【摘要】以線性代數(shù)中的極大線性無關(guān)組教學(xué)為例，通過實(shí)際生活中的例子引入，從提出問題、分析問題到解決問題的全過程，展示了對(duì)極大線性無關(guān)組的概念、性質(zhì)和求法的問題導(dǎo)向型教學(xué)設(shè)計(jì)案例，讓學(xué)生充分體會(huì)到線性代數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù);極大線性無關(guān)組;教學(xué)設(shè)計(jì);問題導(dǎo)向

1 引 言

問題導(dǎo)向型教學(xué)設(shè)計(jì)是最直接有效的一種教學(xué)設(shè)計(jì)模型，在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)操作中也廣為教學(xué)設(shè)計(jì)者們喜愛，它清楚明白地展示了如何運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題，對(duì)于像線性代數(shù)這種抽象的理論十分適用且效果顯著.本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)為總目標(biāo)和指導(dǎo)思想，激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以情境式教學(xué)和探究式教學(xué)為主要形式，注重與學(xué)生的生活實(shí)際相結(jié)合.以當(dāng)下熱門的社會(huì)現(xiàn)象為課前引入，激發(fā)學(xué)生的興趣，使他們積極探討問題背后的數(shù)學(xué)知識(shí)，最終解決實(shí)際問題.從生活中來作開頭，到生活中去作結(jié)尾，讓學(xué)生充分體會(huì)線性代數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

2 極大線性無關(guān)組的教學(xué)背景

2.1 教材分析

教育部高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)頒布的《大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)基本要求》對(duì)本節(jié)內(nèi)容的要求為：了解向量組的極大線性無關(guān)組的概念，會(huì)求向量組的極大線性無關(guān)組.

本節(jié)內(nèi)容位于線性方程組這一章中，向量組的秩這一小節(jié).向量是線性代數(shù)的重要內(nèi)容，對(duì)研究線性代數(shù)的中心內(nèi)容——線性方程組起到了至關(guān)重要的作用，而充分理解向量組的極大線性無關(guān)組這一概念，才能理解向量組的本質(zhì)和內(nèi)部關(guān)系，同時(shí)為后面理解線性方程組解的結(jié)構(gòu)和掌握線性方程組的求解方法打下基礎(chǔ).另外，極大線性無關(guān)組的常用求法是利用第二章矩陣的初等變換，因此，本節(jié)內(nèi)容對(duì)于線性代數(shù)前后知識(shí)的關(guān)聯(lián)、融合十分重要，學(xué)好本節(jié)知識(shí)有利于學(xué)生將全部線性代數(shù)內(nèi)容形成一個(gè)體系.

2.2 學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量組的線性相關(guān)性和矩陣的初等變換，在線性無關(guān)的基礎(chǔ)上，本節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵就是理解“極大”這兩個(gè)字的含義，另外，極大線性無關(guān)組的不唯一性是一個(gè)難點(diǎn)，這對(duì)理解極大線性無關(guān)組的本質(zhì)和作用將是一個(gè)障礙.這一障礙是通過引入具體的向量組例子和導(dǎo)入環(huán)節(jié)中導(dǎo)入現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際的例子來解決的，從而幫助學(xué)生理解不唯一性這一難點(diǎn).

2.3 教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：理解極大線性無關(guān)組的概念，了解極大線性無關(guān)組的性質(zhì)和作用;掌握利用矩陣的初等變換求向量組極大線性無關(guān)組的方法.

2.過程與方法：通過觀看圖片和視頻，讓學(xué)生增強(qiáng)從生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識(shí);通過現(xiàn)實(shí)生活中的例子和極大線性無關(guān)組的數(shù)學(xué)概念，使學(xué)生學(xué)會(huì)理論聯(lián)系實(shí)際的方法;通過拋棄“多余”向量，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)中化繁為簡(jiǎn)的思想方法;通過問題從引入到分析再到解決的全過程，教會(huì)學(xué)生從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用數(shù)學(xué)理論知識(shí)解決問題的本領(lǐng).

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過參與發(fā)現(xiàn)問題到最終解決問題的全過程，讓學(xué)生充分領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力和價(jià)值;通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)極大線性無關(guān)組概念的理解和性質(zhì)的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)思考、積極探究、不怕困難的精神和態(tài)度;通過對(duì)熱門的社會(huì)現(xiàn)象的思考，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和綜合素養(yǎng).

以上三種目標(biāo)不是獨(dú)立存在的，是在教學(xué)過程的每一步中有機(jī)地統(tǒng)一在一起，相輔相成的.

2.4 教學(xué)重、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：用初等變換求極大線性無關(guān)組.

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)極大線性無關(guān)組不唯一性的理解，對(duì)極大線性無關(guān)組的性質(zhì)和作用的理解.

2.5 教學(xué)策略

本課程通過對(duì)社會(huì)現(xiàn)象的討論引入實(shí)際案例，為解決問題而開啟數(shù)學(xué)理論知識(shí)的學(xué)習(xí).課程在設(shè)計(jì)中注重：1.從學(xué)生的生活體驗(yàn)出發(fā).學(xué)生是體驗(yàn)的主體，生活是體驗(yàn)的情境.2.以問題為中心，帶著問題走進(jìn)教材，靠著解決問題走進(jìn)生活.以情境式和探究式為主要的學(xué)習(xí)方式貫串始終.

2.6 教學(xué)手段

在引入問題環(huán)節(jié)，教師通過展示圖片和視頻增加直觀性和趣味性;再通過提問引發(fā)學(xué)生思考;通過PPT來展示定義和例題;通過板書的形式來展示性質(zhì)的推導(dǎo)和具體計(jì)算，這樣一步步的推導(dǎo)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

3 極大線性無關(guān)組的具體教學(xué)過程

完整的教學(xué)過程可簡(jiǎn)單地用流程圖表示如下：

教學(xué)過程具體可分為如下的步驟：

1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)

描述現(xiàn)象——首先觀看一段網(wǎng)絡(luò)熱門搞笑視頻：生活中，商家的促銷手段可謂五花八門，令人眼花繚亂，尤其是近些年來電商的蓬勃發(fā)展，你一定也經(jīng)歷過各種購物狂歡節(jié)中煩冗復(fù)雜的規(guī)則和套路，有網(wǎng)友吐槽“領(lǐng)到了購物津貼你就領(lǐng)到了數(shù)學(xué)試卷”.

提出問題——面對(duì)“精明”的商家，我們?cè)鯓硬拍懿槐惶走M(jìn)去，做一個(gè)“精明”的消費(fèi)者？

建立模型——某商家打算用5種成分來制造多種谷物營養(yǎng)餐，下表列出了6種營養(yǎng)餐A，B，C，D，E，F(xiàn)每份所需各成分的量（以每10克為單位）.

顧客要想得到全部的營養(yǎng)，當(dāng)然購買全部的6種營養(yǎng)餐即可，然而是否可以少花些錢，只買其中的一部分，就能搭配出全部的營養(yǎng)餐呢？為了獲得全部的營養(yǎng)，需要購買最少的營養(yǎng)餐種類是哪幾個(gè)？

引出主題——向量組的極大線性無關(guān)組.

2.講授環(huán)節(jié)

（1）為解決問題，給出線性代數(shù)中極大線性無關(guān)組的定義，并對(duì)定義進(jìn)行分析.

（2）對(duì)于極大線性無關(guān)組，我們要研究的問題分為四部分：存在性、唯一性、性質(zhì)和作用，如何求？對(duì)這四部分一一展開討論.具體來說，按照定義通過對(duì)向量組α1=1

0線性相關(guān)性的探討，得出結(jié)論——非零向量組的極大線性無關(guān)組一定存在，若整個(gè)向量組線性相關(guān)，則極大線性無關(guān)組不唯一，這同時(shí)解決了存在性和唯一性兩個(gè)問題.通過對(duì)定義的分析，可以推導(dǎo)出極大線性無關(guān)組的性質(zhì)和作用——與原向量組等價(jià)，因而在討論時(shí)可以代替原向量組，不必考慮多余的向量，使問題簡(jiǎn)化.通過向量與矩陣的聯(lián)系，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)極大線性無關(guān)組的常用求法——轉(zhuǎn)化為矩陣問題，利用矩陣的初等變換解決問題.

3.鞏固環(huán)節(jié)

利用剛得到的極大線性無關(guān)組的求法，對(duì)導(dǎo)入環(huán)節(jié)中的案例進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算，6種營養(yǎng)餐可看作6個(gè)向量，求出這6個(gè)向量組成的向量組的極大線性無關(guān)組，它可以表示所有的向量，因而可以配出全部的營養(yǎng)餐，滿足全部的營養(yǎng)成分，問題得到解決.

4.小結(jié)環(huán)節(jié)

在社會(huì)現(xiàn)象中思考，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題的過程，最終利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題.

相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)有：極大線性無關(guān)組的定義、存在性、唯一性、性質(zhì)、作用、求法.其中的重點(diǎn)是極大線性無關(guān)組的求法.難點(diǎn)是對(duì)極大線性無關(guān)組不唯一的理解及對(duì)性質(zhì)和作用的理解.

4 教學(xué)反思

線性代數(shù)中高維的向量是純理論的概念，沒有幾何表示，因而極具抽象性.本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)通過實(shí)際生活中大家都會(huì)遇到的典型例子，讓學(xué)生對(duì)線性代數(shù)這一抽象的概念有一個(gè)具體的認(rèn)識(shí).網(wǎng)絡(luò)上熱門的搞笑視頻在課程一開始就抓住了學(xué)生的眼球，增強(qiáng)了課堂的趣味性，也容易讓學(xué)生產(chǎn)生共鳴，從而使學(xué)生自然而然地提出問題，引發(fā)思考.

極大線性無關(guān)組是向量的重要概念，相關(guān)的計(jì)算也是關(guān)于向量的重要運(yùn)算.矩陣的初等變換貫串整個(gè)線性代數(shù)的始終，更是極其重要的，也是學(xué)生必須要熟練掌握的一種計(jì)算方法，在教學(xué)中要通過實(shí)例重點(diǎn)講解和練習(xí)它.對(duì)于極大線性無關(guān)組的不唯一性這一難點(diǎn)，通過三維向量的簡(jiǎn)單實(shí)例予以解釋說明.

從生活中來到生活中去的完整過程，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想和發(fā)現(xiàn)問題、分析問題到解決問題的全過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的自主思考意識(shí)，提高學(xué)生的核心素養(yǎng).

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