劉爽　盧林霞

【內(nèi)容摘要】中學(xué)數(shù)學(xué)是一門融知識(shí)教育、思想教育、能力教育于一體的學(xué)科，具備數(shù)學(xué)思想有利于初中生實(shí)現(xiàn)全面發(fā)展。因此，只有將數(shù)學(xué)知識(shí)與思想教育相結(jié)合，才能學(xué)好數(shù)學(xué)學(xué)科，有效提高教學(xué)效率和教學(xué)水平，這也是初中數(shù)學(xué)課堂的重點(diǎn)內(nèi)容?；诖耍疚木椭袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法開展探究與分析。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)? 思想方法? 數(shù)形結(jié)合? 化歸思想? 分類討論

隨著新課程改革的深入，數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的良性發(fā)展離不開數(shù)學(xué)思想的構(gòu)建上。從小學(xué)數(shù)學(xué)教育到高等數(shù)學(xué)教育，每個(gè)階段都有專家學(xué)者總結(jié)的關(guān)于數(shù)學(xué)思想構(gòu)建的經(jīng)驗(yàn)和感悟，數(shù)學(xué)思想也越來(lái)越系統(tǒng)①。初中數(shù)學(xué)是銜接階段，數(shù)學(xué)思想的融入是引導(dǎo)學(xué)生將理論聯(lián)系實(shí)際的真正開始，也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的重要基礎(chǔ)。因此，廣大教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想的滲透作用，并制定有效的教學(xué)策略，以期更好地促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、數(shù)形結(jié)合思想的滲透

1.以形化數(shù)

初中數(shù)學(xué)知識(shí)在一定程度上具有抽象性和邏輯性，主要是通過(guò)數(shù)量關(guān)系所體現(xiàn)，但學(xué)生往往會(huì)很難理解數(shù)量關(guān)系。而圖形具有一定的直觀性和形象性，教師在開展初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，可以建立圖形與數(shù)字的特定結(jié)構(gòu)關(guān)系，然后將數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，將代數(shù)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言，從而避免減少?gòu)?fù)雜的推理或計(jì)算，幫助學(xué)生深入理解抽象的代數(shù)關(guān)系②。

例如，在講解魯教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“不等式的解集”一課時(shí)，在之前的研究中，學(xué)生已經(jīng)對(duì)“不等關(guān)系”的相關(guān)概念有了初步的了解，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助多次試值方法認(rèn)識(shí)到不等式解的無(wú)限性，從而引出“解集”的概念。為了讓學(xué)生更直觀的理解不等式的解集，教師可以將數(shù)軸融入概念教學(xué)中，讓學(xué)生可以直觀地理解不等式解集與方程解的區(qū)別。在“一元一次不等式組”的教學(xué)中，數(shù)軸圖形的優(yōu)勢(shì)得到了更充分的體現(xiàn)，教師可以根據(jù)不等式組中兩個(gè)不等式的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上找到這兩個(gè)不等式的解集，最后結(jié)合數(shù)軸的直觀呈現(xiàn)，學(xué)生可以總結(jié)出：“x>大數(shù)，x>小數(shù)，則解集為x>大數(shù);x<大數(shù)，x<小數(shù)，則解集為x<小數(shù);x>小數(shù)，x<大數(shù)，則解集為小數(shù)大數(shù)，則無(wú)解?！睘榱朔奖銓W(xué)生記憶，教師傳授學(xué)生口訣：“同大取大，同小取小，小大大小中間找，小小大大無(wú)處找?！蓖ㄟ^(guò)這種以形化數(shù)方法，能夠使學(xué)生對(duì)不等式相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有更直觀的認(rèn)識(shí)，并幫助學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合思想。

2.以數(shù)變形

雖然圖形在表達(dá)形式上具有直觀、生動(dòng)的優(yōu)勢(shì)，能夠有效地呈現(xiàn)抽象知識(shí)點(diǎn)，但學(xué)生在定量計(jì)算時(shí)還是需要用代數(shù)方法表示③。也就是說(shuō)，單純的圖形通常沒(méi)有實(shí)際意義，尤其是面對(duì)一些簡(jiǎn)單或相對(duì)復(fù)雜的圖形，需要學(xué)生挖掘圖形中的隱含條件，從觀察中得出結(jié)論或規(guī)律，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量問(wèn)題，通過(guò)推導(dǎo)或計(jì)算來(lái)解讀圖形的內(nèi)在含義，所以在代數(shù)和圖形的組合方式中，學(xué)生具有以數(shù)變形思想也尤為必要。

例如，在講解魯教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“探索軸對(duì)稱的性質(zhì)”一課時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助平分線儀的基本原理，探索用尺子畫角平分線的基本方法。然后，教師可以組織學(xué)生們進(jìn)行折紙實(shí)踐，在操作過(guò)程中觀察折痕的數(shù)量，以對(duì)角平分線的性質(zhì)有大致理解。在學(xué)生掌握基本概念和性質(zhì)后，教師可以讓學(xué)生思考：“在一張1：200M的地圖上，四條公路相交成四個(gè)角，如果想建一個(gè)物流中心，而且距離每條公路都為300米，那么物流中心應(yīng)該建在哪里？請(qǐng)?jiān)趫D片中標(biāo)出具體位置?！备鶕?jù)關(guān)于角平分性質(zhì)的知識(shí)，學(xué)生應(yīng)運(yùn)用以數(shù)變形思想獨(dú)立回答這個(gè)問(wèn)題。

二、化歸思想的滲透

1.新舊知識(shí)結(jié)合，化陌生為熟悉

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)常面臨從未見(jiàn)過(guò)的數(shù)學(xué)題，存在無(wú)從下手的局面。對(duì)此，教師可以采用新舊知識(shí)結(jié)合的方法，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，從而增強(qiáng)解題能力④。例如，x2+y2+4x-4y+8=0，求x和y的解。本題有兩個(gè)未知數(shù)，但只有一個(gè)方程，大多數(shù)學(xué)生不知道如何求解。教師可以先把另外兩個(gè)數(shù)學(xué)題展示給學(xué)生，然后再解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)題一：x2+4x+4=0，求x的值;數(shù)學(xué)題二：y2-4y+4=0，求y的值。學(xué)生可以通過(guò)轉(zhuǎn)化思想在短時(shí)間內(nèi)正確解決這些數(shù)學(xué)問(wèn)題。第一個(gè)問(wèn)題是（x+2）2=0，得出x=-2，第二個(gè)問(wèn)題是（y-2）2=0，得出y=2。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生解答最開始的問(wèn)題，但是很多學(xué)生仍然不能正確回答。在這一點(diǎn)上，教師可以告訴學(xué)生：“其實(shí)剛才你們解答的兩個(gè)問(wèn)題，已經(jīng)得出了最開始問(wèn)題的正確答案?！睂W(xué)生覺(jué)得不可思議，教師可以給學(xué)生展示：x2+y2+4x-4y+8= （x+2）2+（y-2）2=0，其實(shí)這就是方程的變形，讓學(xué)生不費(fèi)吹灰之力就能得到正確答案。雖然在學(xué)習(xí)過(guò)程中很多新題型學(xué)生沒(méi)有見(jiàn)過(guò)，但這些題型都是最基本的知識(shí)逐漸演變而來(lái)，所以學(xué)生應(yīng)熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，逐漸形成劃歸思想，從而提高知識(shí)應(yīng)用能力。

2.深入分析問(wèn)題，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中經(jīng)常應(yīng)用的方法是簡(jiǎn)單地處理復(fù)雜的問(wèn)題，利用研究和觀察，可以把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)化為許多簡(jiǎn)單的問(wèn)題，這種劃分方式學(xué)生很容易接受，也很容易逐一進(jìn)行解決⑤。初中數(shù)學(xué)教師可以通過(guò)這種方式引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，降低問(wèn)題的難度，使學(xué)生可以感受到劃歸思想，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。

例如，在講解魯教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“一元二次方程的解法”時(shí)，教師可以先要求學(xué)生按照由簡(jiǎn)單到繁瑣的原則學(xué)習(xí)解題步驟，了解方程變形的目的。一元二次方程具有一定的難度，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生想辦法把方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程，最后變?yōu)閤=a的形式，也就是方程的解，使復(fù)雜的一元二次方程變得簡(jiǎn)單。這種化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的方法大部分學(xué)生都能接受，教學(xué)效果也非常顯著。再比如，在解答：“半徑為1的五個(gè)圓，它們的圓心依次是A、B、C、D、E。求圖中五個(gè)圓形成的扇形陰影總面積？”很多學(xué)生第一次接觸到此類問(wèn)題，按照常規(guī)的解題方法是先算出每個(gè)扇形陰影面積，然后相加得出問(wèn)題答案。這個(gè)過(guò)程極其復(fù)雜和困難，但只要學(xué)生深入思考，不難發(fā)現(xiàn)既然圓的半徑已知，那么學(xué)生在確定了扇形圓心角的度數(shù)后，就可以根據(jù)可以得到答案。

三、分類討論思想的滲透

1.明確分類討論對(duì)象及分類標(biāo)準(zhǔn)

與數(shù)字或公式有關(guān)的問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的問(wèn)題，其中絕對(duì)值、算術(shù)平方根等問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，分類討論思想可以應(yīng)用其中，只需要涉及兩三個(gè)討論部分即可得到答案，這種簡(jiǎn)單的分類討論適合于知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建⑥。在滲透分類思想過(guò)程中，教師應(yīng)重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生如何確定分類對(duì)象和分類標(biāo)準(zhǔn)，使解題思路更加清晰，避免出現(xiàn)過(guò)多的干擾條件。當(dāng)學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單的問(wèn)題掌握分類討論后，當(dāng)遇到函數(shù)、圖像、不等式等復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，可以更好地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的有用信息，提取分類對(duì)象，從而正確回答問(wèn)題⑦。因此，為了讓學(xué)生更好地形成分類討論思想，教師應(yīng)該注意教學(xué)過(guò)程的由淺入深，讓學(xué)生通過(guò)通俗易懂的問(wèn)題掌握分類討論方法，然后應(yīng)用到解決復(fù)雜問(wèn)題的過(guò)程中。

例如，在討論x在|x-3|>3和|x|>3中的取值范圍時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論。在討論|x|>3的分類時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)可以直接得到x>3或x<3的結(jié)果，而在討論|x-3|>3中x的范圍時(shí)，則需要完成計(jì)算才能得到x>6或x<0的結(jié)果。通過(guò)比較兩個(gè)絕對(duì)值不等式的解題過(guò)程，教師可以向?qū)W生講述|x|>3能夠直接得出x的值域，是因?yàn)榻^對(duì)值中只有未知數(shù)x，所以x就是分類討論的對(duì)象。但一般情況下，分類的對(duì)象是由絕對(duì)值決定的，而不是由未知數(shù)x決定的，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生明確分類討論對(duì)象，為后續(xù)探究做好鋪墊。

2.強(qiáng)調(diào)答案驗(yàn)證的重要性

分類討論的結(jié)果并不都可以作為最終答案，由于問(wèn)題中的一些限制性條件，從全范圍分類討論中獲得的答案不具合理性，而應(yīng)縮小范圍，控制在限制性條件內(nèi)。學(xué)生在實(shí)踐中做題時(shí)，往往忽略不合理或重復(fù)的答案，導(dǎo)致解題過(guò)程正確，但結(jié)果錯(cuò)誤⑧。因此，教師在用分類討論的思想教學(xué)生如何解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)答案驗(yàn)證的重要性。

例如，在講解魯教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“等腰三角形”一課時(shí)，教師可以為學(xué)生設(shè)計(jì)思考些問(wèn)題：“已知等腰三角形一角為30°，問(wèn)另外兩個(gè)角的度數(shù)。”因?yàn)椴淮_定已知條件“一角為30°”是頂角度數(shù)還是底角度數(shù)，所以最終答案不具有唯一性，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論，最終學(xué)生得到兩個(gè)結(jié)果，即頂角為120°、底角為30°，或頂角為30°、底角為75°。此時(shí)，教師將問(wèn)題進(jìn)行延伸：“如果已知一個(gè)等腰三角形的一角分別為45°、60°、100°時(shí)，是否仍然存在兩種情況？”并引導(dǎo)學(xué)生畫圖驗(yàn)證答案。最后學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，只有一角為45°時(shí)才有兩種結(jié)果，而當(dāng)角度為60°時(shí)，可以確定等腰三角形的三內(nèi)角都為60°;當(dāng)角度為120°時(shí)，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和存在180°條件的限制，不能存在兩個(gè)鈍角，所以答案只有一種。

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，數(shù)學(xué)思想對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)生的發(fā)展有很大的影響，數(shù)學(xué)思想的滲透不僅積極響應(yīng)新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的要求，而且為學(xué)生未來(lái)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。因此，初中數(shù)學(xué)教師要積極更新教學(xué)理念，通過(guò)滲透數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的綜合能力，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力，能夠更靈活地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。

【注釋】

① 孫榮. 在教學(xué)中如何滲透初中數(shù)學(xué)思想和方法[J]. 中學(xué)課程輔導(dǎo)（教學(xué)研究），2020，14（10）：41.

② 白輝. 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J]. 科學(xué)咨詢，2020（15）：220.

③ 王小忠. 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透解析[J]. 學(xué)周刊，2020，9（9）：83-84.

④ 文維峰. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法研究[J]. 百科論壇電子雜志，2020（1）：427-428.

⑤ 王新艷. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法[J]. 百科論壇電子雜志，2020（1）：471-472.

⑥ 王錫凡. 試析化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 文理導(dǎo)航·教育研究與實(shí)踐，2020（3）：142.

⑦ 代顯蓉. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用探討[J]. 文理導(dǎo)航·教育研究與實(shí)踐，2020（2）：176.

⑧ 田麗紅. 淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法[J]. 百科論壇電子雜志，2020（2）：64.

（作者單位：山東省淄博市張店區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)東校）