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        幾類落體運(yùn)動(dòng)的微分方程解法

        2015-01-19 00:59:58梁樹星
        關(guān)鍵詞:落體雨滴重力

        梁樹星

        (黑龍江農(nóng)業(yè)工程職業(yè)學(xué)院 人文學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150088)

        0 引言

        在研究物理問題時(shí)通常需要用到數(shù)學(xué)方法,沒有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和手段,即使物理過程很清楚,雖然也能正確列出方程,但數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好也很難計(jì)算出我們需要的結(jié)果。下面由幾類落體運(yùn)動(dòng)的研究來體會(huì)微分方程在解題過程中應(yīng)用,以此來領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)和物理的密切聯(lián)系,使讀者在學(xué)習(xí)過程領(lǐng)悟各科目間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

        落體運(yùn)動(dòng)無非包括以下幾方面:一是自由落體運(yùn)動(dòng),此種運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最原始的理想運(yùn)動(dòng);二是有阻力的落體運(yùn)動(dòng);三是變質(zhì)量(變力)的落體運(yùn)動(dòng)。下面我們分別來研究三種落體運(yùn)動(dòng)的速度、位移等規(guī)律。

        1 自由落體運(yùn)動(dòng)的微分方程

        自由落體運(yùn)動(dòng)是無初速的只受重力的運(yùn)動(dòng)。假定取向上為x 的正方向,地面高度為零,初始高度為h,重力與此方向相反為負(fù),由牛頓第二定律可知:

        v= -gt(負(fù)號(hào)表示速度方向與規(guī)定的正方向相反)。

        2 有阻力無初速的落體運(yùn)動(dòng)的微分方程

        仿照上例,仍假定取向上為x 的正方向,地面高度為零,初始高度為h,若下落過程阻力與速度成正比,比例系數(shù)為k,則,重力為-mg,阻力為(負(fù)號(hào)是以速度方向相反得到,真實(shí)阻力方向向上),仍研究下落的速度和位移。

        對(duì)上式再一次積分,并帶入初始條件:t=0,x=h 得到位移表達(dá)式:

        提示:若阻力與速度平方成正比,其運(yùn)動(dòng)方程如何,解法如何,請(qǐng)讀者思考。

        說明與討論:仔細(xì)觀察速度表達(dá)式,會(huì)發(fā)現(xiàn):當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng),速度v 的極限為,也就是說,經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間后速度不再增加,而穩(wěn)定為的常量。其原因?yàn)椋枇ο入S速度的增加而增加,隨著阻力增加,質(zhì)點(diǎn)的合外力減少,加速度也隨之減少,但速度仍在增加,只不過增加的幅度已經(jīng)減小。當(dāng)阻力增加到與重力相等時(shí),合外力為零,加速度為零,速度不再增加,而保持的恒定速度。在實(shí)際問題中也可體會(huì)到這一點(diǎn),例如當(dāng)雨滴不受阻力時(shí)從高空下落,其速度較大,甚至可以傷害到生命和物體,實(shí)際上雨滴下落過程中有阻力,經(jīng)過一段時(shí)間后,穩(wěn)定在一定的較小的速度落到地面。降落傘下落過程與此相仿,正是因?yàn)橛凶枇?,降落傘才能保護(hù)跳傘者的安全。以上解法亦適用于質(zhì)點(diǎn)在粘滯液體中的下落過程。

        3 變質(zhì)量無阻力無初速的落體運(yùn)動(dòng)的微分方程

        下面簡(jiǎn)要討論變質(zhì)量的落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。假如某物體(例如雨滴或冰雹),在下落過程中質(zhì)量隨時(shí)間的均勻改變量為k,若k 為正表示質(zhì)量增加,反之表示減少。取最高點(diǎn)高度為零,向下為正方向,設(shè)在下落過程中不受阻力,討論該質(zhì)點(diǎn)的下落速度和位移。

        對(duì)時(shí)間t 積分,并帶入初始條件:t=0,v=0,解出任意時(shí)刻的速度:

        對(duì)上式再次積分,帶入初始條件:t=0,x=0,解出任意時(shí)刻的下落位移:

        4 結(jié)語

        在學(xué)習(xí)落體運(yùn)動(dòng)過程中,首先要善于分析物理過程,善于將物理過程分類研究,及時(shí)總結(jié),準(zhǔn)確列出微分方程;其次能準(zhǔn)確辨別方程的類型,并采用相應(yīng)的解法,解決問題時(shí)既要細(xì)心又要掌握一定的技巧。只有這樣才能將物理與數(shù)學(xué)聯(lián)系到一起,相得益彰。

        [1]周衍柏.理論力學(xué)教程( 第二版) [M].北京:高等教育出版社,1986:39—40.

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