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        四等分三角形面積的尋美之旅

        2021-06-20 14:46:26李織蘭蔣曉云王凱成
        關(guān)鍵詞:方法

        李織蘭 蔣曉云 王凱成

        [摘? 要] 把一個三角形剖分成四個面積相等的三角形的方法有很多,文章開啟追求“最美”之旅,用黃金分割比和尺規(guī)作圖的方法畫出了一個“最和諧”的剖分構(gòu)圖. 此方法體現(xiàn)理性探索精神,展示和諧之美和邏輯之美.

        [關(guān)鍵詞] 黃金分割點;尺規(guī)作圖

        問題:在△ABC內(nèi)確定三個點D,E,F(xiàn),把一個△ABC剖分成四個面積相等的三角形,即S =S =S =S = S .

        王凱成[1]教授用解析幾何的方法,計算出D,E,F(xiàn)的坐標,接著描點作圖. 查找資料,也沒有找到用傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖畫出這個圖形的方法. 我們與很多初等數(shù)學(xué)研究專家進行過討論,認為用傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖的方法畫出這個圖形是一個難點.

        數(shù)學(xué)實驗細觀察

        為了探索結(jié)論,我們在幾何畫板上畫了一個動態(tài)圖形,如圖2. 要將△ABC的面積四等分,即要先保證S△ADB=S△BEC=S△CFA= S ,將△ABC的各條邊四等分,G,H為AB邊上的四等分點,K,L為AC邊上四等分點,S,T為BC邊上四等分點,連接KS,HT,GL. 因為S =S =S =S = S ,所以點D必須在線段KS上,點E必須在線段GL上,點F必須在線段HT上.

        拖動D,E,F(xiàn)三點分別在線段KS、線段GL和線段HT上滑動,目標要把中間的那一塊變成△DEF,如圖3.

        從圖中看出,當(dāng)且僅當(dāng)“B,D,E三點共線;C,E,F(xiàn)三點共線;A,F(xiàn),D也三點共線”時,則△ABC分成了四個面積相等的三角形,即△ADB,△BEC,△CFA,△DEF.

        拖動三點的位置,要達到十分完美融洽與平衡,才能出現(xiàn)令人驚奇的“B,D,E三點共線;C,E,F(xiàn)三點共線;A,F(xiàn),D也三點共線”和諧共存現(xiàn)象,使S =S =S =S = S . 然而,點D,E,F(xiàn)的特征并不明顯,如何確定三點D,E,F(xiàn)仍然困難.

        探究特例找特征

        著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)指出:善于“退”,足夠地“退”,退到最原始而不失去重要性的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅.

        為了找到規(guī)律,首先我們選擇一個特殊的等腰直角三角形ABC,其中AB=4,BC=4,∠ABC=90°. 如圖4建立直角坐標系,設(shè)A,B,C的坐標依次為:A(0,4),B(0,0),C(4,0),Rt△ABC面積為8.

        如圖4,將Rt△ABC三邊四等分,G(0,1),H(0,3)為AB邊上的四等分點,K(1,3),L(3,1)為AC邊上四等分點,S(1,0),T(3,0)為BC邊上四等分點,連接KS,GL,HT. 因為S =S =S =S = S ,所以點D必須在線段KS上,同理,點E必須在線段GL上,點F必須在線段HT上. 不妨設(shè)D,E,F(xiàn)三點坐標為D(1,y ),E(x ,1),F(xiàn)(x ,y ).

        由B,D,E共線,則有k =k , = ,即x ·y =1. ①

        由A,F(xiàn),D共線,則有k =k , = ,即y -4=x (y -4). ②

        由C,E,F(xiàn)共線,則有k =k , = ,即x -4=(x -4)·y . ③

        直線HT的方程為:x+y=3,點F在線段HT上,所以x +y =3. ④

        聯(lián)立②式和④式,消去x 得:y = . ⑤

        聯(lián)立③式和④式,消去x 得:y = . ⑥

        由⑤式和⑥式,消去y 得:8x +8y -3x ·y =21. ⑦

        聯(lián)立①式和⑦式,得到:x +y =3,x ·y ?搖=1. ⑧

        由韋達定理知道x ,y 是方程x2-3x+1=0的根,而x2-3x+1=0的根為:x = .

        (1)x = =2+ ,y = . 我們驚奇地看到了黃金分割比.

        圖4中,P,E,L三點坐標為:P(2,1),E2+ ,1,L(3,1), = ,因此,E點為線段PL的黃金分割點.

        由④式、⑤式、⑥式可以求出x ,y 的值,也就是可以求出D,E,F(xiàn)三點坐標,經(jīng)計算可判斷D點為線段MS的黃金分割點,F(xiàn)點為線段NH的黃金分割點.

        (2)x = =1- ,y = . 我們也看到了黃金分割比. E點坐標為:E1- ,1. 在圖5中, G,E,M三點坐標為:G(0,1),E1- ,1,M(1,1), = ,因此,E點為線段MG的黃金分割點.

        由④式、⑤式、⑥式可以求出x ,y 的值,也就是可以求出D,E,F(xiàn)三點坐標,經(jīng)計算可判斷D點為線段NK的黃金分割點,F(xiàn)點為線段PT的黃金分割點.

        邏輯推理證猜想

        將從特殊直角三角形得出的結(jié)論,推廣到任意的三角形,得到如下猜想.

        猜想:如圖6,將△ABC的三邊四等分,G,H為AB邊上的四等分點,K,L為AC邊上四等分點,S,T為BC邊上四等分點,連接KS,GL,HT. D,E,F(xiàn)分別為線段MS、線段PL和線段NH的黃金分割點,則(1)B,D,E三點共線,C,E,F(xiàn)三點共線,A,F(xiàn),D也三點共線;(2)S =S =S =S = S .

        證明:由于△ADB,△BEC,△CFA的底邊分別為△ABC的三邊AB,BC和AC,D,E,F(xiàn)點分別在△ABC四等分點連線KS,GL,HT上,所以這三個三角形的高分別為△ABC相應(yīng)底邊高的四分之一,所以S =S =S = S ,因此S = S .

        下面,我們來證明B,D,E三點共線(同理,我們可以證明C,E,F(xiàn)三點共線和A,F(xiàn),D三點共線).

        連接BD,并延長交l 于E′,如果我們能證明點E和點E′是同一個點,則B,D,E三點共線.

        因為l ∥AB,所以△MDE′∽△GBE′, = ,D為線段MS的黃金分割點,所以 = = .

        由于l ∥BC,GB=MS, = = = ,ME′= GE′.

        由于G,H為AB邊上的四等分點,K,L為AC邊上四等分點,S,T為BC邊上四等分點,所以l ∥BC,BS=TC=GM=MP=PL= BC,GB=MS, = = = ,ME′= GE′,△BDS∽△DME′.? = = ,ME′= BS= BS. 從而有,PE′=ME′-MP= BS-BS= BS= PL,說明E′是線段PL的黃金分割點,E也是線段PL的黃金分割點,所以E′和E是同一點. 從而則B,D,E三點共線.

        尺規(guī)作圖和詣美

        將△ABC的三邊四等分,G,H為AB邊上的四等分點,K,L為AC邊上四等分點,S,T為BC邊上四等分點,連接KS,GL,HT,分別作線段MS、線段PL和線段NH的黃金分割點D,E,F(xiàn),連接AD,BE,CF,得到四等分△ABC面積的“最具和諧美”的黃金分割法的完美構(gòu)圖.

        我們還可以作線段MG,PT,NK的黃金分割點D,E,F(xiàn),可以得到另一種四等分三角形面積的黃金分割方法.

        圖形中有了黃金分割比率,可以達到一種完美融洽與平衡的效果. 令人驚奇三組“三點共線”和諧共存現(xiàn)象,居然是由黃金分割比確定的. 由此,產(chǎn)生了令人愉悅的完美構(gòu)圖效果.

        參考文獻:

        [1]? 王凱成. 四等分三角形面積問題再探[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2019(17).

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