原亞南 尹顥 張作啟

[摘 要] 近些年來，“分析力學(xué)”課程在大學(xué)工科院系的開課范圍越來越大，但是鮮見以“分析力學(xué)”課程作為教學(xué)改革對象進(jìn)行的研究。運用對比教學(xué)模式下的多層次理論，結(jié)合“分析力學(xué)”的課程特點，針對課程理論知識晦澀、內(nèi)容體系與理論力學(xué)相關(guān)度高及應(yīng)用程度低等問題，提出了教學(xué)實施方案。方案采用三種課堂對比的形式，通過聯(lián)想對比的方式加深學(xué)生對知識點的理解，培養(yǎng)學(xué)生分析、評價及質(zhì)疑的能力，從而達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新人才的目的。

[關(guān)鍵詞] 分析力學(xué);對比課堂;創(chuàng)新能力;質(zhì)疑能力

[作者簡介] 原亞南（1989—），女，河南濮陽人，博士，武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院工程力學(xué)系講師，主要從事復(fù)合材料力學(xué)研究;尹 顥（1985—），男，湖北武漢人，博士，武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院工程力學(xué)系副教授，副系主任（通信作者），主要從事相變固體力學(xué)研究;張作啟（1982—），男，山東曹縣人，博士，武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院工程力學(xué)系教授，系主任（通信作者），主要從事生物力學(xué)與仿生研究。

[中圖分類號] O316? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2021）21-0121-04? ?[收稿日期] 2020-10-25

近些年來，“分析力學(xué)”課程在大學(xué)工科院系的開課范圍越來越大。然而，從現(xiàn)有教學(xué)課堂的探討成果來看，較少看到以“分析力學(xué)”課程作為教學(xué)改革的對象進(jìn)行的研究。所謂的經(jīng)典力學(xué)是指創(chuàng)立于1687年的牛頓力學(xué)、創(chuàng)立于1788年的拉格朗日力學(xué)，以及創(chuàng)立于1834—1835年的哈密頓力學(xué)。其中，“理論力學(xué)”主要是講授以牛頓力學(xué)為基本框架的靜力學(xué)和動力學(xué)的課程。牛頓力學(xué)著重分析位移、速度、加速度及力等矢量，故稱為矢量力學(xué)。與之相對的是由拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)組成的分析力學(xué)[1-3]。在拉格朗日的《分析力學(xué)》的經(jīng)典著作中，沒有涉及一幅圖，自始至終都采用了解析的方法[4]。分析力學(xué)的特征是以普遍原理為基礎(chǔ)，利用標(biāo)量形式的廣義坐標(biāo)來取代矢量力學(xué)的矢徑[5]。

根據(jù)筆者前期調(diào)查結(jié)果，在初次接觸“分析力學(xué)”課程時，超過70%的學(xué)生認(rèn)為解析公式太多，難度很大（如圖1所示）。因此，“分析力學(xué)”課堂教學(xué)面臨的一個非常大的困難和挑戰(zhàn)是如何在滿是解析表達(dá)形式的理論知識講授的課堂中提高學(xué)生的興趣和專注力。

基于對比教學(xué)模式下的多層次理論，結(jié)合“分析力學(xué)”的課程特點，針對本課程中的理論知識晦澀、內(nèi)容體系與理論力學(xué)相關(guān)度高及應(yīng)用程度低等問題提出了教學(xué)實施方案。該方案通過采用三種對比形式，突出了在課堂上通過聯(lián)想對比的方式加深學(xué)生對知識點的理解和掌握，培養(yǎng)學(xué)生分析、評價及質(zhì)疑的能力，從而達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新人才的目的。

一、牛頓力學(xué)與分析力學(xué)的對比講授

由于大部分院校在“分析力學(xué)”課程講授前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“理論力學(xué)”（大部分內(nèi)容講授的是牛頓力學(xué)），因此，在學(xué)習(xí)“分析力學(xué)”課程時，同學(xué)們會有如下疑問：既然牛頓力學(xué)和分析力學(xué)都是研究質(zhì)點和剛體的運動方程，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了牛頓力學(xué)，為什么還要學(xué)習(xí)分析力學(xué)？這個問題筆者在第一次給學(xué)生上“分析力學(xué)”課程的時候就被問過。筆者在認(rèn)真反思這個問題后最初的想法是，既然學(xué)生已經(jīng)了解和熟悉了牛頓力學(xué)的理論知識，就沒必要花費寶貴的課時來重復(fù)提及了?，F(xiàn)在回過頭細(xì)細(xì)想來，當(dāng)初的想法或許正是引起學(xué)生疑問的根本源頭?；蛟S筆者要做的不是去回避在“分析力學(xué)”課上講授牛頓力學(xué)，恰恰相反，應(yīng)該直面這二者的區(qū)別，讓同學(xué)們“知其然”，并“知其所以然”，掌握牛頓力學(xué)和分析力學(xué)的異同，并理解學(xué)習(xí)分析力學(xué)的必要性和重要性。那么，在課程最開始，筆者以圖2[6]來開始“分析力學(xué)”這門課程。

圖2很好地總結(jié)了從牛頓力學(xué)開始到拉格朗日力學(xué)最后到哈密頓力學(xué)發(fā)展的完整歷程。此外，牛頓力學(xué)的發(fā)展主要服務(wù)于研究運動力學(xué)，應(yīng)用包括但不限于有心力場中的二體運動、非慣性系下的運動、剛體運動、非線性動力學(xué)和混沌、生命力學(xué)及連續(xù)介質(zhì)力學(xué)。而拉格朗日力學(xué)從變分法和達(dá)朗貝爾方程演變而來，通過勒讓德變換和哈密頓原理發(fā)展成為哈密頓力學(xué)。而哈密頓力學(xué)為后來的量子力學(xué)、相對論、統(tǒng)計力學(xué)等提供了理論基礎(chǔ)[7]。相對于牛頓力學(xué)，分析力學(xué)方法對其他如量子力學(xué)、相對論等影響更加深遠(yuǎn)。通過對比講解牛頓力學(xué)和分析力學(xué)，不僅讓學(xué)生站在更高的角度審視學(xué)習(xí)分析力學(xué)的必要性，還能鼓勵學(xué)生自主探索基于分析力學(xué)方法衍生出的如量子力學(xué)等新的領(lǐng)域，激發(fā)他們的科研興趣。

二、拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)的對比講授

在解決了學(xué)生“已經(jīng)學(xué)習(xí)了牛頓力學(xué)為什么還要學(xué)習(xí)分析力學(xué)”的疑問后，之后的課程學(xué)習(xí)也并非一帆風(fēng)順。在學(xué)習(xí)完拉格朗日力學(xué)進(jìn)入哈密頓力學(xué)的學(xué)習(xí)時，學(xué)生還會有新的疑問：既然很多運動方程明明通過拉格朗日第二類方程就能很容易地求解，那為什么還要學(xué)習(xí)哈密頓原理，費力求解哈密頓作用量呢？可見，即使在課堂上沒有給學(xué)生灌輸對比教學(xué)的模式，學(xué)生自己也會對以往的知識點進(jìn)行對比，總是選取最容易理解、最好求解的途徑來解題。事實上，在課堂上講述的很多例子確實會有多種求解方式，也確實有一些明明用拉格朗日第二方程來求解很容易，卻仍然用哈密頓原理來求解的例子。要想打消學(xué)生的疑慮，筆者仍然采取對比講授模式，將拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)對比講授。要想講清楚它們的本質(zhì)區(qū)別和聯(lián)系，應(yīng)該從表1[8]的角度來著手講述。

表1非常清楚地闡述了拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)的區(qū)別，不僅體現(xiàn)在對應(yīng)的空間和幾何上，還體現(xiàn)在方程類型上[9]。

拉格朗日力學(xué)的f個二階微分方程組為

■■-■=Q′■（k=1，2，…，f）

而哈密頓力學(xué)的方程類型是2f個一階微分方程組為

■■=■■■=-■ （k=1，2，…，f）

哈密頓正則方程為微分方程的求解帶來了很大便利。