李英

【摘要】關于怎樣讓學生理解好完全平方公式，如何進行有效教學，是我們中學教師一直在研究的話題。本文以 APOS 理論為指導，設計了完全平方公式的新教學模式，嘗試以APOS理論為突破口，進行完全平方公式教學的有效性研究。

【關鍵詞】完全平方公式;APOS理論;教學設計

APOS理論是關于數(shù)學學習過程的以建構(gòu)主義教學思想為指導的理論，理論的定義包含“Action、Process、Object、Schema”四個階段，這四個階段體現(xiàn)了數(shù)學知識是如何建構(gòu)的，更利于學生學習。在數(shù)學公式的教學過程中主要采用兩種形式：原理至例子、例子至原理，后者是一種發(fā)現(xiàn)式的學習方式，與建構(gòu)主義的學習理論是相符合的，所以本文主要是研究如何將APOS理論運用至《完全平方公式》的教學上去，探究APOS理論對于《完全平方公式》教學的促進作用。

一、操作階段

操作階段是學生構(gòu)建數(shù)學概念知識圖示的重要基礎階段，將學生原有的知識框架以及分析模式與現(xiàn)有問題核心的數(shù)學知識進行進一步的聯(lián)系，構(gòu)筑初期的感性認識。

教學設計：

一個皇帝準備獎賞兩個將軍。而這兩個將軍現(xiàn)在都各自已經(jīng)擁有了一塊正方形的土地，其邊長是a米。其中一個將軍對皇帝說，我想請求您給我一個正方形封地，它的邊長為b米。另一個將軍說：“我只需要每一邊再多給我b米”國王很困惑，于是問道：你倆的要求不是一樣嗎？

師生活動：教師通過PPT來展示故事，學生讀題和思考，計算，再比較兩者。

設計意圖：將枯燥的數(shù)學問題納入有趣的故事中，以此來提高吸引力，并思考如何使用數(shù)學知識來解決實際的問題，感受數(shù)學中蘊含的智慧，增強學生學習數(shù)學的興趣。

二、過程階段

此階段是對操作階段解決的問題及其特性進行總結(jié)和反饋。由此，學生需要進行進一步的抽象概括，總結(jié)相應式子的特點，提升學生自身的思考能力。在這一個過程當中，教師應當根據(jù)學生自身的理解能力和問題解決的情況做出適當?shù)囊龑?，促使學生對此階段之前的活動內(nèi)容進行反思。

教學設計：

活動一：發(fā)現(xiàn)公式

作圖對比面積大小。說說怎么樣才能讓兩位將軍的面積相等？

從圖比較的過程中發(fā)現(xiàn)（a+b）²=a²+2ab+b²

師生活動：學生通過PPT上展示的封地面積圖回答問題，同時教師引導學生思考圖形的幾何意義，通過觀察、思考、對比列出式子。

設計意圖：從土地面積計算入手，將完全平方公式引入，讓學生學會運用幾何圖形解析代數(shù)運算和公式。

活動二：代數(shù)角度推導公式

師：請同學們利用我們之前所學的知識填空并回答下列問題？

（1）（p+1）²=（p+1）（P+1）=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

（2）（m+2）²=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

2.觀察上面式子，回答下列問題：

a.等式左邊有什么相同的特點？

b.計算出的結(jié)果有相似之處嗎？

3.根據(jù)上面的規(guī)律你能直接寫出下列式子的結(jié)果嗎？

（a+b）²=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

換元拓展

師：等于什么？可否利用上面的公式表示出來？

師：你能找出（a+b）²=a²+2ab+b²、（a-b）²=a²-2ab+b²這兩個公式的共同點與區(qū)別嗎？

師生活動：讓學生觀察算式并獨立思考，進行分組交流、討論總結(jié)出算式特點，并總結(jié)公式。

設計意圖：通過具體到抽象的這樣一個過程，來加深學生的認識，也符合我們所說的“最近發(fā)展區(qū)理論”，在已學過知識的基礎上，讓學生自主觀察、自主探索的這種“觀察與計算”的任務逐步推進、從易到難，可滿足學生的不同學習需要，也利于引導學生開展實踐探究。積極地開展思維活動，尋求算式兩邊的聯(lián)系，從而找到“完全平方式之間的結(jié)構(gòu)特征”。

三、對象階段

對象階段的個體，具備有將“運算過程”看作一個完整的部分進行轉(zhuǎn)換的能力。而此過程則變成了他的一種心理對象。此時的個體可以在各種相關聯(lián)的數(shù)學運算中實施和操控這一對象。

教學設計：

例1：運用完全平方公式計算。

2.運用完全平方公式思考并計算：

（1）99²（2）103²

師：你能用幾何圖形表示他們的意義嗎？

3.運用完全平方公式計算。

師生活動：教師要展示例題，讓學生自主思考、計算并回答問題，教師點評。

設計意圖：對學生來說，掌握乘法公式是怎么來的，如何計算的，以及它們之間的不同，是較難的事情，因此在平常練習中，需要聯(lián)系已經(jīng)學習過的公式，對做題中出現(xiàn)的錯誤多思考總結(jié)，以加深學生對公式結(jié)構(gòu)特征的理解，同時聯(lián)系公式的幾何意義，為后續(xù)學生圖式階段的發(fā)展做好鋪墊。

四、圖式階段

數(shù)學中的“圖式”是一種認知框架，由過程、活動、對象和相關知識的圖式組成。它的功能和特點是決定刺激是否屬于這種模式，并做出不同的反應。

教學設計：

1.已知a+b=5，ab=4，求（a+b）²， （a-b）²

2.計算（a-b-c）²

師：你能用圖形來解釋這一結(jié)果嗎？能總結(jié)一下這一節(jié)課所學內(nèi)容嗎？

師生活動：教師進行提問，讓學生自主思考、計算并回答問題，教師注意對學生不同的解答方法給予肯定，注意學生對于公式的使用是否正確，及時指導反饋。

設計意圖：通過拔高訓練使學生深入辨析、思考公式，達到對于完全平方公式的靈活運用。學生總結(jié)這一節(jié)課的知識，使學生對知識的本質(zhì)理解更深刻，做到心理圖式的穩(wěn)定建構(gòu)。

結(jié)論：公式的教學不能是學生被動的接受知識的過程，而需要學生有一個反思內(nèi)化的過程，領悟公式的結(jié)構(gòu)特征和本質(zhì)。

【參考文獻】

[1]林曉君， 付娟. 基于APOS理論的"完全平方公式"的教學設計[J]. 中學數(shù)學研究（華南師范大學）：下半月， 2020（6）：3-5.

[2]朱敏慧. 基于APOS理論的三角函數(shù)教學設計研究[D]. 上海師范大學.

[3]席明明. 基于APOS理論的"柯西不等式"教學[J]. 高中數(shù)學教與學， 2016（1）：1-4.