盧勇
【摘要】本文主要研究方陣的特征值與特征向量的教學設計.首先,通過相似矩陣引入了方陣的特征值與特征向量.其次,給出了方陣的特征值與特征向量的具體求法.最后,將思政元素融入教學內(nèi)容,讓課堂內(nèi)容更加豐富.
【關鍵詞】特征值;特征向量;教學設計
1 引 言
矩陣是線性代數(shù)中的重要知識點,關于矩陣的相關性質(zhì)一直以來也是我們關注和學習的重點.方陣的特征值與特征向量是矩陣的重要研究內(nèi)容之一,涉及相似對角化、化二次型為標準型及正定二次型等問題.本文主要為大家呈現(xiàn)方陣的特征值與特征向量的教學設計,目的是同大家交流如何才能教好方陣的特征值與特征向量這一課.
2 教學過程
2.1 問題引入
首先,我們回顧相似矩陣的概念:
定義1[1] 設A與B是兩個n階方陣,如果存在可逆矩陣C,使得:C-1AC=B,
就稱矩陣A與B相似,記為A~B.
通過相似矩陣內(nèi)容的學習我們知道,相似矩陣具有很多相同的性質(zhì),比如相同的秩、行列式及跡等.因此,當我們研究一個矩陣A的某些性質(zhì),比如秩或行列式時,就可以借助其相似矩陣來研究.當然,我們希望所選取的與A相似的矩陣的形式越簡單越好.主對角陣可以說是形式上比較簡單的一種矩陣.設:
反之,如果一個矩陣A滿足Aξi=λiξi,i=1,2,…,n.由Aξi有意義,可知A的列數(shù)等于n.再由等號成立,可知A的行數(shù)也等于n.因此,滿足這一式子的矩陣A只能是方陣.綜合上面的討論,就引出了我們今天要研究的方陣的特征值問題.
則稱λ是A的一個特征值,ξn就是屬于特征值λ的一個特征向量.
根據(jù)特征值與特征向量的定義,我們做如下簡單分析:
1.首先需要強調(diào)的是特征向量都是非零向量.如果ξn是零向量,那么對于任意的數(shù)λ都有Aξn=λξn.這樣的討論無意義.
2.其次,一個方陣的特征值可能不止一個,而屬于特征值λ的特征向量也可能不止一個.比如,對于方陣A,設λ是A的一個特征值,ξn是屬于特征值λ的一個特征向量.對于任意一個不為零的常數(shù)k,有因此由特征值與特征向量的定義可知kξn也是A的屬于特征值λ的特征向量.
3.同時,我們也發(fā)現(xiàn),若ξ1,ξ2是A的屬于特征值λ的特征向量,則有k1ξ1+k2ξ2也是A的屬于特征值λ的特征向量,其中k1,k2不全為0.理由如下:
4.特別地,如果方陣A=0,則Aξn=0ξn=λξn,由于ξn是非零列向量,所以A的特征值只能是0,即零矩陣的特征值只能是0,且任意的n維非零列向量都是屬于特征值0的特征向量.
5.當n階方陣A不可逆時,|A|=0,所以以方陣A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組Ax=0有非零解,由特征值與特征向量的定義我們知道0是A一個特征值,且任一n維非零列向量都是屬于特征值0的特征向量.
從上面我們能夠看出一些特殊矩陣的特征值與特征向量,但是對于一般的方陣,我們該如何求它的特征值與特征向量呢?下面,我們將圍繞該問題展開探究.
2.2 特征值與特征向量的求法
我們從定義出發(fā).設λ1是A的一個特征值,ξ是屬于特征值λ1的一個特征向量,則有Aξ=λ1ξ,即(A-λ1E)ξ=0,從而齊次線性方程組(A-λ1E)x=0有非零解ξ,我們可得|A-λ1E|=0.
反之,如果|A-λ1E|=0,則以A-λ1E為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組(A-λ1E)x=0有非零解,不妨設ξ是其中一個非零解,則有(A-λ1E)ξ=0,變形可得Aξ=λ1ξ,由定義可知,λ1是A的一個特征值,ξ是屬于特征值λ1的一個特征向量.
通過上面的分析我們可以得到一個判定一個數(shù)是否是方陣的特征值的定理.
定理1 設A是n階方陣,則數(shù)λ1是A的特征值的充要條件是:
定理1 的簡單應用:由定理1我們可以知道若A+E不可逆,則-1就是A的一個特征值.
當然,我們也可以將|A-λ1E|=0寫成|λ1E-A|=0.那么,當λ1是一個變量的時候,不妨寫為λ,由行列式的定義我們知道|λE-A|是一個關于λ的n次多項式,為了方便起見,我們可以稱其為矩陣A的特征多項式,并記為fA(λ).因此,由定理1我們知道,A的特征多項式的根就是A的特征值.下面,我們來討論如何求特征向量.
當我們求出fA(λ)的一個根即矩陣A的一個特征值λ1時,我們知道fA(λ1)=0,即|λ1E-A|=0,所以,以λ1E-A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組(λ1E-A)x=0有非零解ξ,這個ξ就是屬于特征值λ1的一個特征向量.由上面的討論我們知道,對于任意一個非零數(shù)k,kξ也是屬于λ1的特征向量.因此,我們知道求所有屬于特征值λ1的特征向量,就是求齊次線性方程組(λ1E-A)x=0的一個基礎解系,比如ξ1,ξ2,…,ξs,則屬于λ1的特征向量就為k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs,其中k1,k2,…,ks是不全為0的任意常數(shù).
綜上所述,我們給出一般的求矩陣A的特征值與特征向量的方法.
求特征值與特征向量的步驟:
1.計算fA(λ)=0的所有根,即屬于矩陣A的所有特征值.
2.對于A的每個特征值λ1,求出齊次線性方程組(λ1E-A)x=0的一個基礎解系,不妨設為ξ1,ξ2,…,ξs,則屬于特征值λ1的所有特征向量為k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs,其中k1,k2,…,ks是不全為0的任意常數(shù).
下面,我們將通過具體實例,來求出矩陣的特征值與特征向量.
例1 設A=-110-430102,計算A的特征值與特征向量.
解 A的特征多項式:
fA(λ)=|λE-A|=λ+1-104λ-30-10λ-2.
按第3列展開,計算行列式可得fA(λ)=(λ-2)(λ-1)2.因此矩陣A的所有特征值為λ1=2,λ2=λ3=1.
對于特征值λ1=2,計算齊次線性方程組(λ1E-A)x=0,即:
3-104-10-100x1x2x3=0的一個基礎解系為ξ1=001.因此,屬于特征值λ1=2的所有特征向量為k1ξ1,其中k1是不為0的任意常數(shù).
對于特征值λ2=λ3=1,計算齊次線性方程組(λ2E-A)x=0,即:
2-104-20-10-1x1x2x3=0的一個基礎解系為ξ2=-1-21.因此,屬于特征值λ2=λ3=1的所有特征向量為k2ξ2,其中k2是不為0的任意常數(shù).
2.3課堂小結(jié)與思政
本節(jié)課我們主要通過相似矩陣引入方陣的特征值與特征向量.通過特征值與特征向量的定義,我們分析了幾類特殊方陣的特征值與特征向量.同時,我們也給出了求方陣特征值與特征向量的具體方法.通過相似矩陣的學習,我們知道相似矩陣具有許多相同的性質(zhì),當研究一個矩陣的某些性質(zhì)時,我們可以先研究與該矩陣相似的在形式上較簡單的矩陣.在生活中,我們要善于發(fā)現(xiàn)問題腳踏實地,刻苦鉆研,從而不斷進步,不斷成長,最終實現(xiàn)人生價值.在下一節(jié)課,我們將給出更多關于矩陣特征值與特征向量的結(jié)論.其中涉及矩陣的特征值與矩陣自身之間的關系,如:
定理2 設A是n階方陣,A有n個特征值λ1,λ2,…,λn,則:
(1) λ1+λ2+…+λn=tr(A)(矩陣A的跡,即主對角元素之和).
(2) λ1λ2…λn=|A|.
以及矩陣多項式的特征值與矩陣的特征值之間的關系.關于定理2請大家課后思考,我們下節(jié)課再一起學習.
【參考文獻】
[1]蔣永泉,賈志剛,黃建紅.線性代數(shù)[M].上海:上海交通大學出版社,2018.
[2]同濟大學數(shù)學系.工程數(shù)學線性代數(shù)(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2014.