朱清波

[摘? 要] 高中數(shù)學(xué)課堂中，解題起著舉足輕重的作用，如何做到通過解題提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是一個值得探究的重要課題. 文章從一道常見的導(dǎo)數(shù)求值題引入，通過問題開展課堂和課外探究實踐活動，逐步揭示其背后的本原，讓學(xué)生從探究過程中學(xué)習(xí)和體會研究問題的基本思路.

[關(guān)鍵詞] 問題驅(qū)動;探究式課堂教學(xué);中心切線

引言

問題驅(qū)動的教學(xué)由數(shù)學(xué)家張奠宙提出，是一種從問題出發(fā)，為解決問題或者發(fā)展問題結(jié)論而不斷設(shè)計新問題，在一系列問題鏈的解決過程中逐步加深對原始問題的理解，提升學(xué)生問題意識、解決問題能力和認(rèn)知能力的一種教學(xué)活動. 波利亞曾說：“探索出一道題目的解答是一種創(chuàng)造，做出了某種創(chuàng)造以后，不管它是多么微小，我們都不應(yīng)該忘記自問在其背后是否潛藏了更多的東西，不應(yīng)該錯過由這種新創(chuàng)造所能開發(fā)出的一些其他可能性.”作為教師，我們給學(xué)生傳遞的不能僅僅是知識與技能培訓(xùn)，還有課堂教學(xué)承擔(dān)的其他功能.但當(dāng)前的高中課堂教學(xué)中，許多教師更關(guān)注的是學(xué)生解題的熟練度和正確率，其常見方式為將各種題型按照考點匯編反復(fù)訓(xùn)練，這導(dǎo)致學(xué)生就題做題，無暇顧及解答背后的數(shù)學(xué)思想，當(dāng)然其數(shù)學(xué)思維能力也并沒有得到有效提高. 華南農(nóng)業(yè)大學(xué)曹廣福教授在其著作《問題驅(qū)動的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)》中也提到：“課堂教學(xué)的靈魂是圍繞一個問題展開，通過教師利用其經(jīng)驗的敏銳性引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決并提升問題本質(zhì)認(rèn)知的過程，是傳授數(shù)學(xué)研究思想的過程. ”因此，教師在課堂上要注重培養(yǎng)學(xué)生相應(yīng)的思考方向和能力，對較為經(jīng)典的問題解決思路進行甄別和提升，在設(shè)計上注重解法總結(jié)和思維的廣度提升，以期提升學(xué)生對該類問題更高層次的認(rèn)知.

探究式課堂教學(xué)的特點和實施

探究式課堂教學(xué)的特點是學(xué)生在解決某個問題時，不僅僅把該問題的解決作為終點，它也可能是新問題的一個起點或者是連接其他問題的一個路徑. 其核心理論基礎(chǔ)是弗賴登塔爾的“數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造”. 通過教師在課堂上合理的引導(dǎo)，設(shè)計符合學(xué)生心理認(rèn)知的”問題鏈”，學(xué)生通過觀察、思考、討論等各種途徑自覺探索發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，從而形成自己更高層次的理解和總結(jié). 在此類課堂教學(xué)中教師和學(xué)生至少要經(jīng)歷以下三個階段：（1）發(fā)現(xiàn)一個好問題或解決問題的好方法，找到問題的基本解決方法和其他有代表性的解法;（2）評價上述各解答中的優(yōu)劣，即探究問題解答是否具有一般性，課堂關(guān)注點從“一題多解”逐漸過渡到“多題一解”;（3）提煉解法背后隱藏著的深層次的信息，將其性質(zhì)一般化后再去捕捉另一些原來看似毫無關(guān)聯(lián)的問題和性質(zhì)，即找到這類問題的“源與流”. 而考慮到課堂時間的限定和知識點拓展容量難度等問題，上述過程中課堂教學(xué)環(huán)節(jié)可能實現(xiàn)前兩項，而最后一個環(huán)節(jié)的提煉則可能會延伸到課外的研究型學(xué)習(xí)，參與者也從全體學(xué)生過渡到部分學(xué)優(yōu)生，讓這些學(xué)生從“解題”過渡到“識題”，最終實現(xiàn)自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的可持續(xù)發(fā)展.

以一道導(dǎo)數(shù)求值題的講解為例的探究設(shè)計

習(xí)題講評課是畢業(yè)年級的高頻課堂形式，若教師的講解僅僅停留在對答案的更正，這樣的形式實際上學(xué)生自主就能完成，因此課堂效率就會顯得低下. 如何吸引住學(xué)生的注意力，把對問題的認(rèn)知提升到一個新的高度，是值得教師不斷探究的任務(wù). 下面以一道導(dǎo)數(shù)求值題的講解為例，合理設(shè)置“問題鏈”，實現(xiàn)探究式課堂教學(xué)的一些相關(guān)實踐.

1. 提出問題，分析各種解法的優(yōu)劣

例題1：記函數(shù)f（x）=（x-1）（x-2）（x-4），則 + + =______.

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求值問題在高中是一個高頻考點，學(xué)生只要對基本求導(dǎo)公式記憶準(zhǔn)確，一般都沒有太大問題，總的來說，本題有如下兩種處理方式：

解法1：f（x）=（x-1）（x-2）（x-4）=x3-7x2+14x-8，則f ′（x）=3x2-14x+14，由f ′（1）=3，f ′（2）=-2，f ′（4）=6，故 + + = - + =0.

點評：該解法是最常規(guī)的思路，將三次結(jié)構(gòu)展開，利用導(dǎo)數(shù)公式代入求值即可，易錯點在于整個運算過程中三次結(jié)構(gòu)展開式的并項運算和代入導(dǎo)數(shù)值后的四則運算.

解法2：由f（x）=（x-1）（x-2）（x-4），則f ′（x）=（x-2）（x-4）+（x-1）（x-4）+（x-1）（x-2），f ′（1）=（1-2）（1-4）=3，f ′（2）=（2-1）（2-4）=-2，f ′（4）=（4-1）（4-2）=6，故 + + = - + =0.

點評：該解法將課本上的求導(dǎo)法則（uv）′=u′v+uv′繼續(xù)拓展為三個連乘結(jié)構(gòu)（uvt）′=u′vt+uv′t+uvt′，然后代入求值即可，易錯點集中在前面三個連乘結(jié)構(gòu)的求導(dǎo)法則的推演.

2. 捕捉解題過程中的規(guī)律或一般化思想，猜想驗證歸納出相關(guān)規(guī)律

比較上述兩種做法，從計算難度比較而言，兩者并無太大的差異，但從推算方式來看，前者是求出了三個導(dǎo)數(shù)值后相加，得到的最終結(jié)果并不會留給學(xué)生太深的印象;而后者的過程在頭腦敏銳的學(xué)生群體中會留下某種疑惑，似乎該結(jié)構(gòu)的答案最終為0是一個并非偶然的結(jié)果，本題中的1，2，4是函數(shù)的零點，所求的是在三個零點處的導(dǎo)數(shù)的“倒數(shù)之和為0”，這個問題是否為某些規(guī)律或者一般性結(jié)論？故我們可以繼續(xù)提出如下問題：

例題2：若函數(shù)f（x）=（x-x ）（x-x ）·（x-x ），求 + + 的值.

解析：由f ′（x）=（x-x ）（x-x ）+（x-x ）·（x-x ）+（x-x ）（x-x ），而f ′（x ）=（x -x ）·（x -x ），f ′（x ）=（x -x ）（x -x ），f ′（x ）=（x -x ）（x -x ），故 + + = + + = =0.

這樣我們就通過一種解答方法猜想并驗證得到了該問題結(jié)構(gòu)的一般性，若將三次函數(shù)的零點式寫成一般結(jié)構(gòu)，即可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)得到一個三次函數(shù)的性質(zhì)：

性質(zhì)1：若函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）有三個零點x ，x ，x ，則 + + =0.

3. 提升解法認(rèn)知，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)

上述優(yōu)美的推導(dǎo)方式和相應(yīng)結(jié)論自然會讓師生去猜測類似結(jié)構(gòu)的函數(shù)是否具有同樣的性質(zhì)，我們順勢可以提出下一個問題：二次函數(shù)是否也具備類似的性質(zhì)呢？

該問題使得學(xué)生的思路分成了兩個方向，受慣性思維的影響，大部分學(xué)生沿用二次函數(shù)的零點式，通過求導(dǎo)來加以驗證;而另一部分學(xué)生則利用二次函數(shù)圖像的軸對稱性，通過圖形來觀察、發(fā)覺、類比出的結(jié)論是顯然的，即“若函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）有兩個零點x ，x ，則 + =0”.

有了這個問題作為鋪墊，師生腦海里自然能產(chǎn)生下一個問題：更高次數(shù)的一元n次函數(shù)是否也具有類似的性質(zhì)呢？

雖然此時函數(shù)圖像不再具有直觀性，但學(xué)生通過三次函數(shù)零點式結(jié)構(gòu)的模仿推算，再利用求導(dǎo)法則的類似推理，自然也能推廣得到如下結(jié)論：

性質(zhì)2：若函數(shù)f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a x+a （a ≠0，n≥2）有n個零點x ，x ，…x ，則 + +… =0. （證明過程略）

通過這樣的課堂環(huán)節(jié)，學(xué)生對該問題的認(rèn)知就達到了一個更高層次，二次函數(shù)或三次函數(shù)的零點導(dǎo)數(shù)值的關(guān)系只是該結(jié)構(gòu)的一種特殊情況，這個“特殊”體現(xiàn)在最高次數(shù)的差異;當(dāng)然教師也可以引導(dǎo)學(xué)生從另一個角度觀察該結(jié)論，從對應(yīng)圖像來看，三次函數(shù)的零點問題是三次曲線和一條特殊的直線（x軸）存在3個交點時所形成的結(jié)論，那我們是否可以從三次函數(shù)的圖像展開一般化探究？若與之相交的直線的斜率不為0，結(jié)論又如何？而考慮到三次曲線均是中心對稱圖形，則只需研究三次曲線y=ax3+cx（a≠0）的相關(guān)性質(zhì)即可.

例題3：如圖2，若三次曲線y=ax3+cx（a≠0）與動直線y=k x+m? 有三個交點A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），記三次曲線在A，B，C處的切線斜率分別為k ，k ，k ，試探究k ，k ，k ，k 之間的關(guān)系.

解析：由題意得ax3+cx-k x-m =a（x-x ）（x-x ）（x-x ），故y=ax3+cx=a（x-x ）（x-x ）（x-x ）+k x+m ，則y′=a[（x-x ）（x-x ）+（x-x ）（x-x ）+（x-x ）（x-x ）]+k .

而k =y′x=x1=a（x -x ）（x -x ）+k ，k =y′x=x2=a（x -x ）（x -x ）+k ，k =y′x=x3=a（x -x ）（x -x ）+k ，則 + + =a + + =0. 故k ，k ，k ，k 之間的關(guān)系式為 + + =0. （注：當(dāng)k =0時即為問題2的結(jié)論）

上述拓展問題開始變難了，這需要教師合理的引導(dǎo)并給出一個具體的方向讓學(xué)生嘗試，最終結(jié)果是該問題的另一個方向的一般性結(jié)論（曲線和x軸的交點只是其中一個特殊情況）. 接下來我們從這個一般性結(jié)論出發(fā)，研究一下該結(jié)構(gòu)在其他特殊方向上是否有某些相應(yīng)的結(jié)論. 由于課堂時限和容量等問題制約，后續(xù)的探究則需要在課外研究型學(xué)習(xí)時段內(nèi)教師和部分學(xué)優(yōu)生共同完成.

4. 課外延伸，引導(dǎo)學(xué)生進行問題再創(chuàng)造，體會問題一般化和特殊化的數(shù)學(xué)思想

在課堂上，師生明確了三次函數(shù)表達式結(jié)構(gòu)的特殊性，進而推廣到一元高次的一般狀態(tài);從形的角度重新認(rèn)知后，又感知到了零點位置的特殊性，從而推廣到一般動直線的交點問題. 那么，在相交的情況下，又有什么特殊狀態(tài)和相關(guān)結(jié)論呢？提出一個好問題的難度比較大，教師可以先嘗試給出一個方向，再鼓勵學(xué)生去計算驗證.

例題4：上述結(jié)論中，當(dāng)動直線l：y=k x+m 過三次曲線的對稱中心O時（此時m =0），記過對稱中心O的三次曲線的切線為l ：y=k x（后文中簡單表述為三次曲線的中心切線），會有什么相應(yīng)結(jié)論？

當(dāng)研究方向轉(zhuǎn)換到與三次曲線相交的直線l的另一種特殊狀態(tài)時，如圖3，由三次曲線的中心對稱性可知，曲線在A，C處的切線l ∥l ，即對應(yīng)斜率k =k ，故結(jié)論“ + + =0”可變形為“ + =0”，化簡后得k = k + k .

此結(jié)構(gòu)表明：如圖4，在三次曲線的中心切線上任取一點P（異于對稱中心O），作曲線另一切線，記切點為A，則△PAO三邊所在直線的斜率存在恒等關(guān)系k = k + k . （其中k ，k ，k 分別指直線AO，PA，PO的斜率）

注意到等式k = k + k 中，中心切線斜率k =f ′（0）=c是一個定值，即k ，k 具有線性關(guān)系，當(dāng)k =0時顯然有k =-2k ，此即表明三次函數(shù)的另一個性質(zhì)：

性質(zhì)3：如圖5，記三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的對稱中心為（m，n），若方程f（x）=n有三個不同實數(shù)根x ，m，x ，則f ′（x ）=f ′（x ）=-2f ′（m）.

繼續(xù)利用小結(jié)論k = k + k ，當(dāng)k =0時，會有k = k ，該結(jié)論表明“三次曲線兩駐點連線的斜率等于中心切線斜率的 ”，則對應(yīng)的一般三次函數(shù)還具有以如下性質(zhì)：

性質(zhì)4：如圖6，若三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）存在極值點x ，x ，則 = f ′ .

通過特殊到一般，再回到特殊的探究方式，師生研究了三次曲線中與切線有關(guān)的部分性質(zhì)，顯然利用同樣的探究方式，我們還可以對二次曲線進行研究并得出一些相關(guān)結(jié)論，如繼續(xù)推廣到二次曲線和一般直線相交的狀態(tài)時，不難證明：如圖7，在二次曲線外任取一點P，作曲線的兩條切線，記切點為A，B，則△PAB三邊所在直線的斜率滿足k = k + k （其中k ，k ，k 分別指直線AB，PA，PB的斜率）. 而當(dāng)其中一條切線斜率變?yōu)?時，如圖8，不妨設(shè)k =0，則結(jié)論變?yōu)閗 = k ，即說明點A，P的橫坐標(biāo)是2倍關(guān)系.上述兩個探究結(jié)論均為圓錐曲線中阿基米德三角形的相關(guān)性質(zhì)，這里只是從另一個角度來探究并完成這些經(jīng)典結(jié)論的證明.

結(jié)束語

本節(jié)課以一個純計算的問題引入，教師通過解題反思，適時提出的問題盡量迎合學(xué)生想“知其所以然”的心理，從而產(chǎn)生探究問題的原動力和內(nèi)在需求，當(dāng)然這些問題也需要考慮實際中學(xué)生的接受能力. 在全體學(xué)生完成課堂任務(wù)的前提下對一部分思維較好的學(xué)生提出更高的要求，通過教師有效的問題指導(dǎo)，讓學(xué)生在一個相對陌生的情境下經(jīng)歷真實完整的思維探究過程，實現(xiàn)對問題的更高層次理解. 而數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不能僅僅局限在課堂，探究形式也可以是小組合作和個人思考相結(jié)合，從課內(nèi)延伸到課外，將活動落到實處，相信能更有效地培養(yǎng)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的數(shù)學(xué)能力.