董翠娟

【摘要】“符號(hào)意識(shí)”是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的數(shù)學(xué)十大核心概念之一.對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，要想在教學(xué)中落實(shí)好這一重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，必須深入理解其本質(zhì)，并在教學(xué)中適時(shí)放大“用符號(hào)表達(dá)”的作用，引導(dǎo)學(xué)生理解符號(hào)的含義，了解符號(hào)的歷史.教師在教學(xué)過程中要運(yùn)用畫圖等多種有效的教學(xué)策略，從而培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí).

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);符號(hào)意識(shí);培養(yǎng)策略

“符號(hào)意識(shí)”是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的數(shù)學(xué)十大核心概念之一.對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，要想在教學(xué)中落實(shí)好這一重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，必須深入理解其本質(zhì)，同時(shí)采用有效的教學(xué)策略.這樣，才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí).

一、對(duì)“符號(hào)意識(shí)”內(nèi)涵的深入解讀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中對(duì)“符號(hào)意識(shí)”的描述如下：主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性.學(xué)生建立符號(hào)意識(shí)有助于其理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式.對(duì)于“符號(hào)意識(shí)”的深刻內(nèi)涵，主要理解以下幾個(gè)方面.

（一）明晰“符號(hào)”與“符號(hào)意識(shí)”的區(qū)別

符號(hào)是數(shù)學(xué)中特有的，是數(shù)學(xué)的語言、工具和方法.因此，符號(hào)是針對(duì)具體事物抽象概括出來的一種簡(jiǎn)略性的記號(hào)或代號(hào).數(shù)學(xué)符號(hào)最本質(zhì)的意義就在于它是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果.數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等構(gòu)成了數(shù)學(xué)的符號(hào)系統(tǒng).數(shù)學(xué)符號(hào)具有抽象性、明確性、嚴(yán)謹(jǐn)性、簡(jiǎn)略性和通用性等特性.

符號(hào)意識(shí)與符號(hào)不同，它是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的一種積極的心理傾向，是學(xué)生在感知、認(rèn)識(shí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)產(chǎn)生的主動(dòng)性反應(yīng).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》修訂之后，將與“符號(hào)”相關(guān)的核心概念“符號(hào)感”改為了“符號(hào)意識(shí)”.對(duì)比兩者可以發(fā)現(xiàn)，符號(hào)意識(shí)就數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的價(jià)值取向而言，和數(shù)學(xué)符號(hào)的本質(zhì)更為一致.學(xué)生在學(xué)習(xí)中，無論是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念，還是進(jìn)行問題解決，都會(huì)用到數(shù)學(xué)符號(hào)表征所研究的對(duì)象.由此可見，數(shù)學(xué)符號(hào)的使用并不是只停留在潛意識(shí)中的直覺，而應(yīng)是一種積極運(yùn)用符號(hào)的心理傾向.小學(xué)階段發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要培養(yǎng)目標(biāo).

（二）讀懂、會(huì)用符號(hào)表示

發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，要做到“讀懂”和“會(huì)用”符號(hào)表示.一層意思是能夠理解每個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)所表示的意義;另一層意思是能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)主動(dòng)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.

1.理解每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)所表示的特定意義

每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)都有其特定的含義.例如，常用的“+、-、×、÷”表示運(yùn)算的意義.“+”表示“合并”;“-”表示“去掉”.“=、>、<”則表示的是數(shù)量間的大小關(guān)系.在小學(xué)階段，學(xué)生理解每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的具體意義是教師教學(xué)的基本目標(biāo)，也是學(xué)生形成符號(hào)意識(shí)的基本目標(biāo).數(shù)學(xué)符號(hào)是一種抽象的數(shù)學(xué)語言.因此，學(xué)生對(duì)這些數(shù)學(xué)符號(hào)的認(rèn)識(shí)和理解不要浮于表面，要進(jìn)行深入理解.

2.學(xué)會(huì)運(yùn)用符號(hào)表達(dá)

學(xué)生不僅要明白數(shù)學(xué)符號(hào)的意義，還要會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)符號(hào).在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生“用符號(hào)表達(dá)”是一個(gè)相對(duì)具體到抽象的過程.例如，在第一學(xué)段，學(xué)生可以用數(shù)字符號(hào)表示現(xiàn)實(shí)生活中的多少，到第二學(xué)段，學(xué)生可以用字母表示數(shù).這就是階段性的變化.另外，對(duì)于有規(guī)律的事物，無論是數(shù)字、字母，還是圖形，都可以表示相同的規(guī)律.

（三）知道符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理

教師要讓學(xué)生知道符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，這一點(diǎn)從某種意義上來說正是符號(hào)意識(shí)作為一種“意識(shí)”需要強(qiáng)化的.特別是在小學(xué)階段，學(xué)生更多接受的是用具體的數(shù)參與運(yùn)算和推理，因此需要強(qiáng)化符號(hào)的意義和作用.例如，△+△=8，△+○=10.△=（? ），○=（? ）.從中不難看出，這里的符號(hào)參與了加法運(yùn)算，并且每個(gè)符號(hào)表示的數(shù)是可以通過推理計(jì)算出來的.再如，加法運(yùn)算定律中的交換律：a+b=b+a，同樣是字母符號(hào)參與了運(yùn)算，而且具有一般性，能夠表示所有“兩個(gè)數(shù)相加，交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變”的情況.由此可見，數(shù)學(xué)符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，而且得到的結(jié)論具有一般性.

（四）理解數(shù)學(xué)表達(dá)與符號(hào)思考

數(shù)學(xué)符號(hào)作為一種媒介，其實(shí)質(zhì)是用簡(jiǎn)潔的語言進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，是學(xué)生在解決問題時(shí)常用的方式.在教學(xué)中，教師發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的同時(shí)，要發(fā)展其數(shù)學(xué)表達(dá)能力.例如，某汽車1小時(shí)行駛90千米，2小時(shí)行駛180千米，3小時(shí)行駛270千米，4小時(shí)行駛360千米……這時(shí)，路程和速度之間有什么關(guān)系呢？對(duì)，是成正比例關(guān)系，可以用帶有字母的式子s/t=v（一定）來表示.這種簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)表達(dá)能夠清晰地反映出路程和時(shí)間成正比例的關(guān)系.

另外，發(fā)展符號(hào)意識(shí)最重要的是運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，也就是符號(hào)思考.這種思考是數(shù)學(xué)基本思想的集中反映.例如，針對(duì)“雞兔同籠”問題，學(xué)生如果學(xué)習(xí)過，就可以用模型思想進(jìn)行解答;學(xué)生如果沒有學(xué)習(xí)過，那么可以用畫圖、列表的方法進(jìn)行推理，從而得到結(jié)論.

另外，史寧中教授在《基本概念與運(yùn)算法則》一書中指出：在數(shù)學(xué)算式的表達(dá)中，使用字母符號(hào)就意味著代數(shù)學(xué)的開始，這為學(xué)習(xí)方程、函數(shù)做好了準(zhǔn)備.因此，建立符號(hào)意識(shí)對(duì)學(xué)生未來學(xué)習(xí)以及養(yǎng)成數(shù)學(xué)素養(yǎng)是至關(guān)重要的.

二、培養(yǎng)“符號(hào)意識(shí)”的有效策略

我們從對(duì)“符號(hào)意識(shí)”的解讀過程中可以看出，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)有著十分重要的意義.

（一）教學(xué)中適時(shí)放大“用符號(hào)表達(dá)”的作用，發(fā)展符號(hào)意識(shí)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，能主動(dòng)用符號(hào)研究、解決問題的學(xué)生并不多，只有一小部分學(xué)生能夠主動(dòng)用符號(hào)來解決問題.這時(shí)，教師要善于發(fā)現(xiàn)這些寶貴資源，并且放大“用符號(hào)表達(dá)”的作用，從而影響更多的學(xué)生.

例如，一年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)分類時(shí)，教師將四種水果圖片雜亂地放在一起.如果沒有好的分類統(tǒng)計(jì)方法，學(xué)生在數(shù)數(shù)的時(shí)候可能會(huì)有重復(fù)或遺漏.這時(shí)，有的學(xué)生在相同水果圖片的下面分別畫上了“△”“○”“”“”，這樣數(shù)起來正確率非常高.在教師有意放大這種方法后，當(dāng)其他學(xué)生再解決這類問題時(shí)，也采取了用小符號(hào)幫忙記錄的方法，取得了非常好的教學(xué)效果.

這只是教學(xué)中的一個(gè)小例子，其實(shí)只要教師心中有培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的目標(biāo)，并能有目的地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比感悟符號(hào)的作用，自然會(huì)使學(xué)生的符號(hào)意識(shí)逐漸增強(qiáng).

（二）理解符號(hào)含義，了解符號(hào)歷史，發(fā)展符號(hào)意識(shí)

前面提到過，數(shù)字是符號(hào)，常用的“+、-、×、÷”也是符號(hào).其實(shí)每個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的產(chǎn)生和發(fā)展都有一個(gè)過程，并且凝聚了人類的無限智慧.建立符號(hào)意識(shí)離不開符號(hào)的產(chǎn)生、運(yùn)用、推廣的過程.因此，教師引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)符號(hào)的來龍去脈很有必要.

例如，教師在教學(xué)“0”時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生了解它在計(jì)數(shù)過程中的意義和發(fā)展歷史.再如，在學(xué)習(xí)“乘法初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，學(xué)生是第一次接觸“×”.教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用不同的方式了解“乘號(hào)是怎樣得來的”“它與加號(hào)有什么關(guān)系”等問題.

學(xué)生了解一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的演變、發(fā)展過程，是深入了解其本質(zhì)的過程.因此，教師在數(shù)學(xué)符號(hào)的教學(xué)中適時(shí)融入數(shù)學(xué)文化有助于學(xué)生符號(hào)意識(shí)的發(fā)展.

（三）在解決問題過程中運(yùn)用畫圖策略，發(fā)展符號(hào)意識(shí)

符號(hào)意識(shí)是一種主動(dòng)使用符號(hào)的心理傾向.學(xué)生在解決問題的過程中，往往自主探究的空間更大，他們?cè)诮?jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程后，更容易積累主動(dòng)使用符號(hào)解決問題的經(jīng)驗(yàn).

例如，“搭配”一課中有這樣一道題：兩件不同顏色的上衣和三條不同顏色的褲子，有幾種不同的穿法？面對(duì)這道題，有的學(xué)生是用“純文字”描述解答的，有的學(xué)生是用“文字+連線”方法解答的，還有的學(xué)生是用“符號(hào)+連線”方法解答的.學(xué)生通過對(duì)比很容易發(fā)現(xiàn)，用不同的圖形符號(hào)表示不同的事物，再加上數(shù)字符號(hào)的這種解決問題方式是最簡(jiǎn)潔的.學(xué)生在無形中感悟到了用符號(hào)表達(dá)的價(jià)值，進(jìn)一步增強(qiáng)了用符號(hào)解決問題的意識(shí).因此，在解決問題過程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行畫圖分析解答，從而發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí).

劉勁苓老師在《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本概念解讀》中指出：小學(xué)數(shù)學(xué)教材沒有明確給出“符號(hào)意識(shí)”的定義，但培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的學(xué)習(xí)貫穿始終.由此可見，發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)是一項(xiàng)持續(xù)性的培養(yǎng)目標(biāo).而畫圖解決問題是學(xué)生進(jìn)行符號(hào)表達(dá)的開始.

（四）在低年級(jí)教學(xué)中有意識(shí)應(yīng)用符號(hào)參與運(yùn)算和推理，發(fā)展符號(hào)意識(shí)

有的教師認(rèn)為符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)是高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù).實(shí)則不然，教師在低年級(jí)的教學(xué)中適時(shí)加入一些圖形符號(hào)、字母符號(hào)，可以有效滲透符號(hào)意識(shí).

例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)了兩位數(shù)減一位數(shù)后，教師可以出示帶符號(hào)的運(yùn)算問題：想一想，○和△各表示什么數(shù)字？○△-○=73，○=（? ），△=（? ）.這種有符號(hào)參與的題目，推理的味道很濃.題目的突破口在被減數(shù)十位上的數(shù)字.因?yàn)椴畹氖簧鲜?，所以被減數(shù)十位上的數(shù)字是7或8.又因?yàn)楸粶p數(shù)十位上的數(shù)字與減數(shù)是同一個(gè)數(shù)字，所以無論是7或是8，這個(gè)題目一定是退位減法，而73無論是加7，還是加8，被減數(shù)十位上的數(shù)字都會(huì)是8，也就是說○表示的是8.8△-8=73，因此△表示的數(shù)字是1.

教師在進(jìn)行“計(jì)算”的教學(xué)時(shí)，同類問題如果用這種方式呈現(xiàn)，可以使略顯枯燥的計(jì)算教學(xué)充滿挑戰(zhàn)性和趣味性.學(xué)生經(jīng)常接觸這樣的問題，就不會(huì)出現(xiàn)一見符號(hào)或字母就頭疼的現(xiàn)象.教師在學(xué)生學(xué)習(xí)具體數(shù)參與運(yùn)算后，適當(dāng)加入數(shù)學(xué)符號(hào)，既可以鞏固學(xué)生的運(yùn)算技能，又可以發(fā)展其推理能力和符號(hào)意識(shí).

（五）在高年級(jí)教學(xué)中著力培養(yǎng)代數(shù)思維，發(fā)展符號(hào)意識(shí)

學(xué)生到了五年級(jí)會(huì)學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)和方程，這是他們真正意義上學(xué)習(xí)用符號(hào)表達(dá)的開始，也是學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的關(guān)鍵期.教師要善于抓住這個(gè)階段，著力培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí).

學(xué)生學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)、方程和用方程解決問題之后，對(duì)其代數(shù)思維的形成而言是一次質(zhì)的飛躍，同時(shí)更加助推了其符號(hào)意識(shí)的發(fā)展.

（六）在探索規(guī)律中凸顯模型思想，發(fā)展符號(hào)意識(shí)

“符號(hào)意識(shí)”所包括的內(nèi)容之一是能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示變化規(guī)律，與之相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容是“探索規(guī)律”.課程標(biāo)準(zhǔn)中第二學(xué)段對(duì)探索規(guī)律的要求是“探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢(shì)”.對(duì)于高年級(jí)的探索規(guī)律，很多都可以用符號(hào)表達(dá).

例如，學(xué)生可以從前面三幅圖中初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，5個(gè)點(diǎn)、9個(gè)點(diǎn)、13個(gè)點(diǎn)，每次多4個(gè)點(diǎn).因此，圖4中有17個(gè)點(diǎn).但是，第n個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)就需要有符號(hào)參與，將其隱含的變化規(guī)律表達(dá)出來.這個(gè)規(guī)律可以用含有字母的式子（4n+1）表示.

觀察下圖，按照這樣的規(guī)律，圖4中有（? ）個(gè)點(diǎn)，第n個(gè)圖中有（? ）個(gè)點(diǎn).

研究這類問題還體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出的另外一個(gè)核心概念：模型思想.其中，提到數(shù)學(xué)建模的過程包括從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.由此可以看出，上面題目中的規(guī)律就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型.符號(hào)意識(shí)與模型思想有著密切的聯(lián)系，它們?cè)诒碚鲾?shù)學(xué)模型的同時(shí)，發(fā)展了學(xué)生的符號(hào)意識(shí).

三、結(jié)束語

綜上所述，對(duì)于小學(xué)生來說，既要能多角度、全面地理解數(shù)學(xué)符號(hào)的實(shí)質(zhì)，又要會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象.發(fā)展符號(hào)意識(shí)最重要的是運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，這是最具數(shù)學(xué)特色的思維方式.因此，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)可以進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，從而使他們逐步具備主動(dòng)使用符號(hào)的心理傾向.

小學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)要貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)全過程.對(duì)于學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)，要從讀懂、會(huì)用開始，然后能利用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理，最后形成符號(hào)思考的思維方式.因此，在教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生積累“用符號(hào)表達(dá)”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)符號(hào)背后的數(shù)學(xué)思想，從而不斷發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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