周曉露

摘 要：幾何直觀是數(shù)學(xué)課程的一個(gè)核心概念，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》第一學(xué)段課程目標(biāo)對(duì)此尚未涉及，然而在第一學(xué)段滲透幾何直觀符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。文章闡述第一學(xué)段滲透幾何直觀依托一定載體，通過(guò)顯性學(xué)習(xí)和隱性的氛圍感受相結(jié)合的實(shí)踐，幫助學(xué)生在主動(dòng)嘗試中感受幾何直觀的價(jià)值，積累利用幾何直觀理解數(shù)學(xué)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：幾何直觀;小學(xué)數(shù)學(xué);第一學(xué)段;畫圖策略

幾何直觀是數(shù)學(xué)課程的一個(gè)核心概念，筆者在實(shí)踐教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，畫圖策略作為幾何直觀的一種技能表現(xiàn)形式，出現(xiàn)“第一學(xué)段不重視，第二學(xué)段不會(huì)用”的尷尬場(chǎng)面。第一學(xué)段的教材內(nèi)容在編排上常常以全圖式或半圖式的形式呈現(xiàn)，在教學(xué)時(shí)通常也要借助擺一擺、畫一畫等直觀的形式來(lái)理解數(shù)學(xué)。在第一學(xué)段到底該如何安排幾何直觀教學(xué)？筆者基于幾何直觀的認(rèn)識(shí)，對(duì)第一學(xué)段滲透幾何直觀的教學(xué)進(jìn)行思考和嘗試。

一、堅(jiān)定滲透理念：符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律

第一學(xué)段學(xué)生思維發(fā)展水平以形象思維為主，在學(xué)習(xí)概念及解決問(wèn)題過(guò)程中常需要借助實(shí)物、圖片、小棒，這就有必要在第一學(xué)段滲透幾何直觀。另外，教材在內(nèi)容編排上從具體到抽象：一年級(jí)出現(xiàn)了大量的情境圖、實(shí)物圖;二年級(jí)（下冊(cè)）開(kāi)始出現(xiàn)直條圖呈現(xiàn)信息，逐步抽象數(shù)量關(guān)系;三年級(jí)（上冊(cè)）正式教學(xué)線段圖……這符合學(xué)生對(duì)幾何直觀逐漸認(rèn)識(shí)、理解、運(yùn)用的過(guò)程，為學(xué)生積累了足夠的表象與經(jīng)驗(yàn)。因此，第一學(xué)段滲透幾何直觀符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有助于學(xué)生利用幾何直觀理解數(shù)學(xué)模型的建立，有助于學(xué)生積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作好鋪墊。

二、明確教學(xué)目標(biāo)：在主動(dòng)嘗試中感受幾何直觀的價(jià)值

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》這樣描述幾何直觀：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象。有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用?！边@給了一線教師進(jìn)行教學(xué)思考的基本依據(jù)。首先，幾何直觀并不和具體的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系在一起?！皥D形與幾何”的學(xué)習(xí)過(guò)程中，其中的一個(gè)目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀。另一方面，在“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計(jì)與概率”和“綜合與實(shí)踐”等板塊的內(nèi)容中也可以讓學(xué)生感受幾何直觀的價(jià)值。幾何直觀是基于“幾何與圖形”而超越“圖形與幾何”的。其次，幾何直觀是一種意識(shí)，也是種技能與能力。對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，幾何直觀表現(xiàn)為面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題能想到畫圖來(lái)幫助思考，表現(xiàn)為掌握一定的幾何直觀的畫圖技巧，能畫圖并借助圖進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。最后，幾何直觀更是一種思維能力，面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題能夠主動(dòng)地取舍是否需要運(yùn)用畫圖策略來(lái)解答，自如地通過(guò)直觀層面來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

三、提供學(xué)習(xí)支持：顯性學(xué)習(xí)和隱性感受相結(jié)合

（一）隱性感受，營(yíng)造良好的課程氛圍

幾何直觀是一種技能或能力，更是一種數(shù)學(xué)意識(shí)。因此教師首先要有明確的幾何直觀的課程意識(shí)，才能促進(jìn)學(xué)生在良好的課程氛圍中感受幾何直觀的價(jià)值。教師的課程意識(shí)最明顯的表現(xiàn)形式就是能夠整體把握義務(wù)教育階段的課標(biāo)與教材，能夠?qū)滩闹械膸缀沃庇^進(jìn)行個(gè)性開(kāi)發(fā)。表現(xiàn)在圖形與幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生動(dòng)手操作，會(huì)用圖形來(lái)代替實(shí)物，會(huì)通過(guò)折、疊、拼、展開(kāi)等各種活動(dòng)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。表現(xiàn)在其他三塊領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中，則是充分挖掘和呈現(xiàn)這些知識(shí)中的幾何直觀因素，以便學(xué)生更直觀地理解數(shù)學(xué)。因此無(wú)論是哪塊知識(shí)領(lǐng)域，教師在整合課程資源的同時(shí)，能夠個(gè)性化地運(yùn)用畫圖的形式，讓學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)。

筆者以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第三冊(cè)教材為例，對(duì)各單元不同知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行了個(gè)性化圖解，以期為學(xué)生創(chuàng)造良好的課程氛圍，在課堂教學(xué)中不斷強(qiáng)化幾何直觀的意識(shí)。

上述劃分目的在于教師個(gè)性化開(kāi)發(fā)課程資源，創(chuàng)設(shè)良好的幾何直觀的課程氛圍，促進(jìn)學(xué)生更直觀地理解數(shù)學(xué)。第一部分集中圖示，呈現(xiàn)原理一致的問(wèn)題都與排列有關(guān)，而排列問(wèn)題對(duì)二年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，就屬于有難度、很新穎的問(wèn)題類型。通過(guò)對(duì)它的指導(dǎo)，可帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)畫圖。第二部分添加圖示，區(qū)分相近概念。相近概念的一方是舊知（已經(jīng)建立表象），另一方是新知（尚未建立表象），在概念對(duì)比中筆者采用舊知學(xué)生畫圖，新知教師畫圖的方式，逐漸向全由學(xué)生畫圖轉(zhuǎn)變。第三部分展現(xiàn)圖示，理解較難概念。在一些較難概念的理解上，用圖示進(jìn)行思辨糾錯(cuò)，從正反兩方面認(rèn)識(shí)概念，擴(kuò)大概念的內(nèi)涵與外延。第四部分對(duì)比圖示，進(jìn)行材料辨識(shí)。

（二）顯性學(xué)習(xí)：指導(dǎo)畫圖策略的遷移

用幾何直觀方法解題，必然經(jīng)歷把研究“對(duì)象”抽象成為“圖形”，再把“對(duì)象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“圖形之間的關(guān)系”，進(jìn)而思考分析的過(guò)程。而這一系列的轉(zhuǎn)化過(guò)程不是天然形成的，學(xué)生也不可能一蹴而就。因此，我們還對(duì)畫圖策略給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。

1. 畫圖技巧的指導(dǎo)

幾何直觀一般經(jīng)歷“實(shí)物圖—示意圖（直條圖）—線段圖”的遞進(jìn)，因此教學(xué)幾何直觀首先要引導(dǎo)學(xué)生讀懂圖。如一年級(jí)上冊(cè)含有大括號(hào)的解決問(wèn)題，呈現(xiàn)的是信息，我們知道了什么，要解決什么問(wèn)題。二年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)乘法這一單元，教材呈現(xiàn)多種實(shí)物圖，每種實(shí)物都展示著相同的幾份，揭示了乘法的意義;一年級(jí)下冊(cè)“求兩數(shù)相差多少”的問(wèn)題，以及二年級(jí)下冊(cè)倍的認(rèn)識(shí)，教材出現(xiàn)的直條圖，重在讓學(xué)生看懂圖所揭示的數(shù)量關(guān)系。

其次要掌握用幾何圖形來(lái)替代實(shí)物，畫出去情境化的示意圖。從實(shí)物圖到示意圖，學(xué)習(xí)的是用幾何圖形表征數(shù)量的多少。這個(gè)描述題意的過(guò)程，關(guān)注的是幾何圖形與實(shí)物的一一對(duì)應(yīng)。如在一年級(jí)下冊(cè)的“數(shù)學(xué)思考”中遇到這樣的問(wèn)題：我們一隊(duì)有12個(gè)男生，老師讓我們兩個(gè)男生之間插進(jìn)一個(gè)女生。共可以插進(jìn)多少個(gè)女生？在教學(xué)時(shí)，我們要引導(dǎo)用一種圖形如圓來(lái)代替12個(gè)男生，用三角形來(lái)代替女生，通過(guò)畫出示意圖，從而直觀地解答此題。在實(shí)際的教學(xué)中，教師要盡可能地挖掘幾何直觀的材料，讓學(xué)生養(yǎng)成用圖形代替實(shí)物、去情境化的習(xí)慣。

畫圖策略是培養(yǎng)幾何直觀的一種手段，幾何直觀里的圖形不一定是有形的，還可是無(wú)形，或是學(xué)生頭腦中對(duì)表象的直接操作。因此學(xué)生的思維過(guò)程“文字—圖形—符號(hào)”上升到“文字—符號(hào)”階段，可以允許學(xué)生跳過(guò)畫圖這個(gè)中間環(huán)節(jié)。因此筆者在進(jìn)行畫圖策略指導(dǎo)的時(shí)候，及時(shí)根據(jù)每個(gè)學(xué)生的實(shí)際情況，不斷縮減這個(gè)環(huán)節(jié)，不讓畫圖策略成為學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

2. 畫圖過(guò)程的指導(dǎo)

對(duì)第一學(xué)段學(xué)生畫圖策略的指導(dǎo)，可以從對(duì)示意圖畫法的示范，學(xué)生用外部言語(yǔ)的表述，以及學(xué)生的自我訓(xùn)練來(lái)操作。同時(shí)考慮到第一學(xué)段的學(xué)生有意注意保持時(shí)間不長(zhǎng)，容易感到疲勞的特點(diǎn)，在指導(dǎo)中可以加入表演、演示、回想、猜測(cè)等方法吸引他們的注意，添加兒歌、童謠、故事、快板等兒童化的元素，使學(xué)生更好地運(yùn)用畫圖策略，在不知不覺(jué)中完成數(shù)學(xué)畫圖的游戲。

以下是筆者設(shè)計(jì)的“握手問(wèn)題”畫圖策略指導(dǎo)方案：

（1）結(jié)合言語(yǔ)，定向指導(dǎo)

定向指導(dǎo)畫圖策略，就是完整的展現(xiàn)畫圖過(guò)程的各個(gè)流程，包括把文字材料轉(zhuǎn)化成圖的各個(gè)要素，依據(jù)圖來(lái)確定數(shù)量關(guān)系等步驟。而在定向階段最重要的就是教師正確的示范、確切的講解、明確的動(dòng)作指令。

出示對(duì)象一：三人握手，每?jī)扇酥g握一次，一共握了幾次？

指導(dǎo)過(guò)程：

◆讀題、演示——理解關(guān)鍵句“每?jī)扇酥g握一次手”隱含的握手的順序和方式，在學(xué)生表演中形成充分的表象。

◆回想、表述——采用外部言語(yǔ)對(duì)過(guò)程進(jìn)行表述，明確握手的順序。

◆正確示范畫圖，清晰描述過(guò)程——結(jié)合生動(dòng)的語(yǔ)言，完整展現(xiàn)畫圖全過(guò)程。

為便于二年級(jí)學(xué)生掌握畫圖的過(guò)程，筆者特地編了一則小故事，伴隨故事的敘述畫圖示范。

師：有家農(nóng)戶生三子，老大、老二和老三（板：畫了三個(gè)顏色不同的●），三人今日要分別，相互握手來(lái)道別，老大先握老二手（板：在老大和老二之間加一條線），老大再握老三手（板：在老大和老三之間加了一條線），老大握完揮淚走，剩下老二握老三，兄弟倆倆把手握（板：在老二和老三之間加一條線），期盼來(lái)年早日見(jiàn)。

（2）實(shí)際操作，適時(shí)轉(zhuǎn)化

在學(xué)生進(jìn)行幾何直觀模式的實(shí)際操作時(shí)，包括引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步熟悉和理解線段圖;畫出第一步圖，提供畫圖的大體框架，引導(dǎo)學(xué)生接著往下畫;引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意獨(dú)立畫圖，對(duì)于可能出現(xiàn)的信息呈現(xiàn)不完整，關(guān)系表達(dá)不準(zhǔn)確等問(wèn)題，教師要利用面批、糾錯(cuò)等形式認(rèn)真、耐心地加以指導(dǎo)。在這一過(guò)程中還要引導(dǎo)學(xué)生思考：到底什么時(shí)候需要畫圖？畫怎樣的圖？畫圖時(shí)有什么注意點(diǎn)？有了圖怎樣進(jìn)一步思考？等等。

指導(dǎo)過(guò)程：

◆學(xué)生嘗試獨(dú)立畫出對(duì)象一的圖，教師巡視糾正錯(cuò)誤的動(dòng)作序列。

變更對(duì)象出示第二題： 上圖中一共有幾條線段？

◆尋找相同點(diǎn)，說(shuō)說(shuō)畫圖過(guò)程——提示學(xué)生可以把線段的三個(gè)端點(diǎn)當(dāng)三個(gè)兒子，把每?jī)蓚€(gè)端點(diǎn)組成的線段當(dāng)作握手的次數(shù)。觀察教師板演過(guò)程，語(yǔ)言說(shuō)明畫圖的過(guò)程。

變更對(duì)象出示第三題： 左圖一共有多少個(gè)角？

◆嘗試畫圖，逐個(gè)過(guò)關(guān)——學(xué)生比較發(fā)現(xiàn)：可以把三條邊當(dāng)作三個(gè)兒子，每?jī)蓷l邊組成的角當(dāng)作握手的次數(shù)。學(xué)生邊說(shuō)邊畫，教師逐個(gè)巡視畫圖過(guò)程。

變更對(duì)象出示第四題：一架玩具飛機(jī)26元，一輛玩具汽車38元，一個(gè)玩具洋娃娃29元，任意買兩個(gè)玩具可能需要多少錢？你最多能寫出幾種買法？

◆畫法順應(yīng)，集中反饋——由于與前四題畫法相同，所以由學(xué)生獨(dú)立操作為主，在反饋中重點(diǎn)理清四則材料畫圖方法的異同點(diǎn)。

變更對(duì)象出示第五題：五人握手，每?jī)扇酥g握一次，一共握了幾次？

◆縱向深入，分層要求——從3個(gè)對(duì)象的排列到5個(gè)對(duì)象的排列，盡管原理一樣，但對(duì)畫法順序上的要求更高。需要學(xué)生把剛學(xué)的畫圖策略與頭腦中的表象正確對(duì)接才能完成任務(wù)，對(duì)個(gè)體智力水平好的學(xué)生更具有挑戰(zhàn)性;智力水平一般的學(xué)生，需要充分調(diào)動(dòng)自己所有的知識(shí)參與活動(dòng);智力水平較弱的學(xué)生，筆者可以給予一定的個(gè)別輔導(dǎo)。

在畫圖策略指導(dǎo)初期，課外作業(yè)需要學(xué)生和家長(zhǎng)一起做一做、畫一畫、算一算：如布置學(xué)生回家對(duì)著鏡子擺姿勢(shì)（手上拿本書等）畫出鏡中畫面的作業(yè)，小朋友排隊(duì)問(wèn)題，用小正方形拼長(zhǎng)方形的問(wèn)題等。在評(píng)價(jià)時(shí)多對(duì)使用畫圖策略解決問(wèn)題的學(xué)生給予贊揚(yáng)，多制造機(jī)會(huì)讓每個(gè)學(xué)生體會(huì)到使用畫圖策略成功解決問(wèn)題的喜悅，逐漸在班級(jí)成員的日常學(xué)習(xí)中，形成用畫圖展現(xiàn)思維進(jìn)行辯論的氛圍。

學(xué)生的思維方式和價(jià)值感受主要在課堂中形成。培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的思維，需要依托數(shù)學(xué)課程的每個(gè)領(lǐng)域，依托具體的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，需要具體落實(shí)到每一個(gè)教學(xué)內(nèi)容、每一個(gè)教學(xué)細(xì)節(jié)。如果教師在第一學(xué)段就能以保護(hù)學(xué)生的幾何直觀的潛質(zhì)為起點(diǎn)，善于利用幾何直觀來(lái)組織教學(xué)，并給予顯性的畫圖策略的指導(dǎo)，相信學(xué)生肯定能積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，最終形成針對(duì)幾何的敏銳洞察力和深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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