王永慶

摘? 要：在普通高中新課程新教材實(shí)施與教學(xué)改革視野下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要想有效落實(shí)“立德樹人”根本任務(wù)、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，就需要在新課程新教材實(shí)施中凸顯“高立意、高思辨、高互動(dòng)”教學(xué)特點(diǎn)?！案吡⒁?、高思辨、高互動(dòng)”教學(xué)的實(shí)現(xiàn)，需要教師在課堂教學(xué)實(shí)踐中，從較高的教學(xué)立意上調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，滲透數(shù)學(xué)文化;抓住學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中較高層次的錯(cuò)誤，引導(dǎo)其思考、探究、反思，進(jìn)行思辨分析，讓學(xué)生逐漸養(yǎng)成借助直觀理解概念進(jìn)行邏輯推理的思維習(xí)慣;與學(xué)生在高階思維層面進(jìn)行“對(duì)話”，并在主題活動(dòng)背景下進(jìn)行互動(dòng)合作等。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)教學(xué);高立意;高思辨;高互動(dòng);生本理念

2020年6月，教育部發(fā)布了《普通高中課程方案（2017年版2020年修訂）》和各學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)，給予普通高中在新課程新教材（以下簡(jiǎn)稱“雙新”）實(shí)施的方向性指引。依據(jù)新課標(biāo)，不同類型普通高中需要結(jié)合自身實(shí)際與學(xué)生發(fā)展需求，進(jìn)行學(xué)科教學(xué)探索。上海市普通高中非統(tǒng)編數(shù)學(xué)教材（以下簡(jiǎn)稱“新教材”）根據(jù)教育部頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）編寫，并經(jīng)國(guó)家教材委員會(huì)專家委員會(huì)審核通過，自2020年秋起在上海各高中全面實(shí)施。新教材為高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容1，為提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、落實(shí)“立德樹人”根本任務(wù)提供了良好載體。作為上海市第一期、第二期課程改革實(shí)驗(yàn)校，上海市上海中學(xué)在20余年的創(chuàng)新素養(yǎng)培育實(shí)踐研究基礎(chǔ)上提出“高立意、高思辨、高互動(dòng)”（以下簡(jiǎn)稱“三高”）的教學(xué)模式，指向課堂教學(xué)，對(duì)課堂生成過程中的教學(xué)立意、思辨方式、互動(dòng)形式提出較高要求。實(shí)踐證明，“三高”教學(xué)為資優(yōu)生的進(jìn)一步發(fā)展提供了良好的土壤。在新的課程改革背景下，如何突出數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，在新課程新教材實(shí)施中把握“三高”的數(shù)學(xué)教學(xué)要點(diǎn)，并創(chuàng)造性地進(jìn)行課堂教學(xué)實(shí)踐，是值得研究者及一線教師關(guān)注的重要課題。

一、“雙新”視野下高中數(shù)學(xué)“三高”教學(xué)的內(nèi)涵要點(diǎn)分析

1.“雙新”視野下數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)“三高”教學(xué)的要點(diǎn)解讀

2001年啟動(dòng)的課程改革提出了三維教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀，課程目標(biāo)設(shè)置的三維目標(biāo)是一種并行結(jié)構(gòu)。2 2013年教育部啟動(dòng)普通高中課程修訂工作，凝練了學(xué)科核心素養(yǎng)，一些學(xué)者如李藝1、呂世虎2 等把學(xué)科核心素養(yǎng)構(gòu)建了多個(gè)層面，基于學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分，提出以層次結(jié)構(gòu)替代并行結(jié)構(gòu)構(gòu)建數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系，并在此基礎(chǔ)上建構(gòu)課程目標(biāo)體系。新課程凸顯了數(shù)學(xué)教育目標(biāo)上的高立意變化：更加關(guān)注學(xué)科本質(zhì)和人的發(fā)展。

2019年，教育部發(fā)布的《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》依據(jù)高校人才選拔要求和國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)，明確了“一核、四層、四翼”三部分內(nèi)容，回答了“為什么考”“考什么”與“怎么考”的問題，指出考查要求要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性，其中創(chuàng)新性要求可以概括為三個(gè)方面：敢于質(zhì)疑和批判的思維能力、自主決策并發(fā)表見解的能力和獨(dú)立自主設(shè)計(jì)方案的能力。3 而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平劃分可以以層次化的結(jié)構(gòu)構(gòu)建學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展體系。本源是知識(shí)，以知識(shí)的理解作為邏輯起點(diǎn)，能夠?qū)⒅R(shí)遷移到數(shù)學(xué)情境、現(xiàn)實(shí)情境、其他學(xué)科情境中去解決問題;能夠提出問題，對(duì)知識(shí)進(jìn)行拓展，形成數(shù)學(xué)思維。4可見，新課程凸顯了數(shù)學(xué)教育內(nèi)容上的高思辨變化：關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力培育。

如何實(shí)現(xiàn)從理解到遷移，再到創(chuàng)新，從而達(dá)成發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)？這是一個(gè)從課程設(shè)計(jì)到課堂教學(xué)實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵問題，需要師生的交流與互動(dòng)，這也是新課程凸顯師生“高互動(dòng)”的特點(diǎn)所在。在課堂教學(xué)中，教師要從體現(xiàn)核心素養(yǎng)的四個(gè)方面（情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思）進(jìn)行有效突破，關(guān)注學(xué)生的知識(shí)、能力、思維與情感態(tài)度，設(shè)計(jì)具有一定挑戰(zhàn)性、障礙性和開放性的問題，以促進(jìn)在不同學(xué)習(xí)階段的學(xué)生核心素養(yǎng)的達(dá)成。數(shù)學(xué)新課程要求的落實(shí)，需要從知識(shí)的高立意背景出發(fā)，通過高思辨的課堂對(duì)話，提升學(xué)生能力，發(fā)展高階思維，以高效互動(dòng)的教學(xué)形式，促進(jìn)學(xué)生交流與反思，內(nèi)化知識(shí)與方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.“雙新”視野下上海高中數(shù)學(xué)新教材“三高”教學(xué)要求分析

新教材依據(jù)教育部發(fā)布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”）編制。新教材較之上海“二期課改”教材，偏向于數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程的再現(xiàn)，揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)的生成，意圖從一定程度上激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)的靈感。新教材在閱讀、探究、編寫主線、數(shù)學(xué)建模等部分均體現(xiàn)了需要“三高”教學(xué)的驅(qū)動(dòng)。

新教材的例習(xí)題和“探究與實(shí)踐”“課后閱讀”等專欄中包含各種熱點(diǎn)和重大主題教育的內(nèi)容，體現(xiàn)育人功能。許多章節(jié)介紹了數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容，既體現(xiàn)人類文化知識(shí)的積累和創(chuàng)新過程，也幫助學(xué)生理解和掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)。新教材從多處（如“探究與實(shí)踐”“課后閱讀”“拓展與思考”等）滲透數(shù)學(xué)探究?jī)?nèi)容，突出“問題”作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要載體;新教材將“函數(shù)”“代數(shù)與幾何”“概率與統(tǒng)計(jì)”三個(gè)主題作為教材編寫的主線，形成層層遞進(jìn)的章節(jié)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)整體性與連貫性，凸顯高立意的要求。新教材注重“從特殊到一般，再指導(dǎo)特殊”的認(rèn)識(shí)論規(guī)律，按照課程標(biāo)準(zhǔn)不涉及“原命題、逆命題、否命題與逆否命題”內(nèi)容，而引入反證法，提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)，體現(xiàn)了高思辨的特點(diǎn)。新教材中對(duì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)活動(dòng)性、探索性和綜合性，在過程中不斷提高學(xué)生分析問題、解決問題以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，充分激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造意識(shí)，促進(jìn)高互動(dòng)的生成。

要想利用好新教材，發(fā)揮新教材引領(lǐng)作用，需要教師具有“高立意、高思辨、高互動(dòng)”的教學(xué)風(fēng)格。首先，教師要有高立意的眼光，才能從高立意的視角引導(dǎo)學(xué)生。教師要挖掘教材所體現(xiàn)的背景和思想，對(duì)教材的各個(gè)章節(jié)思考其立意、地位和作用，核心概念的教學(xué)價(jià)值及其在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的重要影響;其次，教師要開展高思辨的教學(xué)，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行深刻理解和充分思考，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握從理解躍升到遷移，再到創(chuàng)新;最后，教師要激勵(lì)學(xué)生高互動(dòng)地表達(dá)與交流，培養(yǎng)學(xué)生的互動(dòng)合作精神與團(tuán)隊(duì)意識(shí)，并適時(shí)反思。

在新的高考評(píng)價(jià)背景下，評(píng)價(jià)是為了更好地教與學(xué)。在日常的教學(xué)活動(dòng)中，特別是在探究性活動(dòng)與建模活動(dòng)中，教師要重視過程性評(píng)價(jià);關(guān)注知識(shí)技能的范圍和難度，設(shè)計(jì)有利于考查學(xué)生思維過程、思維深度和思維廣度的開放性試題，設(shè)計(jì)有利于考查實(shí)踐能力與創(chuàng)新意識(shí)的應(yīng)用問題和探究性問題，關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的分布與水平。

3.“雙新”視野下聚焦課堂教學(xué)的“三高”傳承與內(nèi)涵拓展

（1）“三高”教學(xué)與“雙新”要求的融合

從課程標(biāo)準(zhǔn)和新教材特點(diǎn)可以看出，以“生本理念”為教學(xué)意識(shí)，通過“重視過程”的教學(xué)和評(píng)價(jià)，著力數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，落實(shí)“立德樹人”根本任務(wù)，正是“雙新”所指明的教學(xué)方向。上海中學(xué)在“雙新”視野下，推進(jìn)“高立意、高思辨、高互動(dòng)”教學(xué)的發(fā)展，在教學(xué)中進(jìn)一步凸顯“三高”教學(xué)與“雙新”要求高度融合，體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

第一，“三高”教學(xué)關(guān)注“人”的發(fā)展。“高立意、高思辨、高互動(dòng)”將激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)核心價(jià)值。因此可以說，對(duì)數(shù)學(xué)資質(zhì)較好的學(xué)生群體進(jìn)行“三高”教學(xué)，就是“生本理念”的最好體現(xiàn)。

第二，“三高”教學(xué)關(guān)注層次與方式。“高”是相對(duì)的，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠好的學(xué)生而言，過高的立意、過難的思辨、過頻的互動(dòng)皆是無益的。教師與學(xué)生之間需建立良好的教學(xué)動(dòng)態(tài)平衡，教師隨著學(xué)生思維的變化而隨時(shí)調(diào)整教學(xué)，因勢(shì)利導(dǎo)，這正是“重視過程”的體現(xiàn)。

第三，“三高”教學(xué)關(guān)注課堂生成。“三高”教學(xué)追求高階思維的生成，追求實(shí)踐能力與創(chuàng)新意識(shí)的形成，追求數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和科學(xué)精神的達(dá)成。這樣的目標(biāo)決定了“三高”需要落實(shí)于每一個(gè)單元、每一節(jié)課，充分關(guān)注教學(xué)目標(biāo)，關(guān)注課堂生成。

高立意、高思辨、高互動(dòng)教學(xué)模式相對(duì)獨(dú)立，但又相互作用、相互影響，是打造高效課堂，促進(jìn)學(xué)生高階思維形成，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培育理性精神的驅(qū)動(dòng)器，其中，“高立意”是教學(xué)意識(shí)，“高思辨”是教學(xué)方式，“高互動(dòng)”是教學(xué)呈現(xiàn)。

（2）“三高”教學(xué)內(nèi)涵的拓展

“高立意”內(nèi)涵要求教師能意識(shí)到學(xué)習(xí)主題或內(nèi)容在數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位與價(jià)值，能從系統(tǒng)性與一致性角度指出問題的實(shí)質(zhì)，給出思想、方法層面的引導(dǎo)。注重激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，重視數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的早期識(shí)別與體系化培育，重視學(xué)生在大中學(xué)銜接教學(xué)中進(jìn)一步發(fā)展核心素養(yǎng)。

“高思辨”內(nèi)涵要求教師能提出引起學(xué)習(xí)者高度關(guān)注的問題，能引導(dǎo)學(xué)生積極參與其中進(jìn)行自主思考、探究與反思。學(xué)生在長(zhǎng)期的高思辨學(xué)習(xí)過程中自覺形成良好的思考習(xí)慣或思維意識(shí)，指導(dǎo)學(xué)習(xí)和解決問題。高水平、高質(zhì)量地深化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能教學(xué)，并強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)邏輯運(yùn)用，使不同能力層次的學(xué)生都在不斷“試錯(cuò)”的過程中提高自己。

“高互動(dòng)”內(nèi)涵要求教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生能在高層次問題上互動(dòng)，通過語(yǔ)言、眼神、動(dòng)作等進(jìn)行思維“對(duì)話”，發(fā)生思維碰撞，激發(fā)思維火花，關(guān)注情感態(tài)度，培育合作精神與團(tuán)隊(duì)意識(shí)。注重在數(shù)學(xué)實(shí)踐與探究過程中的高質(zhì)量參與和合作，重視數(shù)學(xué)教學(xué)的校本教學(xué)指南、發(fā)展型課程的系統(tǒng)匹配，重視建立診斷、反饋、提升的數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)。

“三高”教學(xué)關(guān)注數(shù)學(xué)思維的立意挖掘與人的視野拓展，關(guān)注數(shù)學(xué)能力的互動(dòng)提升與人的層次發(fā)展，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的思辨激活

與人的情感表達(dá)?！叭摺苯虒W(xué)內(nèi)涵拓展見圖1。

二、“雙新”視野下高中數(shù)學(xué)“三高”課堂教學(xué)實(shí)踐

如何在課堂教學(xué)中深入貫徹新課程標(biāo)準(zhǔn)與新教材理念，實(shí)現(xiàn)“高立意、高思辨、高互動(dòng)”的教學(xué)追求，是課堂教學(xué)改革需要深入挖掘的內(nèi)容。筆者認(rèn)為，可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行探索：

1.高立意：?jiǎn)卧?、學(xué)科內(nèi)涵與文化的凸顯

（1）單元整合視角下的序言課教學(xué)

單元序言課教學(xué)可以為本單元后繼學(xué)習(xí)確定目標(biāo)、設(shè)計(jì)路線、明確方法、提供動(dòng)力。或者說，單元序言課教學(xué)應(yīng)首先解決為什么學(xué)、學(xué)什么、如何學(xué)的問題，然后再視教學(xué)實(shí)際進(jìn)行相關(guān)新知識(shí)的教學(xué)。1

在單元序言課中，教師要構(gòu)思好本單元的教學(xué)邏輯，設(shè)計(jì)好本單元結(jié)構(gòu)圖并進(jìn)行展示。以新教材必修第一冊(cè)第2章為例，單元序言課應(yīng)首先明確為什么要學(xué)習(xí)“等式與不等式”內(nèi)容——數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)重要的研究對(duì)象，相等關(guān)系與不等關(guān)系是最基本的數(shù)量關(guān)系，而等式與不等式則是表示相應(yīng)數(shù)量關(guān)系的基本工具，在日常生活中也有廣泛的應(yīng)用。學(xué)的內(nèi)容——等式與不等式的性質(zhì)、不等式的求解、基本不等式及其應(yīng)用。如何學(xué)——通過類比的方法，學(xué)習(xí)有關(guān)等式與不等式的性質(zhì)，并借助集合和邏輯的語(yǔ)言，求解和證明一些基本的不等式。可見，單元序言課具有整體性、“統(tǒng)領(lǐng)”性的特點(diǎn)，為學(xué)生初步了解本單元結(jié)構(gòu)和內(nèi)容提供宏觀上的指導(dǎo)。

從單元整合角度進(jìn)行序言課教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科意識(shí)、單元意識(shí)和自主學(xué)習(xí)精神。從教學(xué)邏輯、學(xué)生感興趣的內(nèi)容入手，借助計(jì)算機(jī)多媒體技術(shù)，從較高的教學(xué)立意上調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，并做好感情鋪墊，以利于上課時(shí)學(xué)生的全情投入和積極參與。

（2）學(xué)科知識(shí)背景下的觀點(diǎn)揭示

體現(xiàn)“國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，上海特色，國(guó)際水平”的新教材多次提出了類比的思想。布爾代數(shù)的創(chuàng)立者布爾思考“類”的概念：用x代表白的，用y代表綿羊，那么xy就表示白綿羊，用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)xy類比成的是交集。再如xx=x這個(gè)代數(shù)式子經(jīng)過變形后為x（1-x）=0，從邏輯代數(shù)的觀點(diǎn)看，體現(xiàn)了這樣一個(gè)含義：沒有任何東西可以同時(shí)屬于又不屬于某個(gè)類，這剛好體現(xiàn)了亞里士多德的排中律。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行類比，必要時(shí)引導(dǎo)方向或揭示，然后對(duì)類比后的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行研究，提高學(xué)生合情推理的能力，激發(fā)其創(chuàng)造性。

案例1? 已知過點(diǎn)P（4，1）的動(dòng)直線與橢圓[x24+y22=1]交于不同兩點(diǎn)A，B，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足|AP|[?]|QB|=|AQ|[?]|PB|，證明：點(diǎn)Q總在某條定直線上。

筆者除使用中學(xué)數(shù)學(xué)的方法（如使用定比分點(diǎn)公式）予以解決外，還指出其蘊(yùn)含的高等幾何背景——調(diào)和點(diǎn)列。在高等幾何中有如下定義：一點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線[Γ]的所有調(diào)和共軛點(diǎn)的軌跡為一條直線p，稱p為點(diǎn)P（關(guān)于[Γ]）的極線，點(diǎn)P稱為直線p（關(guān)于[Γ]）的極點(diǎn)（簡(jiǎn)稱為極），特別地，圓錐曲線焦點(diǎn)的極線就是與之對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線。當(dāng)P在[Γ]外時(shí)，其極線p是從點(diǎn)P所引曲線[Γ]的兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）。2

在新教材中存在大量這樣的素材，如函數(shù)概念的發(fā)展——三種定義，解析幾何中換元的實(shí)質(zhì)——圖形的變換，函數(shù)零點(diǎn)的“二分法”與“牛頓切線法”——現(xiàn)代計(jì)算數(shù)學(xué)的迭代方法，圓錐曲線概念的由來——圓錐截線等，我們揭示其思想觀點(diǎn)就是站在更高的角度上指出問題的學(xué)科知識(shí)背景，引導(dǎo)學(xué)生查閱相關(guān)資料，進(jìn)行自主探究。同時(shí)也整合了大學(xué)與中學(xué)的知識(shí)，從更大的領(lǐng)域上理順知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（3）數(shù)學(xué)文化的課堂融入

與上海“二期課改”教材相比，新教材更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，而數(shù)學(xué)知識(shí)生成的過程蘊(yùn)含著豐富鮮活的方法、思想、精神，即數(shù)學(xué)文化。例如新教材講述“指數(shù)冪的拓展”時(shí)，先從指數(shù)為正整數(shù)拓展到整數(shù)，再到有理數(shù)，最后拓展至實(shí)數(shù)，充分展示了數(shù)學(xué)發(fā)展的過程。筆者在實(shí)際教學(xué)時(shí)強(qiáng)調(diào)了這一過程，并講述了數(shù)學(xué)發(fā)展過程歷經(jīng)的種種困難與挑戰(zhàn)，關(guān)注數(shù)學(xué)文化的滲透。

張奠宙教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)“既要講推理，更要講道理”1，這些道理中就包括數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)，例如，新教材利用趙爽弦圖證明等式與不等式以及利用邊框?qū)?shù)學(xué)家進(jìn)行介紹等，圖文并茂，文化韻味濃厚。在實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師可以把數(shù)學(xué)文化作為對(duì)教學(xué)內(nèi)容的有益補(bǔ)充，如在教學(xué)“一元二次方程”時(shí)，可介紹三次方程求根公式的推理過程、背景，以及當(dāng)時(shí)作為中學(xué)生的阿貝爾（N.H.Abel，1802—1829）對(duì)五次代數(shù)方程求解的探索故事。在教授“對(duì)數(shù)”內(nèi)容時(shí)，介紹英國(guó)數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550—1617）的貢獻(xiàn)。在數(shù)學(xué)求解的過程中，揭示問題背景，如秦九韶公式、楊輝三角、3x+1問題（角谷猜想）、曼哈頓距離等。還可以通過對(duì)數(shù)學(xué)文化試題的講解，介紹數(shù)學(xué)在人文藝術(shù)、科學(xué)技術(shù)和實(shí)際生活中的應(yīng)用。通過數(shù)學(xué)文化的滲透，展現(xiàn)我國(guó)和世界豐厚的文化底蘊(yùn)，拓寬學(xué)生視野，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和文化自信;引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，成為有社會(huì)責(zé)任感的新時(shí)代公民。

2.高思辨：能力與素養(yǎng)的提升

（1）從錯(cuò)誤走向正確，引發(fā)共鳴，提升能力

高思辨的教學(xué)要求教師充分關(guān)注課堂氛圍、學(xué)生心理與思維特點(diǎn)，于變化中抓住瞬間機(jī)會(huì)，恰當(dāng)進(jìn)行引導(dǎo)與思辨。

案例2? 在一次單元測(cè)驗(yàn)中有下列問題（記為題1）：

圍繞著這個(gè)錯(cuò)誤解法，筆者設(shè)計(jì)了以下思辨問題：

思辨1：學(xué)生A的解法是否正確？若不正確，在哪里出了問題？

思辨2：題1與題2“函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b都滿足2f（a）-f（b）=2a-b，求f（x）的解析式”的區(qū)別在哪里？

思辨3：題1與題3“函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都滿足2f（x）-f（x-1）=2x-（x-1），求f（x）的解析式”是否有區(qū)別？區(qū)別在哪里？

思辨4：在學(xué)生A的解法中m、n之間存在怎樣的關(guān)系？你能否通過對(duì)自變量x進(jìn)行賦值，使得m與n對(duì)換？對(duì)換后如何得出f（x）的解析式？

思辨5：仍以二次函數(shù)為背景，能否給出你的設(shè)計(jì)，使m、n具有與題1不同的對(duì)稱性，并解決你設(shè)計(jì)的問題。

思辨1至4實(shí)質(zhì)是為學(xué)生理解、解決問題搭建多個(gè)階梯，教師則引導(dǎo)與幫助學(xué)生積極思考。整個(gè)思維過程需學(xué)生自主完成。而教師需抓住學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中較高層次方面的錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨分析，總結(jié)思想方法，能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解提高到新的層次。思辨5可以從中心對(duì)稱角度來設(shè)計(jì)問題，幫助學(xué)生從理解進(jìn)一步躍升到遷移、創(chuàng)新。

（2）從直觀走向抽象，融合上升，發(fā)展素養(yǎng)

數(shù)學(xué)總是雙重的，既是抽象的，又是直觀的。抽象體現(xiàn)在它的高度概括性及形式化、符號(hào)化特征，直觀則反映其概念形成及證明過程未經(jīng)充分的邏輯演繹論證而外顯的本質(zhì)，是對(duì)客觀世界的一種喚醒與回歸，可以說數(shù)學(xué)是抽象與直觀的結(jié)合體。1

以函數(shù)性質(zhì)為例，新教材對(duì)函數(shù)性質(zhì)（如冪函數(shù)）的介紹先采用了直觀描述（“觀察圖4-1-5所示的冪函數(shù)y=xa（a>0）在第一象限的圖像，可發(fā)現(xiàn)圖像由左至右是上升的”），然后用第二句話轉(zhuǎn)換到數(shù)學(xué)表達(dá)（“也就是說，隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)值y也不斷增大”），最后進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)論證（“這是因?yàn)椤瑥亩蓛绲幕静坏仁剑谩保┑慕虒W(xué)模式。后續(xù)對(duì)指數(shù)函數(shù)也采用了這樣的描述與表達(dá)方式，引導(dǎo)教師與學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)概念理解及邏輯推理所需要借助的直觀載體，從而為學(xué)習(xí)帶來簡(jiǎn)單易懂的體驗(yàn)。對(duì)數(shù)學(xué)直觀的領(lǐng)悟，能揭示隱藏的抽象關(guān)系，識(shí)記與洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。

案例3? 根據(jù)單調(diào)性定義，設(shè)計(jì)問題：

首先，應(yīng)畫出各種函數(shù)圖像，檢驗(yàn)是否符合條件，從直觀上給出判斷。

這樣，我們先從直觀的視角理解了函數(shù)F（x）的單調(diào)性，然后通過推理得到結(jié)論，這是對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)要求的理解。從高思辨的要求看，由于圖像未必能完全反映函數(shù)的性態(tài)，上述推理過程借助了在數(shù)學(xué)中的直觀，學(xué)生從直觀上升到對(duì)單調(diào)性的抽象認(rèn)識(shí)，其思維經(jīng)歷記憶、理解、分析與評(píng)價(jià)過程。

通過對(duì)函數(shù)定義的重新表征，獲得解決問題的新設(shè)計(jì)，形成一個(gè)連貫的整體，讓學(xué)生體驗(yàn)創(chuàng)造的思維過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理素養(yǎng)。為使學(xué)生思維進(jìn)入創(chuàng)新階段，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高水平，可進(jìn)一步設(shè)計(jì)問題“解決了這個(gè)問題后，你能否提出一些新的問題，并解決你提出的一個(gè)問題”。要提出新的問題，可以根據(jù)新教材提出的“類比”思想，思考函數(shù)的其他性質(zhì)，比如可以從奇偶性、最大值最小值角度考慮，從而培育學(xué)生的創(chuàng)新思維。

當(dāng)然，過于抽象的概念與推理晦澀難懂，不利于教學(xué)工作的開展。教師應(yīng)首先理解抽象問題的本質(zhì)，然后充分利用語(yǔ)言藝術(shù)，通過抽象結(jié)論的幾何意義詮釋、抽象語(yǔ)言的直觀表達(dá)、抽象推理的直觀翻譯等途徑實(shí)現(xiàn)直觀化，從而降低數(shù)學(xué)的抽象性對(duì)學(xué)生的消極影響。

3.高互動(dòng)：高階思維與團(tuán)隊(duì)意識(shí)的形成

（1）高階思維層面上的課堂“對(duì)話”

數(shù)學(xué)課堂上的“對(duì)話”主要圍繞著問題展開，問題是課程標(biāo)準(zhǔn)中體現(xiàn)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要方面。杜威認(rèn)為，“問題的性質(zhì)決定思維的目的，而思維的目的則控制思維的過程” 1，可見，在課堂上，問題決定了思維的過程與深度。傳統(tǒng)的問題常常是封閉的、孤立的，較難建立學(xué)生思維與其他知識(shí)或現(xiàn)實(shí)情境的聯(lián)系，無法有效培養(yǎng)發(fā)散思維。在“雙新”視野下，教師應(yīng)聯(lián)系情境，提出開放性的問題，與學(xué)生在高階思維層面進(jìn)行“對(duì)話”，有效提升學(xué)習(xí)質(zhì)量;也應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生提出具有上述特點(diǎn)的問題，師生進(jìn)行課堂“對(duì)話”，并將“對(duì)話”延伸到課外。

這里的“對(duì)話”，強(qiáng)調(diào)的是思維層次與高質(zhì)量?！皩?duì)話”的合理性、高效性決定了一堂課的質(zhì)量，決定了學(xué)生思維被“激發(fā)”的程度。2 教師應(yīng)多從策略性知識(shí)角度，從數(shù)學(xué)思想和高觀點(diǎn)出發(fā)，激發(fā)學(xué)生思維，發(fā)生思維碰撞，擦出思維火花，引起強(qiáng)烈反思，促成高階思維形成。

案例4? 意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”。那么[a21+a22+a23+…+a22021a2021]是斐波那契數(shù)列中的第_______項(xiàng)。

筆者在特殊與一般、猜測(cè)與發(fā)現(xiàn)等高階思維層面上設(shè)計(jì)問題，通過如“是否可以將所求式中的下標(biāo)2021一般化為n”“上述觀察只能給出初步的歸納結(jié)論，如何做出證明”“還有其他不用求通項(xiàng)的途徑嗎”等問題，以激勵(lì)的話語(yǔ)引導(dǎo)學(xué)生摒棄不良學(xué)習(xí)習(xí)慣，克服畏難情緒，積極進(jìn)行猜測(cè)探究，形成良好的研究問題的態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶骄烤瘛?/p>

研究者指出，注重高階思維教學(xué)、關(guān)注學(xué)習(xí)過程的課堂有三個(gè)可以觀察到的特征：能聽到學(xué)生在解釋、推測(cè)、描述模型或交流他們的觀點(diǎn);能聽到教師詢問學(xué)生有關(guān)為什么、是什么以及如何做的問題;能觀察到學(xué)生對(duì)如下內(nèi)容做出選擇：使用哪些程序，如何將知識(shí)整合到新的、非常規(guī)的任務(wù)中，監(jiān)督發(fā)展和評(píng)估解決策略。3這三個(gè)特征正是一線教師在課堂“對(duì)話”中需要掌握的原則。

（2）主題活動(dòng)背景下的互動(dòng)合作

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線之一，這條主線不僅能夠幫助學(xué)生更好地掌握知識(shí)技能，更能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考和實(shí)踐，是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體。

以建模活動(dòng)為例，一個(gè)完整的建?；顒?dòng)有較多環(huán)節(jié)，主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型。針對(duì)這么多環(huán)節(jié)，教師必須采用分工合作、分解任務(wù)的方式逐一解決，才能使建?；顒?dòng)行之有效，施之有序。所有的步驟都應(yīng)體現(xiàn)高互動(dòng)性，在互動(dòng)合作中落實(shí)建模活動(dòng)，提升建模素養(yǎng)。通過活動(dòng)，也可以培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)與團(tuán)隊(duì)精神。

案例5? 乘出租車去“一大”會(huì)址。上海出租車在凌晨5時(shí)至當(dāng)天晚上23時(shí)計(jì)費(fèi)如下：起步里程為3km，費(fèi)用為14元;超過起步里程至15km（含）內(nèi)，每千米費(fèi)用為2.5元;超過15km，按超起步里程的單價(jià)加50%計(jì)單價(jià)。低速等候費(fèi)用為每4分鐘收1km超起步里程單價(jià)。在假期中你打算乘出租車去“一大”會(huì)址。

在這個(gè)建?；顒?dòng)過程中，筆者設(shè)計(jì)了多個(gè)步驟，強(qiáng)調(diào)互動(dòng)合作，將建模問題分解細(xì)化，便于有效開展活動(dòng)，具體表現(xiàn)為：

步驟一：明確任務(wù)，師生分工。在這個(gè)步驟中，教師的職責(zé)是設(shè)計(jì)建?；顒?dòng)任務(wù)單，與備課組教師合作，并在學(xué)生完成任務(wù)的過程中給予指導(dǎo)，學(xué)生在完成三個(gè)任務(wù)的過程中如果遇到困難，可以向教師或同伴尋求幫助，完成后上交任務(wù)單。

步驟二：小組合作，討論改進(jìn)。學(xué)生由于觀察問題角度不同，因而提出的模型具有多樣性。在這個(gè)步驟中，教師與學(xué)生一起對(duì)模型進(jìn)行分類，將相同或相似的放在一起，分成若干組，小組互動(dòng)討論，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，使之更接近真實(shí)，同時(shí)也為第三個(gè)步驟做好準(zhǔn)備。

步驟三：匯報(bào)總結(jié)，撰寫報(bào)告。學(xué)生進(jìn)行匯報(bào)展示，同組學(xué)生進(jìn)一步討論匯報(bào)細(xì)節(jié)。教師可以邀請(qǐng)校內(nèi)外專家、社會(huì)人士、家長(zhǎng)等參與聆聽由學(xué)生主導(dǎo)的展示課，教師點(diǎn)評(píng)，并對(duì)建?；顒?dòng)及時(shí)評(píng)價(jià)，突出活動(dòng)意義，要求學(xué)生完成相應(yīng)的成果報(bào)告，針對(duì)個(gè)體在小組活動(dòng)中的作用注重多元評(píng)價(jià)，存入學(xué)生個(gè)人學(xué)習(xí)檔案。

“雙新”實(shí)施已在全國(guó)各地呈全面鋪開之勢(shì)，高中數(shù)學(xué)教育改革新的要求隨之而來。教師應(yīng)立足教材，理解教材，以學(xué)生發(fā)展為本，把握好數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)與教育形態(tài)。以課程標(biāo)準(zhǔn)的理念作為行動(dòng)目標(biāo)，關(guān)注體現(xiàn)核心素養(yǎng)的四個(gè)方面，通過高立意、高思辨、高互動(dòng)的“三高”教學(xué)，實(shí)現(xiàn)國(guó)家課程目標(biāo)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的可視化、可操作、可評(píng)價(jià)，切實(shí)提高學(xué)生的“四能”，使學(xué)生達(dá)到會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界、會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的“三會(huì)”目標(biāo)，落實(shí)“立德樹人”根本任務(wù)，培養(yǎng)社會(huì)主義的建設(shè)者與接班人。