潘立方

[摘? 要] 在幾何解題教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)從解決方案的多樣性上培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，在思路的多樣化情況下引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思和感悟，一方面讓學(xué)生養(yǎng)成有序思考的習(xí)慣;另一方面也可以找到思維的出發(fā)點(diǎn)，直指數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)及其形成，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步落實(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，提升數(shù)學(xué)思維拓展性，凸顯數(shù)學(xué)教學(xué)的“教育目的”.

[關(guān)鍵詞] 一題多解;解題研究;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

幾何題的 “一題多解”一直被人們津津樂(lè)道，讓人回味無(wú)窮. 筆者在一次試題講評(píng)課時(shí)，與學(xué)生們一起對(duì)一道幾何題進(jìn)行了多種方法的解析和反思，以求在反思中感悟方法，明晰思路，提供解決問(wèn)題的策略.

試題呈現(xiàn)

如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC和CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE和BF，得交點(diǎn)P，連接DP，求證：DA=DP .

試題意圖

1. 試題背景

根據(jù)正方形這一課時(shí)的《課標(biāo)》要求，既考查了學(xué)生對(duì)于正方形這一核心知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，又有適當(dāng)?shù)奶岣撸浩祁}口的尋找、思路的多樣、輔助線的選擇等，題意雖簡(jiǎn)，思路難成.

2. 試題來(lái)源

題源1：人教版八年級(jí)下教師教學(xué)用書(shū)第152頁(yè)13題.

題源2：浙教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教科書(shū).

3. 簡(jiǎn)單分析

易證得△ABE≌△BCF，推得AE⊥BF，再由∠APF=∠ADF=90°得A、D、F、P四點(diǎn)共圓.

解法賞析

方法一 巧用倍長(zhǎng)構(gòu)斜中：如圖2，延長(zhǎng)BF、AD交于G點(diǎn)，易得△BCF≌△GDF，利用Rt△APG斜邊上的中線等于斜邊一半這一性質(zhì)得到DA=DP .

方法二 構(gòu)造全等順旋轉(zhuǎn)：如圖3，連結(jié)AF，過(guò)D點(diǎn)作DK⊥DP交PF延長(zhǎng)線于K點(diǎn)，得∠3=∠4;由得A、D、F、P四點(diǎn)共圓得∠1=∠2，再得∠AFD=∠K;由△ADF≌△BCF得∠AFD=∠3=∠4，所以∠4=∠K，得DF=DK，所以證得△ADF≌△PDK，所以DA=DP .

方法三 四點(diǎn)共圓判等角：如圖4，由A、D、F、P四點(diǎn)共圓得∠1=∠2，由對(duì)稱(chēng)性得到∠3=∠1，所以∠3=∠2. 所以∠PAD=∠APD，所以DA=DP .

方法四 構(gòu)造全等逆旋轉(zhuǎn)：如圖5，在AF上找一點(diǎn)Q，使得DQ=DF，則∠3=∠4;由△ADF≌△BCF得∠3=∠5，所以∠4=∠5，得到∠AQD=∠PFD. 再利用∠1=∠2和DQ=DF兩個(gè)條件，得到△ADQ≌△PDF，所以DA=DP .

方法五 垂直平分正逆推：如圖6，取AB中點(diǎn)M，連結(jié)DM交AP與點(diǎn)N，連結(jié)PM，利用Rt△APB斜邊上的中線等于斜邊一半這一性質(zhì)得到AM=PM;再由線段BM平行且等于線段DF得？荀MBFD，所以DM∥BF. 所以DM⊥AP，所以AN=PN，即得DM是線段AP的中垂線，所以DA=DP.

方法六 余弦定理靈活用：如圖7，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，記∠BAE=α，∠DAE=β，則tanα= ，sinα= ，cosα= ，利用相似得AP= . 又因?yàn)棣?β=90°，所以cosβ=sinα= = ，代入解得DP=2，所以DA=DP.

方法七 勾股相似配合強(qiáng)：如圖8，過(guò)P作PK⊥DC，垂足為K. 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，則BE=1，AE=BF= ，由面積法得到BP= ，則FP= ， 所以 = ，所以 = = = . 所以PK= ，F(xiàn)K= ，所以DK= . 在Rt△PDK中再由勾股定理得DP=2，所以DA=DP.

方法八 函數(shù)坐標(biāo)數(shù)形合：如圖9，以D為直角坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則可得A（0，2），E（2，1），B（2，2），F(xiàn)（1，0），把P看成直線AE（一次函數(shù)表達(dá)式為：y= - x+2）和直線BF（一次函數(shù)表達(dá)式為：y=2x-2）的交點(diǎn)，計(jì)算解得P ， ，所以DP=2，所以DA=DP .

素養(yǎng)立意

正如章建躍先生所說(shuō)，“中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系的構(gòu)建，需以理解中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)為載體，而這個(gè)載體也需要深入回答‘問(wèn)題的研究框架是怎么構(gòu)建的‘為什么采用這樣的方法等觸及數(shù)學(xué)思想本質(zhì)的、對(duì)數(shù)學(xué)思維發(fā)展有重要意義的本原性問(wèn)題”，基于對(duì)此話的理解，我們也不妨回頭看一下我們的解法探析的素養(yǎng)本源.

1. 基于條件，在方法上發(fā)散

在幾何直觀的基礎(chǔ)上，學(xué)生易得出△ABE≌△BCF和AE⊥BF兩個(gè)結(jié)論，部分學(xué)生還可以得到四點(diǎn)共圓這一結(jié)論，此時(shí)可以適當(dāng)引導(dǎo)：如何利用這些結(jié)論把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化？要證明兩條線段相等這一數(shù)量關(guān)系我們已有幾種方法或者模型工具？通過(guò)適當(dāng)引導(dǎo)，提醒學(xué)生利用方法的多樣性來(lái)嘗試解題：

①按題索驥，順勢(shì)破解：如方法三利用四點(diǎn)共圓得到角相等，繼而得到等角的余角相等，利用等腰三角形的等角對(duì)等邊即可得到結(jié)論.

②回歸模型，找到關(guān)聯(lián)：如方法一的類(lèi)似倍長(zhǎng)中線法得到全等，繼而用斜中線模型即可得解;方法二、四是構(gòu)造順逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)中的全等三角形;方法五是垂直平分線模型等.

③數(shù)形結(jié)合，解析幾何：如方法六的利用余弦定理、方法七的勾股和相似的配合使用、方法八的構(gòu)建直角坐標(biāo)系，利用函數(shù)求交點(diǎn)等解析法的應(yīng)用，亦為幾何的數(shù)量研究找到了一條路徑.

2. 基于結(jié)論，在思路上拓展

本題的結(jié)論是兩條線段相等，回憶我們已學(xué)過(guò)的證明線段相等方法，大致一共有六種：一用“全等三角形的性質(zhì)”;二用“等角對(duì)等邊”;三用“中垂線的性質(zhì)”;四用“角平分線的性質(zhì)”;五用“三線合一的性質(zhì)”;六用“等量代換”. 本例中我們可以看到有利用全等三角形性質(zhì)的（如方法二、四），有用等腰三角形角邊對(duì)應(yīng)相等、中垂線等性質(zhì)的（如方法三、五），有用代數(shù)方法證明數(shù)量關(guān)系的（如方法六、七、八），還有用構(gòu)造法的（如方法一、二、四）. 基于結(jié)論的要求，去探尋、反思過(guò)程如何產(chǎn)生，也正是我們提升推理素養(yǎng)的常規(guī)方法.

3. 基于方法，在變式上提升

本例學(xué)生在“定則可求”的思想引導(dǎo)下可以嘗試幾何直觀畫(huà)一畫(huà)的方法來(lái)得到初步結(jié)論，但很多學(xué)生還想探討“當(dāng)E、F不是中點(diǎn)時(shí)，這個(gè)線段是否還相等？”“若不相等，是否還存在著一定的數(shù)量關(guān)系？”等動(dòng)態(tài)問(wèn)題，筆者也和學(xué)生一起進(jìn)行了“動(dòng)圖”嘗試，如變式引申：

（1）若把E當(dāng)作BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，保持BE=CF不變，連結(jié)DP，則DP=DA仍成立嗎？不相等的話，它們存在一定的數(shù)量關(guān)系嗎？

（2）當(dāng)E點(diǎn)從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是怎樣的一個(gè)圖形？

解答：利用方法六的余弦定理，可以記正方形邊長(zhǎng)為1，設(shè)BE=x，則AE= ，由三角形相似得 = ，所以AP= .

因?yàn)閏osβ=sinα= = = ，

所以DP2= .

所以 = .

通過(guò)這個(gè)一般通式的比例，我們也可以看到圖形在變化過(guò)程中的許多特例：

當(dāng)x= 時(shí)， =1（即原題E是BC中點(diǎn)時(shí)的情況）;

當(dāng)x=0時(shí)， = （即E點(diǎn)與B點(diǎn)重合，DP是對(duì)角線時(shí)的情況）;

當(dāng)x=1時(shí)， = （即E點(diǎn)與C點(diǎn)重合，P是正方形的中心時(shí)的情況）等.

利用這個(gè)通式，我們還可以探討當(dāng)x>1時(shí)，即E、F在BC和CD延長(zhǎng)線上時(shí)交點(diǎn)P的情況，也能探討P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的特征（如圖11）. 總之，把靜態(tài)的研究轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)研究，使學(xué)生思維訓(xùn)練大大加強(qiáng)，使探究充滿(mǎn)活力.

4. 基于思想，在本原上聚焦

我們明確幾何的探究歸根于辯證思想的應(yīng)用;推理能力的形成，更需要主動(dòng)去構(gòu)建模型，讓學(xué)生把陌生的、復(fù)雜的問(wèn)題化歸為熟悉的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題. 如在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AE⊥BF的關(guān)系始終存在，即在運(yùn)動(dòng)中A、D、F、P四點(diǎn)共圓一定成立，那DP就是以AF為直徑的圓中的一條弦，那如何求弦長(zhǎng)？我們不妨指向圓中利用三角或者勾股的基本圖例（如圖12），讓變化中的“隱圓”凸顯（如圖13），得到如下問(wèn)題解決思路：

簡(jiǎn)略過(guò)程如下：記正方形邊長(zhǎng)為1，設(shè)BE=CF=x，則半徑r=OP= AF= ;sinβ= =cosα= ，所以DP=2PM=2OP·sinβ=2· · = .

顯然，抓住了本源問(wèn)題的核心，思路便異常順暢，結(jié)論的取得也勢(shì)如破竹.

結(jié)語(yǔ)

正如蘇步青老先生所說(shuō)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”解題的背后，回歸本源的思考，才正是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所需要的，“分離基本圖形”“旋轉(zhuǎn)后的全等”“解析幾何法”“三角函數(shù)法”這些解題經(jīng)驗(yàn)的形成，正是我們探求問(wèn)題的根本. 一旦解題教學(xué)跨入了更廣義的數(shù)學(xué)素養(yǎng)教育，學(xué)生的學(xué)習(xí)便不會(huì)僅停留在具體的解題方法上，而會(huì)更關(guān)注其背后的解題策略和方向，那時(shí)我們的解題教學(xué)便不再是解題本身，而是一次方法的拓展、一次思維的提升，更是一次成長(zhǎng)的歷練.