趙凌昆

【摘要】作為數(shù)學(xué)教育工作者，我們不僅要在課堂上將數(shù)學(xué)知識(shí)傳授給學(xué)生，更要幫助學(xué)生掌握足夠多的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)他們用這些思想方法去觀察問題，分析問題，并且解決生活中的實(shí)際問題.因此，在數(shù)學(xué)課堂上加強(qiáng)思想方法的滲透就變得尤為重要.下面筆者結(jié)合自己的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，淺談幾點(diǎn)在高中教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法滲透的策略.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想方法;滲透;高中;教學(xué)

一、 在課前備課環(huán)節(jié)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

我們?cè)谥v授課本上的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，可以向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，而要做到這點(diǎn)，就需要我們教師在備課環(huán)節(jié)中選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略將數(shù)學(xué)思想方法融入課堂.

比如，當(dāng)我們?cè)谠O(shè)計(jì)等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式這節(jié)課時(shí)，可以選用數(shù)列章節(jié)序言中的第一個(gè)案例（劇場(chǎng)安排座位）引入這堂課，也可以選用“閱兵方陣”這個(gè)案例，讓學(xué)生嘗試用數(shù)列的觀點(diǎn)研究這個(gè)方陣，尋找隊(duì)列人數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，內(nèi)化等差數(shù)列中首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差的概念，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行描述，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察的能力，和從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.同時(shí)，我們要讓學(xué)生自行提出問題進(jìn)行研究，感受研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和并不是“心血來潮”，而是有據(jù)可依.在拋出具體的求固定區(qū)域內(nèi)的總?cè)藬?shù)問題后，我們讓學(xué)生自主探究，教師從代數(shù)和幾何方面預(yù)設(shè)學(xué)生處理問題的幾種方案，這其中就有“數(shù)形結(jié)合”思想的滲透，學(xué)生可能會(huì)想到將方陣進(jìn)行“割補(bǔ)”，將不同項(xiàng)的和轉(zhuǎn)化成相同項(xiàng)的和.處理完這個(gè)案例后，教師緊跟著拋出第二個(gè)問題，由學(xué)生自主探究如何解決一般情況下等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，并追問需要知道哪些基本量才可以求和，這背后也滲透著從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.學(xué)生在探究處理時(shí)，自然會(huì)對(duì)數(shù)列中的項(xiàng)進(jìn)行配對(duì)再求和，這里就會(huì)對(duì)總項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)形成討論，這里又滲透著分類討論的數(shù)學(xué)思想.所以，一堂公式推導(dǎo)課，師生就共同挖掘了三種思想方法.要想達(dá)到這樣的效果，就要求我們數(shù)學(xué)教師在課前備課時(shí)不僅要備好數(shù)學(xué)知識(shí)，也要善于挖掘隱藏在知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法.

二、 在數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

（一）使用類比法進(jìn)行概念的教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思維的核心.系統(tǒng)的概念教學(xué)是至關(guān)重要的.當(dāng)新舊概念間有著密切的聯(lián)系時(shí)，學(xué)生可通過類比的數(shù)學(xué)思想探索新概念中所具有的性質(zhì)，即兩者之間有很多相同或相近的性質(zhì)，但是某些方面的差別還是存在的.因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效引導(dǎo)，使其掌握新舊概念間的區(qū)別和聯(lián)系，從而達(dá)到觸類旁通的效果.例如在蘇教版必修四“三角函數(shù)”一章中，“正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)”與下一節(jié)“余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)”，在設(shè)計(jì)教案時(shí)，教師就可以采取類比的方法來設(shè)計(jì).再比如“數(shù)列”章節(jié)中，等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、公式等也可以通過類比法組織教學(xué)，這樣，學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的積極性也會(huì)隨之提高.

（二）使用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行概念教學(xué)

我們知道，高中數(shù)學(xué)中的很多概念都比較抽象，學(xué)生接觸這些抽象概念的時(shí)候，一般會(huì)感到枯燥，而利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠直觀地引入概念，將抽象問題具體化.例如，“指數(shù)函數(shù)”這一節(jié)課的教學(xué)可以做如下設(shè)計(jì)：先讓學(xué)生感受并列舉生活中指數(shù)函數(shù)的實(shí)例，然后讓學(xué)生嘗試畫指數(shù)函數(shù)，畫圖前，先將學(xué)生分成若干組，各組畫不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，畫好后，讓學(xué)生先觀察自己組所畫指數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)，然后對(duì)比其他組的，找出其中共同的性質(zhì)，再進(jìn)行歸納總結(jié).一堂抽象的函數(shù)新授課在數(shù)形結(jié)合的思想下就顯得不那么抽象、枯燥了.

三、在數(shù)學(xué)解題的過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

（一）在審題中滲透數(shù)學(xué)思想方法

在解題時(shí)，教師要反復(fù)引導(dǎo)學(xué)生看到題目后先認(rèn)真審題，弄清楚題目給了什么，要求什么，再找到相對(duì)應(yīng)的解題思路.

例：設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）2ln x，a∈R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立.

如果注意到可將定義域分解成（0，1]和（1，3e]，進(jìn)而對(duì)ln x≤0和ln x>0進(jìn)行討論，就可以用“分離參數(shù)”來解決這道題：當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，ln x≤0，原不等式等價(jià)為（x-a）2ln x≤4e2 對(duì)任意a∈R恒成立;當(dāng)x∈（1，3e]時(shí)，原不等式可轉(zhuǎn)化為a≥x-2eln x，a≤x+2eln x，求出兩個(gè)函數(shù)的最值即可.

（二）在探究解題思路的過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

教師在解題教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題的已知條件進(jìn)行分析，明確要求的數(shù)學(xué)問題需要的條件，然后讓學(xué)生自己研究，或小組討論找到解決問題的方法.

例如，在處理解析幾何中的點(diǎn)共線問題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個(gè)方面證明點(diǎn)共線：（1）利用斜率相等，由kAB=kBC=kAC證明三點(diǎn)共線;（2）利用平面向量共線定理，驗(yàn)證是否存在實(shí)系數(shù)λ，滿足AB=λBC;（3）求出直線AB的方程，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)進(jìn)行驗(yàn)證;（4）計(jì)算|AB|，|BC|，|AC|，利用|AB|+|BC|=|AC|驗(yàn)證.

前兩種方法體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，方法三體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，最后一種方法又滲透了化歸的思想.

（三）反思解題過程，總結(jié)提煉數(shù)學(xué)思想方法

同一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)可能包含多種思想方法，不同的數(shù)學(xué)知識(shí)也可能包含相同的思想方法，要想理清這些知識(shí)、思想方法，課堂小結(jié)是一個(gè)重要的環(huán)節(jié).在這個(gè)過程中，既能訓(xùn)練學(xué)生的思維邏輯，又能訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力和概括能力，使學(xué)生更好地掌握知識(shí)的脈絡(luò)，建立清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)的美感和價(jià)值.所以對(duì)每一節(jié)課的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納、總結(jié)、提煉，甚至是升華，是培養(yǎng)學(xué)生思維的重要途徑.一旦學(xué)生能夠自行總結(jié)對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)必然得到切實(shí)提升.

例：已知a>0，b>0，a+b=ab，求a+b的最小值.

學(xué)生最先想到的是使用基本不等式里最常用的技巧“常值1”的代換來處理該題，首先將條件等式兩邊同時(shí)除以ab，構(gòu)造1a+1b=1，然后將目標(biāo)函數(shù)乘以1a+1b，問題不變，但結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，構(gòu)造出兩個(gè)乘積為定值的正數(shù)，進(jìn)而使用基本不等式求解.將問題變式：已知a>0，b>0，a+b+1=ab，求a+b的最小值.學(xué)生很明顯發(fā)現(xiàn)增加常數(shù)項(xiàng)后，不能用“常值1”的代換處理了.這時(shí)就需要發(fā)現(xiàn)題目結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)，條件與問題都出現(xiàn)了a+b這兩個(gè)正數(shù)的和，那么如果利用ab≤a+b22將乘積ab不等轉(zhuǎn)換為a+b，則條件變成關(guān)于a+b的二次不等式，進(jìn)而求解.這里和、積的轉(zhuǎn)換滲透著轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.原題和變式的切換中，教師要引導(dǎo)學(xué)生一步步對(duì)試題的結(jié)構(gòu)認(rèn)真分析，尋找突破口，從而找出適當(dāng)?shù)慕夥?乘勝追擊，再提出變式：已知a>0，b>0，a+b+1=ab，求3a+b的最小值.學(xué)生發(fā)現(xiàn)和、積轉(zhuǎn)換的方法也不適用了.教師可引導(dǎo)學(xué)生回歸問題本質(zhì)，以上各題均為雙變量函數(shù)求最值問題，為何不能轉(zhuǎn)化為我們熟悉的單變量函數(shù)求最值問題呢？此時(shí)，消元的思想應(yīng)運(yùn)而生.我們發(fā)現(xiàn)無論是增加常數(shù)項(xiàng)還是調(diào)整變量系數(shù)，只要提供雙變量滿足的等量關(guān)系式，無論題怎么變，消元法都能輕松解決，通性通法才是解題教學(xué)的精髓.從原題到變式，難度一點(diǎn)點(diǎn)上升，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，尋找試題間的區(qū)別、聯(lián)系與規(guī)律，學(xué)會(huì)知識(shí)遷移，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)程度也隨之不斷提高，思維的靈活性得到加強(qiáng)，這是解題學(xué)習(xí)中重要的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

平時(shí)解題教學(xué)時(shí)，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生分析試題的結(jié)構(gòu)特征，從結(jié)構(gòu)上尋找破題的思路，要引導(dǎo)學(xué)生整理解題的邏輯過程，以及解題過程中使用的數(shù)學(xué)思想方法，并且與之前遇到的類似問題做對(duì)比，進(jìn)而上升到一個(gè)更高的解題境界，即用通性通法解決問題，因?yàn)檎莆蘸诵臄?shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生解題能力的培養(yǎng)至關(guān)重要.

目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)最大的困擾就在于數(shù)學(xué)知識(shí)比較分散，不易掌握.但是，過去的知識(shí)與當(dāng)前的知識(shí)是存在某種“神秘”聯(lián)系的，其實(shí)這種聯(lián)系就是數(shù)學(xué)思想方法，這些思想方法就像是一座座連接數(shù)學(xué)知識(shí)的“橋梁”，架起整個(gè)高中數(shù)學(xué)的知識(shí)框架.教師做好以下幾點(diǎn)，就能幫助學(xué)生架起這些“橋梁”：①善于總結(jié)，反復(fù)訓(xùn)練.學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新思想的接受是有一個(gè)過程的，只有通過不斷地重復(fù)學(xué)習(xí)才能在感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上上升至理性認(rèn)識(shí)，同時(shí)我們也要及時(shí)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)方法，使學(xué)生能高效率地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法.②因材施教，循序漸進(jìn).高中起始階段，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解還很有限，思想方法又是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的進(jìn)一步概括和總結(jié)，想要學(xué)生一開始就掌握很多思想方法是不可能的，這就需要我們實(shí)行循序漸進(jìn)、螺旋上升的教學(xué)原則，緊扣書本上的知識(shí)，用學(xué)生熟悉的問題背景創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，慢慢滲透數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法.③深入分析，系統(tǒng)概括.數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué)，解題教學(xué)表面上是解決某一道數(shù)學(xué)題目，實(shí)際背后是解決一連串的數(shù)學(xué)問題.在解決問題的過程中，要不斷分析、探索問題中的隱含條件，挖掘題目背后的源知識(shí)，將各知識(shí)模塊系統(tǒng)地整合在一起，將各思想方法有效地串聯(lián)在一起，從而使學(xué)生認(rèn)清本源，系統(tǒng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí).④激發(fā)內(nèi)驅(qū)力，提升學(xué)習(xí)興趣.眾所周知，“興趣是最好的老師”.教師在做教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以將數(shù)學(xué)文化滲透到課堂教學(xué)中來，并設(shè)計(jì)一些有趣的教學(xué)活動(dòng)，提高學(xué)生的參與熱情.

在數(shù)學(xué)科學(xué)大發(fā)展的背景下，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)意義顯得尤為突出，教師要適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和掌握隱藏在數(shù)學(xué)課本內(nèi)容背后的數(shù)學(xué)思想方法，這樣才能優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，學(xué)生才能真正了解數(shù)學(xué)的魅力，形成科學(xué)的數(shù)學(xué)觀和世界觀，最終促進(jìn)其整體核心素養(yǎng)的提升.而數(shù)學(xué)思想方法的滲透是一個(gè)長(zhǎng)期的持續(xù)的過程，教師要在平時(shí)多滲透數(shù)學(xué)思想方法，將其落實(shí)到每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中去，使學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)會(huì)不自覺地考慮到思想方法，并能合理地運(yùn)用思想方法分析問題、解決問題，如此堅(jiān)持下去，我們的數(shù)學(xué)教育才能真正落實(shí)立德樹人的根本任務(wù).

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