王波鳳

摘? 要：對(duì)2020年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第18題的幾種解法進(jìn)行比較，分析學(xué)生在考場(chǎng)上的“失分”原因，并給出應(yīng)對(duì)策略及教學(xué)思考.

關(guān)鍵詞：高考試題;失分解法;應(yīng)對(duì)策略;教學(xué)思考

2020年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第18題屬于中檔題，主要考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓定義、向量數(shù)量積運(yùn)算、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與橢圓的位置關(guān)系，運(yùn)用的思想方法是數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和坐標(biāo)法. 該題滿分16分，但平均分只有10分左右，不少學(xué)生由于不能理解問(wèn)題的本質(zhì)，在第（2）小題中選擇了煩瑣或錯(cuò)誤的途徑導(dǎo)致“失分”. 針對(duì)此類狀況，教師應(yīng)該深入反思平時(shí)的教學(xué)過(guò)程，及時(shí)作出調(diào)整與改進(jìn).

一、試題再現(xiàn)及常見解法

二、解法比較及“失分”原因

1. 解法比較

解法1透過(guò)直線與橢圓這一載體，抓住向量數(shù)量積運(yùn)算的本質(zhì)，關(guān)注到[OP]的縱坐標(biāo)為0，直接設(shè)出點(diǎn)[P]和點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)，過(guò)程簡(jiǎn)潔明了. 經(jīng)抽樣調(diào)查，考場(chǎng)上用解法1的學(xué)生占了四分之一左右.

解法2比解法1繞了一步，先設(shè)出點(diǎn)[P]的坐標(biāo)，再用點(diǎn)[P]的坐標(biāo)表示出直線[AP]的方程，然后與準(zhǔn)線方程聯(lián)立算出點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)，從而得出所求數(shù)量積的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式（與解法1的形式一樣）. 實(shí)際上，由于[OP]的縱坐標(biāo)為0，[OP · QP]的值與點(diǎn)[Q]的縱坐標(biāo)無(wú)關(guān)，所以這種解法聯(lián)立直線方程求出點(diǎn)[Q]的縱坐標(biāo)實(shí)則多余.

解法3把直線[AP]的斜率[k]作為參數(shù)，表示出直線[AP]的方程，再用[k]表示出點(diǎn)[P]與點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)，最后得出向量數(shù)量積的函數(shù)表達(dá)式. 這種解法也沒有關(guān)注到[OP]的縱坐標(biāo)為0，目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式在形式上也比解法1和解法2的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜得多，既浪費(fèi)了時(shí)間又容易算錯(cuò). 從運(yùn)算的角度來(lái)看，沒有解法1和解法2簡(jiǎn)便.

解法4對(duì)平面向量數(shù)量積的概念有深刻的理解，利用向量數(shù)量積的幾何意義，把向量數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)的乘積的運(yùn)算，最后利用基本不等式求解最值，解法巧妙，運(yùn)算簡(jiǎn)單. 雖然思維要求高，但運(yùn)算量小，考場(chǎng)上用解法4的學(xué)生寥寥無(wú)幾. 正所謂“想得多而算得少，想得少而算得多”，那么解法4是如何想到的呢？其實(shí)只要回到數(shù)量積定義[OP · QP=OPQPcosOP， QP]就能發(fā)現(xiàn)[QPcosOP， QP=-PR]，即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模與其在另一個(gè)向量方向上的投影的乘積.

2.“失分”原因

學(xué)生答題時(shí)為什么會(huì)“失分”？其原因在哪里？

第一個(gè)原因是審題時(shí)不加思考就動(dòng)筆做，運(yùn)算能力欠缺. 用解法2或解法3的學(xué)生人數(shù)很多，即使運(yùn)算過(guò)程全對(duì)，在考場(chǎng)上多用時(shí)間就是“隱性失分”. 而且用解法3的學(xué)生在用斜率[k]表示數(shù)量積的函數(shù)表達(dá)式時(shí)出錯(cuò)的很多，即使表達(dá)式正確，換元配方后求最值結(jié)果正確的也不多，還有部分學(xué)生用導(dǎo)數(shù)方法求最值（解法2和解法3相關(guān)分式的分母中有字母，還需要進(jìn)一步分類討論），做得麻煩又表述不清，相關(guān)步驟一分未得，真是令人痛心！

第二個(gè)原因是對(duì)于數(shù)學(xué)概念理解不夠深刻，沒有掌握問(wèn)題的本質(zhì). 例如，本文高考題第（2）小題，點(diǎn)[A]是定點(diǎn)，影響[OP · QP]的關(guān)鍵要素就是動(dòng)點(diǎn)[P]的位置，而且只與橫坐標(biāo)有關(guān)，抓住這一點(diǎn)就能夠?qū)ふ业胶侠淼慕忸}途徑. 從本文高考題的多種解法中可以看出，選擇解法2和解法3的學(xué)生被問(wèn)題中的“直線[AP]與橢圓[E]的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)[Q]”蒙蔽了雙眼，看到“直線”兩字就馬上設(shè)出直線方程聯(lián)立方程組求解. 事實(shí)上，無(wú)論以哪種圖形為背景，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算中有時(shí)往往只涉及某個(gè)坐標(biāo). 解法4就是在深刻理解向量數(shù)量積的概念和幾何意義的基礎(chǔ)上抓住問(wèn)題本質(zhì)的好方法.

三、應(yīng)對(duì)策略

1. 教概念本質(zhì)，重理解能力

為什么多數(shù)學(xué)生想不到解法4？這與教師教學(xué)中“輕概念，重解題”有關(guān). 波利亞在《怎樣解題》一書中指出，你把題目中所有關(guān)鍵的概念都考慮到了嗎？你是怎樣應(yīng)用這些概念的？你用到它的意義、它的定義了嗎？回到定義上去是一項(xiàng)重要的思維活動(dòng)，教師在概念課的教學(xué)中要杜絕“一滑而過(guò)”的現(xiàn)象，千萬(wàn)不要重記憶、輕理解，不僅要讓學(xué)生理解概念產(chǎn)生的必要性，還要讓學(xué)生抓住概念的本質(zhì)，深刻理解概念，靈活運(yùn)用概念解題.

2. 重視解題方法的選擇和歸納

教學(xué)中，有時(shí)我們覺得學(xué)生就某一知識(shí)和方法應(yīng)該掌握了，也就不再深入分析了，解題方法沒有總結(jié)到位，學(xué)生雖然表面會(huì)了，但是一考就錯(cuò). 所以教師在平時(shí)的課堂教學(xué)中一定要重視解題方法的總結(jié)和歸納，指導(dǎo)學(xué)生解題前一定要有預(yù)判，要有選擇和比較，這樣就可減少不必要的運(yùn)算，從而提高解題速度，避免“失分”.

3. 注重知識(shí)間的聯(lián)系，創(chuàng)造性地改編練習(xí)題

教材是試題之源，教學(xué)中要用好教材，重視教材中知識(shí)的聯(lián)系. 例如，本文高考題考查的是解析幾何和向量的綜合知識(shí)，教學(xué)中一味孤立地教某個(gè)知識(shí)和某個(gè)方法就僵化了學(xué)生的思維. 雖然教材是按章節(jié)安排內(nèi)容的，每章內(nèi)容后的習(xí)題也是與相關(guān)知識(shí)對(duì)應(yīng)的，但是教師在平時(shí)的教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)造性地改編練習(xí)題，綜合各種背景知識(shí)靈活運(yùn)用.

例如，以下兩道題就可以作為本文高考題的變式.

學(xué)生在平時(shí)多練練類似的題目，到考場(chǎng)上就減少“失分”了.

四、幾點(diǎn)思考

在平時(shí)的教學(xué)中，以下幾點(diǎn)“功夫”教師必須做到位.

1. 培養(yǎng)學(xué)生的審題能力

不少學(xué)生由于平時(shí)作業(yè)多、時(shí)間緊，往往省去了認(rèn)真審題這一重要環(huán)節(jié)，養(yǎng)成了拿到題目就做的習(xí)慣，結(jié)果一做就錯(cuò). 想好了才做，是選擇正確方法的前提. 平時(shí)教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生如何審題，布置作業(yè)時(shí)要精而少，這樣學(xué)生才有時(shí)間養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣.

2. 訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范表達(dá)的能力

培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)和書寫，卷面字跡清楚，邏輯推理嚴(yán)密. 例如，本文中高考題的解法，求點(diǎn)[A]的坐標(biāo)前要說(shuō)明點(diǎn)[A]的位置（第一象限），寫直線方程時(shí)要交代斜率是否存在，等等. 只有規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)，才能避免“會(huì)而不對(duì)”“對(duì)而不全”導(dǎo)致的失分.

3. 加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力

為何選擇同樣方法的學(xué)生運(yùn)算時(shí)所用時(shí)間和運(yùn)算結(jié)果不一樣？還是運(yùn)算能力有差異. 要提升運(yùn)算素養(yǎng)，平時(shí)的作業(yè)練習(xí)盡量要求學(xué)生不用計(jì)算器，對(duì)遇到的煩瑣的運(yùn)算要細(xì)心、耐心和有信心. 要讓學(xué)生學(xué)會(huì)感受和比較不同的解法，在教學(xué)過(guò)程中教師要適時(shí)地介紹一些常規(guī)和簡(jiǎn)化的運(yùn)算方法，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算技能，讓學(xué)生珍惜每一次運(yùn)算機(jī)會(huì).

總之，教師應(yīng)該做到“在埋頭拉車的同時(shí)還要抬頭看路”，多反思平時(shí)的教學(xué)，多了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，把以上幾點(diǎn)“功夫”做扎實(shí)了，學(xué)生在考場(chǎng)上就不會(huì)“無(wú)謂失分”了.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐永忠. 重視基礎(chǔ)查素質(zhì)，關(guān)注創(chuàng)新考能力：2017年高考數(shù)學(xué)江蘇卷評(píng)析及啟示[J]. 中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2017（10）：49-54.