摘 要：本節(jié)課是高三一輪復(fù)習(xí)課，整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)是基于問題和基于學(xué)情進(jìn)行開展的，盡可能讓復(fù)習(xí)走向關(guān)聯(lián)與交匯，并通過追問與反思讓學(xué)生自主完成教學(xué)內(nèi)容.

關(guān)鍵詞：面面垂直;教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2021）12-0012-03

收稿日期：2021-01-25

作者簡介：鄧麗（1981.10-），女，四川省南充人，碩士，中學(xué)高級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

課型：一輪復(fù)習(xí)課.

一、教學(xué)內(nèi)容分析

1.考點(diǎn)分析

立體幾何中有關(guān)“線線、線面、面面”位置關(guān)系（平行與垂直）的證明是歷屆高考命題的熱點(diǎn). 而“線線、線面、面面”三個(gè)垂直關(guān)系在高考命題設(shè)計(jì)中多以面面垂直來呈現(xiàn)，主要以棱柱、棱錐為載體，經(jīng)常把三個(gè)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)作為考查的重點(diǎn).本考點(diǎn)對學(xué)生基本能力要求如下：

（1）能以相關(guān)的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)定理.

（2）會運(yùn)用線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)定理證明一些簡單空間圖形的垂直關(guān)系問題.

（3）靈活處理好“線線、線面、面面” 三種垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，為后續(xù)計(jì)算相關(guān)的角度問題與距離問題奠定邏輯推理基礎(chǔ)，積累邏輯推理經(jīng)驗(yàn).

2.重點(diǎn)與難點(diǎn)

線面垂直.

3.思想與方法涉及到數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想和類比、歸納、轉(zhuǎn)換與化歸等數(shù)學(xué)方法.

4.學(xué)科核心素養(yǎng)問題編排上滲透了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

5.預(yù)設(shè)教學(xué)效果為讓學(xué)生初步達(dá)成“腦中有形——直觀想象;心中有數(shù)——數(shù)學(xué)抽象;手中有術(shù)——數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析;解題有路——邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算”之效果奠定基礎(chǔ).

二、學(xué)情分析

在高一、二期間學(xué)生系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了立體幾何，初步認(rèn)識和了解空間中線面垂直、面面垂直的有關(guān)判定與性質(zhì)定理，對三種垂直關(guān)系有了一定的知識儲備.

多數(shù)學(xué)生的立體幾何基礎(chǔ)較弱，特別是文科學(xué)生，其空間想象能力還存在一定的困難，對知識的領(lǐng)悟與定理的運(yùn)用與理科學(xué)生存在一定的差距.證明空間中面面垂直的方法有定義法和判定定理法.本節(jié)課教學(xué)主題定位在利用面面垂直的判定定理來證明面面垂直.所以，首先要有意識地讓學(xué)生通過簡單的正方體模型來觀察并證明面面垂直，然后歸納提煉出面面垂直的判定定理.

如何在具體的模型中快速找到其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一平面垂直，進(jìn)而將線面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直，給足學(xué)生思考的時(shí)間和空間，充分化解學(xué)生的認(rèn)知沖突，化難為易，化繁為簡，突破難點(diǎn).

三、教學(xué)流程

四、教學(xué)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)意圖：以問題為主導(dǎo)——憶模，以學(xué)生為主體——研模，以探究為主線——拓模，以發(fā)展為主題——升華.

今年是我們偉大祖國70歲的生日，看70周年閱兵的時(shí)我們感慨祖國的繁榮昌盛.作為一名中國人我感到無比自豪，當(dāng)然祖國的復(fù)興離不開每一代人的努力奮斗（千千萬萬的你我他）.閱兵方陣的每一行每一列的軍人所構(gòu)成的平面與長安街的底面都是垂直的.可見生活中的面面垂直是無處不在的.下面我們走進(jìn)數(shù)學(xué)中的面面垂直.

板塊一：憶模

問題1 已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：平面ACC1A1⊥平面D1DBB1.

證明1 ∵平面AC為正方形，∴AC⊥BD

又∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD

∴BD⊥平面AA1C1C，且BD平面BB1D1D

∴平面AA1C1C⊥平面BB1D1D

證明2 ∵平面AC為正方形，∴AC⊥BD

又∵BB1⊥平面ABCD，∴AC⊥BB1

∴AC⊥平面BB1D1D，且AC平面AA1C1C

∴平面AA1C1C⊥平面BB1D1D

問題2 你能總結(jié)如何證明面面垂直？

面面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.

圖形語言：符號語言：l⊥βlβα⊥β

設(shè)計(jì)說明：讓學(xué)生從熟悉的正方體模型中回憶面面垂直模型，并從具體的模型中抽象出面面垂直的判定定理.問題3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，是否還存在過直線BD的截面與平面AA1C1C垂直？

存在.例如：平面A1BD或平面C1BD.

板塊二：研模

問題4 已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：平面ACC1A1⊥平面A1BD.

證明 ∵平面AC為正方形，∴AC⊥BD

又∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD

∴BD⊥平面AA1C1C，且BD平面BB1D1D

∴平面AA1C1C⊥平面BB1D1D

問題5 問題1與問題4的證明過程有什么區(qū)別與聯(lián)系？（變與不變）總結(jié)證明面面垂直的關(guān)鍵問題是什么？

變：BD在不同的平面.問題1兩個(gè)平面都容易找到一條直線與另一平面垂直.問題4只能在一個(gè)平面找.

不變：都可以通過證明BD垂直平面AA1C1C證明面面垂直.

關(guān)鍵問題：線面垂直.

問題6 還有沒有其它的證明方法？

證明：記直線AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)O.連接A1O

∵平面ABCD為正方形，∴AO⊥BD

又∵A1D=A1B，∴BD⊥A1O，且A1O∩AO=O

∴BD⊥平面AA1C1C，且BD平面BB1D1D

∴平面AA1C1C⊥平面BB1D1D.

問題7 證明面面垂直是如何轉(zhuǎn)化的？最后落實(shí)在哪里？如何實(shí)施？

面面垂直線面垂直線線垂直（空間平面平面）

線線垂直異面：線面垂直的性質(zhì)定理（或定義）共面等腰圓直角三角形平行四邊形（菱形、矩形、正方形、直角梯形）

問題8 如果挪動AA1的位置使得AA1不垂直面ABD，其他條件不變，平面A1OA與平面A1BD是否仍然垂直？

成立.其中的垂直關(guān)系并沒有變.

設(shè)計(jì)說明 研究面面垂直模型，以及面面垂直模型的關(guān)鍵問題和本質(zhì).（線面垂直和線線垂直）以及如何在面面垂直模型中找準(zhǔn)（線面垂直）.

板塊三：拓模與升華

問題9： 如圖1，要使平面PAD⊥平面ABCD，需要添加什么條件？

必要時(shí)可以提醒學(xué)生四邊形ABCD為矩形、菱形.或者對三角形PAD為等腰三角形.

例如：已知四邊形為矩形ABCD，PA⊥AB，求證：平面PAD⊥平面ABCD.

變式1 如圖3，若使得平面PAD⊥平面PAB，需要添加什么條件？

變式2 如圖5，若使得平面PAB⊥平面PCD，需要添加什么條件？

變式3 如圖7，如果P點(diǎn)在半圓弧AD上運(yùn)動，若要使得平面PAB⊥平面PCD，需要添加什么什么條件？

設(shè)計(jì)說明 拓展面面垂直模型，讓學(xué)生依托正（長）方體模型對面面垂直模型進(jìn)一步探究，克服文科生對空間垂直的畏難情緒.讓學(xué)生對各種錐體和柱體能在熟悉的正（長）方體模型中尋找原型.遇到面面垂直模型大膽猜想，小心證明.挑戰(zhàn)：同學(xué)們能否自己借助正方體構(gòu)造一個(gè)面面垂直模型并設(shè)計(jì)好條件.（或者學(xué)習(xí)過的面面垂直模型在正（長）方體中找到原型）

五、學(xué)生小結(jié)（并畫出思維導(dǎo)圖）

利用面面垂直的判定定理證明面面垂直

面面垂直線面垂直線線垂直（空間平面空間）

六、課后作業(yè)

1.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1.求證：平面ABB1A1⊥平面A1BC.

2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn).求證：平面PAB⊥平面PCD.

3.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).求證：平面BDE⊥平面PAC.

4.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.求證：平面PAB⊥平面PAC.

六、體會與感悟

本節(jié)課是高三一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)課，整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)是基于問題和基于學(xué)情進(jìn)行開展，盡可能讓復(fù)習(xí)走向關(guān)聯(lián)與交匯，并通過追問與反思讓學(xué)生自主完成教學(xué)內(nèi)容.其中第三環(huán)節(jié)（拓模）是難點(diǎn).

通過讓學(xué)生自主證明他們所熟悉的正方體中的對角面互相垂直出發(fā)，讓學(xué)生回憶用面面垂直的判定定理來證明面面垂直，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)建模的意識.在環(huán)節(jié)二中，引導(dǎo)學(xué)生對面面垂直模型的關(guān)鍵問題和本質(zhì)進(jìn)行歸納，讓學(xué)生通過類比方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，并能歸納梳理空間中線線垂直的基本類型.在環(huán)節(jié)三給出結(jié)論讓學(xué)生尋找條件，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力和逆向思維能力.

著名的數(shù)學(xué)家波利亞說過：“學(xué)習(xí)任何東西最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”，也正本節(jié)課的設(shè)計(jì)理念，利用“最近發(fā)展區(qū)”原理，創(chuàng)設(shè)問題情境讓學(xué)生在自主、合作、探究中去完成學(xué)習(xí)任務(wù)，當(dāng)學(xué)生可能會遇到困難時(shí)，教師再予以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)與點(diǎn)撥.

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[責(zé)任編輯：李 璟]