

任務(wù)2：在概率學(xué)習(xí)的過程中，有一個(gè)很有意思的問題：“生日相同問題”. 我們假設(shè)每一個(gè)人出生在一年中的365天中任何一天都是等可能的，那么你們班當(dāng)中，至少有兩個(gè)人生日相同的概率是多少？請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)模擬試驗(yàn)，班級人數(shù)可以設(shè)定（默認(rèn)40人），來估計(jì)一下這個(gè)概率. 再通過調(diào)整人數(shù)，估計(jì)一下班級大約至少有多少人就能使概率超過0.5？

【設(shè)計(jì)意圖】這是概率中的趣題，通過這個(gè)問題可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概率的興趣. 當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)得到的結(jié)果與自己的預(yù)估有很大差距時(shí)，也會意識到學(xué)習(xí)概率知識的必要性. 另外，這道題也是問題6的一個(gè)變化，可以讓學(xué)生鞏固在本單元中學(xué)到的知識和方法.

運(yùn)用GeoGebra軟件，得到圖10和圖11.

圖10是實(shí)現(xiàn)這個(gè)模擬試驗(yàn)的GeoGebra軟件的截圖，班級人數(shù)為40，試驗(yàn)次數(shù)為100時(shí)的結(jié)果，多次試驗(yàn)得到的頻率平均值為0.89，實(shí)際的概率為0.8912. 圖11是估計(jì)23人時(shí)的頻率，多次試驗(yàn)的頻率平均值為0.51，實(shí)際的概率為0.5073. 22人時(shí)多次試驗(yàn)的頻率平均值為0.48. 由此可以估計(jì)，班級人數(shù)在23人左右時(shí)，概率超過0.5.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.