余 燁, 胡 翔, 王啟宇, 吳書清, 馮金揚(yáng)

(1. 湖北省計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究院, 湖北 武漢 430223;2. 中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院, 北京 100029)

1 引 言

在自由落體絕對(duì)重力的測(cè)量過(guò)程中,重力加速度作用于落體質(zhì)心,而干涉儀測(cè)量的卻是落體中角錐棱鏡光心的位移;由于落體加工、定位精度的限制,光心與質(zhì)心不重合,在落體下落過(guò)程中,光心相對(duì)于質(zhì)心以恒定的角速度旋轉(zhuǎn),從而產(chǎn)生一個(gè)重力加速度干擾項(xiàng)。干擾項(xiàng)的大小分別與角速度的平方、落體光心與質(zhì)心沿著鉛垂線方向的偏移量成正比[8,9]。落體旋轉(zhuǎn)是個(gè)隨機(jī)因素,現(xiàn)有技術(shù)通過(guò)調(diào)校落體,使落體質(zhì)心和角錐棱鏡的光心重合,以減小對(duì)重力加速度的影響[10,11]。Hanada采用旋轉(zhuǎn)法調(diào)校光心與質(zhì)心的重合,其調(diào)校精度為50 μm[12]。此外,商用絕對(duì)重力儀FG5采用直接平衡法調(diào)校光心與質(zhì)心的間距,將落體角錐棱鏡的光心放置在秤盤的中心,秤盤由2個(gè)刀口支撐,其中一個(gè)刀口放置在一個(gè)敏感的天平上,另一個(gè)刀口放置在平面平晶上,調(diào)節(jié)質(zhì)心螺釘,秤盤旋轉(zhuǎn)180°,天平的示數(shù)不變,則質(zhì)心與旋轉(zhuǎn)軸重合,該方法受到加工及測(cè)量精度的限制,其光心與質(zhì)心的測(cè)量不確定度為25 μm。隨著絕對(duì)重力儀工作時(shí)間的增長(zhǎng),落體支撐結(jié)構(gòu)的機(jī)械與軸承的磨損,最終導(dǎo)致落體的旋轉(zhuǎn)角速度高達(dá)0.1 rad/s,為了使旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致的重力加速度小于1 μGal,Niebauer采用扭擺法進(jìn)行測(cè)量,分辨率為1 μm[13]。

本文在扭擺法的基礎(chǔ)上,采用標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)分析落體的本征頻率,考慮到角錐棱鏡的折射率與空氣不匹配引入額外光程,推導(dǎo)干涉儀測(cè)量光在落體平衡位置不同入射角對(duì)光心與質(zhì)心沿鉛垂線方向偏移測(cè)量的理論公式;同時(shí)在推導(dǎo)過(guò)程中考慮氣體阻尼對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。

2 落體旋轉(zhuǎn)對(duì)重力加速度測(cè)量的影響

落體旋轉(zhuǎn),導(dǎo)致絕對(duì)重力的測(cè)量結(jié)果存在重力加速度干擾。如圖1所示,由于落體加工、定位精度的限制,光心(Oc)與質(zhì)心(Ocm)不重合,在落體下落過(guò)程中,光心相對(duì)于質(zhì)心以恒定的角速度旋轉(zhuǎn),重力加速度干擾項(xiàng)為:

圖1 落體旋轉(zhuǎn)引入加速度干擾的原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of additional acceleration caused by rotation of falling body

Δg=Rω2sin(γ0+ωt)

(1)

式中:R為光心與質(zhì)心的間距;ω為落體的旋轉(zhuǎn)角速度;γ0為初始時(shí)刻光心質(zhì)心所在直線與參考面的夾角。

由于落體下落時(shí)間短,引起的偏轉(zhuǎn)角度ωt很小,式(1)可簡(jiǎn)化為:

Δg=ω2h0

(2)

式中h0為光心與質(zhì)心的在初始位置沿著鉛垂線方向的高度差。

3 扭擺法測(cè)量落體光心質(zhì)心偏移量原理

3.1 扭擺法測(cè)量原理

扭擺法測(cè)量原理如圖2所示,鎢絲一端固定,另一端通過(guò)套管與落體質(zhì)心正上方側(cè)面處的夾具連接,落體由角錐棱鏡與鏡座組成。邁克爾遜干涉儀由落體、偏振分束器、激光器、角錐棱鏡、光強(qiáng)探測(cè)器組成,用來(lái)測(cè)量光心沿測(cè)量方向的位移量。建立如圖2所示坐標(biāo)系,α、β、α1、β1、γ1為5個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,采用標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)分析落體的本征頻率。

圖2 落體扭擺法原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of torsion pendulum method for falling body

落體做小角度運(yùn)動(dòng),對(duì)位矢進(jìn)行二階近似后:

(3)

式中i、j、k是沿x2、y2、z2三坐標(biāo)軸的單位矢量。

落體的拉格朗日函數(shù)為:

(4)

代入拉格朗日方程:

(5)

可以得到質(zhì)量矩陣:

(6)

剛度矩陣為:

(7)

求解模態(tài)方程:

|K-ω2M|=0

(8)

式中:k為扭絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù);l為扭絲的長(zhǎng)度;h為落體的質(zhì)心到落體套管上表面的距離;m為扭絲承受的總重量,Ix、Iy、Iz為主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。代入特征參數(shù),求解模態(tài)方程,落體的本征頻率分別為γ1=0.05 Hz、β1=1.06 Hz、α1=5.88 Hz、β=1.06 Hz、α=5.56 Hz。扭轉(zhuǎn)是扭秤的主要振動(dòng)模式(0.05 Hz),對(duì)應(yīng)的恢復(fù)系數(shù)最小,是扭秤最靈敏的運(yùn)動(dòng)模式,其它4個(gè)本征振動(dòng)頻率相對(duì)扭轉(zhuǎn)頻率較大,可通過(guò)濾波消除。

基于扭絲的柔軟特性,其延長(zhǎng)線過(guò)質(zhì)心,在扭擺系統(tǒng)平衡位置處(即扭絲未發(fā)生扭轉(zhuǎn))建立質(zhì)心坐標(biāo)系,其中z軸由質(zhì)心指向角錐棱鏡的底面,y軸沿著扭絲方向,x軸與二者正交,光心的坐標(biāo)為(δx,δy,δz),如圖2中的落體截面圖所示。落體繞扭絲小角度旋轉(zhuǎn),由于光心與質(zhì)心在x方向與z方向存在偏移(在絕對(duì)重力儀中,考慮落體釋放姿態(tài),z方向的偏移是落體沿鉛垂線方向光心與質(zhì)心的偏移),光心在z方向的投影為:

(9)

式中:δx、δz分別為光心與質(zhì)心在x與z方向的偏移量;θ為扭絲扭轉(zhuǎn)的角度。

落體在最大扭轉(zhuǎn)振幅處釋放,對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以寫成諧振子形式:

θ(t)=θ0e-β0tsinω′t

(10)

代入諧振子形式,光心位置在z方向的投影為:

(11)

由式(11)可見(jiàn),在頻域中光心與質(zhì)心在z方向的偏移量與二倍頻分量的幅值有關(guān)。忽略阻尼影響,此偏移量為:

(12)

式中A為光心沿z方向投影的二倍頻分量的幅值。

落體在平衡位置,干涉儀的測(cè)量光束不可能完全垂直于落體的底面,故需對(duì)式(9)進(jìn)行修正。假設(shè)入射角為φ,落體沿著扭絲小角度扭轉(zhuǎn),光心在z方向的投影為:

(13)

式(13)中第1、2項(xiàng)與式(9)相同,第3項(xiàng)為固定常系數(shù)項(xiàng),第4項(xiàng)代入諧振子運(yùn)動(dòng)方程,僅引入一倍頻信號(hào),因此落體在平衡位置,測(cè)量光小角度傾斜,不會(huì)干擾光心與質(zhì)心z方向偏移量的測(cè)量。

3.2 折射率對(duì)光程的影響

落體中角錐棱鏡的折射率不同于空氣的折射率,落體繞扭絲小角度扭轉(zhuǎn),即使落體的光心與質(zhì)心重合,角錐棱鏡的反射光程也有所差異,如圖3所示。

圖3 角錐棱鏡的反射光程Fig.3 The reflected light path length of the prism

折射率導(dǎo)致光心z方向投影的測(cè)量誤差為[14]:

(14)

式中:α2為入射角;D為角錐棱鏡的高度;l1為光心與參考平面的距離;h1為光心到角錐棱鏡底面的距離,Ocm為質(zhì)心(光心與質(zhì)心重合);C為角錐棱鏡的頂點(diǎn);γ為折射角;μ為棱鏡的折射率。對(duì)于扭擺系統(tǒng),在平衡位置,干涉儀測(cè)量光的入射角為φ,當(dāng)扭絲扭轉(zhuǎn)角度為θ時(shí),角錐棱鏡反射光程相對(duì)于在平衡位置的差值為:

Δδ=δ(φ+θ)-δ(φ)=

(15)

式(15)代入含時(shí)諧振子形式,并作4階近似為:

(16)

式中:

角錐棱鏡反射光程相對(duì)于平衡位置處的差值包含二倍頻信號(hào),其幅值大小取決于平衡位置處測(cè)量光的入射角φ及落體的初始扭擺振幅θ0,且該二倍頻信號(hào)疊加到所測(cè)量的二倍頻分量中,影響測(cè)量結(jié)果,該干擾項(xiàng)為:

(17)

3.3 氣體阻尼對(duì)測(cè)量的影響

考慮氣體阻尼的作用,式(11)中,對(duì)一倍頻分量作傅里葉變換,可以看作是頻率在0～∞范圍內(nèi)連續(xù)分布的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。變換后幅值譜為:

(18)

式(11)中,測(cè)量信號(hào)為二倍頻分量的幅值,其中一倍頻分量的幅值遠(yuǎn)大于所測(cè)二倍頻分量的幅值?？紤]到氣體阻尼的影響,一倍頻分量包含部分二倍頻信號(hào),將與所測(cè)二倍頻分量疊加,干擾測(cè)量結(jié)果。

4 數(shù)值分析

在落體的平衡位置處,干涉儀的測(cè)量光束無(wú)法保證垂直入射至角錐棱鏡的底面,預(yù)設(shè)入射角φ,落體扭擺的初始振幅θ0=2°(扭擺系統(tǒng)為小角度運(yùn)動(dòng)), 帶入角錐棱鏡的折射率與高度的實(shí)際值,分別為μ=1.55、D=2.2 cm,忽略氣體阻尼的影響,圖4給出折射率引入的光心與質(zhì)心z方向偏移量測(cè)量干擾項(xiàng)與入射角φ的關(guān)系。

圖4 光心質(zhì)心z方向偏移量測(cè)量干擾項(xiàng)與入射角φ的關(guān)系Fig.4 The relation between additional offset of Oc-Ocm and φ at the z direction

入射角φ是影響光心與質(zhì)心z方向偏移量測(cè)量的重要誤差來(lái)源。隨著入射角增大,折射率引入的干擾項(xiàng)呈指數(shù)增長(zhǎng)。當(dāng)入射角在0～0.1°之間時(shí),干擾項(xiàng)增長(zhǎng)緩慢,約為1.3 μm。因此入射角控制在0.1°以內(nèi),可使該項(xiàng)系統(tǒng)誤差最小。

圖5 幅值譜(θ0=2°,δx=100 μm/10 μm,Q=1 000)Fig.5 Amplitude spectrum(θ0=2°,δx=100 μm/10 μm, Q=1 000)

5 結(jié) 語(yǔ)

本文基于扭擺法,從標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)方程出發(fā),分析落體的本征頻率,光心與質(zhì)心沿鉛錘線方向的偏移量與光心位移的二倍頻有關(guān)。角錐棱鏡的折射率會(huì)引入額外光程,落體在平衡位置處,推導(dǎo)干涉儀測(cè)量光以不同角度入射引入額外光程的理論公式。分析表明:入射角在0～0.1°之間,品質(zhì)因子Q=1 000時(shí),該方法的最優(yōu)測(cè)量精度為1.4 μm。通過(guò)該方法調(diào)校落體使光心與質(zhì)心重合,若落體的旋轉(zhuǎn)角速度為0.1 rad/s,那么旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致的重力加速度干擾最佳可控制在1.4 μGal之內(nèi)。