于雪梅

【摘要】本文主要在高維非負(fù)常曲率黎曼流形中，對滿足齊次狄利克雷邊值條件的Monge-Ampère方程的嚴(yán)格凸解，構(gòu)造一個輔助函數(shù)，將歐式空間中的結(jié)論推廣至黎曼流形上，得到一個關(guān)于方程解的非負(fù)估計(jì)，并應(yīng)用柯西—施瓦茨不等式、牛頓不等式給出詳細(xì)的證明過程.

【關(guān)鍵詞】 黎曼流形;Monge-Ampère方程;解的估計(jì)

一、引言

近幾年，有關(guān)橢圓型偏微分方程

解的凸性研究是非常豐富的，主要思路是在歐式空間中進(jìn)行方程解的凸性研究.其研究方法啟示我將此思路拓展到黎曼流形上，在對解的水平集的曲率進(jìn)行研究前，我先構(gòu)造一個與上述完全非線性的Monge-Ampère方程的嚴(yán)格凸解有關(guān)的函數(shù)，通過詳細(xì)推導(dǎo)對構(gòu)造的函數(shù)做出估計(jì)，為后續(xù)研究曲率問題做出鋪墊.

二、基本概念和記號

定義1 設(shè)Mn為n維Ck流形，如果在Mn上存在一個（0，2）階對稱正定的Ck張量場g，使得對p∈Mn，切空間TP（Mn）可以看作具有度量gp的歐式向量空間，那么（Mn，g）稱為n維Ck黎曼流形.其中g(shù)為黎曼流形Mn的黎曼度量或基本張量.

四、結(jié)束語

本文對一類橢圓型偏微分方程在帶有邊值狄利克雷條件下的嚴(yán)格凸解，在高維黎曼流形上構(gòu)造出一個輔助函數(shù)，進(jìn)而得到一個估計(jì)，這一結(jié)論的成立對研究方程解的平均曲率、高斯曲率的估計(jì)問題有很大幫助.

【參考文獻(xiàn)】

[1] Chen chuanqiang，Ma XiNan，Shi shujun.Curvature Estimates for the Level Sets of Soulutions of the Monge-Ampère Equation detD2u=1[J].Chinese Annals of Mathematics，2014（35B）：895-906.

[2] Trudinger N S.On New Isoperimetric Inequalities and Symmetrization[J].Reine Angew，Math，1997 （488）：203-220.

[3] Lin F H，Han Q.Elliptic Partial Differential Equations.Courant Institute of Mathematical Sciences，2000：27-30.

[4]于雪梅.四維空間形式中Monge-Ampère方程解的微分不等式[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2015，31（3）.

[5]邢慶賀.二維黎曼流形上蒙日—安培方程解的一個估計(jì)[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2015，31（3）.

[6]于雪梅.空間形式上蒙日—安培方程解水平集的曲率估計(jì)[D].哈爾濱師范大學(xué)碩士論文，2015.

[7] 白正國.黎曼幾何初步[M].北京： 高等教育出版社，2004.