周曉露

摘 要：幾何直觀是數(shù)學課程的一個核心概念，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》第一學段課程目標對此尚未涉及，然而在第一學段滲透幾何直觀符合學生認知發(fā)展規(guī)律。文章闡述第一學段滲透幾何直觀依托一定載體，通過顯性學習和隱性的氛圍感受相結(jié)合的實踐，幫助學生在主動嘗試中感受幾何直觀的價值，積累利用幾何直觀理解數(shù)學的活動經(jīng)驗。

關鍵詞：幾何直觀;小學數(shù)學;第一學段;畫圖策略

幾何直觀是數(shù)學課程的一個核心概念，筆者在實踐教學中發(fā)現(xiàn)，畫圖策略作為幾何直觀的一種技能表現(xiàn)形式，出現(xiàn)“第一學段不重視，第二學段不會用”的尷尬場面。第一學段的教材內(nèi)容在編排上常常以全圖式或半圖式的形式呈現(xiàn)，在教學時通常也要借助擺一擺、畫一畫等直觀的形式來理解數(shù)學。在第一學段到底該如何安排幾何直觀教學？筆者基于幾何直觀的認識，對第一學段滲透幾何直觀的教學進行思考和嘗試。

一、堅定滲透理念：符合學生認知發(fā)展規(guī)律

第一學段學生思維發(fā)展水平以形象思維為主，在學習概念及解決問題過程中常需要借助實物、圖片、小棒，這就有必要在第一學段滲透幾何直觀。另外，教材在內(nèi)容編排上從具體到抽象：一年級出現(xiàn)了大量的情境圖、實物圖;二年級（下冊）開始出現(xiàn)直條圖呈現(xiàn)信息，逐步抽象數(shù)量關系;三年級（上冊）正式教學線段圖……這符合學生對幾何直觀逐漸認識、理解、運用的過程，為學生積累了足夠的表象與經(jīng)驗。因此，第一學段滲透幾何直觀符合學生的認知規(guī)律，有助于學生利用幾何直觀理解數(shù)學模型的建立，有助于學生積累豐富的活動經(jīng)驗，為后續(xù)的數(shù)學學習作好鋪墊。

二、明確教學目標：在主動嘗試中感受幾何直觀的價值

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》這樣描述幾何直觀：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象。有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用?！边@給了一線教師進行教學思考的基本依據(jù)。首先，幾何直觀并不和具體的知識點聯(lián)系在一起?！皥D形與幾何”的學習過程中，其中的一個目標就是培養(yǎng)學生的幾何直觀。另一方面，在“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”等板塊的內(nèi)容中也可以讓學生感受幾何直觀的價值。幾何直觀是基于“幾何與圖形”而超越“圖形與幾何”的。其次，幾何直觀是一種意識，也是種技能與能力。對數(shù)學教學來說，幾何直觀表現(xiàn)為面對數(shù)學問題能想到畫圖來幫助思考，表現(xiàn)為掌握一定的幾何直觀的畫圖技巧，能畫圖并借助圖進行數(shù)學思考。最后，幾何直觀更是一種思維能力，面對數(shù)學問題能夠主動地取舍是否需要運用畫圖策略來解答，自如地通過直觀層面來解決數(shù)學問題。

三、提供學習支持：顯性學習和隱性感受相結(jié)合

（一）隱性感受，營造良好的課程氛圍

幾何直觀是一種技能或能力，更是一種數(shù)學意識。因此教師首先要有明確的幾何直觀的課程意識，才能促進學生在良好的課程氛圍中感受幾何直觀的價值。教師的課程意識最明顯的表現(xiàn)形式就是能夠整體把握義務教育階段的課標與教材，能夠?qū)滩闹械膸缀沃庇^進行個性開發(fā)。表現(xiàn)在圖形與幾何知識的學習中，讓學生動手操作，會用圖形來代替實物，會通過折、疊、拼、展開等各種活動，積累活動經(jīng)驗。表現(xiàn)在其他三塊領域的學習中，則是充分挖掘和呈現(xiàn)這些知識中的幾何直觀因素，以便學生更直觀地理解數(shù)學。因此無論是哪塊知識領域，教師在整合課程資源的同時，能夠個性化地運用畫圖的形式，讓學生直觀地理解數(shù)學。

筆者以人教版小學數(shù)學第三冊教材為例，對各單元不同知識內(nèi)容進行了個性化圖解，以期為學生創(chuàng)造良好的課程氛圍，在課堂教學中不斷強化幾何直觀的意識。

上述劃分目的在于教師個性化開發(fā)課程資源，創(chuàng)設良好的幾何直觀的課程氛圍，促進學生更直觀地理解數(shù)學。第一部分集中圖示，呈現(xiàn)原理一致的問題都與排列有關，而排列問題對二年級的學生來說，就屬于有難度、很新穎的問題類型。通過對它的指導，可帶領學生學習數(shù)學畫圖。第二部分添加圖示，區(qū)分相近概念。相近概念的一方是舊知（已經(jīng)建立表象），另一方是新知（尚未建立表象），在概念對比中筆者采用舊知學生畫圖，新知教師畫圖的方式，逐漸向全由學生畫圖轉(zhuǎn)變。第三部分展現(xiàn)圖示，理解較難概念。在一些較難概念的理解上，用圖示進行思辨糾錯，從正反兩方面認識概念，擴大概念的內(nèi)涵與外延。第四部分對比圖示，進行材料辨識。

（二）顯性學習：指導畫圖策略的遷移

用幾何直觀方法解題，必然經(jīng)歷把研究“對象”抽象成為“圖形”，再把“對象之間的關系”轉(zhuǎn)化為“圖形之間的關系”，進而思考分析的過程。而這一系列的轉(zhuǎn)化過程不是天然形成的，學生也不可能一蹴而就。因此，我們還對畫圖策略給予適當?shù)闹笇А?/p>

1. 畫圖技巧的指導

幾何直觀一般經(jīng)歷“實物圖—示意圖（直條圖）—線段圖”的遞進，因此教學幾何直觀首先要引導學生讀懂圖。如一年級上冊含有大括號的解決問題，呈現(xiàn)的是信息，我們知道了什么，要解決什么問題。二年級上冊認識乘法這一單元，教材呈現(xiàn)多種實物圖，每種實物都展示著相同的幾份，揭示了乘法的意義;一年級下冊“求兩數(shù)相差多少”的問題，以及二年級下冊倍的認識，教材出現(xiàn)的直條圖，重在讓學生看懂圖所揭示的數(shù)量關系。

其次要掌握用幾何圖形來替代實物，畫出去情境化的示意圖。從實物圖到示意圖，學習的是用幾何圖形表征數(shù)量的多少。這個描述題意的過程，關注的是幾何圖形與實物的一一對應。如在一年級下冊的“數(shù)學思考”中遇到這樣的問題：我們一隊有12個男生，老師讓我們兩個男生之間插進一個女生。共可以插進多少個女生？在教學時，我們要引導用一種圖形如圓來代替12個男生，用三角形來代替女生，通過畫出示意圖，從而直觀地解答此題。在實際的教學中，教師要盡可能地挖掘幾何直觀的材料，讓學生養(yǎng)成用圖形代替實物、去情境化的習慣。

畫圖策略是培養(yǎng)幾何直觀的一種手段，幾何直觀里的圖形不一定是有形的，還可是無形，或是學生頭腦中對表象的直接操作。因此學生的思維過程“文字—圖形—符號”上升到“文字—符號”階段，可以允許學生跳過畫圖這個中間環(huán)節(jié)。因此筆者在進行畫圖策略指導的時候，及時根據(jù)每個學生的實際情況，不斷縮減這個環(huán)節(jié)，不讓畫圖策略成為學生的學習負擔。

2. 畫圖過程的指導

對第一學段學生畫圖策略的指導，可以從對示意圖畫法的示范，學生用外部言語的表述，以及學生的自我訓練來操作。同時考慮到第一學段的學生有意注意保持時間不長，容易感到疲勞的特點，在指導中可以加入表演、演示、回想、猜測等方法吸引他們的注意，添加兒歌、童謠、故事、快板等兒童化的元素，使學生更好地運用畫圖策略，在不知不覺中完成數(shù)學畫圖的游戲。

以下是筆者設計的“握手問題”畫圖策略指導方案：

（1）結(jié)合言語，定向指導

定向指導畫圖策略，就是完整的展現(xiàn)畫圖過程的各個流程，包括把文字材料轉(zhuǎn)化成圖的各個要素，依據(jù)圖來確定數(shù)量關系等步驟。而在定向階段最重要的就是教師正確的示范、確切的講解、明確的動作指令。

出示對象一：三人握手，每兩人之間握一次，一共握了幾次？

指導過程：

◆讀題、演示——理解關鍵句“每兩人之間握一次手”隱含的握手的順序和方式，在學生表演中形成充分的表象。

◆回想、表述——采用外部言語對過程進行表述，明確握手的順序。

◆正確示范畫圖，清晰描述過程——結(jié)合生動的語言，完整展現(xiàn)畫圖全過程。

為便于二年級學生掌握畫圖的過程，筆者特地編了一則小故事，伴隨故事的敘述畫圖示范。

師：有家農(nóng)戶生三子，老大、老二和老三（板：畫了三個顏色不同的●），三人今日要分別，相互握手來道別，老大先握老二手（板：在老大和老二之間加一條線），老大再握老三手（板：在老大和老三之間加了一條線），老大握完揮淚走，剩下老二握老三，兄弟倆倆把手握（板：在老二和老三之間加一條線），期盼來年早日見。

（2）實際操作，適時轉(zhuǎn)化

在學生進行幾何直觀模式的實際操作時，包括引導學生進一步熟悉和理解線段圖;畫出第一步圖，提供畫圖的大體框架，引導學生接著往下畫;引導學生根據(jù)題意獨立畫圖，對于可能出現(xiàn)的信息呈現(xiàn)不完整，關系表達不準確等問題，教師要利用面批、糾錯等形式認真、耐心地加以指導。在這一過程中還要引導學生思考：到底什么時候需要畫圖？畫怎樣的圖？畫圖時有什么注意點？有了圖怎樣進一步思考？等等。

指導過程：

◆學生嘗試獨立畫出對象一的圖，教師巡視糾正錯誤的動作序列。

變更對象出示第二題： 上圖中一共有幾條線段？

◆尋找相同點，說說畫圖過程——提示學生可以把線段的三個端點當三個兒子，把每兩個端點組成的線段當作握手的次數(shù)。觀察教師板演過程，語言說明畫圖的過程。

變更對象出示第三題： 左圖一共有多少個角？

◆嘗試畫圖，逐個過關——學生比較發(fā)現(xiàn)：可以把三條邊當作三個兒子，每兩條邊組成的角當作握手的次數(shù)。學生邊說邊畫，教師逐個巡視畫圖過程。

變更對象出示第四題：一架玩具飛機26元，一輛玩具汽車38元，一個玩具洋娃娃29元，任意買兩個玩具可能需要多少錢？你最多能寫出幾種買法？

◆畫法順應，集中反饋——由于與前四題畫法相同，所以由學生獨立操作為主，在反饋中重點理清四則材料畫圖方法的異同點。

變更對象出示第五題：五人握手，每兩人之間握一次，一共握了幾次？

◆縱向深入，分層要求——從3個對象的排列到5個對象的排列，盡管原理一樣，但對畫法順序上的要求更高。需要學生把剛學的畫圖策略與頭腦中的表象正確對接才能完成任務，對個體智力水平好的學生更具有挑戰(zhàn)性;智力水平一般的學生，需要充分調(diào)動自己所有的知識參與活動;智力水平較弱的學生，筆者可以給予一定的個別輔導。

在畫圖策略指導初期，課外作業(yè)需要學生和家長一起做一做、畫一畫、算一算：如布置學生回家對著鏡子擺姿勢（手上拿本書等）畫出鏡中畫面的作業(yè)，小朋友排隊問題，用小正方形拼長方形的問題等。在評價時多對使用畫圖策略解決問題的學生給予贊揚，多制造機會讓每個學生體會到使用畫圖策略成功解決問題的喜悅，逐漸在班級成員的日常學習中，形成用畫圖展現(xiàn)思維進行辯論的氛圍。

學生的思維方式和價值感受主要在課堂中形成。培養(yǎng)學生幾何直觀的思維，需要依托數(shù)學課程的每個領域，依托具體的數(shù)學教學內(nèi)容，需要具體落實到每一個教學內(nèi)容、每一個教學細節(jié)。如果教師在第一學段就能以保護學生的幾何直觀的潛質(zhì)為起點，善于利用幾何直觀來組織教學，并給予顯性的畫圖策略的指導，相信學生肯定能積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗，最終形成針對幾何的敏銳洞察力和深厚的數(shù)學素養(yǎng)。

■參考文獻

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